2003年第20届物理竞赛复赛试卷及答案
第20届全国中学生物理竞赛预赛试卷与答案
第二十届全国中学生物理竞赛预赛试卷2003年9月题号一二三四五六七总计得分复核人全卷共七题，总分为140分．一、（20分）两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图所示．已知L1的焦距f1=f , L2的焦距f2=—f，两透镜间距离也是f．小物体位于物面P上，物距u1＝3f．（1）小物体经这两个透镜所成的像在L2的__________边，到L2的距离为_________，是__________倍（虚或实）、____________像（正或倒），放大率为_________________。
（2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向____________边移动距离_______________．这个新的像是____________像（虚或实）、______________像（正或倒）放大率为________________。
二、(20分)一个氢放电管发光，在其光谱中测得一条谱线的波长为4.86×10-7m．试计算这是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级（用量子数n表示）跃迁时发出的？已知氢原子基态（n＝1）的能量为E l=一13.6eV＝－2.18×10-18J，普朗克常量为h=6.63×10－34J·s。
三、(20分)在野外施工中，需要使质量m＝4.20 kg的铝合金构件升温。
除了保温瓶中尚存有温度t＝90.0℃的1.200 kg的热水外，无其他热源．试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t0=10℃升温到66.0℃以上（含66.0℃），并通过计算验证你的方案．已知铝合金的比热容c＝0.880×l03J·(Kg·℃)-1，水的比热容c0 =4.20×103J·(Kg·℃)-1，不计向周围环境散失的热量。
四、(20分）从z轴上的O点发射一束电量为q（＞0）、质量为m的带电粒子，它们速度统方向分布在以O点为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示），速度的大小都等于v．试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M，M点离开O点的经离为d．要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值．不计粒子间的相互作用和重力的作用．五、(20分)有一个摆长为l 的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O 的距离为x 处（x ＜l ）的C 点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡．当l 一定而x 取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O 点），然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x 的最小值．六、(20分)质量为M 的运动员手持一质量为m 的物块，以速率v 0沿与水平面成a 角的方向向前跳跃（如图）．为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出．物块抛出时相对运动员的速度的大小u 是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动． (1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻t o 把物块沿与x 轴负方向成某θ角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间．(2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与x 轴负方向成θ角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v 0和u 一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离． 七、（20分）图预20-7-1中 A 和B 是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为T 的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场．己知B 板电势为零，A 板电势U A 随时间变化的规律如图预20-7-2所示，其中U A 的最大值为的U 0，最小值为一2U 0．在图预20-7-1中，虚线MN 表示与A 、B 扳平行等距的一个较小的面，此面到A 和B 的距离皆为l ．在此面所在处，不断地产生电量为q 、质量为m 的带负电的微粒，各个时刻产生带电微粒的机会均等．这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动．设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A 、B 板的电压．己知上述的T 、U 0、l ，q 和m 等各量的值正好满足等式20222163⎪⎭⎫⎝⎛=T m q U l若在交流电压变化的每个周期T 内，平均产主320个上述微粒，试论证在t ＝0到t ＝T ／2这段时间内产主的微粒中，有多少微粒可到达A 板（不计重力，不考虑微粒之间的相互作用）。
全国中学生物理竞赛复赛试卷及参考解答
全国中学生物理竞赛复赛试卷（本题共七大题，满分160分）一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。
平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。
平板与弹簧构成的振动系统的振动周期s T 00.2=。
一小球B 放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P 端的正上方，到P 端的距离为m h 80.9=。
平板静止在其平衡位置。
水球B 与平板PQ 的质量相等。
现给小球一水平向右的速度0μ，使它从水平台面抛出。
已知小球B 与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。
要使小球与平板PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，0μ的值应在什么范围内？取2/8.9s m g =二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。
AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。
BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。
当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置。
BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角，已知AB 杆的长度为l ，BC 杆和CD 杆的长度由图给定。
求此时C 点加速度c a 的大小和方向（用与CD 杆之间的夹角表示）三、（20分）如图所示，一容器左侧装有活门1K ，右侧装有活塞B ，一厚度可以忽略的隔板M 将容器隔成a 、b 两室，M 上装有活门2K 。
容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。
隔板和活塞可用销钉固定，拔掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。
整个容器置于压强为P 0、温度为T 0的大气中。
初始时将活塞B 用销钉固定在图示的位置，隔板M 固定在容器PQ 处，使a 、b 两室体积都等于V 0；1K 、2K 关闭。
第20届全国中学生物理竞赛复赛试卷(2003年)含答案
第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷(2003年)全卷共七题，总分为140分。
一、（15分）图中a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球体，O 为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U =1000 V ．在离球心O 很远的O ′点附近有一质子b ，它以 E k ＝2000 eV 的动能沿与O 'O 平行的方向射向a ．以l 表示b 与O 'O 线之间的垂直距离，要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求l 的最大值．把质子换成电子，再求l 的最大值．二、（15分）U 形管的两支管 A 、B 和水平管C 都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分别为 2A 1.010S -=⨯cm 2，2B 3.010S -=⨯cm 2，2C 2.010S -=⨯cm 2，在 C 管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度为127t =℃时，空气柱长为l ＝30 cm （如图所示），C 中气柱两侧的水银柱长分别为 a ＝2.0cm ，b ＝3.0cm ，A 、B 两支管都很长，其中的水银柱高均为h ＝12 cm ．大气压强保持为 0p ＝76 cmHg 不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到 t ＝97℃时空气的体积．三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A 和B ，分别将质量为M 的物体和质量为m 的待发射卫星同时自由释放，只要M 比m 足够大，碰撞后，质量为m 的物体，即待发射的卫星就会从通道口B 冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B 时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M ＝20m ，地球半径0R ＝6400 km ．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．四、(20分)如图所示，一半径为R 、折射率为n 的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为0h 的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．O x 为以球心O 为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴O x 上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．五、(22分)有一半径为R 的圆柱A ，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A 相同，半径为r 的较细圆柱B ，用手扶着圆柱A ，将B 放在A 的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．己知圆柱A 与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B 与墙面间的静摩擦系数和圆柱B 的半径r 的值各应满足什么条件？六、(23分)两个点电荷位于x 轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正x 轴上各点的电势如图中曲线所示，当0x →时，电势U →∞：当x →∞时，电势0U →；电势为零的点的坐标0x , 电势为极小值0U -的点的坐标为 0ax （a ＞2）。
第20届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案说课材料
第二十届全国中学生物理竞赛预赛试卷全卷共七题，总分为140分．一、（20分）两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图所示．已知L1的焦距f1=f , L2的焦距f2=—f，两透镜间距离也是f．小物体位于物面P上，物距u1＝3f．（1）小物体经这两个透镜所成的像在L2的__________边，到L2的距离为_________，是__________倍（虚或实）、____________像（正或倒），放大率为_________________。
（2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向____________边移动距离_______________．这个新的像是____________像（虚或实）、______________像（正或倒）放大率为________________。
二、(20分)一个氢放电管发光，在其光谱中测得一条谱线的波长为4.86×10-7m．试计算这是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级（用量子数n表示）跃迁时发出的？已知氢原子基态（n＝1）的能量为E l=一13.6eV＝－2.18×10-18J，普朗克常量为h=6.63×10－34J·s。
三、(20分)在野外施工中，需要使质量m＝4.20 kg的铝合金构件升温。
除了保温瓶中尚存有温度t＝90.0℃的1.200 kg的热水外，无其他热源．试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t0=10℃升温到66.0℃以上（含66.0℃），并通过计算验证你的方案．已知铝合金的比热容c＝0.880×l03J·(Kg·℃)-1，水的比热容c0 =4.20×103J·(Kg·℃)-1，不计向周围环境散失的热量。
2003年9月四、(20分）从z轴上的O点发射一束电量为q（＞0）、质量为m的带电粒子，它们速度统方向分布在以O点为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示），速度的大小都等于v．试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M，M点离开O点的经离为d．要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值．不计粒子间的相互作用和重力的作用．五、(20分)有一个摆长为l的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处（x＜l）的C点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡．当l一定而x取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O点），然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x的最小值．六、(20分)质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v0沿与水平面成a角的方向向前跳跃（如图）．为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出．物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动．(1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻t o把物块沿与x轴负方向成某θ角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间．v0(2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与x轴负方向成θ角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离．七、（20分）图预20-7-1中 A 和B 是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为T 的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场．己知B 板电势为零，A 板电势U A 随时间变化的规律如图预20-7-2所示，其中U A 的最大值为的U 0，最小值为一2U 0．在图预20-7-1中，虚线MN 表示与A 、B 扳平行等距的一个较小的面，此面到A 和B 的距离皆为l ．在此面所在处，不断地产生电量为q 、质量为m 的带负电的微粒，各个时刻产生带电微粒的机会均等．这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动．设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A 、B 板的电压．己知上述的T 、U 0、l ，q 和m 等各量的值正好满足等式20222163⎪⎭⎫⎝⎛=T m q U l若在交流电压变化的每个周期T 内，平均产主320个上述微粒，试论证在t ＝0到t ＝T ／2这段时间内产主的微粒中，有多少微粒可到达A 板（不计重力，不考虑微粒之间的相互作用）。
第二十届全国初中应用物理竞赛复赛试题及答案
全国初中应用物理竞赛题注意事项：1．请在密封线内填写所在地区、学校、姓名和考号。
2．用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写。
3．本试卷共有六个大题，满分为100分。
一、（16分）干簧管（也叫干簧继电器）比一般机械开关结构简单、体积小、速度高、工作寿命长；而与电子开关相比，它又有抗负载冲击能力强的特点，工作可靠性很高。
如图1甲所示为干簧管的结构简图，其中磁簧片是一种有弹性的薄铁片，被固定于玻璃管上。
1．当将一个条形磁铁与干簧管平行放置时，如图1乙，干簧管的磁簧片触点就会闭合，将电路接通；当条形磁铁远离干簧管时，触点就会断开。
请简述其原理。
2．某同学设想用干簧管制作水位自动报警器，图2是他设计的一部分情况，请帮助他完成其余部分的设计：（1）设永久磁铁所受的重力为3N，浮球的体积为200cm3，不计滑轮处的摩擦。
则要想让此装置能正常工作，浮球的质量应满足什么条件（取g=10N/kg）？（2）他手边还有开关、红灯、绿灯和电铃各一个，导线若干，请在图中的虚线方框内画出报警电路，要求：水位到达A处时，红灯亮，电铃报警；水位到达B处时，绿灯亮，电铃报警。
二、（16分）小星同学为实验室设计了一个多挡位电加热器，其工作原理图如图3所示。
其中R1、R2、R3为发热电阻。
三个灯泡为上述发热电阻相应的的工作指示灯，其所消耗的电功率可忽略不计。
小星设想通过开关的组合，使电加热器能有200W、300W、 (900)共七挡功率。
为此他还设计了下面这份简单的表格，表中的“√”表示对应的开关闭合，相应的指示灯亮：“×”表示对应的开关断开，相应的指示灯熄灭。
功率栏给出了相应状态时电加热器的功率值。
1．按照他的设想，帮他计算出R1、R2、R3的阻值各为多少？2．补齐表中其余挡位的空格。
额定电压220V额定频率50Hz档位S1S2S3功率1 √××200W2×√×300W34567 900W三、（16分）如图4为过去邮局里用来称量邮件质量的双杆台秤的主要结构简图，这种台秤的两条秤杆是固定在一起的，两条秤杆分别装有秤锤A、B，其中秤锤A只能处于其所在秤杆上有槽的特定位置处，秤锤B则可停在其所在秤杆上的任意位置。
2003年第20届全国中学生物理竞赛复赛试题答案(含评分标准)
第20届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考答案及评分标准一、参考解答令m 表示质子的质量，0v 和v 分别表示质子的初速度和到达a 球球面处的速度，e 表示元电荷，由能量守恒可知2201122mv mv eU =+ （1）因为a 不动，可取其球心O 为原点，由于质子所受的a 球对它的静电库仑力总是通过a 球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对O 点的角动量守恒。
所求l 的最大值对应于质子到达a 球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。
以max l 表示l 的最大值，由角动量守恒有max 0mv l mvR = （2）由式（1）、（2）可得20max 1/2eU l R mv =-（3） 代入数据，可得 max 2l = （4） 若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中e 改为e -。
同理可求得 max 6l =（5）评分标准：本题15分。
式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。
二、参考解答在温度为1(27273)K=300K T =+时，气柱中的空气的压强和体积分别为10p p h =+， （1）1C V lS = （2）当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A 管和B 管。
设温度升高到2T 时，气柱右侧水银刚好全部压到B 管中，使管中水银高度增大C BbS h S ∆= （3） 由此造成气柱中空气体积的增大量为C V bS '∆= （4）与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A 管，进入A 管的水银使A 管中的水银高度也应增大h ∆，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为A V hS ''∆=∆ （5）所以，当温度为2T 时空气的体积和压强分别为21V V V V '''=+∆+∆ （6）21p p h =+∆ （7）由状态方程知112212p V p V T T = （8） 由以上各式，代入数据可得2347.7T =K （9）此值小于题给的最终温度273370T t =+=K ，所以温度将继续升高。
全国中学生物理竞赛复赛题(十三届到二十届)
O
的大小和方向如何？
a
r
O/
〔注〕已知：装置不变时，
不同的静电平衡带电状态可以
叠加，叠加后仍为静电平衡状 态。
图复13 - 4
五、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计），直径为 d = 2.0 米。球内充有压强 p0 =1.005×105 帕的气体。该布料所能承受的最大不被撕破力为
1. 试求将次点电荷由 E 点缓慢移至 A 点外力需做功的正负大小 , 并说明理 由. 2..P 为球心正下方的一点 ,OP=R. 试求将次点电荷由 E 点缓慢移至 P 点外力 需做功的正负及大小，并说明理由 五。（ 16 ） 某暗盒内是由若干定值电阻连接成的电路。从该电路中引出四个端钮 1 ， 1 ′， 2 ， 2 ′，如图 4 （ a ）所示。
A 的加速度是 ________;
B 的加速度是 _________;
C 的加速度是 _________;
三 (10 分 )
测定患者的血沉 , 在医学上有助于医生对病情作出判断 , 设血液是由红血球 和血浆组成的悬浮液 . 将次悬浮液放入竖直放置的血沉管内 , 红血球就会在 血浆中匀速下沉 , 其下沉速率称为血沉 . 某人的血沉 υ 的值大约是 10 毫米/ 小时. 如果把红血球近似看作是半径为 R 的小球 , 且认为它在血浆中所受的 粘滞阻力为 f=6πηRυ .
九 .(20 分 ) 如图 8, 电源的电动势为 U, 电动势为 U, 电动器的电容为 C,K 是单刀双掷 开关 .MN,PQ 是两根位于同一水平面的平行光滑长导轨 , 它们的电阻可以忽略 不计 . 两导轨间距为 L, 导轨处磁感应强度为 B 的均匀磁场中 , 磁场方向垂 直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向 .l1 和 l2 是两根横放在导 轨上的导体小棒 , 它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好,不计摩擦. 两小棒的电阻相同,质量分别为 m1 和 m2,且 m1<m2, 开始时两根小棒均静止在导轨 上 , 现将开关 K 先合向 1, 然后合向 2. 求 :
第二十届全国初中应用物理竞赛复赛试题答案
2010年第二十届全国初中应用物理竞赛复赛试题参考解答与评分标准说明：1．提供的参考解答除选择题外，不一定都是惟一正确的。
对于那些与此解答不同的解答，正确的，同样得分。
2．评分标准只是按一种思路与方法给出的。
在阅卷过程中会出现各种不同情况，可按照本评分标准的精神定出具体处理办法，但不要与本评分标准有较大偏离。
3．问答题或计算题是按照分步方法给分的。
在评分标准中常常写出（l ）式几分，(2）式几分．这里的式子是用来代表步骤的。
若考生并未写出这个式子，而在文字表达或以后的解题过程中反映了这一步骤，同样得分。
没有写出任何式子或文字说明，只给出最后结果的．不能得分。
4．参考解答中的数字结果是按照有效数字的运算要求给出的，但对考生不做要求。
不要因为有效数字的错误而扣分。
5．在最后定奖时，如果得分相同的人数超过获奖名额，因而难于选拔时，可对待选试卷进行加分评判。
加分评判的基本依据是：（1）所用方法或原理不是课本所讲的，具有创新性，应加分： （2）方法简便，应加分；（3）提出多种正确解法。
应加分；（4）试卷表达规范，条理清楚，能充分利用数学工具，应加分。
上述各项的执行都需由竞赛领导小组做出规定（省统一分配奖励名额的由省决定，地、市分配奖励名额的由地、市决定）。
一、（ 16 分）参考答案 1．当将一个条形磁铁与干簧管平行放置时，干簧管的磁簧片就会被磁化，且靠近的那两个端点会被磁化成异名磁极而相互吸引，触点将会闭合，将电路接通；当条形磁铁远离干簧管时，磁簧片的磁性消失，在弹力的作用下触点就会断开。
……………………4分2．浮球浸没入水中时受到的浮力为3343gV 1.010/10/2102F kg m N kg m N ρ-==⨯⨯⨯⨯=浮水排……………………3分设浮球刚好浸没入水中，浮球必须上浮，则必须满足G 2N 3N 5N G F <+=+=浮浮球磁铁 设浮球刚好离开水面时，浮球必须下降，则必须满足G G 3N >=浮球磁铁因此要想让此装置能正常工作，此浮球所受的重力应满足：5N>G 浮球>3N ……………2分由公式G=mg 可以算出浮球的质量应满足：0.5kg>m 浮球>0.3kg …………………1分 3．如图1所示：………………………………………………………………………6分 全部正确给6分，不画开关扣2分，不标出红、绿灯或标错扣 2 分二、（ 16 分）参考答案 1．由题意可知：当开关S 1闭合时，电加热器的功率为电阻R 1的功率，所以2211(220)242200U V R P W ==Ω………………………………………………………1分当开关S 2闭合时，电加热抬的功率为电阻R 2的功率，所以2211(220)161300U V R P W ==Ω………………………………………………………1分当开关都闭合时，电路的总功率应该为最大，即 P 7=P 1+P 2+P 3=900W所以P 3=400W ………………………………………………………………………3分2233(220)121400U V R P W===Ω……………………………………………………1分210 分1．由图可知，这台秤的量程是2.0kg．分度值是1g·………………………………4分2．如图2（可不画）……………………………………………………………………5分①将台秤放在水平台面上．②将秤锤A、B均置零③调节平衡螺母，直至秤杆水平平衡为止。
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第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷一、（15分）图中a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球体，O 为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U =1000 V ．在离球心O 很远的O ′点附近有一质子b ，它以E k ＝2000 eV 的动能沿与O 'O 平行的方向射向a ．以l 表示b 与O 'O 线之间的垂直距离，要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求l 的最大值．把质子换成电子，再求l 的最大值．二、（15分）U 形管的两支管 A 、B 和水平管C 都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分别为 2A 1.010S -=⨯cm 2，2B 3.010S -=⨯cm 2，2C 2.010S -=⨯cm 2，在 C 管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度为127t =℃时，空气柱长为l ＝30 cm （如图所示），C 中气柱两侧的水银柱长分别为 a ＝2.0cm ，b ＝3.0cm ，A 、B 两支管都很长，其中的水银柱高均为h ＝12 cm ．大气压强保持为 0p ＝76 cmHg 不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到 t ＝97℃时空气的体积．三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A 和B ，分别将质量为M 的物体和质量为m 的待发射卫星同时自由释放，只要M 比m 足够大，碰撞后，质量为m 的物体，即待发射的卫星就会从通道口B 冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B 时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M ＝20m ，地球半径0R ＝6400 km ．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．四、(20分)如图所示，一半径为R 、折射率为n 的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为0h 的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．Ox 为以球心O 为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴Ox 上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．五、(22分)有一半径为R 的圆柱A ，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A 相同，半径为r 的较细圆柱B ，用手扶着圆柱A ，将B 放在A 的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．己知圆柱A 与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B 与墙面间的静摩擦系数和圆柱B 的半径r 的值各应满足什么条件？六、(23分)两个点电荷位于x 轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正x 轴上各点的电势如图中曲线所示，当0x →时，电势U →∞：当x →∞时，电势0U →；电势为零的点的坐标0x , 电势为极小值0U -的点的坐标为 0ax （a ＞2）。
试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在x轴上的位置．七、(25分)如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为h 处沿水平方向以初速0v 抛出．己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为e （＜1）．又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为μ（≠0）：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地．求物块沿水平方向运动的最远距离．百度传课：自主招生&物理竞赛全程对接物理视频教程。
第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准一、参考解答令m 表示质子的质量，0v 和v 分别表示质子的初速度和到达a 球球面处的速度，e 表示元电荷，由能量守恒可知2201122mv mv eU =+ （1） 因为a 不动，可取其球心O 为原点，由于质子所受的a 球对它的静电库仑力总是通过a 球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对O 点的角动量守恒。
所求l 的最大值对应于质子到达a 球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。
以max l 表示l 的最大值，由角动量守恒有max 0mv l mvR = （2）由式（1）、（2）可得max l = （3） 代入数据，可得max l =（4） 若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中e 改为e -。
同理可求得max l = （5） 评分标准：本题15分。
式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。
二、参考解答在温度为1(27273)K=300K T =+时，气柱中的空气的压强和体积分别为10p p h =+， （1）1C V lS = （2）当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A 管和B 管。
设温度升高到2T 时，气柱右侧水银刚好全部压到B 管中，使管中水银高度增大C BbS h S ∆= （3） 由此造成气柱中空气体积的增大量为C V bS '∆= （4）与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A 管，进入A 管的水银使A 管中的水银高度也应增大h ∆，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为A V hS ''∆=∆ （5）所以，当温度为2T 时空气的体积和压强分别为21V V V V '''=+∆+∆ （6）21p p h =+∆ （7）由状态方程知112212p V p V T T = （8） 由以上各式，代入数据可得2347.7T =K （9）此值小于题给的最终温度273370T t =+=K ，所以温度将继续升高。
从这时起，气柱中的空气作等压变化。
当温度到达T 时，气柱体积为22T V V T =（10） 代入数据可得 30.72cm V = （11）评分标准：本题15分。
求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。
三、参考解答位于通道内、质量为m 的物体距地心O 为r 时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为2GM m F r'=， （1） 式中M '是以地心O 为球心、以r 为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以ρ表示地球的密度，此质量可以表示为343M r ρπ'= （2） 于是，质量为m 的物体所受地球的引力可以改写为43F G mr πρ= （3）作用于质量为m 的物体的引力在通道方向的分力的大小为sin f F θ= （4）sin x rθ= （5） θ为r 与通道的中垂线OC 间的夹角，x 为物体位置到通道中点C 的距离，力的方向指向通道的中点C 。
在地面上物体的重力可以表示为020GM m mg R = （6） 式中0M 是地球的质量。
由上式可以得到043g G R πρ= （7）由以上各式可以求得mg f x R = （8） 可见，f 与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为mg k R = （9） 物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为2T =0x =处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m 的静止物体到达0x =处的速度为0v ，则根据能量守恒，有2220011()22mv k R h =- （10） 式中h 表示地心到通道的距离。
解以上有关各式，得 222000R h v g R -= （11）可见，到达通道中点C 的速度与物体的质量无关。
设想让质量为M 的物体静止于出口A 处，质量为m 的物体静止于出口B 处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C 处，并发生弹性碰撞。
碰撞前，两物体速度的大小都是0v ，方向相反，刚碰撞后，质量为M 的物体的速度为V ，质量为m 的物体的速度为v ，若规定速度方向由A 向B 为正，则有00Mv mv MV mv -=+， （12）22220011112222Mv mv MV mv +=+ （13） 解式（12）和式（13），得03M m v v M m-=+ （14） 质量为m 的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B 处时的速度为u ，则有22220111()222k R h mu mv -+= （15） 由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得2220208()()R h M M m u g R M m --=+ （16） u 的方向沿着通道。
根据题意，卫星上的装置可使u 的方向改变成沿地球B 处的切线方向，如果u 的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有20200M m u G m R R = （17） 由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到h （18） 已知20M =m ，则得 00.9255920km h R == （19）评分标准：本题20分。
求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。
四、参考解答图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i 和i '，折射光线与坐标轴的交点在P 。
令轴上OP 的距离为x ，MP 的距离为l ，根据折射定律，有sin sin i n i'= （1） 在OMP ∆中 sin sin l x i i ='（2） 2222cos l R x Rx i =+- （3）由式（1）和式（2）得再由式（3）得设M 点到Ox 的距离为h ，有得2221(1)20x R n--= （4） 解式（4）可得x （5） 为排除上式中应舍弃的解，令0h →，则x 处应为玻璃半球在光轴Ox 上的傍轴焦点，由上式 由图可知，应有x R >，故式（5）中应排除±号中的负号，所以x 应表示为x （6） 上式给出x 随h 变化的关系。
因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有0h h ≥，其中折射光线与Ox 轴交点最远处的坐标为0x = （7）在轴上0x x >处，无光线通过。
随h 增大，球面上入射角i 增大，当i 大于临界角C i 时，即会发生全反射，没有折射光线。
与临界角C i 相应的光线有这光线的折射线与轴线的交点处于C x == （8）在轴Ox 上C R x x <<处没有折射光线通过。
由以上分析可知，在轴Ox 上玻璃半球以右C 0x x x ≤≤ （9）的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。