第1讲-集合的基本概念高一新教材

主题集合的基本概念
教学内容
1. 使学生初步了解“属于”关系的意义；
2. 使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义；
3. 掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。

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一、集合的概念
1、看图片
①一群大象在喝水；②一群鸟在飞翔；③一群学生在热烈欢迎来宾
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是一群大象、一群鸟、一群学生）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。

2、观察下列对象：
①1～20以内的所有质数；
②我国从1991—2003年的13年内所发射的所有人造卫星
③金星汽车厂2003年生产的所有汽车；
④2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；
⑤所有的正方形；
⑥到直线l的距离等于定长d的所有的点；
⑦方程x2+3x—2=0的所有实数根；
2)互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.
3)无序性：集合中的元素没有顺序
4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样
二、集合与元素的关系
【问题】高一（4）班里所有学生组成集合A，a是高一（4）班里的同学，b是高一（5）班的同学，a、b与A分别有什么关系？
引导学生思考上述问题，发表学生自己的看法。

得出结论：①如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A。

②如果b不是集合A的元素，就说b不属于集合A，记作b∉A。

再让学生举一些例子说明这种关系。

熟记数学中一些常用的数集及其记法
符号名称含义
N非负数集或自然数集全体非负整数组成的集合
N*或N+正整数集所有正整数组成的集合
Z整数集全体整数组成的集合
Q有理数集全体有理数组成的集合
三、集合的表示方法
列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；
描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}
=满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法.
A x x p
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 下面给出的四类对象中，构成集合的是（D）
A.某班个子较高的同学
B.相当大的实数
C.我国著名数学家
D.倒数等于它本身的数
试一试：下列各项中，不可以组成集合的是（C）A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数
例2. 下列八个关系式 ①{0}=φ ②0∈φ ③φ⊆{φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}⊇φ
⑥0∉{{0}，φ} ⑦{φ}⊆{0} ⑧φ∈{0}其中正确的个数 （ A ）
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
试一试：若集合*}16|
{N x Z x S ∈-∈=，用列举法表示集合S 。

答案：S ={2，3，4，7}
这个题对于刚开始接触集合的学生来说难度较大，老师也要强调一下记住几个特殊集合的重要性。

例3. 用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数集；
（2）自然数中不大于10的质数集；
（3）方程 x 2+2x -15=0 的解。

（1）{0，2，4，6，8} （2）{2，3，5，7} （3）{-3，5}
例4. 用描述法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集：
（1）所有被2整除的数；
（2）坐标平面内，x 轴上的点的集合；
（1）{}2,x x k k Z =∈； （2）{}
(,)0,x y x y R =∈两个都是无限集
这里老师可以向学生简单讲解点集的表示，同时也介绍一下集合的分类：有限集，无限集，空集重点介绍空集的符号与表示，这个在下节课中也会重点讲解。

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 用符号∈或∉填空：
（1）2______N
（2）2______Q （3）0____∅ （4）0______{}0 （5）b ______{},,a b c
（6）0______*N 答案：∈ ∉ ∉ ∈ ∈ ∉
2. 写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：
（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合
答案：{}2 （2）大于10而小于20的合数组成的集合
答案：{}12,14,15,16,18
3. 用描述法表示下列集合：
（1）被5除余1的正整数所构成的集合
答案：{}|51,x x k k =+∈N
（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合
答案：{}(,)|0,,x y xy x y >∈∈R R
（3）函数221y x x =-+的图像上所有的点
答案：(){}2,|21,,x y y x x x y =-+∈∈R R
（4）12345,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭
答案：*,,52n x x n n n ⎧
⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭
N 4. 用列举法表示下列集合： （1）(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N 答案：()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0
（2）{}2230,x x x x --=∈R 答案：{}3,1-
（3）{}2230,x x x x -+=∈R 答案：∅
（3）12,5x x x ⎧
⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z 答案：{}7,1,1,3,4-- 5. 设A ={x |ax +1=0}，}02|{2
=-+=x x x B ，若B A ⊆，求实数a 的值。

答案：由已知得：B ={1，-2} ∵ B A ⊆，∴ A =φ或A ={1}或A ={-2}，由A =φ得a =0；由A ={1}得a =-1；由A ={-2}得a =1/2。

∴ a 的值为0或-1或1/2。

本节课主要知识点：集合的性质，集合的表示方法，元素与集合的关系 .
【巩固练习】
1. 下列关系中正确的是 ( ) B
A ．0∈{(0，1)}
B ．0∈{0，1}
C ．1∈{(0，1)}
D ．}1 0{1，
∉ 2. 已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素可构成△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) D A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形
3. 下列命题中正确的是 ( ) C A ．{0}是空集 B ．}N x 6|
Q x {∈∈是有限集 C ．}02x x |Q x {2=++∈是空集 D ．集合N 中最小的数是1
4. 已知A ＝{－2，－１，0，1}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }，则集合B =_________________． {0，1，2}
5. 已知A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则a 的值为__________． 2或－1
6. 已知含有三个元素的集合M ={x ，xy ，x -y }，N ={0，|x |，y }且M =N ，求x 、y 的值。

∵0∈N ，M =N ，∴0∈M ，∵集合M 为含三个元素的集合，∴x ≠xy ，∴x ≠0
∵0∈N ，y ∈N ，根据元素的互异性，∴y ≠0，因此，在集合M 中，只有x -y =0
∴x =y ，所以集合}0,,{2x x M =，集合N ={0，|x |，x }，∴||2x x =，∴x =0，x =±
1 又据元素的互异性可得x =-1，y =-1。

【预习思考】
1. 思考：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
2. 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；
（2）设A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；
（3）设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形
（4）{2,4,6},{6,4,2}E F ==.。