4 等势面 静电场中的电偶极子
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第2章静电场
“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2
总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)
10.6等势面
25
解：
6.一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 =Ar (r≤R) ， =0 (r＞R) A为一常量．试求球体内外的场强分布．
S
E dS
E cosdS E 4r
s
2
1
E Qinside 4 0 r
Ar 2 E er 4 0 When : r R : Qin
9
在同一场点,其电势沿不同方向的单 位长度的电势变化率也是不同的。
V dV
但沿法线方向的变化率最大。即 V E dln a l V V ln l 我们定义：一个矢量，它沿着法线的正 E 方向，大小等于电势沿法线方向单位长度的 变化率 V/ln。这个矢量叫电势梯度。用 gradV或V来表示。
32
高斯是德国数学家
★4： 求均匀带电细杆延长线上一点的场强 已知 q ,L,a 解答：
O dq dE 2 4 0 ( L a x )
x
L
dx
P
a
dE
X
4 0 ( L a x )2 0 1 1 qL q ( ) 4 0 a L a 4 0aL( L a ) 4 0a( L a )
q
F
r
F
E
q
M p E
p 转向 E 的方向，以达到稳定状态 力矩总是使电矩
π
M 0
非稳定平衡
非匀强电场中
F F F qE qE 0
13
二
电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
Ep qV qV
V V q( )r0 cos r0 cos
（3）等势面的例子
电势场强微分关系,电偶极子,电介质
UP
k
p cos θ r2
k
p r r3
k
p
r0
r2
28
五、电介质(了解) 无极分子位移极化 有极分子取向极化 极化强度： 描述极化程度
P
pi
V
均匀电介质中的电场：E E0 r r 1 e 0r
29
r2
14
U
k
p r0
k
p cos
r2
r2
电势与p成正比， 与距离的平方成反比， 还与方位有关。
求中垂面上的电势：
U=kq/r+(-kq/r) = 0
U k p cos 0
r2
y
rr
q q l
x
15
A●
B
●
●C
U A 0;UB 0;UC 0
p cos
U k
r2
16
3 电偶极子电场中的场强
a q0E dl
3. 电势：(1)
UA
E dl
A
(2)
Ua
q
4 π 0r
4. 电势差：
b Ua Ub a E dl
2
6.3.1 场强与电势的关系
1 等势面（电势图示法） 等势面：电势相等的点连成的面。
规定任意两相邻等势面间的电势差相等
为什么这么规定？
3
等势面的特征：
➢电荷沿等势面移动时,静电力做功为零
电势沿法线n方向的变
化率： dU dU dn dl
电势沿法线n方向的变化最快
(电势变化率最大)
电势梯度：gradU
dU dn
n0
单位：V/m
9
3 电势与场强的微分关系
q0沿法线n方向从A移到B， 电场力做的功：
第26讲：静电场——其它
第26讲：静电场——其它
内容：§8－8，§8－9
1．等势面
2．电场强度和电势的关系
3．利用电势来求电场强度的分布（50分钟）
4．在外电场中电偶极子的力矩和取向
5．在外电场中电偶极子的电势能和平衡位置（50分钟）
要求：
1．了解等势面的概念；
2．掌握电场强度和电势的关系；
3．掌握利用电势来求电场强度的分布的计算方法；
4．了解在外电场中电偶极子的力矩和取向；
5．了解在外电场中电偶极子的电势能和平衡位置。
重点与难点：
1．等势面的概念；
2．电场强度与电势的关系；
3．静电场中的电偶极子。
作业：
问题：P50：24，25，27，28
习题：P54：23，25，26，30
预习：§9－1，§9－2
复习：
1.电场力作功的特点
2.静电场的环路定理
3.电势和电势差
．等势面的性质：
）在等势面上移动电荷时，电场力不作功；。
第12讲 等势面 电势梯度 静电场中的电偶极子
第12讲等势面电势梯度静电场中的电偶极子电场线与等势面的关系♉电场线处处垂直等势面♉电场线指向电势降的方向♉等势面的疏密反映了场的强弱电场强度和电势的关系积分关系式⎰⋅=b a a l Ed ϕ0=b ϕ微分关系式ϕϕ-∇=-=g ra d Ek z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ电偶极子( )在电场( )中所受的力矩 Ep M ⨯=电偶极子( )在均匀外场( )中的势能 Ep W ⋅-=E p E p 电场中的电偶极子O 图中所示以 O 为心的各球冠面为静电场的等势面，已知ϕ1 < ϕ2 < ϕ3，在图上画出 a 、b 两点的电场强度的方向，并比较它们的大小。
E a E b(填 <、=、>)。
ϕ1 ϕ2 ϕ3 a b = a E b E Q3.12.11.若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度分布是 ；若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的场强分布是 。
处处为零 不为零的恒量(或均匀分布) Q3.12.2设有两个电偶极矩分别为 和 的电偶极子。
如果它们重叠在一起，此带电系统的电偶极矩为多少？ 答：1p 2p Q3.12.3221121l q l q p p p+=+=Q3.12.4电偶极子在均匀电场中总要使自身转向稳定平衡的位置，若此电偶极子处在非均匀电场中，它将怎样运动呢？你能说明吗？答：见视频。
[Q3.12.5] 证明 Q1.3.7 中的电四极子在它的轴线延长线上的电势为式中 Q = 2ql 2 叫做它的电四极矩。
利用梯度验证，所得场强公式与Q1.3.7一致。
)(l r r Q >>= π4130εϕ+q P-2q +q l l r解： 根据电势的叠加原理⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=r l r l r q 211π40εϕ+q P-2q +q l l r2π422220)()()()(l r r l r l r r l r r q ---++-=ε)(22202π4l r r l q -=ε当 l << r 时， 30π4r Qεϕ≈r E ∂∂-=ϕ40π43r Q ε=[Q3.12.5]* 电偶极层： 一厚度 l 均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷 。
静电场的环路定理(北邮)
Wa Aa
W Ua a q0
a
0
q 0 E dl
E
a
E dl
a
4、电势差:
U a U b E dl E dl
a b
E 减少， 能量哪里去了？
解: 由高斯定理
0
E
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
RB
U AB U A U B
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 40 RA RB RA 40 r
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿adc 移至c ，电场力所作的功
例2：求半径为R、电量Q均匀分布的球面在 球心O处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 4 0 R 40 R 40 R
好
(2):
U
O
E dl
R
O
E dl E dl
R
E dl R
F-
q
M
能量最低，稳定平衡。
, W pE 能量最大，非稳定平衡。
5、电场力作正功时，电势能减少，能量
哪里去了？
Aa b q0 E dl q0 ( U a U b )
b a
1 q0 ( Ua Ub ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
求E 。
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
W Ua a q0
a
0
q 0 E dl
E
a
E dl
a
4、电势差:
U a U b E dl E dl
a b
E 减少， 能量哪里去了？
解: 由高斯定理
0
E
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
RB
U AB U A U B
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 40 RA RB RA 40 r
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿adc 移至c ，电场力所作的功
例2：求半径为R、电量Q均匀分布的球面在 球心O处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 4 0 R 40 R 40 R
好
(2):
U
O
E dl
R
O
E dl E dl
R
E dl R
F-
q
M
能量最低，稳定平衡。
, W pE 能量最大，非稳定平衡。
5、电场力作正功时，电势能减少，能量
哪里去了？
Aa b q0 E dl q0 ( U a U b )
b a
1 q0 ( Ua Ub ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
求E 。
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
04电势梯度、电偶极子-精选文档
（下一页）
5. 基本的电势分布 (1) 点电荷的电势
q Vp 4 0 r
(2) 均匀带电球面的电势
Vin
u (r )
Q 4 0 R
Q Vout(r) 4 0r
0
R
r
（下一页）
§8 - 8 等势面 和电势梯度
一、 等势面 (1)等势面定义 ：由电场中电势相等的点组成的曲面
c
即:等势面与电力线处处正交.
d
E
②电力线指向电势降低的方向; ★沿电力线移动 q d V W W q ( V V ) A E d l 0 ; c c d c d cd
c
V d
（下一页）
③等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方 场强小（证明待后）。
●
F
q
如果电偶极子放在非均匀电场中，所受合力不为零。则电 偶极子不仅要转动，而且还会作平动。 （下一页）
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
q ●
r0
●
F
电势分别为V 和V- 。 + E
Wp = qV+－qV-
r 如图 电偶极子 0 pq 在匀强电场 E 中。 设 q 和 q 所在处的
等势面类比于地形图中的等高线.
(2)等势面的获得:
①利用电势的解析表达式:
V ( x , y , z ) V , i 1 , 2 , 3 ... i
②利用实际测量的方法.
规定:场中任意两相邻等势面间的电势差相等
+
(3)等势面的例子
正点电荷电场 中的等势面 （下一页）
电偶极子的等势面
+
（下一页）
5. 基本的电势分布 (1) 点电荷的电势
q Vp 4 0 r
(2) 均匀带电球面的电势
Vin
u (r )
Q 4 0 R
Q Vout(r) 4 0r
0
R
r
（下一页）
§8 - 8 等势面 和电势梯度
一、 等势面 (1)等势面定义 ：由电场中电势相等的点组成的曲面
c
即:等势面与电力线处处正交.
d
E
②电力线指向电势降低的方向; ★沿电力线移动 q d V W W q ( V V ) A E d l 0 ; c c d c d cd
c
V d
（下一页）
③等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方 场强小（证明待后）。
●
F
q
如果电偶极子放在非均匀电场中，所受合力不为零。则电 偶极子不仅要转动，而且还会作平动。 （下一页）
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
q ●
r0
●
F
电势分别为V 和V- 。 + E
Wp = qV+－qV-
r 如图 电偶极子 0 pq 在匀强电场 E 中。 设 q 和 q 所在处的
等势面类比于地形图中的等高线.
(2)等势面的获得:
①利用电势的解析表达式:
V ( x , y , z ) V , i 1 , 2 , 3 ... i
②利用实际测量的方法.
规定:场中任意两相邻等势面间的电势差相等
+
(3)等势面的例子
正点电荷电场 中的等势面 （下一页）
电偶极子的等势面
+
（下一页）
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
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∂V (x, y, z) Ey = − ∂y
率的负值， 率的负值，即
∂V (x, y, z) Ez = − ∂z
第9章 静电场 章
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9-4 静电场中的电偶极子
定义梯度
∂f v ∂f v ∂f v gradf (x,y,z ) = i + j+ k ∂x ∂y ∂z
A
dV El = − dl
v ∆l
B
v E
q =1
v 电场强度沿 ∆l 方向 的分量， 的分量，等于电势 沿这个方向空间变 化率的负值. 化率的负值.
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9-4 静电场中的电偶极子
在直角坐标系中
v 方向的分量等于电势沿x方向空间变化 方向的分量等于电势沿 E 沿x方向的分量等于电势沿 方向空间变化
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9-4 静电场中的电偶极子
1. 图示为一具有球对称性分布的静电场的 E~r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪 关系曲线． 关系曲线 E 种带电体产生的． 种带电体产生的．
E∝1/r2
(A) 半径为R的均匀带电球面． 半径为 的均匀带电球面． 的均匀带电球面 R r (B) 半径为 的均匀带电球体． 半径为R的均匀带电球体 O 的均匀带电球体． (C) 半径为 、电荷体密度 ρ ＝Ar (A为常 半径为R 为常 的非均匀带电球体． 数）的非均匀带电球体． (D) 半径为 、电荷体密度 ρ ＝A/r (A为常数 半径为R 为常数) 为常数 的非均匀带电球体． 的非均匀带电球体． ［ ］
0 r
v v E ⋅ dl
0 R
= ∫ E2 dr + ∫ E1dr
r
R
=∫
E1 =
E2 =
R
ρ R2
2 ε0 r
2
r
dr + ∫
0
ρr
2 ε0
2
R
dr
ρr
2ε0
ρR2
2ε0r
R ρR = ln − 2 ε0 r 4 ε0
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ρR
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9-4 静电场中的电偶极子
= pE sin θ
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9-4 静电场中的电偶极子
v v v M = p×E
v v o 最大 当 p ⊥ E 时, θ = 90 M最大 v v , θ = 0o 当 p // E 时, M=0
稳定平衡 v v o p // E ,θ = 180 时, M=0 不稳定平衡
B
有 −∆ V = E ∆ l cos θ = El ∆ l
∆V ∴ El = − ∆l q =1 ∆V dV lim =− 当 ∆ l → 0 时， El = − ∆l→0 ∆l dl
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9-4 静电场中的电偶极子
V + ∆V
V
v en
9-4 静电场中的电偶极子
沿着等势面的方向
V + ∆V
V
v enቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
v ∂V v En = − en ∂ln
v v (Q E = En )
v ∆l
B
v ∂V v E = − en ∂ln ∂V Q =0 ∂lt v dV v ∴E = − en dln
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v E
q =1
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再求电势 （1） 轴 V=0 ） R
r<R
V1 = ∫
ρr
2ε0
0 r
0
v v 0 E ⋅ dl = ∫ E1dr
r
=∫
ρr
2 ε0
r
dr
E1 =
E2 =
ρR2
2ε0r
=−
ρ
4 ε0
r2
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9-4 静电场中的电偶极子
r>R
R
V2 = ∫
率的负值， 率的负值，即
v 方向的分量等于电势沿y方向空间变化 方向的分量等于电势沿 E 沿 y方向的分量等于电势沿 方向空间变化
∂V (x, y, z) Ex = − ∂x
率的负值， 率的负值，即
v 方向的分量等于电势沿z方向空间变化 方向的分量等于电势沿 E 沿 z方向的分量等于电势沿 方向空间变化
v v v M + = r+ × F+
+q r F+ r+ r l θ E o r−q
方向向里 方向向里
v v v M − = r− × F−
r F−
合力矩 M = M + + M −
l l = qE sin θ + qE sin θ 2 2 = qlE sin θ
v v v M = p×E
第9章 静电场 章
∂V E = Ex = − ∂x ∂ q =− 2 2 12 ∂x 4 πε0 ( x + R ) qx = 4 πε0 ( x 2 + R 2 ) 3 2
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9-4 静电场中的电偶极子
八 静电场中的电偶极子 1. 外电场对电偶极子的力矩和取向作用
电场强度与电势的关系
v v v v ∂V v ∂V v ∂V v （ i+ j+ k) E = Exi + Ey j + Ez k = − ∂x ∂y ∂z
= −gradV = −∇V
电场强度等于电势梯度的负值. 电场强度等于电势梯度的负值 电势梯度的负值
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9-4 静电场中的电偶极子
2. 如图，在点电荷q的电场中，选取以 为 如图，在点电荷 的电场中 选取以q为 的电场中， 中心、 为半径的球面上一点 为半径的球面上一点P处作电势 中心、R为半径的球面上一点 处作电势 零点，则与点电荷q距离为 距离为r的 点的电 零点，则与点电荷 距离为 的P’点的电 势为 (A) (C)
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七 电场强度与电势梯度 1. 等势面 电场中电势相等的点所构成的曲面。 电场中电势相等的点所构成的曲面。 ① 点电荷的等势面
q V= 4πε0 r
+q
点电荷的等势面是一系列 为中心的同心球面。 以q为中心的同心球面。 为中心的同心球面
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9-4 静电场中的电偶极子
用电场强度与电势的关系， 例2: 用电场强度与电势的关系，求均匀带q 电量的细圆环轴线上一点的电场强度. 电量的细圆环轴线上一点的电场强度.
q 解： = V 2 2 12 4πε0 ( x + R )
R
o
x
P
x
v E=
v qx i 2 2 32 4πε0 (x + R )
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的无限长圆柱体， 例4：半径为 的无限长圆柱体，电荷按体密 ：半径为R的无限长圆柱体 分布，分别以（ ） 度 ρ 分布，分别以（1）轴线处为零电势位 ，（2）圆柱体表面为零电势位置， 置，（ ）圆柱体表面为零电势位置，求圆 柱体内外的电势。 柱体内外的电势。 解： 先求场强 R （1） r < R ）
r F−
+q r F+ r+ r l θ E o r当 −q
因此， 因此，力矩的作用总是使电偶极矩转向 v 与 E 相一致的方向 .
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2. 电偶极子在电场中的电势能
V+
电偶极子在均匀电场中 的电势能
E p = q(V+ − V− )
v v o 当 p // E ,θ = 0 时 Ep = − pE
+q r F+ r l θ E当 o −q
V+
r F−
电势能最低 稳定平衡 v v ,θ = 180o 时, Ep = pE p // E
v v Ep = − p ⋅ E
V−
电势能最高 不稳定平衡 v v o 当 p ⊥ E 时, θ = 90 Ep = 0
q 4πε 0 r
q 4πε 0 (r − R )
P R q r P＇
第9章 静电场 章
(B) (D)
q 4πε 0
1 1 − r R
1 1 − R r
q 4πε 0
［
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9-4 静电场中的电偶极子
v 3. 如图所示，在匀强电场 E 中取一半径为 如图所示，
第9章 静电场 章