《数值分析简明教程》讲义
王能超-数值分析-第三章
4.9
王能超 编著
二阶龙格-库塔方法
随意考察区间 xn , xn1 内一点 点 xn , xn p 的斜率 到如下计算格式：
xn＋p xn ph,0 p 1 ， 用两个
K1 , K2 的加权平均代替平均斜率 K ，
于是我们就得
yn 1 yn h 1 K1 K 2 K1 f xn , yn K 2 f xn p , yn phK1
校正
数值分析简明教程
4.16
王能超 编著
改进的亚当姆斯预报-校正系统
我们可以方便地估计出亚当姆斯预报校正系统的截断误差，从而 依据这种估计将该系统 就可改进为如下精度更高的计算方案：
' ' ' ' p y h 55 y 59 y 37 y 9 y n 1 n n n 1 n 2 n 3 / 24 预报 251 改进 mn 1 pn 1 cn pn 270 ' mn 1 f xn 1 , mn 1
y xn1 y xn hf xn , y xn
h
设用 y xn 的近似值 yn 代入上式右端，记所求结果为 yn1 ，这样导 出的计算公式
yn1 yn hf xn , yn , n 0,1,2,
就是众所周知的欧拉（Euler）格式，若初值 yn 是已知的，则依据 1 上式即可逐步算出数值解 y1 , y2 , 。
数值分析简明教程
4.13
王能超 编著
亚当姆斯格式
亚当姆斯（Adams)方法的设计思想是充分利用计算 yn之前已 1 得到一系列节点 xn , xn1 , 上的斜率值来减少计算量。譬如，我们可 以用 xn , xn1 两点的斜率的加权平均作为区间
数值分析简明教程
数值分析简明教程
数值分析是一门传统的微分几何学和非经典分析学领域内的一种分析方法，属于计算数学的范畴。
它试图从数值来得出一个具有实用价值的结论或做出相当准确的预测。
比如，数值分析可以用于估计气象预报、计算复杂方程的解和模拟复杂非线性系统的行为。
数值分析的三个主要应用是数值积分、数值微分和解析解的数值求解，即数值分析简明教程。
数值积分是将一个复杂的连续函数的值积分为一个连续的总和的过程，可以用来计算力、时间、能量、体积等物理量。
数值微分是将一个复杂的连续函数的变化率进行离散评估的过程，有助于求解微分方程，如各种魔方样方程。
解析解的数值求解是求解复杂方程组的一种手段，通过根据函数方程来确定函数的极值并从此推导出方程的解。
数值分析简明教程由初级技术引导到高级知识，可以帮助学习者开发、优化和解决数值问题，并且能够提高对复杂系统的理解能力，从而降低采纳解决方案的成本。
目前，数值分析技术已经成为互联网上使用最为广泛的数值计算工具之一，用于预测、解决众多学术问题，比如深度学习和统计学等。
《数值分析简明教程》讲义
例2：取节点 ， ， 对函数 建立线性插值公式。
3、一般情形
现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b］上n+1个互异节点 上的函数值分别为 ，求n次插值多项式 ，满足条件
， j=0，1，…，n
令
——拉格朗日插值公式。
其中 为以 为节点的n次插值基函数，其公式为：
则称 为近似数x的相对误差限。
三、有效数字
1、有效数字
如果近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，则我们称 有 位有效数字。
例如， 取 时，
所以， 作为 的近似值时，就有3位有效数字。
2、误差限与有效数字的关系
定理1 设有一数x，其近似值
若 具有 位有效数字，则其相对误差限为
可表示为下列点斜式：
令
则
——线性插值公式
其中：
例1：已知 ， ，求 。（10.714）
例2：取节点 ， 对函数 建立线性插值公式。
2、抛物插值
问题：求作二次式 ，使满足条件：
几何解释就是通过三点 ， ， 的抛物线，因而称为抛物插值。
根据插值基函数所满足的条件，可得抛物插值的基函数为：
最终得： ——抛物插值公式。
运算过程中舍入误差不增长的计算公式——数值稳定的，否则为不稳定的。
2、要避免两个相近数相减。
3、要防止大数“吃掉”小数。（数量级相差很大的数，措施：调整运算次序。）
4、注意简化计算步骤。
第2章插值方法
在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的，并不知道它的表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a，b］上一些离散点上的函数值、导数值等。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。
《数值分析》完整版讲义
2.1.3 多项式插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 基函数插值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 为什么要插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 什么是插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.2 数值分析的研究内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 学习建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
i
· ii ·
目录
2.2 Lagrange 插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Lagrange 基函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Lagrange 插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 插值余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Lagrange 基函数性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
数值分析1.1讲义.
方程求根问题
在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如：
高次代数方程
超越方程
x 5－ 3 x ＋ 7 ＝ 0
x e cos 0 3
x
高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。
用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程
应 用 数 学 计 算 数 学
实际问题
数值计算方法
程序设计
数学模型
上机计算结果
2.数值分析研究的内容 — 函数的数值逼近(插值与拟合)
— 数值积分与数值微分
— 非线性方程数值解 — 数值线性代数
— 常微和偏微数值解，……
数值分析实质上是以数学问题为研 究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。
y ' 1 2 xy y (0) 0
常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程 ( 可分离变 量方程，一阶线性方程等等 ) ，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。
y ' 2 x 例如 求解 y (0) 0
数值分析
Numerical Analysis
教
《数值分析》(第2版)
材 朱晓临 主编
中国科学技术大学出版社
《数值分析》（第5版） 李庆阳，王能超，易大义编著 清华大学大学出版社
参 考 书 目
《数值分析》（第3版） 颜庆津著， 北京航空航天大学 出版社 《Numerical Analysis》(Ninth ed.)
数值分析简明教程0-1 (14)
• 对于欧拉格式， 对于欧拉格式，假设 y n = y ( xn ) ，则有： 则有：
' y n +1 = y ( x n ) + hf ( xn , y ( x n )) = y ( x n ) + h y ( xn )
• 按泰勒展开有： 按泰勒展开有：
y ( x n +1) = y ( xn ) + h y ( xn ) +
第三章 常微分方程的差分法
第三章 常微分方程数值解
3.1 欧拉方法 § 3.2 龙格-库塔方法 § 3.3 亚当姆斯方法 § 3.4 收敛性与稳定性 § 3.5 方程组和高阶方程 §
2
本章要点： 本章要点 本章主要研究常微分方程的定解问题。 本章主要研究常微分方程的定解问题。 这类问#39; h2 2
y
''
(ξ )
x n < ξ < x n +1
• 从而有： 从而有：
y ( x n +1) − y n +1 =
h2 2
y
''
(ξ )
• 这说明欧拉格式是一阶方法。 这说明欧拉格式是一阶方法。
11
二、 隐式欧拉格式
y ( x n +1 ) − y ( x n ) 若用向后差商 h
' y 代替方程 ( xn +1) = f ( xn +1 , y ( x n +1))
-----------(3)
(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:
′ = f 1 ( x , y1 , y2 ) y1 ′ = f 2 ( x , y1 , y 2 ) y2 y1 ( x0 ) = y10 y2 ( x0 ) = y20
数值分析简明教程第二版课后习题答案（供参考）
数值分析简明教程第⼆版课后习题答案（供参考）0.1算法1、（p.11，题1）⽤⼆分法求⽅程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由⼆分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取⾃然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即⾄少需2、（p.11，题2）证明⽅程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯⼀个实根；使⽤⼆分法求这⼀实根，要求误差不超过21021-?。
【解】由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(⼜010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯⼀实根.由⼆分法的误差估计式211*1021212||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取⾃然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即⾄少需⼆分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有⼏位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-?=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为12102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
《数值分析简明教程》（第二版）王能超课后习题答案
532 a= = 0.9726 547 b = 285 = 0.05 2 ( f , ϕ1 ) = 369321.5 ，解之得 5696 ，∴ y = 0.9726 + 0.05 x .
yn = yn −1 + hf ( xn −1 , yn −1 ) = yn −1 + h ⋅ ( axn −1 + b)
故 yn −1 = yn −2 + h ⋅ ( axn − 2 + b)
LL y1 = y0 + h ⋅ ( ax0 + b)
将上组式子左右累加，得
yn = y0 + ah( x0 + L + xn −2 + xn −1 ) + nhb = ah(0 + h + 2h L + ( n − 2) h + (n − 1) h) + nhb
第一章 题 12 给定节点 x0 = −1 ， x1 = 1 ， x2 = 3 ， x3 = 4 ，试分别对下列函数导出拉格朗日插 值余项： （1） （1） （2） （2） 解 （1） f
(4)
f ( x) = 4 x3 − 3 x + 2 f ( x) = x 4 − 2 x3 ( x) = 0 ，
1.5
5 ≈ × 9
8 8 5 8 + × + × 2 2 3 9 4 + ( 0 + 1) 9 3 4+− + 1 4+ + 1 5 5 = 3.141068 .
数值分析简明教程修订版教学设计
数值分析简明教程修订版教学设计一、教学目标本教学设计旨在让学生学会使用数值分析方法处理实际问题，掌握数值解法的基本原理、基本思想和方法，具备数值分析和计算机辅助设计能力，并能够对不同数值分析方法进行综合分析，选择最佳的解法。
二、教学内容和教学方法2.1 教学内容1.方程求解与根的寻找2.一次线性方程组求解3.常微分方程数值解法4.插值与逼近5.数值积分与微积分方程求解2.2 教学方法本课程采用讲授与实例演示相结合的教学方法。
针对不同内容，采用不同的教学方法：1.方程求解与根的寻找：讲解主要理论知识，然后通过编程演示实例进行深入讲解。
2.一次线性方程组求解：通过算法推导演示求解过程，然后结合实例进行练习。
3.常微分方程数值解法：通过算法推导演示求解过程，然后通过实例让学生独立进行求解。
4.插值与逼近：通过实例演示讲解，然后通过编程让学生进行计算。
5.数值积分与微积分方程求解：通过算法推导演示求解过程，然后通过实例让学生独立进行求解。
三、教学评估与作业3.1 教学评估课程中将采用多种方式来进行教学评估，包括课堂提问、小组讨论、实验报告和期末考试等。
其中，期末考试占总评成绩的50%。
3.2 作业要求本课程将布置多种类型的作业，包括课后习题、课堂练习、编程作业和实验报告等。
作业占总评成绩的50%。
四、教学进度安排1.方程求解与根的寻找（2周）2.一次线性方程组求解（2周）3.常微分方程数值解法（4周）4.插值与逼近（2周）5.数值积分与微积分方程求解（4周）五、教学资源本课程所需的教学资源包括：1.讲义：对数值分析基本知识和方法进行全面讲解。
2.编程软件：如MATLAB、Python等。
3.实例程序：涵盖方程求解、矩阵计算、方程组求解等。
4.教学视频：教师根据课堂教学内容精心录制的视频，便于学生复习。
六、教学心得与体会本教学设计将理论讲解和实践操作相结合，使学生在实践中深入理解数值分析的思想、方法和技术，从而提高他们的计算机科学与数学水平，增强他们的迈向工程技术领域和科学研究领域的实用能力。
数值分析讲义
第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10ma1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例例1 设x*＝ ＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。
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2.2插值多项式的存在唯一性
定理：设节点 互异，则在次数不超过n的多项式集合 中，满足插值条件的插值多项式 存在且唯一。
2.3 拉格朗日插值多项式
1、线性插值
问题：求作一次式 ，使满足条件
，
从几何图形上看， 表示通过两点 ， 的直线，因此，一次插值亦称线性插值。
例1：已知 ， ， 求 。（10.723）
例2：取节点 ， ， 对函数 建立线性插值公式。
33;1个互异节点 上的函数值分别为 ，求n次插值多项式 ，满足条件
， j=0，1，…，n
令
——拉格朗日插值公式。
其中 为以 为节点的n次插值基函数，其公式为：
运算过程中舍入误差不增长的计算公式——数值稳定的，否则为不稳定的。
2、要避免两个相近数相减。
3、要防止大数“吃掉”小数。（数量级相差很大的数，措施：调整运算次序。）
4、注意简化计算步骤。
第2章插值方法
在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的，并不知道它的表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a，b］上一些离散点上的函数值、导数值等。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。
则称 为近似数x的相对误差限。
三、有效数字
1、有效数字
如果近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，则我们称 有 位有效数字。
例如， 取 时，
所以， 作为 的近似值时，就有3位有效数字。
2、误差限与有效数字的关系
定理1 设有一数x，其近似值
若 具有 位有效数字，则其相对误差限为
1、绝对误差秘绝对误差限
设数 (精确值)有一个近似值为 ，记
称e(x)为近似值 的绝对误差，简称误差。
当e(x)为正时，近似值 偏大，叫做强近似值；当它为负时，近似值 偏小，叫作弱近似值。
准确值 一般是未知的，因而绝对误差 也是未知的，但往往可以估计出绝对误差的一个上界，即可以找出一个正数 ，
使
称 为 的绝对误差限(或误差限)。
显然，误差限 总是正数，且 ，在应用上常常采用如下写法：
例：用毫米刻度的米尺测量一长度 时，如果该长度接近某一刻度 ，则 作为 的近似值时
绝对误差还不足以刻划近似数的精确程度，例如，有两个量 ，
2、相对误差及相对误差限
我们把近似值的误差 与准确值 的比值，记作
称为近似值 的相对误差。
实际计算中，由于真值总是未知的，与绝对误差限类似，可以找到一个正数 ，使得：
2.1 引言
设函数y=f(x)在区间［a,b］上有n+1个互异点 ，对应的函数值分别为 ，若存在一个简单函数y=p(x )，使其经过y=f(x)上的 这n+1个已知点( ),( ),…，( )，即
p( )= ,i=0,1,…,n
那么，函数p(x)称为插值函数，点 称为插值节点，包含插值节点的区间［a,b］称为插值区间,求p (x)的方法称为插值法，f(x)称为被插函数。若p(x)是次数不超过n的多项式,用Pn(x)表示，即
第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量， 这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验 证明是行之有效的。
1.1 误差的基本概念
除了极个别的情况外，数值计算总是近似计算，实际计算结果与理论结果之间存在着误差。 数值分析的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。
一、误差的来源
1、模型误差
用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。
2、观测误差
在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度，长度，电压等等，测量的结果不可能绝对正确，由此产生的误差称为观测误差。观测误差在数值计算方法中也不予讨论。
第1章绪论
数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，其特点如下:
第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、 乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
例1：当有3.1416来表示π的近似值时，它的相对误差是多少？（ ）
定理2 如上形式的近似数 ，若满足
则 至少有 位有效数字。
例2 已知 的近似数 的相对误差限为0.025，最坏情况 是何数？( =1.414213562…) —— =1.4
1.2 数值计算中应注意的若干原则
1、要使用数值稳定的计算公式。
4、 插值余项
插值多项式的余项 ，也就是插值的截断误差或方法误差。
定理：设区间［a，b］含有节点 ，而 在［a，b］内有连续的直到n+1阶导数，且 已给，则当 时，对于 ，成立：
例：已知 ， ， ，分别用线性插值及抛物插值求 时的误差各是多少？（|R1（x）|≤0.01125，|R2（x）|≤0.0017）
可表示为下列点斜式：
令
则
——线性插值公式
其中：
例1：已知 ， ，求 。（10.714）
例2：取节点 ， 对函数 建立线性插值公式。
2、抛物插值
问题：求作二次式 ，使满足条件：
几何解释就是通过三点 ， ， 的抛物线，因而称为抛物插值。
根据插值基函数所满足的条件，可得抛物插值的基函数为：
最终得： ——抛物插值公式。
3、截断误差（方法误差）
在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
4、舍入误差
在计算过程中，由于计算机的字长有限，采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为舍入误差。。
二、绝对误差和相对误差