6.2回归系数的检验
回归方程及回归系数的显著性检验演示教学
回归方程及回归系数验检性著显的．3 回归方程及回归系数的显著性检验§１、回归方程的显著性检验回归平方和与剩余平方和(1)是否确实存在线性关系呢？这, 回归效果如何呢？因变量与自变量建立回归方程以后我们要进一步研究因变量, 取值的变化规律。
的每是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此常用该次观侧值每次观测值的变差大小, 次取值是有波动的, 这种波动常称为变差,次观测值的总变差可由而全部, 的差(称为离差)来表示与次观测值的平均值总的离差平方和,: 其中它反映了自变量称为回归平方和 , 是回归值与均值之差的平方和,。
)为自变量的个数的波动的变化所引起的, 其自由度(,), 是实测值与回归值之差的平方和或称残差平方和称为剩余平方和(的自由度为其自由度。
总的离差平方和。
它是由试验误差及其它因素引起的,,, 是确定的即, 如果观测值给定则总的离差平方和是确定的, 因此大则反之小,或者, 与, 大所以且回归平方和都可用来衡量回归效果, 越大则线性回归效果越显著小则如果越小回归效果越显著, ; 则线性回大, 说剩余平方和0, ＝如果则回归超平面过所有观测点归效果不好。
复相关系数(2)人们也常引用无量纲指标, 为检验总的回归效果, (3.1)或．, (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此因此的相关程度。
显然, 就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例表示全部自变量与因变量因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但, 回归效果就越好, 。
复相关系数越接近１常有较大的并不很大时, 相对于,与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当应注意一般认为应取, 的适当比例的５到10至少为倍为宜。
值与, 因此实际计算中应注意检验(3)就是要检验假设, 是否存在线性关系要检验与, (3.3)应用统计量否则认为线性关系显著。
检验假设无线性关系, 与成立时当假设, 则, (3.4)它服从自由度为即及的分布, , 这是两个方差之比, (3.5)应有则当给定检验水平成立, α下, 可检验回归的总体效果。
回归系数检验
回归系数检验回归系数检验是一种统计方法，用于确定回归模型中自变量的系数是否与因变量存在显著相关性。
在回归分析中，我们建立了一个包含一个或多个自变量的回归模型，该模型用于预测因变量的值。
回归系数检验的目的是评估自变量的系数是否统计上显著不等于零，从而判断自变量是否对因变量产生重要影响。
在进行回归系数检验时，我们通常会构建一个假设检验。
假设检验的零假设 (H0) 是回归系数等于零，而备择假设 (H1) 是回归系数不等于零。
如果回归系数显著不等于零，我们会拒绝零假设，即认为自变量与因变量之间存在显著相关性。
反之，如果回归系数不显著，我们会接受零假设，即认为自变量对因变量没有显著影响。
回归系数检验的关键是计算 t 统计量和 p 值。
t 统计量用于反映回归系数的显著性，而 p 值用于评估 t 统计量的显著性。
t 统计量的计算方法为回归系数除以其标准误 (standard error)。
标准误可以通过计算回归模型的残差平方和与自由度的比值来获得。
计算出 t 统计量后，可以使用 t 分布表来确定与之对应的 p 值。
p 值是指在零假设成立时，观察到的 t 统计量或更极端的值出现的概率。
通常，我们使用一个事先设定的显著性水平 (例如0.05) 来进行判断。
如果 p 值小于显著性水平，则拒绝零假设，认为回归系数显著不等于零。
反之，如果 p 值大于显著性水平，则接受零假设，认为回归系数不显著。
除了 t 统计量和 p 值，回归系数检验还可以利用置信区间来评估回归系数的显著性。
置信区间是指回归系数的一个估计范围，其中包含了回归系数真值的可能区间。
通常，我们使用一个事先设定的置信水平 (例如95%) 来构建置信区间。
如果置信区间不包含零，就意味着回归系数在给定置信水平下是显著不等于零的。
回归系数检验可以应用于多元回归分析中的单个自变量或多个自变量。
对于多元回归分析，我们可以利用方差分析 (ANOVA) 来评估整体模型的显著性。
线性回归的各种检验
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回归分析的任务就是揭示出呈因果关系 的相关变量间的联系形式，建立它们之 间的回归方程，利用所建立的回归方程， 由自变量（原因）来预测、控制依变量 （结果）。
以上计算也可在回归计算表中进行。
回归方程计算表1（一级数据）
序号k
Xk
Yk
Xk2
XkYk
Yk2
1
1.0 15.0 1.00 15.0 225.00
2
3.0 18.0 9.00 54.0 324.00
3
4.0 19.0 16.00 76.0 361.00
4
5.5 21.0 30.25 115.5 441.00
第六章 直线回归与相关
客观事物在发展过程中是相互联系、相 互影响，常常要研究两个或两个以上变 量间的关系。
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1 回归与相关的概念
确定性关系
各种变量间的关系大致可分为两类：
非确定性关系
一类是完全确定性的关系，又称函数关系，可以 用精确的数学表达式来表示，即当变量x的值取 定后，变量y有唯一确定的值与之对应。
2 直线回归
2.1 直线回归方程的建立
2.1.1数学模型
对于两个相关变量，一个变量用x表示，另 一个变量用y表示，如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值：（x1，y1），（x2， y2），……，（xn，yn）
为了直观地看出x和y间的变化趋势，可将 每一对观测值在平面直角坐标系中描点，作出散 点图 （见图6-1）。
上一张 下一张 主 页 退 出
函数关系 有精确的数学表达式
6.2 序列相关性的后果和检验
d
et
t 1 n t 2 n t 1 2 et et 1 t 2 t 2 t 2 2 e t t 1 n n
2
2 et 2 2 et et 1
t 2 2 e t t 1
n
2(1
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t 2 n t 1
t t 1
2 e t
ˆ) ) 2(1
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8
第六讲 序列相关性
序列相关的检验
d 统计量的检验
由于 d 统计量依赖于残差，而残差又依赖于X，故无法 推导出d 统计量的准确分布 Durbin-Watson根据样本容量n和待估参数个数k，在给 定的显著性水平下，给出了 d 统计量的上、下两个临界 值dU和dL
序列相关的检验
布劳殊－戈弗雷(BG)检验
又称为LM检验，克服了DW检验的缺陷，适合于高阶 序列相关以及模型中存在滞后因变量的情形，更具有 一般性 基本思想： 针对回归模型 Yt 0 1 X1t ... k X kt t
假设干扰项存在p 阶序列相关 检验原假设
第六讲序列相关性德宾沃森durbinwatson检验利用方程的残差构成统计量推断误差项是否存在一阶序列相关基本假定回归模型包含截距项序列相关是一阶序列相关回归模型不能把滞后被解释变量作为解释变量第六讲序列相关性检验统计量称为d统计量该统计量仅依赖于残差一般回归软件都会报告该统计量无论是横截面数据还是时间序列数据统计量的检验由于d统计量依赖于残差而残差又依赖于x故无法推导出d统计量的准确分布durbinwatson根据样本容量n和待估参数个数k在给定的显著性水平下给出了d统计量的上下两个临界值du和dl第六讲序列相关性电子科大经管学院10统计量的检验序列相关的判别规则不能拒绝电子科大经管学院11检验序列正相关拒绝原假设不能拒绝原假设电子科大经管学院12检验序列相关拒绝原假设不能拒绝原假设拒绝原假设电子科大经管学院13dw检验的缺陷统计量落在两个不确定区域时无法判断是否存在序列相关当滞后因变量作为解释变量时检验无效只能检验一阶序列相关不适用于高阶序列相关若误差项不是iid正态分布d检验也不可靠第六讲序列相关性电子科大经管学院14布劳殊戈弗雷bg检验又称为lm检验克服了dw检验的缺陷适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后因变量的情形更具有一般性基本思想
回归方程及回归系数的显著性检验教程文件
回归方程及回归系数的显著性检验§3 回归方程及回归系数的显著性检验１、回归方程的显著性检验(1) 回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后, 回归效果如何呢？因变量与自变量是否确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因变量取值的变化规律。
的每次取值是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值的变差大小, 常用该次观侧值与次观测值的平均值的差(称为离差)来表示, 而全部次观测值的总变差可由总的离差平方和,其中:称为回归平方和, 是回归值与均值之差的平方和, 它反映了自变量的变化所引起的的波动, 其自由度(为自变量的个数)。
称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值与回归值之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度。
总的离差平方和的自由度为。
如果观测值给定, 则总的离差平方和是确定的, 即是确定的, 因此大则小, 反之, 小则大, 所以与都可用来衡量回归效果, 且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和越小回归效果越显著, 如果＝0, 则回归超平面过所有观测点; 如果大, 则线性回归效果不好。
(2) 复相关系数为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标, (3.1)或, (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例, 因此表示全部自变量与因变量的相关程度。
显然。
复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意, 与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当相对于并不很大时, 常有较大的值, 因此实际计算中应注意与的适当比例, 一般认为应取至少为的５到10倍为宜。
(3) 检验要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设, (3.3)当假设成立时, 则与无线性关系, 否则认为线性关系显著。
回归方程及回归系数的显著性检验
.3 回归方程及回归系数的显著性检验§１、回归方程的显著性检验回归平方和与剩余平方和(1)与自变量, 是否确实存在线性关系呢？这回归效果如何呢？因变量建立回归方程以后我们要进一步研究因变量, 为此, 取值的变化规律。
的每次是需要进行统计检验才能加以肯定或否定常用该次观侧值, 每次观测值是有波动的, 这种波动常称为变差, 的变差大小取值而全部次观测值的总变差可由总的来表示, 的差(称为离差与次观测值的平均值)离差平方和,: 其中与均值之差的平方和, , 是回归值它反映了自变量称为回归平方和。
(其自由度为自变量的个数)的变化所引起的的波动,与回归值之差的平方和是实测值, 称为剩余平方和(或称残差平方和), 它的自由度为其自由度。
是由试验误差及其它因素引起的, 。
总的离差平方和,反之因此, 即小大则是确定的, , 如果观测值给定 , 是确定的则总的离差平方和且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 小则大, 所以与, 或者说剩都可用来衡量回归效果如果; ＝如果0, 越小回归效果越显著则线性回归效果大, 余平方和, 则回归超平面过所有观测点不好。
复相关系数(2)人们也常引用无量纲指标为检验总的回归效果,, (3.1)或1 / 6., (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就因此。
是这种贡献在总回归平方和中所占的比例显然, 表示全部自变量与因变量的相关程度。
, , 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意与复相关系数越接近１, 回归效果就越好因此实际值相对于并不很大时, 及观测组数回归方程中自变量的个数有关, , 当常有较大的一般认为应取的５到计算中应注意的适当比例倍为宜。
, 与10至少为检验(3)要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设, (3.3)应用统计量当假设无线性关系, 成立时, 否则认为线性关系显著。
检验假设则与, (3.4)它服从自由度为及这是两个方差之比的分布, 即,, (3.5)应有统计量下, 用此统计量, 成立则当给定检验水平可检验回归的总体效果。
6.2第六章 多元回归和相关、偏相关.
若依变数Y 同时受到m 个自变数X1、X2、…、Xm 的 影响，且这m 个自变数皆与Y 成线性关系，则这m+1 个变数的关系就形成m 元线性回归。
一个m元线性回归总体的线性模型为：
Y j 0 X 0 1 X 1 j 2 X 2 j m X mj j
Ry·12…m的存在区间为[0，1]。
(二) 多元相关系数的假设测验
令总体的多元相关系数为 ，则对多元相关系数的
假设测验为H0： 0 对HA： 0 ，
F 测验 ：
F
2R2 1(1 R 2 )
（10·16）
其中的
1 =m， 2
=n-(m+1)，R2为
t bi i
sbi
(10·11)
服从 n (m 1) 的 t 分布，可测验 bi 的显著性。
2. F 测验
U Pi
bi2 c(i 1)(i 1)
U Pi 就是y对xi的偏回归平方和， 1 。
F
U Pi Q y/12m /[n (m
1)]
c11 c12 c1M
R 1
(cij ) M M
c 2 1 cM 1
c 2 2 cM 2
c2M
c MM
令xi 和xj 的偏相关系数为rij·，解得 cij 后即有
rij·cij cii cjj
③评定各个自变数对依变数的相对重要性，以便研 究者抓住关键，能动地调控依变数的响应量。
第一节 多元回归
一、多元回归方程 二、多元回归的假设测验 三、最优多元线性回归方程的统计选择 四、自变数的相对重要性
计量经济学：回归系数线性函数的检验
无约束模型UR（unrestricted model） 若其中q个回归系数同时为零
Yi (1 2 X 2 kq X kq ) (kq1 X kq1 k X k ) u Yi (1 2 X 2 kq X kq ) u
受约束模型R（restricted model)
检验统计量F (RSSR RSSUR ) / q RSSUR /( N k)
( RU2R RR2 ) / q (1 RU2R ) /( N k)
3
回归系数线性函数的检验
检验2 3 ?
应用F检验：
2 3 1?
无条件模型UR :Yi 1 2 X2 3 X3 u 有条件模型R :Yi 1 2( X2 X3 ) u
F
( RU2R (1 RU2R )
RR2 ) /( N
/1 k)
4
工资收入与其他收入的边际消费倾向是否相等？
C：实际消费支出 Y：实际总收入 W：实际工资收入 O：其他收入
C 1 2W 3O u
C 1 2(W O) u
检验统计量F
(RSSR RSSUR
RSSUR ) / 1 /( N 3)
多参数假设检验 （受限最小二乘法）
多个回归系数的联合检验
对多个回归系数是否显著进行联合检验
F检验（方程显著性检验）
Y
i
1
2
X2
3
X3
k
X
k
u
H H : 0, 0,, 0
0
2
3
k
: 至 少 其 中 一 个 不 为0
1
检验统计量F
RSS /(k 1) RSS /( N k)
R2 /(k 1) (1 R2 ) /( N k)
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受约束模型R（restricted model)
2 UR 2 UR 2 R
(R R ) / q ( RSS R RSSUR ) / q 检验统计量F (1 R ) /( N k ) RSSUR /( N k )
5
2. 回归系数线性函数的检验
检验 2 3 ?
6
工资收入与其他收入的边际消费倾向是否相等？
C：实际消费支出 Y：实际总收入 W：工资收入 O：其他收入 P：消费价格指数
数据集 data4-2
C 1 2W 3O u C 1 2 (W O) u
(R R ) / 1 ( RSS R RSSUR ) / 1 检验统计量F (1 R ) /( N 3) RSSUR /( N 3)
10
结构变化的检验
使用虚拟变量 拆分样本
将样本分成两个（或以上）的组，分别估计 每个阶段的模型，建立F统计值检验
11
不同回归模型的系数是否相等
应用F检验 Chow检验 两个不同的模型：
无条件 模型
Yi 1 2 X 2 k X k u i 1 N Y j 1 2 X 2 k X k u j 1 M
H0 : 2 1, 3 0, 4 0, 5 0
y 1 2 x 2 3 x 3 4 x4 5 x5 u
有约束方程: y x2 1 u
( RSS R RSSUR ) / q (1.880 1.822) / 4 检验统计量F 0.661 RSSUR /( N k ) 1.822 / 83
虚拟变量可表示斜率和截距不同的模型
Yt 1 2 X t 3 Dt 4 Dt X t ut
在转折点，变化连续的模型：
Yt 1 2 X t 3 ( X t X 0 ) Dt ut
E (Yt ) 1 2 X t
E (Yt ) ( 1 3 X 0 ) ( 2 3 ) X t
H :
0
2
0, 0,, 0
3 k
H
1
:至少其中一个不为 0
ESS /( k 1) 检验统计量F 2 ( 1 R ) /( N k ) RSS /( N k )
3
R 2 /( k 1)
回归系数线性函数的检验
检验 2 3 ?
应用t检验：
无条件模型UR : Yi 1 2 X 2 3 X 3 u Yi 1 2 ( X 2 X 3 ) X 3 u
原假设 : 1 1 , 2 2 ,, k k 有条件模型: Yi 1 2 X 2 k X k u
Fk , N M 2 k ( RSS R RSSUR ) / k RSSUR /( N M 2k )
12
分段线性回归
( RSS R RSSUR ) / q 检验统计量F RSSUR /( N k )
2 2 ( RUR RR )/1 F 2 (1 RUR ) /( N k ) 8
例：住房价格
数据集 hprice1
log( price ) 1 2 log( assess ) 3 log( lotsize) 4 log( sqrft ) 5bdrms u
检验 0 ?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
检验原理：F检验
Yi 1 2 X 2 3 X 3 k X k u
无约束模型UR（unrestricted 若其中q个回归系数同时为零
model）
Yi ( 1 2 X 2 k q X k q ) ( k q 1 X k q 1 k X k ) u Yi ( 1 2 X 2 k q X k q ) u
2 UR 2 UR 2 R
7
回归系数线性函数的检验
检验 2 3 1?
应用F检验：
无条件模型 UR : Y 1 2 X 2 3 X 3 u 有条件模型: Y 1 2 X 2 (1 2 ) X 3 u Y 1 2 X 2 X 3 2 X 3 u R : Yi X 3 1 2 ( X 2 X 3 ) u
price：住房价格 assess：评估的住房价值 lotsize：整体尺寸 sqrft：平方英尺数 bdrms：卧室数 检验：评估的住房价值是不是一个理性的定价。
H0 : 2 1, 3 0, 4 0, 5 0
9
例：住房价格
log( price ) 1 2 log( assess ) 3 log( lotsize) 4 log( sqrft ) 5bdrms u
检验 H0：β3=0，H1：β3 0
13
如果拒绝原假设，说明存在结构变化。
2 3 1?
应用F检验：
无条件模型UR : Yi 1 2 X 2 3 X 3 u 有条件模型R : Yi 1 2 ( X 2 X 3 ) u
(R R ) / 1 F (1 R ) /( N k )
2 UR 2 UR 2 R
多参数假设检验
多参数假设检验
1.
多个回归系数的联合检验 2. 回归系数的线性函数的检验 3.不同回归模型中系数是否相等的检验
2
1.多个回归系数的联合检验
对部分回归系数是否显著进行联合检验
F检验（方程显著性检验）
Y i 1 2 X 2 3 X 3 k X k u