2015年秋西南大学《线性代数》第1次作业
2015年线性代数第一二次作业
2015年上半年线性代数第一次作业（涉及一、二章内容）一、选择题1. 如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a 。
A.-16 B.-4 C.16 D.42. 设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）A .0=+B AB .））B r A r ((= C .O A =或O B =D .0=A 或0=B3. n 阶方阵A 的行列式0≠A 是矩阵A 可逆的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件 4. 若矩阵A 有可逆矩阵，则下列说法不正确的是（ ）A 、矩阵A 必是方阵B 、0=AC 、AA A*1=- ,其中*A 为A 的伴随矩阵 D 、矩阵A 经过初等变换一定能化为单位矩阵5. 若矩阵A 为43⨯矩阵，矩阵B 为24⨯矩阵，则AB 是（ ）矩阵A 、3×4B 、3×2C 、4×2D 、4×3二、填空题1.3756412的逆序数是___________.2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 设1,,4321,0121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。
4. A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T 。
5. =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02013210021021 三、简答题1.设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A ？ 2. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A ，求1-A 。
3. 已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A ?4. 计算行列式941321111的值。
西南大学线性代数次网上作业
一、填空题(每小题3分，共15分)1．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛310120001，则A + 2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2．设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0013α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110β，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为( ).3．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax = b 的解，k 1，k 2为常数，若k 1α1+ k 2α2也是Ax = b 的一个解，则k 1+k 2 = ( ).4．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则(2A )-1必有一个特征值为( ). 5．若实对称矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1．设行列式2211b a b a = 1，2211c a c a = 2，则222111c b a c b a++ = ( ).(A) -3 (B) -1 (C) 1(D) 32．设A 为2阶可逆矩阵，且已知(2A )-1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则A = ( ).(A) 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321(B) 214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 3．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出( ).(A) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 (B) α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例(C) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 (D) α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合4．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1| = ( ).(A) 121 (B) 71(C) 7 (D) 125．设3阶实对称矩阵A 与矩阵B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001合同，则二次型x T Ax 的规范形为( ).(A) 2322212z z z ++- (B) 232221z z z ++- (C) 232221z z z +- (D) 232221z z z -+ 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则(ABC )T = A T B T C T . ( ) 2．设A 为3阶方阵，且已知|-2A | = 2，则|A | = -1. ( )3．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的列向量组线性无关. ( )4．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E | = 0，则A 必有一个特征值为32. ( )5．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛104012421. ( )四、 (10分) 求4阶行列式1111112113114111的值. 五、(10分) 设2阶矩阵A 可逆，且A -1 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121b b a a ，对于矩阵P 1 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1021，P 2 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110，令B = P 1AP 2，求B -1.六、(10分) 设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=15312α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21233t α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=t 10624α，试确定当t 为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组.七、(15分) 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x(1) 问a 为何值时，方程组有无穷多个解.(2) 当方程组有无穷多个解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).八、(10分) 设p1，p2依次为n阶矩阵A的属于特征值λ1，λ2的特征向量，且λ1 ≠λ2. 证明p1- p2不是A的特征向量.。
西南交大线性代数习题参考答案.doc
第一章 行列式§1 行列式的概念1． 填空(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。
(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。
(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。
(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a a a a a a 的项的符号为 。
2． 用行列式的定义计算下列行列式的值(1) 1122233233000a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。
(2)12,121,21,11,12,1000000n n nn n n n n n n n n nna a a a a a a a a a ------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。
3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么？5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果）6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）201141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1) 2141 3121 1232 5062-(2)100 110 011 001abcd ---(3)ab ac ae bd cd de bf cf ef ---2． 证明下列恒等式(1) ()33ax byay bz az bx x y z D ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax byay bzzxy+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++(3)1111221100001000001n n n n nn n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+ (提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。
第一次作业2015年9月15日
注：本次作业必须在 2015 年 9 月 29 日上课前交。 1. 设 A, B 分别为 n m , k m 阶实矩阵，定义集合 S Ax Bx 0, x R m ，试证
A 明： S 为线性子空间且维数 dim S rank B rank ( B ) 。
ห้องสมุดไป่ตู้
2. 某公司采用一项新技术试验以求提高产品质量，设在试验前，随
机抽取 n1 件产品的质量指标值为 y1 , y 2 , , y n ，它们可看成是来自正
1
态总体 N ( 1 , 2 ) 的一组样本。 而试验后， 随机抽取 n2 件产品的质量 指标值为 z1 , z 2 , , z n ，它们可看成是来自正态总体 N ( 2 , 2 ) 的一组
2
样本。为考察这项新技术的效果，需要比较 1 , 2 ，因此需要估计 它们。试将这些数据表成线性模型的形式，其设计矩阵是什么？
线性代数习题2015及参考答案
线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。
2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。
3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1Ac bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 .7.向量组（Ⅰ）α1 , α2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共6项。
11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。
13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。
西南大学2015年秋初等数论第一次作业1422868706810
初等数论第一次作业简答题1. 叙述整数a 被整数b 整除的概念。
答：1.设a,b 是任意两个整数，其中b ≠0，如果存在一个整数q 使得等式a=bq 成立，我们就称b 整除a 或a 被b 整除,记做b|a 。
2. 给出两个整数a ，b 的最大公因数的概念。
答：设a,b 是任意两个整数，若整数d 是他们之中每一个的因数，那么d 就叫做a,b 的一个公因数。
a,b 的公因数中最大的一个叫做最大公因数。
3. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。
答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。
14的所有质数为2,3,5,7,11,134. 叙述合数的概念，并判断14是否为合数。
答：一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。
14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。
5. 不定方程c by ax =+有整数解的充分必要条件是什么？答：不定方程c by ax =+有整数解的充分必要条件是c b a )(，。
6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。
答：没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。
7. 写出一组勾股数。
答：一组勾股数为3,4,5。
8. 写出两条同余的基本性质。
答：同余的基本性质为：性质1 m 为正整数，a ，b ，c 为任意整数，则①a ≡a （mod m ）；②若a ≡b （mod m ），则b ≡a （mod m ）；③若a ≡b （mod m ），b ≡c （mod m ），则a ≡c （mod m ）。
性质3①若a 1≡b 1（mod m ），若a 2≡b 2（mod m ），则若a 1 +a 2≡b 1+ b 2（mod m ）②若a ＋b ≡c （mod m ），则a ≡c －b （mod m ）。
9. 196是否是3的倍数，为什么？答：196不是3的倍数。
(0044)《线性代数》大作业A
5.讨论为何值时，线性方程组
(1)有唯一解？(2作业共需要完成三道题：
第1-2题选作一题，满分30分；
第3-4题选作一题，满分30分；
第5题必作，满分40分。
答卷提交要求：考试题提前公布，学生下载试题和答题卷后，在答题卷上答题。完成后需网上提交答卷。答卷于11月20日－－12月6日通过点击页面左侧导航栏内“我的考试”－“课程论文/大作业”提交。
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教专业：计算机科学与技术2015年12月
课程名称【编号】：线性代数【0044】A卷
大作业满分：100分
一、大作业题目
1.设4阶方阵A、B、C满足方程 ，试求矩阵A，其中 , .
2.设3阶方阵A的三个特征值为 A的属于 的特征向量依次为 求方阵A.
3.设矩阵 ,其中 线性无关， ,向量 ,求线性方程组 的通解.
线性代数第一章行列式练习题
班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第一次练习题一）填空题1）计算(1465372)τ＝________；[135(21)246(2)]n n τ-L L ＝________；2）写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项及符号__________；3）在四阶行列式中，21143243a a a a 的符号为__________；4）设12134453k l a a a a a 在五阶行列式中带有负号，则k ＝________；l ＝________.二）解答题5）计算三阶行列式 222111a bc a b c .6）用定义证明1(1)212100000(1)0000n nn nnλλλλλλ--=-LLLLL.7）设n阶行列式中有多于2n n 个元素为零，证明这个行列式为零.班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第二次练习题一）填空题1）把行列式111222a b c a b c ++定出两个行列式之和______________________； 2）把行列式132412340000a a a a x yb b z w b b 写成两个行列式之积_________________________________； 3）提取行列式第二行公因子后111213212223313233333a a a a a a a a a ＝__________________________； 4）行列式223456789ab c d a ab ac ad＝_________________________________.二）解答题5）化简行列式1111 2222 3333 x y x a z x y x a z x y x a z+++6）计算行列式5222 2522 2252 22257）计算行列式3112 5134 2011 1533------班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章第三次练习题一）填空题1）将行列式123123123x x xy y yz z z按第三列展开为__________________________________；2）已知四阶行列式D中第三行元素依次为2，5，3，4；它们的余子式分别为3，1，2，4；则D＝__________；3）计算1111234549162582764125＝__________；4）设3961246812035436D=，则41424423A A A++＝__________.二）解答题5）计算行列式100 110 011 001abcd---.6）当λ为何值时，线性方程组12312330(3)22040x x x x x x x λλ++=⎧⎪--+=⎨⎪=⎩有非零解？7）设曲线230123y a a x a x a x =+++通过四个点(1,3)，(2,4)，(3,4) ，(4,3)-；求系数0123,,,a a a a .班级__________ 姓名__________ 学号_______第一章复习题。
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一、填空题(每小题3分，共15分)
1. 若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=20001011k k A 是正定矩阵，则k 满足( k>1 ).
2. A 为3阶方阵, 且2||-=A ,*A 是A 的伴随矩阵, 则=+-|4|*1A A ( -4 ).
3. A 为5×3矩阵, R (A ) = 3, ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300020201B , 则R (AB ) = ( 3 ).
4. 设三阶方阵A 的特征值为1，2，-1，则1
*21-⎪⎭⎫ ⎝⎛A 的特征值为( -1,-2,1 ). 5. 设,1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 则⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=10200912009A . 二、单选题(每小题3分，共15分)
1. 已知A 为n 阶方阵，且满足A 2 = 2E ， E 为单位阵，则=--1)(E A （ A ）.
(A)A E + (B)A E - (C)E A - (D) A
2. n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是 ( C ).
(A) A 是实对称阵 (B) A 有n 个互异特征值
(C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 的特征向量两两正交
3. 已知线性方程组的系数矩阵A 是54⨯矩阵，且A 的行向量组线性无关，则下列结论正确的是（ C ）.
(A) A 的列向量组线性无关
(B) 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关
(C) 线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关
(D) 线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关
4. 矩阵A 与B 相似, 则下列说法不正确的是（ B ）.
(A) R (A ) = R (B ) (B) A = B (C) B A = (D) A 与B 有相同的特征值
5. 如果0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 那么必有（ A ）.
(A) 0||0=-E A λ (B) 0||0≠-E A λ
(C) 0=-E A 0λ (D) 0≠-E A 0λ
三、判断题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)
1. 设A 、B 为两个不可逆的同阶方阵，则|A | = |B | . （ √ ）
2. 若A 可逆，则A 的伴随矩阵A *也可逆. （ √ ）
3. 若Ax = b （b ≠ 0）有无穷多解，则Ax = 0也有无穷多解. （ √ ）
4. 如果n 维向量组321,,ααα，对于任意一组不全为零的数321,,k k k ，总有0≠++332211αααk k k 成立， 则向量组321,,ααα线性无关. （ √ ）
5. 设A 、B 为同阶方阵，则必有(A + B )(A －B )＝A 2－B 2 （ × ）
四、(10分)设4阶方阵A 、B 、C 满足方程1T 1)2(--=-C A B C E ，试求矩阵A ，
其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1000210032102321B , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1000210002101021C . 设4阶方阵A 、B 、C 满足方程
，试求矩阵A ，其中
,
Solution 根据，得，于是，所以. 由于，因此, 故
.
五、(10分)设3阶方阵A 的三个特征值为,1,2,2321=-==λλλA 的属于3
21,,λλλ的特征向量依次为,011,111,110321⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα求方阵A .
设3阶方阵A 的三个特征值为A 的属于的特征向量依次为
求方阵A .
Solution 令，则. 由于，于是
六、(10分)设矩阵),,,(4321ααααA =, 其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=,向量4321ααααb +++=, 求线性方程组b Ax =的通解. 由于线性无关，, 所以R (A ) = 3, 因此4元线性方程组Ax = 0的基础解系中只有一个解向量. 由, 即，得 ，因而是Ax = 0的基础解系. 又因为，所以, 于是是Ax = b 的特解，故Ax = b 的通解为
,
其中k 为任意常数.
七、(10分) 三阶方阵A ≠ 0,0=2A ，证明：矩阵A 的秩R (A ) = 1. 因为，于是因此. 又因为A 10，所以，
所以.
八、(15分)讨论λ为何值时，线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3
)1(0)1(x x x x x x x x x
(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在此时求出其通解.
(1) 当时，有，方程组有唯一解.
(2) 当时，增广矩阵为. 于是，方程组有无穷多解，解为，(k 为任意常数)
(3) 当时，增广矩阵为，由此可知 原线性方程无解。