圆的基本性质
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的基本图形之一，它具有许多独特的性质和定理。
在本文中，我们将探讨圆的性质以及与之相关的一些定理。
一、圆的定义与基本性质圆可以被定义为平面上所有到一个给定点距离相等的点的集合。
这个给定点被称为圆心，而到圆心的距离被称为半径。
圆的基本性质包括以下几点：1. 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。
直径的长度是半径长度的两倍。
2. 圆的周长是圆上任意两点之间的弧长，它等于圆的直径乘以π（pi）。
周长也可以被称为圆的周长。
3. 圆的面积是圆内部所有点的集合。
圆的面积等于半径的平方乘以π。
二、圆的相关定理在圆的研究中，有一些重要的定理被广泛应用。
下面我们将介绍其中几个。
1. 弧长定理弧长定理指出，在同一个圆上，两个弧所对应的圆心角相等时，它们的弧长也相等。
这个定理可以用来求解弧长，也可以用来证明一些与圆有关的性质。
2. 弧度制与角度制弧度制是一种用弧长来度量角度大小的方法。
在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。
而角度制是我们常用的度量角度大小的方法。
两者之间可以通过一定的换算关系进行转换。
3. 切线定理切线定理是指与圆相切的直线与半径所构成的角是直角。
这个定理在解决与圆相关的几何问题时非常有用，可以帮助我们确定切线的位置和方向。
4. 正切定理正切定理指出，与圆相切的半径与切线所构成的角的正切值等于切线上相应弧所对应的角的正切值。
这个定理可以用来求解与切线相关的角度问题。
5. 弦切角定理弦切角定理是指，当一个弦与切线相交时，切线与弦所夹的角等于弦上所对应的弧所对应的角的一半。
这个定理可以用来求解与弦和切线相关的角度问题。
三、圆的应用圆的性质和定理在实际生活中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 圆的运动轨迹当一个点以固定的速度绕着另一个点旋转时，它的轨迹是一个圆。
这个性质被广泛应用在天文学中，用来描述行星、卫星等天体的运动。
2. 圆形建筑与设计圆形建筑具有独特的美学效果和结构稳定性。
圆的基本性质
圆的基本性质1．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．2．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：3. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【例题精讲】例1． AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cm C． D ．9cm 例2、BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助线） （2）A ∠=30°，CDO ⊙的半径r ．例3、如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长．P B CEA 例3题图直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°练习、1．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O •的位置关系是____2．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．3、如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 。
圆的基本性质
圆的基本性质圆是平面几何的重要内容之一，圆的基本性质具有非常广泛的应用，因此，它也是数学竞赛命题的热点．一、基础知识圆的基本性质有：1.圆是轴对称图形，也是中心对称图形．对称轴是任何一条直径所在的直线，对称中心是它的圆心，并且具有绕其圆心旋转的不变性．2.直径所对的圆周角是直角．3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．4.在同圆或等圆中，两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中，如果其中一组量相等，则其它三组量也都分别相等．5.如果弦长为２ａ，圆的半径为Ｒ，那么弦心距ｄ为．例1 已知⊙O的半径OA＝１，弦AB、AC的长分别是、．求∠ＢＡＣ的度数．图1导析：如图1，作ＯＤ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣ，则ＡＤ＝/２，ＡＥ＝/２．在Ｒｔ△ＯＤＡ中，ｃｏｓ∠ＯＡＤ＝/２，则∠ＯＡＤ＝４５°；在Ｒｔ△ＯＥＡ中，ｃｏｓ∠ＯＡＥ＝/２，则∠ＯＡＥ＝３０°．当AC、AB位于OA两侧时，有∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＢ＋∠ＯＡＥ＝７５°；当AC、AB位于OA同侧时，有∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＢ－∠ＯＡＥ＝１５°．说明：本题入手不难，能否完整作答，关键在于对弦AB、AC与直线OA的位置关系进行讨论．例2 如图2，⊙Ｏ是锐角△ＡＢＣ的外接圆，H是两条高线的交点，ＯＧ是外心Ｏ到BC边的垂线段．求证：ＯＧ＝（１/２）ＡＨ．图2导析：作直径ＣＥ，连结ＥＢ、ＡＥ，则ＡＥ⊥ＡＣ．又ＢＨ⊥ＡＣ，∴ＥＡ∥ＢＨ．同理可证ＥＢ∥ＡＨ．∴四边形ＡＥＢＨ是平行四边形．∴ＡＨ＝ＥＢ．在Ｒｔ△ＣＥＢ中，ＯＧ∥ＥＢ，ＯＣ＝ＯＥ，∴ＯＧ是△ＣＥＢ的中位线，ＯＧ＝（１/２）ＥＢ．故ＯＧ＝（１/２）ＡＨ．二、综合应用由于圆的问题知识容量大，综合性强，方法涉及面广，因而在处理有关圆的问题时，常常要构造直角三角形和寻找相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的性质来解决．例3 已知半径为2的⊙Ｏ有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求ＡＢ２＋ＣＤ２的值．导析：按照AB和CD都不是直径，AB和CD中有一条是直径分别计算．图3如果AB和CD都不是直径，如图3，作AB和CD的弦心距OF和OG，连结OB、OD，则∠ＦＥＧ＝∠ＥＧＯ＝９０°．∴四边形ＯＦＥＧ是矩形，则ＯＦ＝ＥＧ，又ＯＦ２＋ＯＧ２＝ＯＥ２，∴ＡＢ２＋ＣＤ２＝４（ＡＦ２＋ＤＧ２）＝４（Ｒ２－ＯＦ２＋Ｒ２－ＯＧ２）＝４（２Ｒ２－ＯＥ２）＝２８，其中R为⊙Ｏ的半径，下同．如果AB和CD中有一条是直径，不妨设AB是直径，则E为CD的中点．由垂径定理，得（１/２ＣＤ）２＝ＡＥ·ＥＢ＝（Ｒ＋ＯＥ）（Ｒ－ＯＥ）＝Ｒ２－１．∴ＣＤ２＝４（Ｒ２－１）＝１２．又ＡＢ２＝４Ｒ２＝１６．于是，ＡＢ２＋ＣＤ２＝２８．综上可得ＡＢ２＋ＣＤ２＝２８．例4 已知点A、B、C、D顺次在圆O上，，BM⊥AC，垂足为M．求证：ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ．图4导析：由于DC和CM不在一条直线上，要证明其和等于AM，可延长ＤＣ，使延长部分等于CM．延长DC到N，使ＣＮ＝ＣＭ（如图4），则∠ＢＣＮ＝∠ＢＡＤ．又∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ，而，则∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＤ，ＡＢ＝ＡＤ，于是∠ＢＣＮ＝∠ＢＣＭ．从而推知△ＢＣＮ≌△ＢＣＭ，得ＢＭ＝ＢＮ．因∠ＢＡＭ＝∠ＢＤＭ，所以△ＢＡＭ≌△ＢＤＮ．得ＡＭ＝ＤＮ＝ＤＣ＋ＣＭ．说明：此题即为著名的阿基米德折弦定理．例5 △ＡＢＣ为锐角三角形，过顶点A、B、C分别作此三角形外接圆的三条直径ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１，求证△ＡＢＣ的面积等于△Ａ１ＢＣ、△ＡＢ１Ｃ、△ＡＢＣ１的面积之和．图5导析：注意到ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１为三角形外接圆的直径，而直径所对的圆周角为直角，联想到三角形垂心的性质，即垂心与各顶点的连线垂直于对边，从而可通过三角形的垂心将△ABC分割为与所求的三个三角形面积分别相等的三个三角形．如图5，设H是△ＡＢＣ的垂心，连结ＡＨ、ＢＨ、ＣＨ，则ＡＨ⊥ＢＣ，ＢＣ１⊥ＢＣ，∴ＡＨ∥ＢＣ１．同理可证ＢＨ∥ＡＣ１．∴ＡＨＢＣ１为平行四边形．∴Ｓ△ＡＨＢ＝Ｓ△ＡＢＣ１．同理可证Ｓ△ＡＨＣ＝Ｓ△ＡＢ１Ｃ，Ｓ△ＢＨＣ＝Ｓ△Ａ１ＢＣ．因此Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＨＣ＋Ｓ△ＡＨＢ＋Ｓ△ＢＨＣ＝Ｓ△ＡＢ１Ｃ＋Ｓ△ＡＢＣ１＋Ｓ△Ａ１ＢＣ．三、强化训练1.如图6，AB为半圆的直径，C为半圆上一点，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为D，若ＣＤ＝６，ＡＤ∶ＤＢ＝３∶２，则ＡＣ·ＢＣ等于（）．图6Ａ．１５Ｂ．３０Ｃ．６０Ｄ．９０2.自圆外一点P，引圆的割线ＰＡＢ、PCD，并连结AC、BD、AD、BC，则图中相似三角形的对数有（）．Ａ．2对Ｂ．3对Ｃ．4对Ｄ．5对3.以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且ＯＣ２＝ＡＣ·ＢＣ，则∠ＣＡＢ＝______．4.在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝３∠Ａ，ａ＝２７，ｃ＝４８，则ｂ的值是______．5.已知⊙Ｏ中，半径ｒ＝５ｃｍ，ＡＢ、ＣＤ是两条平行弦，且ＡＢ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，求AC的长．6.一个内接于圆的六边形的五条边的长都为81，只有第六边AB 的长为31，求从B出发的三条对角线长的和．参考答案与提示１．Ｂ．先分别求出ＡＤ、ＤＢ，再用三角形面积公式得ＡＣ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ．２．Ｃ．３．１５°或７５°，由三角形的面积公式及题设条件可得ＣＤ＝（１/２）ＯＣ，从而∠ＡＯＣ＝３０°，由圆的对称性可得有两种情况．４．３５．先三等分弧，两次使用折弦定理即可算得．５．或５或７．分ＡＢ、ＣＤ在圆心同侧和异侧两种情况完成．先求出ＡＢ、ＣＤ间的距离．６．３８４．重复使用折弦定理即可．摘自《中学数学参考》。
圆的基本性质汇总
圆的基本性质汇总圆是平面上的一种特殊几何图形，具有许多基本性质。
以下是圆的一些基本性质的汇总。
1.定义性质：圆是由平面上每个点到一个固定点的距离相等的点的集合。
这个固定点被称为圆心，而相等的距离被称为半径。
2.弧：圆上的两个点之间的连线称为圆弧。
圆弧的长度等于圆心角的度数与圆的半径之积，也可以通过欧几里得的原理求解。
3.圆心角：圆心角是圆上的两条射线所夹的角，其中包括圆心的角。
圆心角的度数可以通过弧度公式求解，也可以用度数来表示。
一个圆的完整圆心角为360度或2π弧度。
4.圆上的点：圆上的任何点与圆心的距离等于圆的半径。
5.弦：两点在圆上的连线称为弦，可以是圆的直径（通过圆心的直径是对称的），也可以是其他长度小于直径的弦。
6.切线：切线是从圆上的一个点到圆的切点的直线。
7.弦弧定理：如果两条弦在圆的内部相交，那么它们所对应的弧是相等的。
8.切线定理：从一个点到圆的切点的切线是与半径垂直的。
如果两条切线相交，那么相交的角是外角，并且等于它们所对应的弧的一半。
9.弧长：弧长是圆上的一段弧的长度，可以通过圆心角的度数和圆的半径计算得到。
10.反弧：如果圆上的一段弧的两个端点相交，那么这段弧与它们所对应的圆心角称为反弧。
11.弓形：弓形是由一段弧和连接弧两个端点的线段组成的图形。
12.圆与直线的关系：一个圆与一条直线可以有三种关系。
如果圆和直线没有交点，那么它们是相离的；如果圆和直线有一个交点，那么它们是相切的；如果直线穿过圆，那么它们是相交的。
13.圆的面积：圆的面积公式为πr²，其中r是圆的半径。
这个公式可以通过将圆划分为无数个小扇形来计算。
14.圆周长：圆的周长等于直径乘以π，或者等于2πr，其中r是圆的半径。
15.圆的切线长度：如果从外部一点到圆的切点的切线与半径相交，那么切线长度是切点到圆心的距离的平方根乘以2以上是圆的一些基本性质的汇总。
理解这些性质对于解决与圆相关的数学问题非常重要，也有助于我们更好地理解三角学、几何学和数学中的其他概念和原理。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
圆的基本性质
1 【圆的基本性质：】一、圆的有关概念：1、圆的定义：圆上各点到圆心的距离都等于 .2、圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心.3、垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；推论：平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .4、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心 距中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5、圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .推论： 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；若点到圆心的距离为d 和半径r ，则它们之间的数量关系分别为：点在圆上 → d r ， 点在圆外 → d r ， 点在圆内 → d r2、三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心， 是三角形 的交点，它到 相等。
三、与圆有关的计算：1、 弧长公式为 .2、扇形面积为S = 2R π⨯ = = .3、圆锥的侧面积公式：S =rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的长）。
4、圆锥的全面积公式：S = + 。
【相关中考试题：】1．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=400，则∠OBC 的度数为 ( )A. 200B. 400C. 800D. 7002．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长是3，则弦AB 的长是 ( )A ．4 B. 6 C. 7 D . 83．下列命题中正确的是( )A ．平分弦的直径垂直于这条弦;B ．切线垂直于圆的半径C ．三角形的外心到三角形三边的距离相等;D ．圆内接平行四边形是矩形4．以下命题中，正确的命题的个数是( )(1）同圆中等弧对等弦． (2）圆心角相等，它们所对的弧长也相等．(3）三点确定一个圆． (4）平分弦的直径必垂直于这条弦．2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC=200 , D 是弧AC 点，则∠D 是( )A.1200B. 1100C.1000D. 9006．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a, 最小距离为b (a>b)，则此圆的半径为( ) A.2a b + B.2a b - C. 2a b +或2a b - D.a+b 或a-b7．如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD ，若BD=10，DF=4，则菱形ABCD 的边长为（ ）8．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ．则OM 的长为（ )9．在半径为1的圆中，弦AB 、ACBAC 的度数为 .10．如图，扇形OAB 中，∠AOB=900 ，半径OA=1, C 是线段AB 的中点，CD//OA ，交弧AB 于点D ，则CD= .11．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2, OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在13AC 上，点P 是半径OC 上一个动点， 那么 AP ＋ DP 的最小值等于 .312．如图，已知△ABC 内接于⊙O, AD 是⊙O 的直径， CF ⊥AD, E 为垂足，CE 的延长线交AB 于F ．求证：AC 2=AF ·AB .13．如图，△ACF 内接于⊙O, AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 于点E ．(1）求证：∠ACE=∠AFC ;(2）若CD = BE=8，求sin ∠AFC 的值．14.如图，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H .(l ）求证：AH ·AB=AC 2 ;(2）若过A 的直线AF 与弦CD （不含端点）相交于点E,与⊙O 相交于点F 、求证：AE ·AF =AC 2 ;(3）若过A 的直线AQ 与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP ·AQ=AC 2是否成立（不必证明） .15. 如图，AM 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，其延长线交⊙O 于点C,弦CD 交AM 于点E.(1) 如果CD ⊥AB,求证：EN=NM;(2) 如果弦CD 交AB 于点F,且CD=AB,求证：CE 2=EF ·ED;(3) 如果弦CD 、AB 的延长线交于点F ，且CD=AB,那么（2）的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.。
第1讲 圆的基本性质
考点2：圆周角定理及其推论 例2． （2015· 沛县）如右图，AB是⊙O的直 径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°． 求∠ABD的度数．
解法一：∵ BD 所对圆周角为∠A，∠C，∠C=40°， ∴∠A=40°． ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=∠ADB－∠A=90°－40°=50°. 解法二：∵∠C=40°， ∴∠DOB=2∠C=80°， ∵OD=OB， ∴∠ABD= 1 ×（180°－∠DOB）=50°.
推论1 ：在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相 等；
推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 如图，在⊙O中，弦AB = CD， 可得出哪些结论（至少些3个）
AB CD 、
∠AOB=∠COD 、
∠AOC=∠BOD ．
三、与圆有关的角及其性质 1．圆心角：顶点在 圆心 ，角的两边和 圆相交的角叫做圆心角． 圆周角：顶点在 圆上 ，且角的两边和 圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的 一半 ．
3．推论：同弧或等弧所对的 圆周角 相等，同圆 或等圆中，相等的圆周角所对的 弧 也相等． 4．半圆（或直径）所对的弦是圆的
考点4：圆心角、弧、弦之间的关系 例4．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平 分∠BAC ，则AD的长为（ ）A 4 5 cm A． 3 5 cm B． C． 5 5 cm D． 4cm
【举一反三】6．（2015 •贵港）如右图，AB是⊙O BC CD DE，∠COD=34°，则∠AEO度 的直径， 数是（ A ） A． 51° B． 56° C． 68° D． 78°
圆的性质介绍中学生圆的基本性质
圆的性质介绍中学生圆的基本性质圆的性质介绍圆是几何中的重要概念，也是中学数学里的基本内容之一。
了解圆的基本性质对于中学生来说是非常重要的，本文将对圆的性质进行介绍。
一、圆的定义在平面上，任取一点为圆心，任取一定长为半径，以圆心为中心，半径为半径作圆中各点到圆心的距离相等的图形，称为圆。
二、圆的基本性质1. 圆的唯一性给定一个圆心和半径，确定一个圆。
2. 圆的直径与半径圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的一条线段，它的长度等于两倍的半径。
3. 圆的弦圆中两点之间的线段被称为圆的弦。
4. 圆的弧圆上两点之间的部分叫做圆的弧。
圆的弧可以通过两个端点和圆上的点来确定。
5. 圆心角圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别是半径。
圆心角的度数等于它所对应的圆弧的度数。
6. 圆周角圆周角是以圆上的两条弦为边的角，它的顶点在圆中。
7. 切线和法线切线是与圆相切于一点且在该点的切线只有一个，它的斜率等于切点处的切线切圆切线的弧度应为垂直于切点切线。
法线是与切线垂直的直线。
8. 弧长公式圆的弧长公式为L = 2πr，其中r是圆的半径。
圆的弧长是圆周上的一段，它的长度等于该圆的弧度与半径的乘积。
9. 扇形面积公式扇形是由圆心角和圆弧所夹的图形，扇形的面积公式为S=0.5θr²，其中θ是圆心角的度数，r是圆的半径。
10. 圆的面积公式圆的面积公式为A=πr²，其中r是圆的半径。
三、圆的应用1. 圆的应用广泛，常见的应用场景包括钟表的显示、轮胎的设计、地理上的划分区域等。
在实际生活和工作中，我们经常使用圆的性质进行计算和分析。
2. 圆的性质还有很多与其他几何图形的性质相关，例如与线段、角度、三角形等。
了解圆的性质可以为我们解决相关的几何问题提供便利。
四、结论通过上述对圆的性质的介绍，我们可以理解圆的定义、基本性质以及应用场景。
对于中学生来说，掌握圆的性质将有助于他们在数学学习中的应用和发展。
总结起来，圆的性质是中学数学中的基本内容，掌握圆的定义、基本性质以及应用场景对于中学生来说非常重要。
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圆的基本性质
【基础知识】
知识点1：圆的对称性 （1）圆的旋转不变性
圆具有旋转不变性，即绕圆心旋转__________后，仍与原来的圆重合；
由于圆绕圆心旋转180°后与自身重合，圆是中心对称图形，对称中心是________； （2）圆的轴对称性
圆是轴对称图形，它的对称轴是________________________________________________； 知识点2：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 逆定理及其运用
知识点3：圆心角、弧、弦之间的关系
（1）在______________中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；
（2）在______________中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
【经典例题】
【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴；（2）平分弦的直径垂直于弦； 【例2】若O 的半径为5，弦AB 长为8，求拱高；
【例3】如图，O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知6AE cm =，2EB cm =，30CEA ∠=︒，求CD 的长；
【例4】如图，在O 中，弦8AB cm =，OC AB ⊥于C ，3OC cm =，求O 的半径长。
【例5】如图1，AB是O的直径，CD是弦，AE CD
⊥，垂足为E，BF CD
⊥，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由；
如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？
如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？
如图4，CD为弦，EC CD
⊥，FD CD
⊥，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？
【巩固练习】
1、判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧（）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧（）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）
2、已知：如图，O中,弦AB∥CD,AB CD
<，直径MN AB
⊥，垂足为E，交弦CD于点F；
图中相等的线段有；图中相等的劣弧有；
3、已知：如图，O中，AB为弦，C为AB的中点，OC交AB于D，6
AB cm
=，1
CD cm
=，求O的半径OA。
B
A
C D
O
N
M
F
E
A B
D
C
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H，10
EF=，6
HG=，4
AH=，求BE的长。
5．储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽600
AB mm
=，求油的最大深度。
6．“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为米。
A H G D
B E
O
F C
【例7】如图，已知ABC ∆是等边三角形，以BC 为直径的
O 交AB 、AC 于D 、E 。
（1）求证：DOE ∆是等边三
角形；（2）如图，若60A ∠=︒，AB AC ≠，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？
【例8】已知等圆1O 和2O 相交于A 、B 两点，1O 经过2O ，点C 是2AO B 上任一点（不与A 、2O 、B 重合），连接BC 并延长交2O 于D ，连接AC 、AD 。
求证：。
（1）操作测量：图（a ）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图（a ）补充完整，并观察和度量AC 、CD 、
AD 三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？
（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图（a ）中进行证明）；
（3）如图（b ），若C 点是2BO 的中点，AC 与12O O 相交于E 点，连接1O C ，2O C 。
求证：2122CE O O EO =⋅；
【巩固练习】
30︒ B
∆中，
ABC
．4 C
内接于O，
．65︒ C．
A。