人教版七年级数学上册：第四章4.2《直线、射线、线段》例题与讲解
人教版七年级上册数学：4.2《直线、射线、线段》(提高)知识讲解(含答案)
直线、射线、线段(提高)知识讲解【学习目标】1 •理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系； 2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题； 3 •利用线段的和差倍分解决相关计算问题. 【要点梳理】要点一、直线1概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用 “一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述. 2.表示方法：(1)可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图 1所示，为直线AB (或直线BA ) •(2) 也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线I •3. 基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单说成：两点确定一条直线.要点诠释：直线的特征：(1)直线没有长短，向两方无限延伸.(2 )直线没有粗细. (3) 两点确定一条直线.(4) 两条直线相交有唯一一个交点.4•点与直线的位置关系：(1) 点在直线上，如图 3所示，点A 在直线m 上，也可以说：直线 m 经过点A . (2) 点在直线外，如图 4，点B 在直线n 外，也可以说：直线 n 不经过点B .要点二、线段1. 概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段.2. 表示方法：(1) 线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段线段BA . (2) 线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段 a .a•,•A83. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段.例如：下图所示，用圆规在射线 AC 上截取可表示 AB 或AB = a .AA aB C法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段•例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段.4. 基本性质：两点的所有连线中，线段最短•简记为：两点之间，线段最短.如图6所示，在A , B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的.要点诠释：(1)线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短.(2)连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.(3)线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短.②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.5. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点•如图7所示，点C1是线段AB的中点，贝y AC二CB AB，或AB = 2AC = 2BC•2■ _ ■■A C B图7要点诠释：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上.要点三、射线1. 概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点.如图8所示，直线I上点0和它一旁的部分是一条射线，点0是端点.(丿J |图82. 特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长.3.表示方法：(1)可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线0A .(2)也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线0A可记为射线I.要点诠释：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线•如图9中射线0A，射线0B是不同的射线.---- --------- -------------- ■亍二——BOA图9(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线•如图射线10中射线0A、射线0B、0C都表示同一条射线.图10要点四、直线、射线、线段的区别与联系 1. 直线、射线、线段之间的联系(1) 射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系•在直线上任取一点，则可将 直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线.(2) 将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得 到直线. 2. 三者的区别如下表类别、\图形 --- ■ ------ 1 ---- f ----- H ——/A B *A B A B責示方法 ① 两伞丸宵字母： ② 一牛小馬字母① 两4大胃字母(展崇 增点的宇母准蕾h② 一d 小馬丰堆&表示曲端点的两 个丸骂字母*②一金1喘歳亍数无1牛2个延悌性1 尙两方无隈肚伸 囱一方尤陲睫伸不可琏忡性质菊虽嶋定一条直復SB作图叙述以＞1均均壷作射慣沖直要点诠释：(1)联系与区别可表示如下:直线•(直察的性 盛公理)(2)在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面 【典型例题】类型一、有关概念【总结升华】 在表示线段和直线时， 两个大写字母的顺序可以颠倒•然而， 在叙述线段的延 长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成方一方 延伸反向琏伸向两方 延伸写上“直线” “射线” “线段”字样.1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段.【思路点拨】从图上看，A D F 分别是线段CB BC BE 的延长线上的点，也就是说, D F 三点的位置并不是完全确定的.此时， 【答案与解析】 解：直线有一条：直线射线有六条：射线 线段有三条：线段 我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了.A 、AD ;BA 、射线BD 、 BC 、线段BE 、 射线CA 、射线CD 、射线BF 、射线EF ; 线段CE . 线段 銭段长氟的比较， 践程的中点了射线（延长部分已不再是线段本身了），而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点.举一反三：【高清课堂：直线、射线、线段397363拓展4】【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点•这是为什么？画图说明•【答案】解：图<1）•••过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）•••两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）;要么没有公共点，如图（2）;不能有两个公共点•类型二、有关作图2•如图（1）所示，已知线段a, b（a> b），画一条线段，使它等于2a-2b.. a ’亠⑴【答案与解析】解：如图（2）所示：A DB EC FI I2b----- 2a ------- *（2）（1）作射线AF ;（2）在射线AF上顺次截取AB = BC = a；（3）在线段AC上顺次截取AD = DE = b，则线段EC就是所要求作的线段. 【总结升华】用尺规作图时，要熟悉常用的画图语言，注意保留作图痕迹.举一反三：【变式1】下列说法正确的有（）①射线与其反向延长线成一条直线；②直线a、b相交于点m;③两直线相交于两个交点；④ 直线A 与直线B 相交于点M A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 4个 【答案】C【变式2】下列说法中，正确的个数有 （）① 已知线段a , b 且a-b = c ,贝U c 的值不是正的就是负的； ② 已知平面内的任意三点 A , B , C 则AB+BC > AC ; ③ 延长 AB 到C ,使BC = AB ，贝U AC = 2AB ; ④ 直线上的顺次三点 D 、E 、F ,贝U DE+EF = DF .A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 【答案】C类型三、个（条）数或长度的计算3. 根据题意，完成下列填空.如图所示，h 与12是同一平面内 的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内， 再画第3条直线13，那么这3条直线最多有 ___________ 个交点；如果在这个平面内再画第 4条直线14，那么这4条直线最多可有 __________ 个交点•由此我们可以猜想：在同一平面内, 3, 6, 15,吃 1）2本题探索过程要分两步：首先要填好 3条直线最多可有 2+1 = 3个交点，再类推 4 5条直线，6条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般 【总结升华】n （n 为大于1的整数）条直线的交点最多可有：1 2 3 ... （n -1）=耳2举一反三：【变式1】平面上有n 个点，最多可以确定 ________ 条直线 【答案】血92【变式2】一条直线有n 个点，最多可以确定 _________ 条线段， ________ 条射线 【答案】n（n一1）, 2n2【高清课堂：直线、射线、线段 397363拓展1 （ 4）】 【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点 ？【答案】0个，1个，2个，或3个.4. 已知线段 AB = 14cm ，在直线 AB 上有一点 C ,且BC = 4cm , M 是线段AC 的中 点，求个交点，n （ n 为大于1的整数）条直线最多可有个交点（用【解析】 条直线，6条直线最多可有【答线段AM的长.【思路点拨】题目中只说明了A、B、C三点在同一直线上，无法判定点C在线段AB上，还是在线段AB夕卜（也就是在线段AB的延长线上）•所以要分两种情况求线段AM的长.【答案与解析】解：①当点C在线段AB上时，如图所示.A M C B因为M是线段AC的中点，1所以AM AC •2又因为AC = AB-BC , AB = 14cm, BC = 4cm,1 1所以AM (AB - BC) (14 - 4) = 5(cm).②当点C在线段AB的延长线上时，如图所示.因为M是线段AC的中点,1所以AM AC •2又因为AC = AB+BC , AB = 14cm, BC = 4cm,1所以AM （AB BC）=9（ cm）•所以线段AM的长为5cm或9cm •【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论.举一反三:【变式】（武汉武昌区期末联考）如图所示，数轴上线段AB = 2（单位长度），CD = 4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-10,点C在数轴上表示的数是16•若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.（1）问运动多少秒时，BC = 8（单位长度）（2）_________________________________________________________ 当运动到BC = 8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是__________________________________一BD—AP （3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式 3 •PC若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由.I I 一」_ 1 ____ ・■A B O C D【答案】解：（1）点B在数轴上表示的数是-8,设运动t秒时，BC = 8 （单位长度），则:①当点B在点C的左边时，6t+8+2t = 24t = 2（秒）②当点B在点C的右边时，6t-8+2t = 24t = 4（秒）答：当t等于2秒或4秒时，BC = 8（单位长度）A B O CD⑴CADS（2）（2）由（1）知：当t= 2（秒）时，B点坐标为：-8+6t= - 8+6X 2=4 （单位长度）当t = 4（秒）时，B点坐标为：-8+6t= - 8+6X 4=16 （单位长度）所以答案为：4或16（3）存在，若存在，则有：BD = AP+3PC，设运动时间为t（秒），则：1°当t= 3时，点B与点C重合，点P在线段AB上，O V PC < 2且BD = CD = 4, AP+3PC = AB+2PC = 2+2PC所以：2+2PC=4，解得：PC= 1•••此时，PD = 5132°当3 : t 时，点C在点A与点B之间，O V PC V 24①点P在线段AC上时.BD = CD-BC = 4- BCAP+3PC = AC+2PC = AB - BC+2PC = 2- BC+2PC由4- BC=2 - BC+2PC , 可得：PC= 1, 此时PD = 5.②点P在线段BC上时BD = CD-BC = 4- BC , AP+3PC = AC+4PC = AB - BC+4PC = 2- BC+4PC1 7由4- BC=2 - BC+4PC，可得：PC ，此时PD -2 23°当t 时，点A与在点C重合，0 V PC W 24BD = CD-AB = 2, AP+3PC = 4PC1 7由2= 4PC,可得：PC ，此时PD -2 213 74° 当t 时，0V PC V 44 2BD = CD —BC = 4-BC , AP+3PC = AB - BC+4PC = 2- BC+4PC1 7由4—BC=2 - BC+4PC，可得：PC ，此时PD 二一2 2综上可得：存在此关系式，且PD的长为5或2类型四、路程最短问题5. 如图所示，某公司员工分别住A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人,C区有10人•三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区？100 m 200 m■■…T■ i・…i •A B C【答案与解析】解：所有员工步行到停靠点A区的路程之和为：0X 30+100 X 15+(100+200) X 10= 0+1500+3000 = 4500( m);所有员工步行到停靠点B区的路程之和为：100 X 30+0 X 15+200 X 10 = 3000+0+2000 = 5000( m);所有员工步行到停靠点C区的路程之和为：(100+200) X 30+15 X 200+10 X 0= 9000+3000+0 = 12000( m) •因为4500 V 5000V 12000 ,所以所有员工步行到停靠点A区的路程之和最小，所以停靠点的位置应设在A.【总结升华】本题是线段的概念在现实中的应用，根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可得解•举一反三：【变式】如图，从A到B最短的路线是( )匚A. A-G-E-B 【答案】D A-C-E-B A-F-E-BC. A-D-G-E-B D。
人教版七年级数学上册《4.2直线、射线、线段》练习-带参考答案
人教版七年级数学上册《4.2直线、射线、线段》练习-带参考答案一、单选题1．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释正确的是（）A．线段可以比较大小B．线段有两个端点C．两点之间线段最短D．过两点有且只有一条直线2．M、N两点的距离是20厘米，有一点P，如果PM+PN=30厘米，那么下面结论正确的是 ( ) A．点P必在线段MN上B．点P必在直线MN外C．点P必在直线MN上D．点P可能在直线MN上，也可能在直线 MN外3．已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm4．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（）A．B．0 C．3 D．5．杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种B．15种C．10种D．5种6．如图，点A、B在数轴上所表示的数分别是2和5，若点C与A、B在同一条数轴上且AC-AB=m（m ＞0），则点C所表示的数为（）A．B．C．或D．或7．已知数轴上的三点A，B，C所对应的数a，b，c满足，和，那么线段AB与BC的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定8．数轴上，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是0.动点、从、同时出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向右运动.在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（）A．B．C．D．二、填空题9．一条直线上有n个不同的点，则该直线上共有线段条．10．已知线段AB=3cm，点C在直线AB上，AC= AB，则BC的长为．11．数轴上，如果点 A所表示的数是 ,已知到点A 的距离等于 4 个单位长度的点所表示的数为负数，则这个数是．12．如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝a，若AD+BC＝ AB，用含a代数式表示CD的长为．13．体育课上，小聪、小明、小智、小慧分别在点O处进行了一次铅球试投，若铅球分别落在图中的点A，B，C，D处，则他们四人中，成绩最好的是三、解答题14．已知，点A、B、C在同一直线上，且，点、分别是线段、的中点，求线段的长．15．如图，C，D两点将线段AB分成2：3：4三部分，E为线段AB的中点，AD=10cm．求：（1）线段AB的长；（2）线段DE的长．16．如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）若AC=24cm，CB=16cm，求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，且满足AC+BC=x（cm），其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？请说明理由．（3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=y（cm），点M，N分别为AC，BC的中点，请画出图形，并求MN的长度．17．我们知道，若有理数、表示在数轴上得到点、且，则点点与点之间的距离为，现已知数轴上三点A、B、C，其中A表示的数为，B表示的数为3，C与A的距离等于m，C与B的距离等于n，请解答下列问题：（1）若点C在数轴上表示的数为，求的值（2）若，请你写出点C表示的数。
人教版七年级数学上册第四章4.2《直线、射线、线段》中考试题汇编含精讲解析
人教版七年级数学上册第四章 4.24.2直线、射线、线段中考试题汇编含精讲解析一•选择题（共13小题）1. （20XX?新疆）如图所示，某同学的家在 帮助他选择一条最近的路线（）A . A T C T DB . A F T BC . A ^C ^E ^BD .A 旦宀M2. （20XX ?义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出 条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）C .垂线段最短D .在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3 （20XX ?济宁）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是 （）A .两点确定一条直线B .垂线段最短C .两点之间线段最短D .三角形两边之和大于第三边4. （20XX ?大庆）对坐标平面内不同两点 A （x i , y i ）、B （X 2, y 2）,用|AB|表示A 、B 两点间的距 离（即线段AB 的长度），用AB 表示A 、B 两点间的格距，定义 A 、B 两点间的格距为 AB l=|x i -X 2|+|y 1 - y 2|,则|AB|与AB 的大小关系为（）A . |AB| >AB IlB . |AB| > A B 11C . |AB| <AB IlD . |AB| V AB II5. （20XX?长沙）如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段 AC 的中点，若AB=10cm , BC=4cm , 则AD 的长为（ ）L ___________ J ______________ 1 ________________________ IA D CB A . 2cm B . 3cmC . 4cmD . 6cm6. （20XX?徐州）点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点 A 、B 表示的数分别为-3、1,若BC=2 , 则AC 等于（ ） A . 3 B . 2 C . 3 或 5 D . 2 或 6A 处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你A .两点确定一条直线B .两点之间线段最短7. （20XX?台湾）数轴上 A 、B 、C 三点所表示的数分别为 CB=1 : 3，则下列b 、c 的关系式，何者正确？（）1113A.|c|= |b| B . |c|= |b| C .|c|= |b| D . |c|= |b|2 34 4& （20XX?永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迴龙塔等三个名胜古迹（如图所示）•其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建•现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所 走的路程总和最短•那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（）朝阳岩柳子庙迴龙塔X ， TILA . 朝阳岩B . 柳子庙C . 迴龙塔D .朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间位置 9. （20XX?葫芦岛）如图，C 是线段AB 上一点，M 是线段AC 的中点，若 AB=8cm , BC=2cm ，则 MC 的长是（ ）■ 1,■ ■AVC BA . 2 cmB . 3 cmC . 4 cmD . 6 cm10. （20XX ?乌兰察布模拟）已知 O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点 P 在OM 上.一只蜗 牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿 OM 将圆锥 侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）11. （20XX?柳州）如图，点 A 、B 、C 是直线I 上的三个点，图中共有线段条数是（ ）~A B C 1A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条 12 . （20XX ?普洱）如图，C , D 是线段 AB 上两点，若 CB=4cm ,DB=7cm ，且D 是AC 的中点，则 AC 的长等于（）A . 3cmB . 6cmC . 11cmD . 14cm13. （20XX?潍坊）某班50名同学分别站在公路的 A , B 两点处，A , B 两点相距1000米，A 处有 30人，B 处有20XX 要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点 应选在（ ）A Ba 、b 、c ,且 C 在 AB 上.若 |a|=|b|, AC :OO•■A . A点处B. 线段AB的中点处C.线段AB上，距A点丿一米处D .线段AB上，距A点400米处二.填空题（共10小题）14. （20XX?佛山）如图，线段的长度大约是 _____________________ 厘米（精确到0.1厘米）.15. （20XX?德州）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因.16. （20XX?随州）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线.若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为________________________ .17 . （20XX ?荷泽）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC,使它等于3cm，则线段AC= _______________ cm .18 . （20XX?广西）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是 ______________ .19 . （20XX ?佛山）已知线段AB=6，若C为AB中点，贝U AC= ________________ .20XX20XX ?娄底）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12 , AC=8，则CD= ____________1---------------------------- •------- • ------- 1A C D B21. （20XX?宿迁）直线上有20XX个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有 ____________________ 个点.22. （ 20XX?河源）平面内不过同一点的 n 条直线两两相交，它们的交点个数记作 a n ,并且规定a i =0.那么： ① a 2= ___________ ； ② a 3_ a 2= ____________ ； ③ a n _ a n -1= ___________ . （n 丝，用含 n 的 代数式表示）.23. （20XX ?厦门）已知点 C 是线段 AB 的中点，AB=2，贝U BC= _________________ .三.解答题（共3小题）24. （20XX?呼伦贝尔）根据题意，解答问题:（1） 如图①（2） 如图②25. （20XX?贵阳）如图，平面内有公共端点的六条射线OA , OB , OC , OD , OE , OF ,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7,….（1） 17”在射线 ________________ 上； （2） 请任意写出三条射线上数字的排列规律； （3） 20XX ”在哪条射线上？26. （20XX ?烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n （n > 1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P ,使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题先退”到比较简单的情形.如图（1）,如果直线上有2台机床时，很明显设在 A 1和A 2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走 的距离之和等于 A 1到A 2的距离.Ai P A 2 卫1 比（戸）念~• ------------------------------- ~ t------------- ----- r图①图②如图（2）,如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A 2处最合适，因为如果P 不放在A 2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A i 到A 3的距离，可是乙还得走从 A 2到P 的这一B 两点，求线段AB 的长.(-2, - 1)之间的距离.，已知直线y=2x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M （3, 4）与点 N段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择.不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置.问题：（1 ）有n台机床时，P应设在何处？（2）根据（1）的结论，求|x - 1|+|x-2|+|x - 3|+…|x - 617|的最小值.人教版七年级数学上册第四章 4.24.2直线、射线、线段中考试题汇编含精讲解析参考答案与试题解析一•选择题（共13小题）1. （20XX?新疆）如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（）A . A T C T DB . A F T BC . A ^C^E^BD . A 旦宀M考点：线段的性质：两点之间线段最短.分析：根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店, 一条最近的路线是：A T C T F T B，据此解答即可.解答：解：根据两点之间的线段最短，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A T C T F T B .故选：B.点评：此题主要考查了线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短.2. （20XX ?义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A .两点确定一条直线B .两点之间线段最短C.垂线段最短D ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直考点：直线的性质：两点确定一条直线.专题：应用题.分析：根据公理“两点确定一条直线”来解答即可.解答：解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线.故选：A.此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能点评：力.3．（20XX ?济宁）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）A ．两点确定一条直线B ．垂线段最短C．两点之间线段最短D ．三角形两边之和大于第三边考点：线段的性质：两点之间线段最短．专题：应用题．分析：此题为数学知识的应用，由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解答：解：要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短．故选：C．点评：本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键．4. （20XX?大庆）对坐标平面内不同两点 A （x i, y i）、B （X2, y2）,用|AB|表示A、B两点间的距离（即线段AB的长度），用AB表示A、B两点间的格距，定义A、B两点间的格距为AB |=|x i -X2|+|y i - y2|,则|AB|与I AB I的大小关系为（）A . |AB| >AB I I B . |AB| > AB I I C. |AB| <AB ID. |AB| V I AB I考点：线段的性质：两点之间线段最短；坐标与图形性质.专题：新定义.分析：根据点的坐标的特征，|AB|、|x i- X2|、|y i- y2|三者正好构成直角三角形，然后利用两点之间线段最短解答.解答：解：当两点不与坐标轴平行时，|x i-X2|、|y i-y2|的长度是以|AB|为斜边的直角三角形，V I AB I.当两点与坐标轴平行时，• |AB|= AB .故选：C.点评：本题考查两点之间线段最短的性质，坐标与图形性质，理解平面直角坐标系的特征，判断出三角形的三边关系是解题的关键.5. （20XX?长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm , BC=4cm , 则AD的长为（）A D C BA . 2cmB . 3cmC . 4cmD . 6cm考点：两点间的距离.分析：由AB=10cm , BC=4cm，可求出AC=AB - BC=6cm，再由点D是AC的中点，则可求得AD 的长.解答：解：••AB=10cm , BC=4cm ,•・AC=AB —BC=6cm ,又点D是AC的中点，•°.AD= —^AC=3cm ,2答: AD的长为3cm.故选：B.点评：本题考查了两点间的距离，利用线段差及中点性质是解题的关键.6. （20XX?徐州）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为-3、1,若BC=2 ,则AC等于（）A . 3 B. 2 C. 3 或5 D. 2 或6考点：两点间的距离；数轴.专题：压轴题.分析：要求学生分情况讨论A , B, C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外. 解答：解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB夕卜，所以要分两种情况计算.点A、B表示的数分别为-3、1,AB=4 .第一种情况：在AB夕卜，AC=4+2=6 ;第二种情况：在AB内,A C Br 5 ~4 匕「2 二0 i 2 5 4 5"AC=4 - 2=2 .故选：D.点评：在未画图类问题中，正确画图很重要•本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性, 在今后解决类似的问题时，要防止漏解.7. （20XX?台湾）数轴上A、B、C三点所表示的数分别为CB=1 : 3，则下列b、c的关系式，何者正确？（）1113A. |c|= |b|B. |c|= |b|C. |c|= |b|D. |c|= |b|2 3 4 4考点：两点间的距离；数轴.分析：根据题意作出图象，根据AC : CB=1 : 3,可得|c|=」小 ,又根据|a|=|b,即可得出|c|= |b|.4 2解答：解：-/C 在AB 上，AC : CB=1 : 3,又 /a|=|b|, •••|c|=为b|. 故选A .a c Q b点评：本题考查了两点间的距离，属于基础题，根据AC : CB=1 : 3结合图形得出|c|= 是4解答本题的关键.& （20XX?永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迴龙塔等三个名胜古迹（如图所示）•其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建•现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短•那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（）朝阳岩▲子庙1-迴龙塔A.B.C.D. 朝阳岩柳子庙迴龙塔朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间位置考点：直线、射线、线段.a、b、c,且C 在AB 上.若|a|=|b|, AC :专题： 压轴题.分析： 设朝阳岩距离柳子庙的路程为 5，柳子庙距离迴龙塔的路程为8，则迴龙塔距离朝阳岩的路 程为13,然后对四个答案进行比较即可.解答： 解：设朝阳岩距离柳子庙的路程为 5,柳子庙距离迴龙塔的路程为8，则迴龙塔距离朝阳岩的路程为13，A 、 当旅游车停在朝阳岩时，总路程为 5+13=18 ；B 、 当旅游车停在柳子庙时，总路程为 5+8=13 ；C 、 当旅游车停在迴龙塔时，总路程为13+8=21 ；D 、 当旅游车停在朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间时，总路程大于13 . 故路程最短的是旅游车停在柳子庙时， 故选：B .点评：本题考查了直线、射线及线段的有关知识，用特殊值的方法比较容易说出来.9. （20XX?葫芦岛）如图，C 是线段AB 上一点，M 是线段AC 的中点，若 AB=8cm ，BC=2cm ，则 MC 的长是（）A X/ C BA . 2 cmB . 3 cmC . 4 cmD . 6 cm考点：两点间的距离.分析： 由图形可知AC=AB - BC ，依此求出AC 的长，再根据中点的定义可得 MC 的长. 解答： 解：由图形可知 AC=AB - BC=8 - 2=6cm ，••M 是线段AC 的中点， •°.MC= —AC=3cm .2故MC 的长为3cm . 故选B .点评：考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC 的长是解决本题的突破点.10. （20XX ?乌兰察布模拟）已知 0为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点 P 在0M 上.一只蜗考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图. 专题：压轴题；动点型.P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿 0M 将圆锥牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理.解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线0M'上的点（P'）重合，而选项C还原后两个点不能够重合.故选：D.点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力.11. （20XX?柳州）如图，点A、B、C是直线I上的三个点，图中共有线段条数是（）~~B ------------ LA . 1条B . 2条C. 3条D . 4条考点：直线、射线、线段.分析：写出所有的线段，然后再计算条数.解答：解：图中线段有：线段AB、线段AC、线段BC,共三条.故选C. 点评：记住线段是直线上两点及其之间的部分是解题的关键.12. （20XX ?普洱）如图，C, D是线段AB上两点，若CB=4cm , DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于（）I I i iADC BA . 3cmB . 6cmC . 11cmD . 14cm考点：比较线段的长短.专题：计算题.分析：由已知条件可知，DC=DB - CB,又因为D是AC的中点，贝U DC=AD，故AC=2DC .解答：解：VD是AC的中点,•••AC=2DC ,'/CB=4cm , DB=7cm.°.CD=BD —CB=3cm•••AC=6cm故选：B.点评：结合图形解题直观形象，从图中很容易能看出各线段之间的关系.利用中点性质转化线段之间的倍数关系是解题的关键.13. （20XX ?潍坊）某班50名同学分别站在公路的A , B两点处，A , B两点相距1000米，A处有30人，B处有20XX要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（）A . A点处B. 线段AB的中点处C线段AB上，距A点"米处D .线段AB上，距A点400米处考点：比较线段的长短.专题：应用题.分析：设A处学生走的路程，表示出B处学生走的路程，然后列式计算所有同学走的路程之和.解答：解：设A处的同学走x米，那么B处的同学走（1000- x）米，所有同学走的路程总和：L=30x+20XX000 - x）=10x+20XX0此时0$ €000,要使L最小，必须x=0, 此时L最小值为20XX0 ;所以选A点处.故选A .点评：此题主要考查一次函数在实际生活中的意义，学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学.二.填空题（共10小题）14. （20XX ?佛山）如图，线段的长度大约是 2.3 （或2.4）厘米（精确到0.1厘米）.考点：比较线段的长短.分析：根据对线段长度的估算，可得答案.解答：解：线段的长度大约是2.3 （或2.4）厘米，故答案为：2.3 （或2.4）.点评：本题考查了比较线段的长短，对线段的估算是解题关键.15. （20XX?德州）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因两点之间线段最短.y P考点：线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系. 专题：开放型.分析：根据线段的性质解答即可.解答：解：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短. 故答案为：两点之间线段最短.点评：本题考查了线段的性质，是基础题，主要利用了两点之间线段最短.16. （20XX?随州）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线.若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为6 .考点：直线、射线、线段.专题：压轴题；规律型.分析：根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线找出规律，再把15代入所得关系式进行解答即可.解答：解：••平面内不同的两点确定1条直线，匚';2平面内不同的三点最多确定3条直线，即.' =3;2平面内不同的四点确定6条直线，即-：-一=6,2••平面内不同的n点确定一（n^2）条直线，2 n （n—1••平面内的不同n个点最多可确定15条直线时，.'=15，解得n= - 5 （舍去）或n=6 .故答案为：6.点评：本题考查的是直线、射线、线段，是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定多少条直线，代入15即可求出n的值.17. （20XX ?荷泽）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC,使它等于3cm，则线段AC= 5 或11 cm.考点：两点间的距离.专题：分类讨论.分析：点C可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上.因此分类讨论计算.解答：解：根据题意，点C可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上.若点C 在线段AB 上，贝U AC=AB - BC=8 - 3=5 （cm）;若点C在AB的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11 （cm）.故答案为：5或11.点评：此题考查求两点间的距离，运用了分类讨论的思想，容易掉解.18. （20XX?广西）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是两点之间线段最短. 考点：线段的性质：两点之间线段最短.分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答.解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短. 故答案为：两点之间线段最短. 点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单.19. （20XX?佛山）已知线段AB=6，若C为AB中点，贝U AC= 3 .考点：两点间的距离.专题：应用题.分析：由题意可知，线段AB=6 , C为AB中点，所以，AC=BC，即AC=3 ;解答：解：如图，线段AB=6 , C为AB中点，•••AC=BC ,•••AC=3 .故答案为：3.A --------------------- 9 ---------------------------- BC点评：本题考查了两点间的距离，牢记两点间的中点到两端点的距离相等.20XX20XX ?娄底）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12 , AC=8，则CD= 2 .1 ------------------------------------------ e ---------- * ---------- 1A C D B考点：两点间的距离.分析：根据AB=12 , AC=8，求出BC的长，再根据点D是线段BC的中点，得出CD=BD即可得出答案.解答：解：・.7^=12 , AC=8 ,•°.BC=4 ,••点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，•••CD=BD=2 ,故答案为：2.点评：此题主要考查了两点距离求法，根据已知求出BC=4是解决问题的关键.21. （20XX?宿迁）直线上有20XX个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有16073 个点.考点：直线、射线、线段.专题：规律型.分析：根据题意分析，找出规律解题即可.解答：解：第一次：20XX+ （20XX - 1）=2 >20XX - 1 ,第二次：2X20XX - 1+2>0XX - 1 - 1=4 >20XX - 3,第三次：4X20XX - 3+4»0XX - 3- 1=8 >20XX - 7.••经过3次这样的操作后，直线上共有8々0XX - 7=16073个点.故答案为：16073.点评： 此题为规律型题•解题的关键是找对规律.22. ( 20XX?河源)平面内不过同一点的 n 条直线两两相交，它们的交点个数记作 a n ,并且规定a i =0.那 么：①a 2= 1 ；②a 3-a 2= 2 ;③a n -a n -1= n - 1 . (n 支，用含n 的代数式表示).考点： 直线、射线、线段. 专题： 规律型.分析： n 条直线相交，最多有 1+2+3+ ••+ (n - 1)=二、「..个交点. 解答： 解：① a2=—. ： \ . =1 ；②"3=3, a 2=1•'•a 3 - a 2=3 - 1=2 ;③ a n - a n -1=、Xi— — ( n - 1)( n - 2) =— ( n - 1) ( n - n+2) =n — 1.2 2 2点评：此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊项一般 猜想的方法.23. (20XX ?厦门)已知点 C 是线段 AB 的中点，AB=2，贝U BC=」考点： 比较线段的长短. 专题： 计算题.分析： 根据中点把线段分成两条相等的线段解答. 解答： 解：根据题意，BC=丄AB=1 .2点评：本题根据线段的中点的定义求解.三.解答题(共3小题)24. (20XX?呼伦贝尔)根据题意，解答问题: (1) 如图① (2) 如图②(-2, - 1)之间的距离.，已知直线y=2x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，求线段 ，类比(1) AB 的长.N考点： 两点间的距离；勾股定理. 专题： 计算题；压轴题；数形结合.分析： (1)根据已知条件求出 A 、B 两点的坐标，再根据公式计算即可解答. (2)根据公式直接代入数据计算即可解答.r 匸■' I . '' - . I .!：. ' ； 1 - ■: '「厂 2 . - （ 3 分）(2)过M 点作x 轴的垂线 MF ，过N 作y 轴的垂线NE , MF , NE 交于点D ••- (4分) 根据题意：MD=4 -( - 1) =5,ND=3 -( - 2) =5•- (5 分)则：MN= ”，…（6 分）点评：本题考查了两点间的距离公式， 属于基础题，关键是掌握设有两点 A (xi , yi ), B (x2, y2),则这两点间的距离为AB=-25. (20XX?贵阳)如图，平面内有公共端点的六条射线OA , OB , OC , OD , OE , OF ,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7,….(1)17”在射线 0E 上; (2) 请任意写出三条射线上数字的排列规律； (3)20XX ”在哪条射线上？考点： 直线、射线、线段. 专题： 规律型.分析： 先由具体数字入手，找出规律，再利用规律解题.解答：解：(1) 18正好转3圈，3 >6； 17则30 - 1； 17”在射线0E 上;(2)射线OA 上数字的排列规律：6n - 5 射线OB 上数字的排列规律： 6n - 4 射线OC 上数字的排列规律： 6n - 3解答：解：(1)根据题意得：A (0, 4), B (- 2, 0)…(分)在Rt A AOB 中，根据勾股定理:射线OD上数字的排列规律：6n- 2射线OE上数字的排列规律：6n- 1射线OF上数字的排列规律：6n(3) 20XX £=334 T.故20XX ”在射线0C 上.点评：本题体现了由特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识.26. （20XX?烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n （n> 1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先退”到比较简单的情形.如图（1）,如果直线上有2台机床时，很明显设在A i和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A i到A2的距离.Ai P A2理1卫“）念图①图②如图（2）,如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A i到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择.不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置. 问题：（1 ）有n台机床时，P应设在何处？（2）根据（1）的结论，求|x - 1|+|x-2|+|x - 3|+…|x - 617|的最小值.考点：比较线段的长短.专题：应用题.分析：（1 ）分n为偶数时，n为奇数时两种情况讨论P应设的位置.（2）根据绝对值的几何意义，找到1和617正中间的点，即可求出|x - 1|+|x- 2|+|x - 3|+・”x-617|的最小值.解答：解：（1 ）当n为偶数时，P应设在第|台和（'+1）台之间的任何地方，2 2当n为奇数时，P应设在第二台的位置.2（2）根据绝对值的几何意义，求|x - 1|+|x - 2|+|x- 3|+|x - 617|的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1, 617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x=309 时，原式的值最小，最小值是308+307+ ••+1+1+2+••+308=95172 .点评：本题需要运用分类讨论思想，主要考查了学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法.。
人教版七年级数学上册：第四章4.2《直线、射线、线段》例题与讲解
4.2 直线、射线、线段1．直线(1)概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始的概念，直线常用“一根拉得很紧的细线”，“一张纸的折痕”等实际事物进行描述．(2)特点：直线向两方无限延伸，不可度量，没有粗细；并且同一平面内的两条相交直线只有一个交点．(3)直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即“两点确定一条直线”．(4)直线的两种表示法：一是用一个小写字母表示：如直线a，b，c或直线l等．另一个是用直线上两个点的大写字母表示，如：直线AB或直线BA.如图：表示为直线l或直线AB(点的字母位置可以交换)．(5)直线与点的位置关系：一是点在直线上，也叫做直线经过这点；另一种是点在直线外，也叫做直线不经过这个点．【例1－1】下面几种表示直线的写法中，错误的是()．A．直线a B．直线MaC．直线MN D．直线MO解析：直线的表示法有两种，一种是用一个小写字母表示，另一种是用直线上两个点的大写字母表示，所以直线Ma这种表示法不正确，故选B.答案：B【例1－2】如图，下列说法错误的是()．A．点A在直线m上B．点A在直线l上C．点B在直线l上D．直线m不经过B点解析：点与直线有两种位置关系，一是点在直线上，也称作直线过这点，另一种是点在直线外．所以C错误．答案：C2．射线(1)定义：直线上一点和它一旁的部分，叫做射线．它是直线的一部分．如图就是一条射线，其中O是射线的端点．(2)表示法：同直线一样，射线也有两种表示方法，一种是用一个小写字母表示：如射线a，b，c或射线l等，另一个是用射线上两个点的大写字母表示，其中前面的字母表示的点必须是端点．如图：表示为射线l或射线OA.注意：表示射线端点的字母一定要写在前面．(3)特点：射线只有1个端点，向一方无限延伸，因此不可度量．【例2－1】如图，若射线AB上有一点C，下列与射线AB是同一条射线的是()．A．射线BA B．射线ACC．射线BC D．射线CB解析：端点相同，在同一条直线上，且方向一致，就是同一条射线，所以B正确．答案：B3．线段(1)定义：直线上两点和它们之间的部分，叫做线段．它是直线的一部分．(2)特点：有两个端点，不能向两方无限延伸，因此它有长度，有大小．(3)表示法：同直线一样，线段也有两种表示法，一种是用一个小写字母表示，如线段a，b，c.另一种是用线段两个端点的大写字母表示．如图：可以表示为：线段AB或线段BA，或线段a.(4)线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短，简单的说成：“两点之间，线段最短．”意义：选取最短路线的原则和依据．(5)两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离．破疑点线段的表示表示线段的两端点的字母可以交换，如线段AB也是线段BA，但端点字母不同线段就不一样．【例3】如图有几条直线？几条射线？几条线段？并写出．分析：直线主要看有几条线向两方无限延伸，图中只有一条；射线主要看端点，再看延伸方向，3个端点，所以有6条，线段主要是看端点，3个端点，所以有3条．解：有一条直线AB(或AC，AD，AE，BE，BD，CD，…)；射线有6条：CA，CB，DA，DB，EA，EB.线段有3条：CD，CE，DE.4.线段的画法(1)画一条线段等于已知线段画法：①测量法：用刻度尺先量出已知线段的长度，画一条等于这个长度的线段；②尺规法：如图：画一条射线AB，在这条射线上截取(用圆规)AC＝a.(2)画线段的和差测量法：量出每一条线段的长度，求出它们的和差，画一条线段等于计算结果的长度．如：已知线段a，b(a＞b)，画线段AB＝a－b，就是计算出a－b的长度，画出线段AB等于a－b 的长度即可．尺规法：如图，已知线段a，b，画一条线段，使它等于2b－a.画法：如图，①画一条射线AB，在这条射线上连续截取(用圆规)AC=2b，②再以A为一个端点，截取AD=a，那么DC=2b－a.【例4】如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a＋b－c(用尺规法)．画法：如图，①画射线(直线也可)AB，在射线AB上分别截取AC＝a，CD＝b.②以D为一个端点在AD上截取DE＝c，线段AE即为所求．5．线段的比较(1)测量法：就是用刻度尺测量出两条线段的长度，再比较它们的大小．(2)叠合法：把两条线段的一端对齐，放在一起进行比较．如图：①若C 点落在线段AB 内，那么AB ＞AC ；②若C 点落在线段AB 的一个端点上，那么AB ＝AC ；③若C 点落在线段AB 外(准确的说是AB 的延长线上)，那么AB ＜AC .谈重点 线段的比较 用叠合法比较两条线段的大小，一端一定要对齐，看另一个端点的落点，测量法要注意单位的统一．【例5】 已知：如图，完成下列填空：(1)图中的线段有________、________、________、________、________、________共六条．(2)AB ＝________＋________＋________；AD ＝________＋________；CB ＝_______＋__________.(3)AC ＝AB －__________；CD ＝AD －__________＝BC －__________；(4)AB ＝__________＋__________.解析：根据图形和线段间的和差关系填空，注意(4)题有两种可能．答案：(1)AC AD AB CD CB DB(2)AC CD DB AC CD CD DB(3)CB AC DB(4)AD DB 或AC CB6．线段中点、线段等分点(1)定义：点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点．(2)拓展：把一条线段分成相等的三条线段的点叫做这条线段的三等分点….(3)等量关系：在上图中：AM ＝BM ＝12AB ；2AM ＝2BM ＝AB . 【例6】 如图，点C 是线段AB 的中点．(1)若AB ＝6 cm ，则AC ＝__________cm.(2)若AC ＝6 cm ，则AB ＝__________cm.解析：若AB ＝6 cm ，那么AC ＝12AB ＝3(cm)． 若AC ＝6 cm ，那么AB ＝2AC ＝2×6＝12(cm)．答案：3 127．关于延长线的认识延长线是重要的，也是应用较多的几何术语，是初学者最易错，最不好理解的地方，下面介绍几种关于延长线的术语：如图(1)延长线段AB ，就是由A 往B 的方向延长，并且延长线一般在作图中都用虚线表示；如图(2)叫做反向延长线段AB ，就是由B 向A 的方向延长；如图(3)延长AB 到C ，就是到C 不再延长；如图(4)延长AB 到C ，使AB ＝BC ；如图(5)点C 在AB 的延长线上等．几种常见的错误，延长射线AB 或延长直线AB ，都是错误的，图(6)中只能反向延长射线AB .【例7－1】 若AC ＝12AB ，那么点C 与AB 的位置关系为( )． A ．点C 在AB 上 B ．点C 在AB 外C ．点C 在AB 延长线上D ．无法确定答案：D【例7－2】 画线段AB ＝5 cm ，延长AB 至C ，使AC ＝2AB ，反向延长AB 至E ，使AE ＝13CE ，再计算： (1)线段AC 的长；(2)线段AE ，BE 的长．分析：按要求画图．由画图过程可知：AC ＝2AB ，且C 在AB 的延长线上，所以AB ＝BC ＝12AC ，E 在AB 的反向延长线上，且AE ＝13CE ，所以AB ＝BC ＝AE ＝5 c m.解：如图：(1)因为AC ＝2AB ，所以BC ＝AB ＝5 cm ，所以AC ＝AB ＋BC ＝5＋5＝10 (cm)．(2)因为AE ＝13CE ，所以AE ＝AB ＝BC ＝5 cm ， 所以BE ＝AB ＋AE ＝5＋5＝10 (cm)．8.线段的计数公式及应用一条直线上有n 个点，如何不重复不遗漏地数出该直线上分布着多少条线段呢？以下图为例：为避免重复，我们一般可以按以下方法来数线段的条数：即A →AB ，AC ，AD ，B →BC ，BD ，C →CD ，线段总数为3＋2＋1＝6，若是更多的点，由以A 为顶点的线段的条数可以看出，每个点除了自身以外，和其他任何一个点都能组成一条线段，因此当有n 个点时，以A 为顶点的线段就有(n －1)条，同样以B 为顶点的线段也有(n －1)条，因此n 个顶点共有n (n －1)条线段；但由A 到B 得到的线段AB 和由B 到A 得到的线段BA 是同一条，而每条线段的数法都是如此，这样对于每一条线段都数了2次，所以除以2就是所得线段的实际条数，即当一条直线上有n 个点时，线段的总条数就等于12n (n －1)． 【例8－1】 从秦皇岛开往A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？分析：这个问题相当于一条直线上有4个点，求这条直线上有多少条线段．因为任意两站之间的票价都不相同，因此有多少条线段就有多少种票价，根据公式我们很快可以得出有6种不同的票价，因为任意两站往返的车票不一样，所以，从秦皇岛到达目的地有12种车票．解：当n ＝4时，有n (n －1)2＝4×(4－1)2＝6(种)不同的票价．车票有6×2＝12(种)．答：有6种不同的票价，有12种车票．【例8－2】 在1,2,3，…，100这100个不同的自然数中任选两个求和，则不同的结果有多少种？分析：本题初看似乎和线段条数的计数规律无关，但事实上，若把每个数都看成直线上的点，而把这两个数求和得到的结果看成是1条线段，则其中的道理就和直线上线段的计数规律是完全一致的，因而解法一样，直接代入公式计算即可求出结果．解：不同的结果共有：12n (n －1)＝12×100×(100－1)＝4 950(种)． 答：共有4 950种不同的结果． 9.与线段有关的计算和线段有关的计算主要分为以下三种情况：(1)线段的和差及有关计算，一般比较简单，根据线段间的和差由已知线段求未知线段．(2)有关线段中点和几等分点的计算，是本节的重点，其中以中点运用最多，这也是用数学推理的方式进行运算的开始．(3)综合性的运算，既有线段的和差，也有线段的中点，综合运用和差倍分关系求未知线段．解技巧 线段的计算 有关线段的计算都是由已知，经过和差或中点进行转化，求未知的过程，因此要结合图形，分析各段关系，找出它们的联系，通过加减倍分的运算解决．【例9－1】 如图，线段AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，点D 在CB 上且DB ＝1.5 cm ，求线段CD 的长度．分析：根据中点关系求出CB ，再根据CD ＝CB －DB 求出CD .解：CB ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，CD ＝CB －DB ＝4－1.5＝2.5(cm)． 答：线段CD 的长度为2.5 cm.【例9－2】 如图所示，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，求线段CD 的长．解：由于C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，所以OC ＝12OA ，OD ＝12OB ，所以CD ＝12(OA ＋OB )＝12AB ＝12×4＝2. 答：线段CD 的长为2.10．直线相交时的交点数两条直线相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，那么n 条直线两两相交最多有多少个交点？下面以5条直线两两相交最多有多少个交点为例研究：如图，当有5条直线时，每条直线上有4个交点，共计有(5－1)×5个交点，但图中交点A ，既在直线e 上也在直线a 上，因而多算了一次，其他交点也是如此，因而实际交点数是(5－1)×5÷2＝10个，同样的道理，当有n 条直线时，在没有共同交点的情况下，每条直线上有(n －1)个交点，共有n 条直线，交点总数就是n (n －1)个，但由于每一个点都数了两次，所以交点总数是12n (n －1)个． 【例10－1】 三条直线a ，b ，c 两两相交，有__________个交点( )．A ．1B ．2C ．3D ．1或3解析：三条直线a ，b ，c 两两相交的情形有两种，如图．答案：D【例10－2】 同一平面内的12条直线两两相交，(1)最多可以有多少个交点？(2)是否存在最多交点个数为10的情况？分析：(1)将n ＝12代入12n (n －1)中求出交点个数．(2)交点个数为10，也就是12n (n －1)＝10，即n (n －1)＝20，没有两个相邻整数的积是20，所以不存在最多交点个数是10的情况．解：(1)12条直线两两相交，最多可以有：12n (n －1)＝12×12×(12－1)＝66(个)交点． (2)不存在最多交点个数为10的情况．11.最短路线选择“两点之间，线段最短”是线段的一条重要性质，运用这个性质，可以解决一些最短路线选择问题．这类问题一般分两类：一类是选择路线，选择从A 到B 的最短路线，连接AB 所得到的线段就是；另一类是选择一个点，使这个点到A ，B 的距离之和最小，根据“两点之间，线段最短”这条线段上的任一点到A 到B 的距离之和都等于这条线段的长度，所以这条线段上的任一点都符合要求．但这类问题往往还有附加条件，如：这点还要在某条公路上，某条河上等，所以要满足所有条件．解技巧 求最短路线 对于第一类问题，只要将A ，B 放到同一个平面上，连接AB 即可得到所需线路．对于第二类问题，连接AB ，它们的交点一般就是所求的点．【例11】 如图(1)，一只壁虎要从圆柱体A 点沿着表面尽可能快的爬到B 点，因为B 点处有它要吃的一只蚊子，则它怎样爬行路线最短？分析：要想求最短路线，必须将AB 放置到一个平面上，根据“两点之间，线段最短”，连接AB ，所得路线就是所求路线，因此将圆柱体的侧面展开如图(2)所示，连接AB ，则AB 是壁虎爬行的最短路线．解：在圆柱上，标出A ，B 两点，将圆柱的侧面展开(如图(2))，连接AB ，再将圆柱复原，会得到围绕圆柱的一条弧线，这条线就是所求最短路线．析规律 立体图形中的最短路线 在立体图形中研究两点之间最短路径问题时，通常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形中的两点间的距离问题，再用平面内“两点之间，线段最短”求解．。
部编版数学七年级上册24-第四章直线、射线、线段
当BN=
1 3
BC时,有MN=13
BC-
1 2
AB=4-3=1;
图4-2-14
②如图4-2-15所示,
2
21
当BN= 3 BC时,有MN=3 BC-2 AB=8-3=5.
综上所述,MN的长为7或11或1或5.
图4-2-15
点拨 在求解没有图形的几何题时,应根据题意画出图形,同时注意图形的多样 性,以免漏解.
知识点二 射线
定义
表示方法
图形示例
射线
直线上一点和它一 (1)用表示射线的
旁的部分叫做射 端点和射线上另一 射线OA或射线l 线,这一点叫做射 点的大写字母表示
线的端点
(2)用一个小写字
母表示
特征
①有一个端点; ②有方向; ③无长短
例2 图4-2-2中有几条射线?其中可表示的是哪几条?
图4-2-2
知识点三 线段 8.如图4-2-5所示,线段AB=DE,点C为线段AE的中点,下列式子不正确的是 ( )
A.BC=CD B.CD= 1 AE-AB
2
C.CD=AD-CE D.CD=DE
图4-2-5
答案 D 因为点C为线段AE的中点,且线段AB=DE,所以BC=CD,故A选项正确,不
符合题意;CD=CE-DE= 1 AE-DE= 1 AE-AB,故B选项正确,不符合题意;CD=AD-AC=
5.如图4-2-3:
(1)试验观察: 如果经过两点画直线,那么:
图4-2-3
第1个图形最多可以画
条直线;第2个图形最多可以画
条直线;
第3个图形最多可以画
条直线;
(2)探索归纳:
如果平面上有n(n≥3)个点,且任意3个点均不在一条直线上,那么经过两点最多可
七年级数学上册第四章几何图形初步认识4.2直线、射线、线段 第2课时(图文详解)
1 2
CB=2cm,
DE=DC+CE=2cm+2cm=4cm.
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
5.如图所示,点B,C在线段AD上.（1）图中以A为端点的
线段有哪些？以B为端点的线段有哪些？
A
B
C
D
解:以A为端点的线段有:线段AB,线段AC,线段AD.以B为 端点的线段有:线段BA,线段BC,线段BD.
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
如图所示，要从甲地到乙地去，有３条路线，请你选择 一条相对近一些的路线.
① ②
乙地
③
甲地
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
从甲地到乙地能否修一条最近的路？ 如果能，你认为这条路应该怎样修？
①
②
乙地
③
甲地
生活常识告诉我们： 结论：两点之间的所有连线中，线段最短. 定义：两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
（
）
(2)手电筒照在墙上，从灯泡到墙上的光线是射线.
（
）
(3)线段是直线的一部分.
（
）
(4)直线比射线长.
（
）
(5)在射线上可以截取2厘米长的线段. （
）
(6)过一个点只可以画一条射线.
(
）
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
2.某班的同学在操场上站成笔直的一排，确定两个同学 的位置,这一排的位置就确定下来了，这是因为 ___经__过__两__点_有__且__只__有__一__条__直__线________.
A
B
C
在所画图中,我们把点B叫做线段AC的中点
如果点B为线段AC的中点,
1
人教版七年级上册数学第四章4.2直线、射线、线段
×
A
B
线段A×B的长度
小结
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
1.把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这 样做的道理是（C ） A.两点之间，射线最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间，线段最短 D.两点之间，直线最短
2.如图，从A出发到B时，最近的路是（C ） A. A→C→D→B B. A→C→F→E→B C. A→C→E→B D. A→C→G→B
1 两条线段要放在同一条直线上. 2 一个端点重合，另一个端点要放在公共
端点的同侧.
1.判断线段 AB和CD的大小.
A(C)
DB
AB＞CD
A(C) B(D)
AB=CD
A(C) B D
AB＜CD
两条线段的和、差、倍、分
问题 如图，已知线段 a 和 b，且 a＞b.
a
b
A
BC
a. AB=a，BC=b，则线段AC就是a与b的和 .
4.2 直线、射线、线段 第1课时 直线、射线、线段
R·七年级上册
直线
经过一点画直线，能画几条？经过两点呢？ 动手试一试.
· 无数条
O
A·
1条
B·
经过两点有一条直线，并且只有一条直 线.即两点确定一条直线.
砌墙时常在墙角分别 固定一木桩，可以拉 一条直的参照线.
做家具时弹墨线.
为了便于说明和研究，我们应该如何表示 一条直线？
射线和线段
问题 射线和线段都是直线的一部分，类比
直线的表示方法，怎样恰当的表示射线和线
段呢？
a
l
A
B
O
A
线段AB或线段a 射线OA或射线 l
已知线段 AB，你能由线段 AB 得到直线 AB 和射线 AB 吗？
人教版《直线、射线、线段》优秀课件
.
尺理规解【作 线图段分要等求分析作点出的图意】形义，;能根说够明运据结用果线，已段并的保和知留、作差条图、痕倍迹件、.分关A系B求线：段的B长度C. ：CD=3：2：5，不妨设AB=3x,BC=2x,CD=
(或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)
点 M , N 是线段 AB 的三等分点：
∴ CD = CB = ×3=1. M 是线段 AB 的中点. 几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点
(2)
如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长．
看下面这三幅图片谁高谁矮？你是依据什么判断的 ？
第一步：用直尺画射线 AF；
a
第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a.
所以线段 AB 为所求线段.
Aa B F
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
一、线段的比较
尺规作图的要点: 1.直尺只能用来画线，不能量距; 2.尺规作图要求作出图形，说明结果，并保留作图痕迹.
一、线段的比较
想一想 画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规 和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何再画 一条与它相等的线段？
提示：在可打开角度的 最大范围内，圆规可截 取任意长度，相当于可 以移动的“小木棍”.
一、线段的比较
作一条线段等于已知线段.
已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a.
——叠合法.
一、线段的比较 试比较线段AB，CD的长短.
A
B
C
D
(1) 度量法；
(2) 叠合法
将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另 一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位 置作比较.
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4.2 直线、射线、线段1．直线(1)概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始的概念，直线常用“一根拉得很紧的细线”，“一张纸的折痕”等实际事物进行描述．(2)特点：直线向两方无限延伸，不可度量，没有粗细；并且同一平面内的两条相交直线只有一个交点．(3)直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即“两点确定一条直线”．(4)直线的两种表示法：一是用一个小写字母表示：如直线a，b，c或直线l等．另一个是用直线上两个点的大写字母表示，如：直线AB或直线BA.如图：表示为直线l或直线AB(点的字母位置可以交换)．(5)直线与点的位置关系：一是点在直线上，也叫做直线经过这点；另一种是点在直线外，也叫做直线不经过这个点．【例1－1】下面几种表示直线的写法中，错误的是()．A．直线a B．直线MaC．直线MN D．直线MO解析：直线的表示法有两种，一种是用一个小写字母表示，另一种是用直线上两个点的大写字母表示，所以直线Ma这种表示法不正确，故选B.答案：B【例1－2】如图，下列说法错误的是()．A．点A在直线m上B．点A在直线l上C．点B在直线l上D．直线m不经过B点解析：点与直线有两种位置关系，一是点在直线上，也称作直线过这点，另一种是点在直线外．所以C错误．答案：C2．射线(1)定义：直线上一点和它一旁的部分，叫做射线．它是直线的一部分．如图就是一条射线，其中O是射线的端点．(2)表示法：同直线一样，射线也有两种表示方法，一种是用一个小写字母表示：如射线a，b，c或射线l等，另一个是用射线上两个点的大写字母表示，其中前面的字母表示的点必须是端点．如图：表示为射线l或射线OA.注意：表示射线端点的字母一定要写在前面．(3)特点：射线只有1个端点，向一方无限延伸，因此不可度量．【例2－1】如图，若射线AB上有一点C，下列与射线AB是同一条射线的是()．A．射线BA B．射线ACC．射线BC D．射线CB解析：端点相同，在同一条直线上，且方向一致，就是同一条射线，所以B正确．答案：B3．线段(1)定义：直线上两点和它们之间的部分，叫做线段．它是直线的一部分．(2)特点：有两个端点，不能向两方无限延伸，因此它有长度，有大小．(3)表示法：同直线一样，线段也有两种表示法，一种是用一个小写字母表示，如线段a，b，c.另一种是用线段两个端点的大写字母表示．如图：可以表示为：线段AB或线段BA，或线段a.(4)线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短，简单的说成：“两点之间，线段最短．”意义：选取最短路线的原则和依据．(5)两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离．破疑点线段的表示表示线段的两端点的字母可以交换，如线段AB也是线段BA，但端点字母不同线段就不一样．【例3】如图有几条直线？几条射线？几条线段？并写出．分析：直线主要看有几条线向两方无限延伸，图中只有一条；射线主要看端点，再看延伸方向，3个端点，所以有6条，线段主要是看端点，3个端点，所以有3条．解：有一条直线AB(或AC，AD，AE，BE，BD，CD，…)；射线有6条：CA，CB，DA，DB，EA，EB.线段有3条：CD，CE，DE.4.线段的画法(1)画一条线段等于已知线段画法：①测量法：用刻度尺先量出已知线段的长度，画一条等于这个长度的线段；②尺规法：如图：画一条射线AB，在这条射线上截取(用圆规)AC＝a.(2)画线段的和差测量法：量出每一条线段的长度，求出它们的和差，画一条线段等于计算结果的长度．如：已知线段a，b(a＞b)，画线段AB＝a－b，就是计算出a－b的长度，画出线段AB等于a－b 的长度即可．尺规法：如图，已知线段a，b，画一条线段，使它等于2b－a.画法：如图，①画一条射线AB，在这条射线上连续截取(用圆规)AC=2b，②再以A为一个端点，截取AD=a，那么DC=2b－a.【例4】如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a＋b－c(用尺规法)．画法：如图，①画射线(直线也可)AB，在射线AB上分别截取AC＝a，CD＝b.②以D为一个端点在AD上截取DE＝c，线段AE即为所求．5．线段的比较(1)测量法：就是用刻度尺测量出两条线段的长度，再比较它们的大小．(2)叠合法：把两条线段的一端对齐，放在一起进行比较．如图：①若C 点落在线段AB 内，那么AB ＞AC ；②若C 点落在线段AB 的一个端点上，那么AB ＝AC ；③若C 点落在线段AB 外(准确的说是AB 的延长线上)，那么AB ＜AC .谈重点 线段的比较 用叠合法比较两条线段的大小，一端一定要对齐，看另一个端点的落点，测量法要注意单位的统一．【例5】 已知：如图，完成下列填空：(1)图中的线段有________、________、________、________、________、________共六条．(2)AB ＝________＋________＋________；AD ＝________＋________；CB ＝_______＋__________.(3)AC ＝AB －__________；CD ＝AD －__________＝BC －__________；(4)AB ＝__________＋__________.解析：根据图形和线段间的和差关系填空，注意(4)题有两种可能．答案：(1)AC AD AB CD CB DB(2)AC CD DB AC CD CD DB(3)CB AC DB(4)AD DB 或AC CB6．线段中点、线段等分点(1)定义：点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点．(2)拓展：把一条线段分成相等的三条线段的点叫做这条线段的三等分点….(3)等量关系：在上图中：AM ＝BM ＝12AB ；2AM ＝2BM ＝AB . 【例6】 如图，点C 是线段AB 的中点．(1)若AB ＝6 cm ，则AC ＝__________cm.(2)若AC ＝6 cm ，则AB ＝__________cm.解析：若AB ＝6 cm ，那么AC ＝12AB ＝3(cm)． 若AC ＝6 cm ，那么AB ＝2AC ＝2×6＝12(cm)．答案：3 127．关于延长线的认识延长线是重要的，也是应用较多的几何术语，是初学者最易错，最不好理解的地方，下面介绍几种关于延长线的术语：如图(1)延长线段AB ，就是由A 往B 的方向延长，并且延长线一般在作图中都用虚线表示；如图(2)叫做反向延长线段AB ，就是由B 向A 的方向延长；如图(3)延长AB 到C ，就是到C 不再延长；如图(4)延长AB 到C ，使AB ＝BC ；如图(5)点C 在AB 的延长线上等．几种常见的错误，延长射线AB 或延长直线AB ，都是错误的，图(6)中只能反向延长射线AB .【例7－1】 若AC ＝12AB ，那么点C 与AB 的位置关系为( )． A ．点C 在AB 上 B ．点C 在AB 外C ．点C 在AB 延长线上D ．无法确定答案：D【例7－2】 画线段AB ＝5 cm ，延长AB 至C ，使AC ＝2AB ，反向延长AB 至E ，使AE ＝13CE ，再计算： (1)线段AC 的长；(2)线段AE ，BE 的长．分析：按要求画图．由画图过程可知：AC ＝2AB ，且C 在AB 的延长线上，所以AB ＝BC ＝12AC ，E 在AB 的反向延长线上，且AE ＝13CE ，所以AB ＝BC ＝AE ＝5 c m.解：如图：(1)因为AC ＝2AB ，所以BC ＝AB ＝5 cm ，所以AC ＝AB ＋BC ＝5＋5＝10 (cm)．(2)因为AE ＝13CE ，所以AE ＝AB ＝BC ＝5 cm ， 所以BE ＝AB ＋AE ＝5＋5＝10 (cm)．8.线段的计数公式及应用一条直线上有n 个点，如何不重复不遗漏地数出该直线上分布着多少条线段呢？以下图为例：为避免重复，我们一般可以按以下方法来数线段的条数：即A →AB ，AC ，AD ，B →BC ，BD ，C →CD ，线段总数为3＋2＋1＝6，若是更多的点，由以A 为顶点的线段的条数可以看出，每个点除了自身以外，和其他任何一个点都能组成一条线段，因此当有n 个点时，以A 为顶点的线段就有(n －1)条，同样以B 为顶点的线段也有(n －1)条，因此n 个顶点共有n (n －1)条线段；但由A 到B 得到的线段AB 和由B 到A 得到的线段BA 是同一条，而每条线段的数法都是如此，这样对于每一条线段都数了2次，所以除以2就是所得线段的实际条数，即当一条直线上有n 个点时，线段的总条数就等于12n (n －1)． 【例8－1】 从秦皇岛开往A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？分析：这个问题相当于一条直线上有4个点，求这条直线上有多少条线段．因为任意两站之间的票价都不相同，因此有多少条线段就有多少种票价，根据公式我们很快可以得出有6种不同的票价，因为任意两站往返的车票不一样，所以，从秦皇岛到达目的地有12种车票．解：当n ＝4时，有n (n －1)2＝4×(4－1)2＝6(种)不同的票价．车票有6×2＝12(种)．答：有6种不同的票价，有12种车票．【例8－2】 在1,2,3，…，100这100个不同的自然数中任选两个求和，则不同的结果有多少种？分析：本题初看似乎和线段条数的计数规律无关，但事实上，若把每个数都看成直线上的点，而把这两个数求和得到的结果看成是1条线段，则其中的道理就和直线上线段的计数规律是完全一致的，因而解法一样，直接代入公式计算即可求出结果．解：不同的结果共有：12n (n －1)＝12×100×(100－1)＝4 950(种)． 答：共有4 950种不同的结果． 9.与线段有关的计算和线段有关的计算主要分为以下三种情况：(1)线段的和差及有关计算，一般比较简单，根据线段间的和差由已知线段求未知线段．(2)有关线段中点和几等分点的计算，是本节的重点，其中以中点运用最多，这也是用数学推理的方式进行运算的开始．(3)综合性的运算，既有线段的和差，也有线段的中点，综合运用和差倍分关系求未知线段．解技巧 线段的计算 有关线段的计算都是由已知，经过和差或中点进行转化，求未知的过程，因此要结合图形，分析各段关系，找出它们的联系，通过加减倍分的运算解决．【例9－1】 如图，线段AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，点D 在CB 上且DB ＝1.5 cm ，求线段CD 的长度．分析：根据中点关系求出CB ，再根据CD ＝CB －DB 求出CD .解：CB ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，CD ＝CB －DB ＝4－1.5＝2.5(cm)． 答：线段CD 的长度为2.5 cm.【例9－2】 如图所示，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，求线段CD 的长．解：由于C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，所以OC ＝12OA ，OD ＝12OB ，所以CD ＝12(OA ＋OB )＝12AB ＝12×4＝2. 答：线段CD 的长为2.10．直线相交时的交点数两条直线相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，那么n 条直线两两相交最多有多少个交点？下面以5条直线两两相交最多有多少个交点为例研究：如图，当有5条直线时，每条直线上有4个交点，共计有(5－1)×5个交点，但图中交点A ，既在直线e 上也在直线a 上，因而多算了一次，其他交点也是如此，因而实际交点数是(5－1)×5÷2＝10个，同样的道理，当有n 条直线时，在没有共同交点的情况下，每条直线上有(n －1)个交点，共有n 条直线，交点总数就是n (n －1)个，但由于每一个点都数了两次，所以交点总数是12n (n －1)个． 【例10－1】 三条直线a ，b ，c 两两相交，有__________个交点( )．A ．1B ．2C ．3D ．1或3解析：三条直线a ，b ，c 两两相交的情形有两种，如图．答案：D【例10－2】 同一平面内的12条直线两两相交，(1)最多可以有多少个交点？(2)是否存在最多交点个数为10的情况？分析：(1)将n ＝12代入12n (n －1)中求出交点个数．(2)交点个数为10，也就是12n (n －1)＝10，即n (n －1)＝20，没有两个相邻整数的积是20，所以不存在最多交点个数是10的情况．解：(1)12条直线两两相交，最多可以有：12n (n －1)＝12×12×(12－1)＝66(个)交点． (2)不存在最多交点个数为10的情况．11.最短路线选择“两点之间，线段最短”是线段的一条重要性质，运用这个性质，可以解决一些最短路线选择问题．这类问题一般分两类：一类是选择路线，选择从A 到B 的最短路线，连接AB 所得到的线段就是；另一类是选择一个点，使这个点到A ，B 的距离之和最小，根据“两点之间，线段最短”这条线段上的任一点到A 到B 的距离之和都等于这条线段的长度，所以这条线段上的任一点都符合要求．但这类问题往往还有附加条件，如：这点还要在某条公路上，某条河上等，所以要满足所有条件．解技巧 求最短路线 对于第一类问题，只要将A ，B 放到同一个平面上，连接AB 即可得到所需线路．对于第二类问题，连接AB ，它们的交点一般就是所求的点．【例11】 如图(1)，一只壁虎要从圆柱体A 点沿着表面尽可能快的爬到B 点，因为B 点处有它要吃的一只蚊子，则它怎样爬行路线最短？分析：要想求最短路线，必须将AB 放置到一个平面上，根据“两点之间，线段最短”，连接AB ，所得路线就是所求路线，因此将圆柱体的侧面展开如图(2)所示，连接AB ，则AB 是壁虎爬行的最短路线．解：在圆柱上，标出A ，B 两点，将圆柱的侧面展开(如图(2))，连接AB ，再将圆柱复原，会得到围绕圆柱的一条弧线，这条线就是所求最短路线．析规律 立体图形中的最短路线 在立体图形中研究两点之间最短路径问题时，通常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形中的两点间的距离问题，再用平面内“两点之间，线段最短”求解．。