2020年四川内江中考数学试题及答案

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内江市中考数学试题解析

四川省内江市2020年中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2020•内江）9的算术平方根是（）A．﹣3 B．±3C．3D．考点：算术平方根．.分析：算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．依此即可求解．解答：解：9的算术平方根是3．故选：C．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．2．（3分）（2020•内江）用科学记数法表示0.0000061，结果是（）A．6.1×10﹣5B．6.1×10﹣6C．0.61×10﹣5D．61×10﹣7考点：科学记数法—表示较小的数．.分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：用科学记数法表示0.0000061，结果是6.1×10﹣6．故选：B．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）（2020•内江）如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．.分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解答：解：从上面看易得俯视图为．故选C．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（3分）（2020•内江）有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（）A．10 B．C．D．2考点：方差；算术平均数．.分析：首先根据算术平均数的概念求出a的值，然后把数据代入方差公式求出数值．解答：解：∵3，a，4，6，7，它们的平均数是5，∴=5，∴a=5，∴s2=[（5﹣3）2+（5﹣5）2+（5﹣4）2+（5﹣6）2+（5﹣7）2]=2．故选D．点评：本题主要考查了方差以及算术平均数的知识，解答本题的关键是根据算术平均数的概念求出a的值，此题难度不大．5．（3分）（2020•内江）函数y=+中自变量x的取值范围是（）A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1考点：函数自变量的取值范围．.分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤2且x≠1．故选：B．点评：本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．6．（3分）（2020•内江）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（）A．B．C．D．考点：概率公式．.分析：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少即可．解答：解：抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：5÷（30+25+5）=5÷60=故选：A．点评：此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．7．（3分）（2020•内江）下列运算中，正确的是（）A．a2+a3=a5B．a3•a4=a12C．a6÷a3=a2D．4a﹣a=3a考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．.分析：根据同类项的定义及合并同类相法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、应为a3•a4=a3+4=a7，故本选项错误；C、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误；D、4a﹣a=（4﹣1）a=3a，正确．故选D．点评：本题主要考查了合并同类项及同底数幂的乘法、除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．8．（3分）（2020•内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD 交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．.分析：根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．解答：解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选：A．点评：考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．9．（3分）（2020•内江）植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．.分析：设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．解答：解：设男生有x人，女生有y人，根据题意可得：，故选D．点评：此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．10．（3分）（2020•内江）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°考点：切线的性质．.分析：连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．解答：解：连接BD，∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，∵PD是切线，∴∠ADP=∠ABD=30°，故选：C．点评：本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．11．（3分）（2020•内江）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2C．2D．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．.分析：由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE 最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．解答：解：由题意，可得BE与AC交于点P．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选B．点评：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．12．（3分）（2020•内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（）A．1＜k＜9 B．2≤k≤34C．1≤k≤16D．4≤k＜16考点：反比例函数与一次函数的交点问题．.分析：先根据题意求出A点的坐标，再根据AB=BC=3，AB、BC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标，再根据双曲线y=（k≠0）分别经过A、C两点时k的取值范围即可．解答：解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线y=经过点（1，1）时，k=1；当双曲线y=经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选：C．点评：本题主要考查了反比例函数，用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是理解题意进而求出k的值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2020•内江）分解因式：2x2y﹣8y= 2y（x+2）（x﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．.专题：常规题型．分析：先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：2x2y﹣8y，=2y（x2﹣4），=2y（x+2）（x﹣2）．故答案为：2y（x+2）（x﹣2）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．（5分）（2020•内江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB 边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．解答：解∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，∴DC=2EF，AB=5，作AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ADCH为矩形，∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，在Rt△ABH中，AH==2，∴EF=．故答案为：．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．15．（5分）（2020•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是 2 ．考点：根与系数的关系．.分析：找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．解答：解：∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=k，+===3，解得：k=2，故答案为：2．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．16．（5分）（2020•内江）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有2n （n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．.专题：压轴题．分析：本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；…n=n时，根数为：2n（n+1）．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推算步骤）17．（7分）（2020•内江）计算：|﹣2|﹣（π﹣2020）0+（）﹣2﹣2sin60°+．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.分析：本题涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：|﹣2|﹣（π﹣2020）0+（）﹣2﹣2sin60°+=2﹣1+2﹣+2=3+．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简等考点的运算．18．（9分）（2020•内江）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；（2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC=ED．解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC．∴在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．19．（9分）（2020•内江）为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85～10；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D”，100～130分评为“C”，130～145分评为“B”，145～160分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？（3）如果第一组只有一名是女生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图．. 分析：（1）首先根据题意得：本次调查共随机抽取了该年级学生数为：20÷40%=50（名）；则可求得第五组人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14=4（名）；即可补全统计图；（2）由题意可求得：考试成绩评为“B”的学生大约有：×1500=420（名）；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：（1）根据题意得：本次调查共随机抽取了该年级学生数为：20÷40%=50（名）；则第五组人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14=4（名）；如图：（2）根据题意得：考试成绩评为“B”的学生大约有：×1500=420（名）；（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的有10种情况，∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为：=．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率的知识以及直方图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（9分）（2020•内江）我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）考点解直角三角形的应用-方向角问题．.：分析：根据题意，在△MNP中，∠MNP=30°，∠PMN=45°，MN=2千米，是否搬迁看P 点到MN的距离与0.6的大小关系，若距离大于0.6千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此求P点到MN的距离，作PD⊥MN于D点．解答：解：过点P作PD⊥MN于D∴MD=PD•cot45°=PD，ND=PD•cot30°=PD，∵MD+ND=MN=2，即PD+PD=2，∴PD==﹣1≈1.73﹣1=0.73＞0.6．答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．点评：考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．21．（10分）（2020•内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．.分析：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：，得到，根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；（3）当电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元时，则利润y=（k﹣50）x+15000，分两种情况讨论：当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．解答：解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据题意得：，解得：x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：，解得：，∵x为正整数，∴x=34，35，36，37，38，39，40，∴合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，∵，∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，∵，∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答时根据总利润═冰箱的利润+空调的利润建立解析式是关键．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）22．（6分）（2020•内江）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= 6．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理．.分析：由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC 是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长．解答：解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===6，故答案为：6．°点评：此题考查了含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23．（6分）（2020•内江）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线l：y=x+b （b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则t an∠OPQ=．考点：一次函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．.分析：设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，根据三角形内角和定理求得∴∠OAB=∠OPQ，根据一次函数图象上点的坐标特征求得tan∠OAB=，进而就可求得．解答：解：如图，设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，∵∠AOB=∠PQB=90°，∠ABO=∠PBQ，∴∠OAB=∠OPQ，由直线的斜率可知：tan∠OAB=，∴tan∠OPQ=；故答案为．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，求得∠OAB=∠OPQ 是解题的关键．24．（6分）（2020•内江）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O 是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①CH⊥BE；②HO BG；③S正方形ABCD ：S正方形ECGF=1：；④EM：MG=1：（1+），其中正确结论的序号为②．考点：四边形综合题．.分析：证明△BCE≌△DCG，即可证得∠BEC=∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得∠EHG=90°，则HG⊥BE，然后证明△BGH≌△EGH，则H是BE的中点，则OH 是△BGE的中位线，根据三角形的中位线定理即可判断②．根据△DHN∽△DGC求得两个三角形的边长的比，则③④即可判断．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，同理可得CE=CG，∠DCG=90°，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG，∴∠BEC=∠DGC，∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，∴∠EDH+∠BEC=90°，∴∠EHD=90°，∴HG⊥BE，则CH⊥BE错误，则故①错误；∵在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH，∴BH=EH，又∵O是EG的中点，∴HO BG，故②正确；设EC和OH相交于点N．设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴，即，即a2+2ab﹣b2=0，解得：a=或a=（舍去），则，则S正方形ABCD ：S正方形ECGF=（）2=，故③错误；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴=，∴，∴===．故④错误．故正确的是②．故答案是：②．点评：本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．25．（6分）（2020•内江）已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2020|a﹣b|= 1 ．考点：因式分解的应用；零指数幂．.分析：由于a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2﹣b2=﹣，则有（a+b）（a﹣b）=，分解因式可得a=b，依此可得2020|a﹣b|=20200，再根据零指数幂的计算法则计算即可求解．解答：解：∵a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2﹣b2=﹣，（a+b）（a﹣b）=，[ab（a+b）+1]（a﹣b）=0，∴a﹣b=0，即a=b，∴2020|a﹣b|=20200=1．故答案为：1．点评：考查了因式分解的应用，零指数幂，本题关键是得到a=b．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）26．（12分）（2020•内江）（1）填空：（a﹣b）（a+b）= a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）= a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= a4﹣b4．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）= a n﹣b n（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．考点：平方差公式．.专题：规律型．分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．解答：解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．点评：此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．27．（12分）（2020•内江）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．考点：圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．.专题：综合题．分析：（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．解答：解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH=h．在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，∴h=OC•sin60°=OC，∴OC==h，∴AB=2OC=h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时F H=OF•sin∠FOH=OF=6，则OF=4，AB=2OF=8．∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．点评：本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．28．（12分）（2020•内江）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质．.专题：综合题．分析：（1）可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，然后只需运用待定系数法就可解决问题；（2）当﹣＜t＜2时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO．由于PO=，需分﹣＜t＜0和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可解决问题．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题可得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，=﹣t2+t+1，∴NP==yN∴S=AB•PN=×（2+）×（﹣t2+t+1）=（﹣t2+t+1）=﹣t2+t+；（3）∵△OPN∽△COB，∴=，∴=，∴PN=2PO．①当﹣＜t＜0时，PN==yN=﹣t2+t+1，PO==﹣t，∴﹣t2+t+1=﹣2t，整理得：3t2﹣9t﹣2=0，解得：t1=，t2=．∵＞0，﹣＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；②当0＜t＜2时，PN==yN=﹣t2+t+1，PO==t，∴﹣t2+t+1=2t，整理得：3t2﹣t﹣2=0，解得：t3=﹣，t4=1．∵﹣＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，需要注意的是：用点的坐标表示相关线段的长度时，应先用坐标的绝对值表示线段的长度，然后根据坐标的正负去绝对值；解方程后要检验，不符合条件的解要舍去．。

2020年四川省内江市中考数学试卷(有详细解析)

2020年四川省内江市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.12的倒数是()A. 2B. 12C. −12D. −22.下列四个数中，最小的数是()A. 0B. −12020C. 5D. −13.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.如图，已知直线a//b，∠1=50°，则∠2的度数为()A. 140°B. 130°C. 50°D. 40°5.小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是()A. 80，90B. 90，90C. 90，85D. 90，956.将直线y=−2x−1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为()A. y=−2x−5B. y=−2x−3C. y=−2x+1D. y=−2x+37.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED=15，则S△ABC=()A. 30B. 25C. 22.5D. 208.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是AC⏜的中点，则∠D的度数是()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°9.如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为()A. 43B. 83C. 3D. 410.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是()A. 12x=(x−5)−5 B. 12x=(x+5)+5C. 2x=(x−5)−5D. 2x=(x+5)+511.如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF.已知AB=3，BC=4，则EF的长为()A. 3B. 5C. 5√136D. √1312.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y=tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则t的取值范围是()A. 12≤t<2 B. 12<t≤1C. 1<t≤2D. 12≤t≤2且t≠1二、填空题（本大题共8小题，共44.0分）13.函数y=12x−4中，自变量x的取值范围是______ ．14.2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为______．15.已知关于x的一元二次方程(m−1)2x2+3mx+3=0有一实数根为−1，则该方程的另一个实数根为______．16.如图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为______．17.分解因式：b4−b2−12=______．18.若数a使关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组{y−34−y+13≥−13122(y−a)<0的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为______．19.如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,0)，直线l：y=√33x+√33与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1//x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2//x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是______．20.已知抛物线y1=−x2+4x(如图)和直线y2=2x+b.我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2.若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1=y2，记M=y1=y2.①当x=2时，M的最大值为4；②当b=−3时，使M>y2的x的取值范围是−1<x<3；③当b=−5时，使M=3的x的值是x1=1，x2=3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是______.(填写所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共8小题，共70.0分）)−1−|−2|+4sin60°−√12+(π−3)0．21.计算：(−1222.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB//CD，AE=DF，∠A=∠D．(1)求证：AB=CD；(2)若AB=CF，∠B=40°，求∠D的度数．23.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．(1)成绩为“B等级”的学生人数有______名；(2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为______，图中m的值为______；(3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．24.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．(1)求B处到灯塔P的距离；(2)已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？25.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)设OE交⊙O于点F，若DF=2，BC=4√3，求线段EF的长；(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．26.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n(m,n是正整数，且m≤n)，在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f(x)=mn．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18−1>9−2>6−3，所以3×6是18的最佳分解，所以f(18)=36=12．(1)填空：f(6)=______；f(9)=______；(2)一个两位正整数t(t=10a+b,1≤a≤b≤9,a，b为正整数)，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f(t)的最大值；(3)填空：①f(22×3×5×7)=______；②f(23×3×5×7)=______；③f(24×3×5×7)=______；④f(25×3×5×7)=______．27.如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(不与A、C重合)，连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．(1)连结CQ，求证：AP=CQ；AC，求CE：BC的值；(2)若AP=14(3)求证：PF=EQ．28.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点，点D(x,y)为抛物线上第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.A×2=1，解：∵12∴1的倒数是2，22.D|<|−1|，解：∵|−12020>−1，∴−12020∴5>1>−1>−1，2020因此最小的是−1，3.C解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．4.B解：∵直线a//b，∴∠3=∠1=50°．又∵∠2+∠3=180°，∴∠2=130°．5.B解：将数据重新排列为80，85，90，90，95，所以这组数据的中位数是90，众数为90，6.C解：直线y=−2x−1向上平移两个单位，所得的直线是y=−2x+1，7.D解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE//BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(DEBC)2=14，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，即S△ADE：15=1：3，∴S△ADE=5，∴S△ABC=5+15=20．8.A解：连接OB，如图，∵点B是AC⏜的中点，∴∠AOB=∠COB=12∠AOC=12×120°=60°，∴∠D=12∠AOB=30°．解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，∴△AOC的面积为2，∵S△AOC=12|k|=2，且反比例函数y=kx图象在第一象限，∴k=4，10.A解：设绳索长x尺，则竿长(x−5)尺，依题意，得：12x=(x−5)−5．11.C解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠C=∠EDF=90°，∴BD=√AB2+AD2=√32+42=5，∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，∴AE=EM，∠A=∠BME=90°，∴∠EMD=90°，∵∠EDM=∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴EDBD =EMAB，设DE=x，则AE=EM=4−x，∴x5=4−x3，解得x=52，∴DE=52，同理△DNF∽△DCB，∴DF BD =NF BC ，设DF =y ，则CF =NF =3−y ，∴y5=3−y4，解得y =53．∴DF =53． ∴EF =√DE 2+DF 2=√(52)2+(53)2=5√136． 12. D解：∵y =tx +2t +2=t(x +2)+2(t >0)，∴直线y =tx +2t +2(t >0)经过点(−2,2)，如图，当直线经过(0,3)时，直线y =tx +2t +2(t >0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则3=2t +2，解得t =12；当直线经过(0,6)时，直线y =tx +2t +2(t >0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则6=2t +2，解得t =2；当直线经过(0,4)时，直线y =tx +2t +2(t >0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有三个整点，则4=2t +2，解得t =1；∴直线y =tx +2t +2(t >0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则t 的取值范围是12≤t ≤2且t ≠1，13.x≠2解：根据题意得2x−4≠0，解得x≠2；∴自变量x的取值范围是x≠2．14.7×108解：7亿=700000000=7×108，15.−13解：把x=−1代入原方程得，(m−1)2−3m+3=0，即：m2−5m+4=0，解得，m=4，m=1(不合题意舍去)，当m=4时，原方程变为：9x2+12x+3=0，即，3x2+4x+1=0，，解得，x1=−1，x2=−1316.15解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA=BA′，∠ABD=∠DBA′=30°，∴∠ABA′=60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，在Rt△ABD中，AB=ADtan30∘=10√3，∵A′H⊥AB，∴AH=HB=5√3，∴A′H=√3AH=15，∵AM+MN=A′M+MN≤A′H，∴AM+MN≤15，∴AM+MN的最小值为15．17.(b+2)(b−2)(b2+3)解：b4−b2−12=(b2−4)(b2+3)=(b+2)(b−2)(b2+3)，故答案为：(b+2)(b−2)(b2+3)．18.40解：去分母，得：x+2−a=3(x−1)，解得：x=5−a2，∵分式方程的解为非负数，∴5−a2≥0，且5−a2≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式y−34−y+13≥−1312，得：y≤0，解不等式2(y−a)<0，得：y<a，∵不等式组的解集为y≤0，∴a>0，∴0<a≤5，则整数a的值为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5=40，19.22020−12√3解：∵直线l：y=√33x+√33与x轴交于点B，∴B(−1,0)，∴OB=1，∵A(−2,0)，∴OA=2，∴AB=1，∵△ABA1是等边三角形，∴A1(−32,√32)，把y=√32代入y=√33x+√33，求得x=12，∴B1(12,√32)，∴A1B1=2，∴A2(−12,√32+√32×2)，即A2(−12,3√32)，把y=3√32代入y=√33x+√33，求得x=72，∴B2(72,3√32)，∴A2B2=4，∴A3(3,3√32+√32×4)，即A3(3,7√32)，……，A n的纵坐标为2n−12√3，∴点A2020的纵坐标是22020−12√3，20.②③④解：①当x =2时，y 1=4，y 2=4+b ，无法判断4与4+b 的大小，故①错误． ②如图1中，b =−3时，由{y =−x 2+4x y =2x −3，解得{x =−1y =−5或{x =3y =3， ∴两个函数图象的交点坐标为(−1,−5)和(3,3)，观察图象可知，使M >y 2的x 的取值范围是−1<x <3，故②正确， ③如图2中，b =−5时，图象如图所示，M =3时，y 1=3，∴−x 2+4x =3，解得x =1或3，故③正确，④当b =1时，由{y =2x +1y =−x 2+4x，消去y 得到，x 2−2x +1=0， ∵△=0，∴此时直线y =2x +1与抛物线只有一个交点，∴b >1时，直线y =2x +b 与抛物线没有交点，∴M 随x 的增大而增大，故④正确．21. 解：原式=−2−2+4×√32−2√3+1 =−2−2+2√3−2√3+1=−3．22. (1)证明：∵AB//CD ，∴∠B =∠C ，在△ABE 和△CDF 中，{∠A =∠D ∠B =∠C AE =DF，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AB =CD ；(2)解：∵△ABE≌△CDF ，∴AB =CD ，BE =CF ，∠B =∠C ，∵∠B =40°，∴∠C =40°∵AB =CF ，∴CF =CD ，∴∠D =∠CFE =12(180°−40 °)=70°．23. 5 72° 40解：(1)3÷15%=20(名)，20−3−8−4=5(名)，故答案为：5；(2)360°×420=72°，8÷20=40%，即m=40，故答案为：72°，40；(3)“A等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，∴P(女生被选中)=46=23．24.解：(1)∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°−∠PAB−∠ABP=30°，∴PB=AB=60海里；(2)作PH⊥AB于H．∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=60，在Rt△PBH中，PH=PB⋅sin60°=60×√32=30√3，∵30√3>50，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．25.(1)证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂直平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中{OC=OB OE=OE EC=EB，∴△OCE≌△OBE(SSS)，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；(2)解：设⊙O的半径为x，则OD=OF−DF=x−2，OB=x，在Rt△OBD中，BD=12BC=2√3，∵OD2+BD2=OB2，∴(x−2)2+(2√3)2=x2，解得x=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴OE=2OB=8，∴EF=OE−OF=8−4=4．(3)∵∠BOE =60°，∠OBE =90°，∴在Rt △OBE 中，BE =√3OB =4√3，∴S 阴影=S 四边形OBEC −S 扇形OBC=2×12×4×4√3−120⋅π×42360， =16√3−16π3．26. 23 1 2021 2435 3548 2435解：(1)6可分解成1×6，2×3，∵6−1>3−2，∴2×3是6的最佳分解，∴f(6)=23，9可分解成1×9，3×3，∵9−1>3−3，∴3×3是9的最佳分解，∴f(9)=33=1，故答案为：23；1； (2)设交换t 的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10b +a ，根据题意得，t′−t =(10b +a)−(10a +b)=9(b −a)=54， ∴b =a +6，∵1≤a ≤b ≤9，a ，b 为正整数，∴满足条件的t 为：17，28，39；∵F(17)=117，F(28)=47，F(39)=139，∵47>117>139，∴F(t)的最大值为47； (3)①∵22×3×5×7的是最佳分解为20×21，∴f(22×3×5×7)=2021，故答案为：2021；②∵23×3×5×7的最佳分解为24×35，∴f(23×3×5×7)=2435，故答案为2435；③∵24×3×5×7的最佳分解是35×48，∴f(24×3×5×7)=3548，故答案为：3548；④∵25×3×5×7的最佳分解是48×70，∴f(25×3×5×7)=4870=2435，故答案为：2435．27.(1)证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，∴BP=BQ，∠PBQ=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°．∴∠ABC=∠PBQ．∴∠ABC−∠PBC=∠PBQ−∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．在△BAP和△BCQ中，∵{BA=BC∠ABP=∠CBQ BP=BQ，∴△BAP≌△BCQ(SAS)．∴CQ=AP．(2)解：过点C作CH⊥PQ于H，过点B作BT⊥PQ于T．∵AP=14AC，∴可以假设AP=CQ=a，则PC=3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAP=45°，∴∠PCQ=90°，∴PQ=√PC2+CQ2=√(3a)2+a2=√10a，∵CH⊥PQ，∴CH=PC⋅CQPQ =3√1010a，∵BP=BQ，BT⊥PQ，∴PT=TQ，∵∠PBQ=90°，∴BT=12PQ=√102a，∵CH//BT ， ∴CE EB =CH BT =3√1010a √102a =35， ∴CE CB =38．(3)解：结论：PF =EQ ，理由是：如图2，当F 在边AD 上时，过P 作PG ⊥FQ ，交AB 于G ，则∠GPF =90°，∵∠BPQ =45°，∴∠GPB =45°，∴∠GPB =∠PQB =45°，∵PB =BQ ，∠ABP =∠CBQ ，∴△PGB≌△QEB ，∴EQ =PG ，∵∠BAD =90°，∴F 、A 、G 、P 四点共圆，连接FG ，∴∠FGP =∠FAP =45°，∴△FPG 是等腰直角三角形，∴PF =PG ，∴PF =EQ ．28. 解：(1)将A(−1,0)、B(4,0)、C(0,2)代入y =ax 2+bx +c 得：{a −b +c =016a +4b +c =0c =2，解得：{a =−12b =32c =2．故抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2． (2)如图2，设点M 的坐标为(0,m)，使得△BCM 的面积为3，3×2÷4=1.5，则m =2+1.5=72， M(0,72) ∵点B(4,0)，C(0,2)，∴直线BC 的解析式为y =−12x +2，∴DM 的解析式为y =−12x +72，联立抛物线解析式{y =−12x +72y =−12x 2+32x +2，解得{x 1=3y 1=2，{x 2=1y 2=3． ∴点D 的坐标为(3,2)或(1,3)．(3)分两种情况考虑：①当∠DCE =2∠ABC 时，取点F(0,−2)，连接BF ，如图3所示．∵OC =OF ，OB ⊥CF ，∴∠ABC =∠ABF ，∴∠CBF =2∠ABC ．∵∠DCB =2∠ABC ，∴∠DCB =∠CBF ，∴CD//BF ．∵点B(4,0)，F(0,−2)，∴直线BF 的解析式为y =12x −2， ∴直线CD 的解析式为y =12x +2．联立直线CD 及抛物线的解析式成方程组得：{y =12x +2y =−12x 2+32x +2，解得：{x 1=0y 1=2(舍去)，{x 2=2y 2=3， ∴点D 的坐标为(2,3)；②当∠CDE =2∠ABC 时，过点C 作CN ⊥BF 于点N ，交OB 于H.作点N 关于BC 的对称点P ，连接NP 交BC 于点Q ，如图4所示．∵∠OCH =90°−∠OHC ，∠OBF =90°−∠BHN ，∠OHC =∠BHN ，∴∠OCH =∠OBF ．在△OCH 与△OBF 中{∠COH =∠BOF =90∘∠OCH =∠OBF， ∴△OCH∽△OBF ，∴OHOF =OC OB ，即OH 2=24，∴OH =1，H(1,0)．设直线CN 的解析式为y =kx +n(k ≠0)，∵C(0,2)，H(1,0)，∴{n =2k +n =0，解得{k =−2n =2， ∴直线CN 的解析式为y =−2x +2．连接直线BF 及直线CN 成方程组得：{y =12x −2y =−2x +2，解得：{x =85y =−65， ∴点N 的坐标为(85,−65).∵点B(4,0)，C(0,2)，∴直线BC 的解析式为y =−12x +2． ∵NP ⊥BC ，且点N(85,−65)，∴直线NP 的解析式为y =2x −225．联立直线BC 及直线NP 成方程组得：{y =−12x +2y =2x −225，解得：{x =6425y =1825， ∴点Q 的坐标为(6425,1825). ∵点N(85,−65)，点N ，P 关于BC 对称，∴点P 的坐标为(8825,6625).∵点C(0,2)，P(8825,6625)， ∴直线CP 的解析式为y =211x +2．将y =211x +2代入y =−12x 2+32x +2整理，得：11x 2−29x =0，解得：x 1=0(舍去)，x 2=2911，∴点D 的横坐标为2911．综上所述：存在点D ，使得△CDE 的某个角恰好等于∠ABC 的2倍，点D 的横坐标为2或2911．。

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2020年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、下列四个实数中，比1-小的数是（）A 、2-B 、0C 、1D 、22、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）A 、32°B 、58°C 、68°D 、60°3、某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m ，用科学记数法表示这个数是（）A 、79.410-⨯mB 、79.410⨯mC 、89.410-⨯mD 、89.410⨯m 4、在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、为了解某市参加中考的32000名学生的体质情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．下面叙述正确的是（）A 、32000名学生是总体B 、1600名学生的体重是总体的一个样本C 、每名学生是总体的一个个体D 、以上调査是普查6、下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A 、正三角形B 、正方形C 、正五边形D 、正六边形 7、某中学数学兴趣小组12名成员的年龄悄况如下：年龄（岁） 12 13 14 15 16人数 1 4 3 2 2则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是（）A 、15，16B 、13，15C 、13，14D 、14，148、由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）9、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O 的半径0C 为2，则弦BC 的长为（）A 、1B 3C 、2D 、 10、小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A ，再走下坡路到达点B ，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示．放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是（）A 、14分钟B 、17分钟C 、18分钟D 、20分钟11、如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC 的面积为（）A 、B 、15C 、D 、 12、如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上，边0C 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的坐标为（） A 、412()55-，B 、213()55-， C 、113()25-， D 、312()55-，二、填空题{本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将最后答案直接写在题中横线上.）13、“Welcomc to Senior High School ．”（欢迎进入高中），在这段句子的所有英文字母中，字母O 出现的频率是________。

2020年四川内江中考数学试题(word版有答案)

10.如图3，在矩形中，点分别在上，将矩形沿折叠，使点分别落在矩形外部的点处，则阴影部分图形的周长为（）
A.15 B.20 C.25 D.30
11.如图4所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）
A. B. C. D.
图 2 图3 图4
12. 如图5，正的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm
能使的面积为1的概率是
16.如图8，四边形是梯形，若则
图6图7图8
3、解答题（共44分）
17.（7分）计算：
18.（9分）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形 .
如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米，背水坡面的长为米，加固后
大坝的横截面积为梯形的长为8米。
（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后的大坝背水坡面的坡度。
19.(9分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，
搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下
表所示，结合上述信息，解答下列问题：
(2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；
(3)在抛物线上是否存在点N，使得 ?如果存在，那么这样的点有几个？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。
点是延长线的交点，AG与CD相交于点F。
（1）求证：四边形是正方形；
（2）当时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。
内江市二0一二年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷
数学
B卷（共60分）

2020年四川省内江市中考数学试题及答案

BACD内江市二○二○年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷数学试题班级：学号：姓名：成绩：本试卷分为A 卷和B 卷两部分。

A 卷1至6页，满分100分；B 卷7至10页，满分60分。

全卷满分160分，考试时间120分钟。

题号A 卷B 卷总分一二三四五17 18 19 20 21 26 27 28 得分A 卷（共100分）注意事项：1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好。

2、答A 卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。

第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、21的倒数是（） A 、2B 、21 C 、21-D 、2-2、下列四个数中，最小的数是（） A 、0B 、20201-C 、5D 、1-3、下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）4、如图，已知直线b a //，︒=∠501，则2∠的度数为（） A 、︒140 B 、︒130 C 、︒50 D 、︒401a2 b5、小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A 、80，90B 、90，90C 、90，85D 、90，95 6、将直线12--=x y 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（） A 、52--=x y B 、32--=x y C 、12+-=x y D 、32+-=x y 7、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15=BCED S 四边形，则=∆ABC S （） A 、30 B 、25 C 、22.5 D 、208、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，︒=∠120AOC ，点B 是⌒AC 的中点，则D ∠的度数是（） A 、︒30 B 、︒40 C 、︒50 D 、︒60 9、如图，点A 是反比例函数xky =图象上的一点，过点A 作x AC ⊥轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若AOD ∆的面积为1，则k 的值为（）A 、34 B 、38C 、3D 、410、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托。

2020年四川内江中考数学试题及答案

2020年四川内江中考数学试题及答案A 卷（共100分）注意事项：1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好．2、答A 卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号．第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.12的倒数是（） A.B. C. 12 D. 12- 【答案】A 2.下列四个数中，最小的数是（）A. 0B. 12020-C. 5D. 1-【答案】D3.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D.【答案】B4.如图，已知直线//a b ，150∠=︒，则2∠的度数为（）A. 140︒B. 130︒C. 50︒D. 40︒【答案】B 5.小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A. 80，90B. 90，90C. 90，85D. 90，95【答案】B6.将直线21y x =--向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A. 25y x =--B. 23y x =--C. 21y x =-+D. 23y x =-+【答案】C7.如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A. 30B. 25C. 22．5D. 20【答案】D 8.如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，120AOC ∠=︒，点B 是AC 的中点，则D ∠的度数是（）A. 30B. 40︒C. 50︒D. 60︒【答案】A 9.如图，点A 是反比例函数k y x=图象上的一点，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若AOD ∆的面积为1，则k 的值为（）A. 43B. 83C. 3D. 4【答案】D10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（） A. ()1552x x =-- B. ()1552x x =++ C . ()255x x =--D. ()255x x =++【答案】A11.如图，矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上的点N 处，连结EF ．已知34AB BC ==，，则EF 的长为（）A. 3B. 5 513 13【答案】C 12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线22y tx t =++（0t >）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（）A. 122t ≤<B.112t <≤ C. 12t <≤D. 122t ≤≤且1t ≠ 【答案】D第Ⅱ卷（非选择题共64分）注意事项：1、第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上．2、答题前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数124y x =-中，自变量x 的取值范围是_____ ．【答案】2x ≠14.2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为______________【答案】8710⨯15.已知关于x 的一元二次方程()221330m x mx -++=有一实数根为1-，则该方程的另一个实数根为_____________ 【答案】13- 16.如图，在矩形ABCD 中，10BC =，30ABD ∠=︒，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM MN +的最小值为___________________．【答案】15.三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17.计算：()10124sin 601232π-⎛⎫---+︒-+- ⎪⎝⎭ 【答案】-318.如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB ∥CD ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ．（1）求证：AB =CD ；（2）若AB ＝CF ，∠B ＝40°，求∠D 的度数．【答案】（1）AB ＝CD （2）70°19.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为，图中m的值为；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．【答案】（1）5（2）72°；40（3）2 320.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60︒方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】（1）B处到灯塔P的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的21.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若243DF BC==，EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）EF=4；（3）16 1633π-B卷（共60分）四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22.分解因式：4212b b--=_____________【答案】()()()2322b b b++-23.若数a使关于x的分式方程2311x ax x++=--的解为非负数，且使关于y的不等式组()3113431220y yy a-+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y≤，则符合条件的所有整数a的积为_____________【答案】4024.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，0），直线33:33l y x=+与x轴交于点B，以AB为边作等边1ABA∆，过点1A作11//A B x轴，交直线l于点1B，以11A B为边作等边112A B A∆，过点2A作22//A B x轴，交直线l于点2B，以22A B为边作等边223A B A∆，以此类推……，则点2020A的纵坐标是______________ 202031)-25.已知抛物线214y x x =-+（如图）和直线22y x b =+．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为1y 和2y ．若12y y ≠，取1y 和2y 中较大者为M ；若12y y =，记12M y y ==．①当2x =时，M 的最大值为4；②当3b =-时，使2M y >的x 的取值范围是13x ；③当5b =-时，使3M =的x 的值是11x =，23x =；④当1b ≥时，M 随x 的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）【答案】②③④五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26.我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：x m n =⨯（m ，n 是正整数，且m n ≤），在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n ⨯是x 的最佳分解．并规定：()m f x n =．例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以()311862f ==．（1）填空：()6________f =；()9_________f =；（2）一个两位正整数t （10t a b =+，19a b ≤≤≤，a ，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求()f t 的最大值；（3）填空：①()22357_____________f ⨯⨯⨯=；②()32357_____________f ⨯⨯⨯=；③()42357_____________f ⨯⨯⨯=；④()52357_____________f ⨯⨯⨯=．【答案】（1）23；1；（2）t 为39，28，17；()f t 的最大值47；（3）20141514,,,2115281527.如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F ．（1）连结CQ ，求证：AP CQ =；（2）若14AP AC =，求:CE BC 的值；（3）求证：PF EQ =．【答案】(1)见解析；(2) 38；(3)见解析 28.如图，抛物线2y ax bx c =++经过A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点，点D （x ，y ）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当BCD ∆的面积为3时，求点D 的坐标；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE ∆中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）（3，2）或（1，3）；（3）存在，2或2911．。

2020年四川省内江市中考数学试卷和答案解析

2020年四川省内江市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）的倒数是（）A．2B．C．﹣D．﹣2解析：根据乘积为1的两个数是互为倒数，进行求解即可．参考答案：解：∵×2＝1，∴的倒数是2，故选：A．点拨：本题考查倒数的意义，理解和掌握乘积为1的两个数是互为倒数是正确解答的前提．2．（3分）下列四个数中，最小的数是（）A．0B．﹣C．5D．﹣1解析：根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小得出答案．参考答案：解：∵|﹣|＜|﹣1|，∴﹣＞﹣1，∴5＞0＞﹣＞﹣1，因此最小的数是﹣1，故选：D．点拨：本题考查有理数的大小比较，掌握两个负数比较，绝对值大的反而小，是正确判断的前提．3．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．参考答案：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．点拨：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．50°D．40°解析：由直线a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，再结合∠2和∠3互补，即可求出∠2的度数．参考答案：解：∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝50°．又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝130°．故选：B．点拨：本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．5．（3分）小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．80，90B．90，90C．90，85D．90，95解析：先将数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解可得．参考答案：解：将数据重新排列为80，85，90，90，95，所以这组数据的中位数是90，众数为90，故选：B．点拨：本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．（3分）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+3解析：根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案．参考答案：解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，故选：C．点拨：本题考查了一次函数图象与几何变换，图象平移的规律是：上加下减，左加右减．7．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（）A．30B．25C．22.5D．20解析：先根据三角形中位线的性质，证得：DE∥BC，DE＝BC，进而得出△ADE∽△ABC，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．参考答案：解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，即S△ADE：15＝1：3，∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故选：D．点拨：此题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．8．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°解析：连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．参考答案：解：连接OB，如图，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：A．点拨：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（3分）如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（）A．B．C．3D．4解析：根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．参考答案：解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，∴△AOC的面积为2，∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函数y＝图象在第一象限，∴k＝4，故选：D．点拨：本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．10．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（）A．x＝（x﹣5）﹣5B．x＝（x+5）+5C．2x＝（x﹣5）﹣5D．2x＝（x+5）+5解析：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．参考答案：解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．故选：A．点拨：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．11．（3分）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．解析：求出BD＝5，AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，证明△EDM∽△BDA，由相似三角形的性质得出，设DE＝x，则AE＝EM ＝4﹣x，得出，解得x＝，同理△DNF∽△DCB，得出，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，则，解得y＝．由勾股定理即可求出EF的长．参考答案：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，∴BD＝＝＝5，∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M 处，∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，∴∠EMD＝90°，∵∠EDM＝∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，∴，解得x＝，∴DE＝，同理△DNF∽△DCB，∴，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，∴，解得y＝．∴DF＝．∴EF＝＝＝．故选：C．点拨：本题考查了翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键．12．（3分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（）A．≤t＜2B．＜t≤1C．1＜t≤2D．≤t≤2且t≠1解析：由y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），得出直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论．参考答案：解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则3＝2t+2，解得t＝；当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则6＝2t+2，解得t＝2；当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则4＝2t+2，解得t＝1；∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是≤t≤2且t≠1，故选：D．点拨：本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠2．解析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0；参考答案：解：根据题意得2x﹣4≠0，解得x≠2；∴自变量x的取值范围是x≠2．点拨：当函数表达式是分式时，分式要有意义，则考虑分式的分母不能为0．14．（5分）2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为7×108．解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．参考答案：解：7亿＝700000000＝7×108，故答案为：7×108．点拨：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15．（5分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为﹣．解析：把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．参考答案：解：∵方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0是关于x的一元二次方程，∴（m﹣1）2≠0即m≠1．把x＝﹣1代入原方程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，由根与系数的关系得：x1•x2＝，又x1＝﹣1，∴x2＝﹣故答案为：﹣．点拨：本题考查一元二次方程根的意义和解法，求解一元二次方程是得出正确答案的关键．16．（5分）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．解析：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H ⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．参考答案：解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．点拨：本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17．（7分）计算：（﹣）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°﹣+（π﹣3）0．解析：先计算负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．参考答案：解：原式＝﹣2﹣2+4×﹣2+1＝﹣2﹣2+2﹣2+1＝﹣3．点拨：本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂和零指数幂的规定、熟记三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质．18．（9分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC 异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．解析：（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE ≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．参考答案：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．点拨：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF 是解此题的关键．19．（9分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有5名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为72°，图中m的值为40；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中间选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．解析：（1）A等的有3人，占调查人数的15%，可求出调查人数，进而求出B等的人数；（2）D等级占调查人数的，因此相应的圆心角为360°的即可，计算C等级所占的百分比，即可求出m的值；（3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．参考答案：解：（1）3÷15%＝20（名），20﹣3﹣8﹣4＝5（名），故答案为：5；（2）360°×＝72°，8÷20＝40%，即m＝40，故答案为：72°，40；（3）“A等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，∴P（女生被选中）＝＝．点拨：本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是求概率的前提．20．（9分）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？解析：（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定．参考答案：解：（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴PB＝AB＝60海里；（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝60，在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝60×＝30，∵30＞50，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．点拨：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC 于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．解析：（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD＝BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB＝EC，证明△OCE≌△OBE（SSS），得出∠OBE＝∠OCE＝90°，根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为x，则OD＝x﹣2，OB＝x，由勾股定理得出（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，求出OE的长，则可求出EF的长；（3）由扇形的面积公式可得出答案．参考答案：（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD＝BC＝2，∵OD2+BD2＝OB2，∴（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE＝OB＝4，∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC＝2××4×4﹣，＝16﹣．点拨：本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．（6分）分解因式：b4﹣b2﹣12＝（b+2）（b﹣2）（b2+3）．解析：先利用十字相乘法，再利用平方差公式进行因式分解即可．参考答案：解：b4﹣b2﹣12＝（b2﹣4）（b2+3）＝（b+2）（b﹣2）（b2+3），故答案为：（b+2）（b﹣2）（b2+3）．点拨：本题考查十字相乘法、公式法分解因式，掌握十字相乘法、公式法的结构特征是正确应用的前提．23．（6分）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为40．解析：解分式方程的得出x＝，根据解为非负数得出≥0，且≠1，据此求出a≤5且a≠3；解不等式组两个不等式得出y≤0且y＜a，根据解集为y≤0得出a＞0；综合以上两点得出整数a的值，从而得出答案．参考答案：解：去分母，得：x+2﹣a＝3（x﹣1），解得：x＝，∵分式方程的解为非负数，∴≥0，且≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式﹣≥﹣，得：y≤0，解不等式2（y﹣a）＜0，得：y＜a，∵不等式组的解集为y≤0，∴a＞0，∴0＜a≤5，则整数a的值为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，故答案为：40．点拨：本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出a的取值范围．24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y ＝x+与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是．解析：先根据解析式求得B的坐标，即可求得AB＝1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到A n 的纵坐标为，据此可得点A2020的纵坐标．参考答案：解：∵直线l：y＝x+与x轴交于点B，∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∴AB＝1，∵△ABA1是等边三角形，∴A1（﹣，），把y＝代入y＝x+，求得x＝，∴B1（，），∴A1B1＝2，∴A2（﹣，+×2），即A2（﹣，），把y＝代入y＝x+，求得x＝，∴B2（，），∴A2B2＝4，∴A3（3，+×4），即A3（3，），……，A n的纵坐标为，∴点A 2020的纵坐标是，故答案为．点拨：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得A n的纵坐标为，25．（6分）已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是②④．（填写所有正确结论的序号）解析：①求出y1，y2，求出m的值即可．②求出直线与抛物线的交点坐标，利用图象法解决问题即可．③画出图象，推出M＝3时，y1＝3，y2＝3转化为方程求出x的值即可．④当b＝1时，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，因为△＝0，推出此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，推出b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，由此即可判断．参考答案：解：①当x＝2时，y1＝4，y2＝4+b，无法判断4与4+b 的大小，故①错误．②如图1中，b＝﹣3时，由，解得或，∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3），观察图象可知，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3，故②正确，③如图2中，b＝﹣5时，图象如图所示，M＝3时，y1＝3，∴﹣x2+4x＝3，解得x＝1或3，y2＝3时，3＝2x﹣5，解得x＝4，也符合条件，故③错误，④当b＝1时，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，∵△＝0，∴此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，∴b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，∴M随x的增大而增大，故④正确．故答案为②④．点拨：本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝1；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f （24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．解析：（1）仿照样例进行计算便可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，根据“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”确定出x与y的关系式，进而求出所有的两位数，进而确定出F（t）的最大值即可；（3）根据样例计算便可．参考答案：解：（1）6可分解成1×6，2×3，∵6﹣1＞3﹣2，∴2×3是6的最佳分解，∴f（6）＝，9可分解成1×9，3×3，∵9﹣1＞3﹣3，∴3×3是9的最佳分解，∴f（9）＝＝1，故答案为：；1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，根据题意得，t′﹣t＝（10b+a）﹣（10a+b）＝9（b﹣a）＝54，∴b＝a+6，∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，∴满足条件的t为：17，28，39；∵F（17）＝，F（28）＝，F（39）＝，∵，∴F（t）的最大值为；（3）①∵22×3×5×7的是最佳分解为20×21，∴f（22×3×5×7）＝，故答案为：；②∵23×3×5×7的最佳分解为28×30，∴f（23×3×5×7）＝，故答案为；③∵24×3×5×7的最佳分解是40×42，∴f（24×3×5×7）＝＝，故答案为：；④∵25×3×5×7的最佳分解是56×60，∴f（25×3×5×7）＝＝，故答案为：．点拨：本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．27．（12分）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；（3）求证：PF＝EQ．解析：（1）证明△BAP≌△BCQ（SAS）可得结论．（2）过点C作CH⊥PQ于H，过点B作BT⊥PQ于T．由AP ＝AC，可以假设AP＝CQ＝a，则PC＝3a，解直角三角形求出CH．BT，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）证明△PGB≌△QEB，推出EQ＝PG，再证明△PFG是等腰直角三角形即可．参考答案：（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°．∴∠ABC＝∠PBQ．∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．在△BAP和△BCQ中，∵，∴△BAP≌△BCQ（SAS）．∴CQ＝AP．（2）解：过点C作CH⊥PQ于H，过点B作BT⊥PQ于T．∵AP＝AC，∴可以假设AP＝CQ＝a，则PC＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ＝∠BAP＝45°，∴∠PCQ＝90°，∴PQ＝＝＝a，∵CH⊥PQ，∴CH＝＝a，∵BP＝BQ，BT⊥PQ，∴PT＝TQ，∵∠PBQ＝90°，∴BT＝PQ＝a，∵CH∥BT，∴＝＝＝，∴＝．（3）解：结论：PF＝EQ，理由是：如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°，∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°，∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ＝PG，∵∠BAD＝90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP＝∠FAP＝45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG，∴PF＝EQ．点拨：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE 中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．参考答案：解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y ＝ax2+bx+c得：，解得：．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）法一：如图2，设点M的坐标为（0，m），使得△BCM的面积为3，3×2÷4＝1.5，则m＝2+1.5＝，M（0，）∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴DM的解析式为y＝﹣x+，联立抛物线解析式，解得，．∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．法二：如下图所示，过D作DG⊥x轴，垂足为G点，与BC交于K点，设D（a，b）（其中a＞0，b＞0），∴K（a，2﹣），∴，∴S△BCD＝S△CDK+S△BDK＝＝2b﹣4+a＝3，∴2b+a＝7，∵D在抛物线y＝﹣x2+x+2上，∴b＝，∴a2﹣4a+3＝0，∴（a﹣1）（a﹣3）＝0，∴a＝1或3，∵当a＝1时，b＝3，当a＝3时，b＝2，∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．（3）分两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，如图3所示．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．∵∠DCB＝2∠ABC，∴∠DCB＝∠CBF，∴CD∥BF．∵点B（4，0），F（0，﹣2），∴直线BF的解析式为y＝x﹣2，∴直线CD的解析式为y＝x+2．联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，解得：（舍去），，∴点D的坐标为（2，3）；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图4所示．∵∠OCH＝90°﹣∠OHC，∠OBF＝90°﹣∠BHN，∠OHC＝∠BHN，∴∠OCH＝∠OBF．在△OCH与△OBF中，∴△OCH∽△OBF，∴＝，即＝，∴OH＝1，H（1，0）．设直线CN的解析式为y＝kx+n（k≠0），∵C（0，2），H（1，0），∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝﹣2x+2．联立直线BF及直线CN成方程组得：，解得：，∴点N的坐标为（，﹣）．∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．∵NP⊥BC，且点N（，﹣），∴直线NP的解析式为y＝2x﹣．联立直线BC及直线NP成方程组得：，解得：，∴点Q的坐标为（，）．∵点N（，﹣），点N，P关于BC对称，∴点P的坐标为（，）．∵点C（0，2），P（，），∴直线CP的解析式为y＝x+2．将y＝x+2代入y＝﹣x2+x+2整理，得：11x2﹣29x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴点D的横坐标为．综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．点拨：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作铅垂线，计算三角形面积的方法；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况求出点D的横坐标．。

2020年四川省内江市中考数学试卷(含解析)

2020年四川省内江市市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．的倒数是（）A．2 B．C．﹣D．﹣22．下列四个数中，最小的数是（）A．0 B．﹣C．5 D．﹣13．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，已知直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．50°D．40°5．小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．80，90 B．90，90 C．90，85 D．90，956．将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+37．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（）A．30 B．25 C．22.5 D．208．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（）A．B．C．3 D．410．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（）A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+511．如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（）A．3 B．5 C．D．12．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（）A．≤t＜2 B．＜t≤1C．1＜t≤2 D．≤t≤2且t≠1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为．15．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为．16．如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN 的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．（7分）计算：（﹣）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°﹣+（π﹣3）0．18．（9分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．19．（9分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为，图中m的值为；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．20．（9分）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．B卷（50分）一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．分解因式：b4﹣b2﹣12＝．23．若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为．24．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y＝x+与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是．25．已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是．（填写所有正确结论的序号）二、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f （x）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．27．（12分）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；（3）求证：PF＝EQ．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵×2＝1，∴的倒数是2，故选：A．2．【解答】解：∵|﹣|＜|﹣1|，∴﹣＞﹣1，∴5＞1＞﹣＞﹣1，因此最小的是﹣1，故选：D．3．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．4．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝50°．又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝130°．故选：B．5．【解答】解：将数据重新排列为80，85，90，90，95，所以这组数据的中位数是90，众数为90，故选：B．6．【解答】解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，故选：C．7．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，即S△ADE：15＝1：3，∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故选：D．8．【解答】解：连接OB，如图，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：A．9．【解答】解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，∴△AOC的面积为2，∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函数y＝图象在第一象限，∴k＝4，故选：D．10．【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．故选：A．11．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，∴BD＝＝＝5，∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，∴∠EMD＝90°，∵∠EDM＝∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，∴，解得x＝，∴DE＝，同理△DNF∽△DCB，∴，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，∴，解得y＝．∴DF＝．∴EF＝＝＝．故选：C．12．【解答】解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则3＝2t+2，解得t＝；当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则6＝2t+2，解得t＝2；当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则4＝2t+2，解得t＝1；∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是≤t≤2且t≠1，故选：D．二、填空题13．【解答】解：根据题意得2x﹣4≠0，解得x≠2；∴自变量x的取值范围是x≠2．14．【解答】解：7亿＝700000000＝7×108，故答案为：7×108．15．【解答】解：把x＝﹣1代入原方程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝﹣，故答案为：﹣．16．【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≤A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．三、解答题17．【解答】解：原式＝﹣2﹣2+4×﹣2+1＝﹣2﹣2+2﹣2+1＝﹣3．18．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．19．【解答】解：（1）3÷15%＝20（名），20﹣3﹣8﹣4＝5（名），故答案为：5；（2）360°×＝72°，8÷20＝40%，即m＝40，故答案为：72°，40；（3）“A等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，∴P（女生被选中）＝＝．20．【解答】解：（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴PB＝AB＝60海里；（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝60，在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝60×＝30，∵30＞50，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．21．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD＝BC＝2，∵OD2+BD2＝OB2，∴（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE＝OB＝4，∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC＝2××4×4﹣，＝16﹣．一、填空题22．【解答】解：b4﹣b2﹣12＝（b2﹣4）（b2+3）＝（b+2）（b﹣2）（b2+3），故答案为：（b+2）（b﹣2）（b2+3）．23．【解答】解：去分母，得：x+2﹣a＝3（x﹣1），解得：x＝，∵分式方程的解为非负数，∴≥0，且≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式﹣≥﹣，得：y≤0，解不等式2（y﹣a）＜0，得：y＜a，∵不等式组的解集为y≤0，∴a＞0，∴0＜a≤5，则整数a的值为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，故答案为：40．24．【解答】解：∵直线l：y＝x+与x轴交于点B，∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∴AB＝1，∵△ABA1是等边三角形，∴A1（﹣，），把y＝代入y＝x+，求得x＝，∴B1（，），∴A1B1＝2，∴A2（﹣，+×2），即A2（﹣，），把y＝代入y＝x+，求得x＝，∴B2（，），∴A2B2＝4，∴A3（3，+×4），即A3（3，），……，A n的纵坐标为，∴点A2020的纵坐标是，故答案为．25．【解答】解：①当x＝2时，y1＝4，y2＝4+b，无法判断4与4+b的大小，故①错误．②如图1中，b＝﹣3时，由，解得或，∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3），观察图象可知，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3，故②正确，③如图2中，b＝﹣5时，图象如图所示，M＝3时，y1＝3，∴﹣x2+4x＝3，解得x＝1或3，故③正确，④当b＝1时，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，∵△＝0，∴此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，∴b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，∴M随x的增大而增大，故④正确．二、解答题26．【解答】解：（1）6可分解成1×6，2×3，∵6﹣1＞3﹣2，∴2×3是6的最佳分解，∴f（6）＝，9可分解成1×9，3×3，∵9﹣1＞3﹣3，∴3×3是9的最佳分解，∴f（9）＝＝1，故答案为：；1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，根据题意得，t′﹣t＝（10b+a）﹣（10a+b）＝9（b﹣a）＝54，∴b＝a+6，∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，∴满足条件的t为：17，28，39；∵F（17）＝，F（28）＝，F（39）＝，∵，∴F（t）的最大值为；（3）①∵22×3×5×7的是最佳分解为20×21，∴f（22×3×5×7）＝，故答案为：；②∵23×3×5×7的最佳分解为24×35，∴f（23×3×5×7）＝，故答案为；③∵24×3×5×7的最佳分解是35×48，∴f（24×3×5×7）＝，故答案为：；④∵25×3×5×7的最佳分解是48×70，∴f（25×3×5×7）＝，故答案为：．27．【解答】（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°．∴∠ABC＝∠PBQ．∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．在△BAP和△BCQ中，∵，∴△BAP≌△BCQ（SAS）．∴CQ＝AP．（2）解：过点C作CH⊥PQ于H，过点B作BT⊥PQ于T．∵AP＝AC，∴可以假设AP＝CQ＝a，则PC＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ＝∠BAP＝45°，∴∠PCQ＝90°，∴PQ＝＝＝a，∵CH⊥PQ，∴CH＝＝a，∵BP＝BQ，BT⊥PQ，∴PT＝TQ，∵∠PBQ＝90°，∴BT＝PQ＝a，∵CH∥BT，∴＝＝＝，∴＝．（3）解：结论：PF＝EQ，理由是：如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°，∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°，∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ＝PG，∵∠BAD＝90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP＝∠FAP＝45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG，∴PF＝EQ．28．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图2，设点M的坐标为（0，m），使得△BCM的面积为3，3×2÷4＝1.5，则m＝2+1.5＝，M（0，）∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴DM的解析式为y＝﹣x+，联立抛物线解析式，解得，．∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．（3）分两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，如图3所示．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．∵∠DCB＝2∠ABC，∴∠DCB＝∠CBF，∴CD∥BF．∵点B（4，0），F（0，﹣2），∴直线BF的解析式为y＝x﹣2，∴直线CD的解析式为y＝x+2．联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，解得：（舍去），，∴点D的坐标为（2，3）；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图4所示．∵∠OCH＝90°﹣∠OHC，∠OBF＝90°﹣∠BHN，∠OHC＝∠BHN，∴∠OCH＝∠OBF．在△OCH与△OBF中，∴△OCH∽△OBF，∴＝，即＝，∴OH＝1，H（1，0）．设直线CN的解析式为y＝kx+n（k≠0），∵C（0，2），H（1，0），∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝﹣2x+2．连接直线BF及直线CN成方程组得：，解得：，∴点N的坐标为（，﹣）．∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．∵NP⊥BC，且点N（，﹣），∴直线NP的解析式为y＝2x﹣．联立直线BC及直线NP成方程组得：，解得：，∴点Q的坐标为（，）．∵点N（，﹣），点N，P关于BC对称，∴点P的坐标为（，）．∵点C（0，2），P（，），∴直线CP的解析式为y＝x+2．将y＝x+2代入y＝﹣x2+x+2整理，得：11x2﹣29x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴点D的横坐标为．综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．。

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2020年四川内江中考数学试题及答案A 卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、21的倒数是（） A 、2 B 、21 C 、21-D 、2-2、下列四个数中，最小的数是（） A 、0B 、20201-C 、5D 、1-3、下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）4、如图，已知直线b a //，︒=∠501，则2∠的度数为（） A 、︒140 B 、︒130 C 、︒50 D 、︒405、小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A 、80，90B 、90，90C 、90，85D 、90，95 6、将直线12--=x y 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（） A 、52--=x y B 、32--=x y C 、12+-=x y D 、32+-=x y 7、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15=BCED S 四边形，则=∆ABC S （） A 、30 B 、25 C 、22.5 D 、20B AC D1a2 b8、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，︒=∠120AOC ，点B 是⌒AC 的中点，则D ∠的度数是（） A 、︒30 B 、︒40 C 、︒50 D 、︒60 9、如图，点A 是反比例函数xky =图象上的一点，过点A 作x AC ⊥轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若AOD ∆的面积为1，则k 的值为（）A 、34 B 、38C 、3D 、410、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托。

折回索子却量竿，却比竿子短一托。

”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺。

设绳索长x 尺。

则符合题意的方程是（）A 、()5521--=x x B 、()5521++=x x C 、()552--=x x D 、()552++=x x11、如图，矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上的点N 处，连结EF .已知43==BC AB ，，则EF 的长为（）A 、3B 、5C 、6135 D 、13 12、在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线22++=t tx y （0>t ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（）A 、221<≤t B 、121≤<t C 、21≤<t D 、221≤≤t 且1≠t 第Ⅱ卷（非选择题共64分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）第7题图EB CD A第8题图OBCDAO第9题图xyC D A MNF EB CDA13、在函数421-=x y 中，自变量x 的取值范围是； 14、2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成。

根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为；15、已知关于x 的一元二次方程()033122=++-mx x m 有一实数根为1-，则该方程的另一个实数根为；16、如图，在矩形ABCD 中，10=BC ，︒=∠30ABD ，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则MN AM +的最小值为 .三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17、（本小题满分7分）计算：()0131260sin 4|2|21-+-︒+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--π18、（本小题满分9分）如图，点C 、E 、F 、B 在同一条直线上，点A 、D 在BC 异侧，CD AB //，DF AE =，D A ∠=∠. （1）求证：CD AB =；（2）若CF AB =，︒=∠40B ，求D ∠的度数。

19、（本小题满分9分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图。

请你根据统计图解答下列问题。

MN BCDA DF BCEA等级人数B87 6 5 4 3 2 1 0ACDm % BA C D 15%（1）成绩为“B 等级”的学生人数有名；（2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为，图中m 的值为；（3）学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛。

已知“A 等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率。

20、（本小题满分9分）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理。

如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东︒60方向上，海监船继续向东航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东︒30方向上。

（1）求B 处到灯塔P 的距离；（2）已知灯塔P 的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？21、（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，BC OD ⊥于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE .（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）设OE 交⊙O 于点F ，若342==BC DF ，，求线段EF 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积。

B 卷（共60分）四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。

）EBCA OD F30°BPA60°22、分解因式：__________________1224=--b b ； 23、若数a 使关于x 的分式方程3112=-+-+xax x 的解为非负数，且使关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+--0212133143a y y y 的解集为0≤y ，则符合条件的所有整数a 的积为； 24、如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线3333:+=x y l 与x 轴交于点B ，以AB 为边作1ABA ∆，过点1A 作x B A //11轴，交直线l 于点1B ，以11B A 为边作等边211A B A ∆，过点2A 作x B A //22轴，交直线l 于点2B ，以22B A 为边作等边322A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是；25、已知抛物线x x y 421+-=（如图）和直线b x y +=22.我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为1y 和2y .若21y y ≠，取1y 和2y 中较大者为M ；若21y y =，记21y y M ==.①当2=x 时，M 的最大值为4；②当3-=b 时，使2y M >的x 的取值范围是31<<-x ；③当5-=b 时，使3=M 的x 的值是11=x ，32=x ；④当1≥b 时，M 随x 的增大而增大。

上述结论正确的是；（填写所有正确结论的序号）五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26、我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：n m x ⨯=（m ，n 是正整数，且n m ≤），在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称n m ⨯是x 的最佳分解。

并规定：()nmx f =. 例如：18可以分解成181⨯，92⨯或63⨯，因为3629118->->-，所以63⨯是18的最佳分A 3xy第24题图B OA 2A 1AlB 2B 1 xy第25题图O解，所以()216318==f . （1）填空：()________6=f ；()_________9=f ；（2）一个两位正整数t （b a t +=10，91≤≤≤b a ，a ，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求()t f 的最大值；（3）填空：①()_____________75322=⨯⨯⨯f ；②()_____________75323=⨯⨯⨯f ；③()_____________75324=⨯⨯⨯f ；④()_____________75325=⨯⨯⨯f .27、如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转︒90到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F .（1）连结CQ ，求证：CQ AP =；（2）若AC AP 41=，求BC CE :的值；（3）求证：EQ PF =.28、如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点，点D （x ，y ）为抛物线上第一象限内的一个动点。

（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当BCD ∆的面积为3时，求点D 的坐标；（3）过点D 作BC DE ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE ∆中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由。

CBDQAEP F xyOCBDA参考答案第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、21的倒数是（ A ） A 、2 B 、21 C 、21-D 、2-2、下列四个数中，最小的数是（ D ） A 、0B 、20201-C 、5D 、1-3、下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ C ）4、如图，已知直线b a //，︒=∠501，则2∠的度数为（ B ） A 、︒140 B 、︒130 C 、︒50 D 、︒405、小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（ B ）A 、80，90B 、90，90C 、90，85D 、90，95 6、将直线12--=x y 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ C ） A 、52--=x y B 、32--=x y C 、12+-=x y D 、32+-=x y 7、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15=BCED S 四边形，则=∆ABC S （ D ） A 、30 B 、25 C 、22.5 D 、20B AC D1a2 b8、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，︒=∠120AOC ，点B 是⌒AC 的中点，则D ∠的度数是（ A ） A 、︒30 B 、︒40 C 、︒50 D 、︒60 9、如图，点A 是反比例函数xky =图象上的一点，过点A 作x AC ⊥轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若AOD ∆的面积为1，则k 的值为（ D ）A 、34 B 、38C 、3D 、410、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托。