第十一次可行方向法
可行方向法11
max 1
进行一维搜索, 解
min f ( x 2 d 2 ) 2 2 2 2
0 1
得步长 2
1 2 3 2 2 2 所以 x x d 3 2
1 2
继续迭代,因为
0 d 0
定理 设 x D，在点 x 处有 A x b , A x b , 其中 1 1 2 2 A b 1 ,b 1 A A2 b2 则 x 是 K T点的充要条件是（）的最优目标函数值为0 。 2
（3）搜索步长的确定
已知迭代点 x k 和该点的可行下降方向d k , 则 可令x k 1 x k t k d k 。
2 x1 x2 1 0 x x 2 0 2 s .t . 1 0 x1 x2 0
(1) (2) (3) (4)
0 初始点 x 1 0
解
第一次迭代
2 x1 2 2 f ( x ) , f ( x 1 ) 4 2 x2 4
性质：若* 0 , 则 x k 处不存在可行下降方向 x k , 已是 K T 点（若g i ( x k ) ( i I ( x k )) 线性无关） ;
若 * 0 , 则得到 x k 处的一个可行下降方向 * 。 d
有例子表明上述方法不 一定收敛到K T 点，即总有
* 0。
则约束条件A ( x k td k ) b 可以改写为
A1 ( x k td k ) b1 k k A2 ( x td ) b2
因为 A1 x k b1 , A1d k 0 , t 0，所以不等式约束 A1 ( x k td k ) b1自然成立。
第十章+可行方向法
判定：d 是可行点 x 处的可行方向的充要条 件是
aiT d = 0, i ∈ E aiT d ≤ 0, i ∈ I (x)
2． 可行下降方向
d 既是可行点 x 处的可行方向，又是 x 处的
x(
k
)
⎫ )⎬
,
otherwise
⎭
（6）令 k=k+1，转（2）。
3． 投影矩阵 P(k) 和 ((N (k) )T N (k) )−1 的简化计算
迭代一次，N(k) 至多只有增加一列或减少一
列，因此 ((N (k) )T N (k) )−1 的计算可以简化，具体请见
课本中的相关部分。
三、既约梯度法：将单纯形法推广到非线性规划
下降方向。
判定：若 d 满足
aiT d = 0, i ∈ E aiT d ≤ 0, i ∈ I (x) ∇f (x)T d < 0
则 d 是 x 处的可行下降方向。
（10.1.1）
（二）可行下降方向的求取
寻找满足条件（10.1.1），且使 ∇f (x)T d 达到最
小的 d：
min ∇f (x)T d
第十章 可行方向法
min f (x)
x∈Rn
s.t. aiT x − bi = 0, i ∈ E = {1, , l} aiT x − bi ≤ 0, i ∈ I = {l +1, , l + m}
（10.0.1）
一、可行方向法 （一）可行方向与可行下降方向
1． 可行方向 d (d ≠ 0, d ∈ Rn ) 是约束问题（10.0.1）在可行点
可行方向法基本算法
可行方向法基本算法考虑线性规划问题： Min (),{|()0,1,2,...}{n j f X X R E R X g X j l ∈⊂=≥= 设()k X 是它的一个可行解，但不是要求的极小点，为了求它的极小点或近似极小点，应在()k X 点的可行下降方向中选取某一方向()k D ，并确定步长k λ，使得 (1)()k k k k X X D R λ+=+∈(1)()()()k k f X f X +<若满足精度要求，迭代停止，(1)k X +就是所求的点。
否则，从(1)k X +出发继续进行迭代。
直到满足要求为止。
上述这种方法称为可行方向法。
设()k x 点的起作用约束集非空，为求()k x 点的可行下降方向，可由下述不等式组确定响亮D ：()()()0()0,k T k T i f X D g X D j J ⎧⎪⎨⎪⎩∇<∇>∈ 这等价于由下面的不等式组求向量D 和实数η：()()k T f X D η∇≤()(),i k T g X D j J η-∇≤∈0η<现使()()k T f X D ∇和()()i k T g X D -∇（对所有j J ∈）的最大值极小化（必须同时限制向量D 的模），即可将上述选取搜索方向的工作，转换为求解下述线性规划问题：Min η()()k T f X D η∇≤()()(),()k i k T g X D j J X η-∇≤∈11,1,2,3,..i d i n -≤≤=式中(1,2,3,...,)i d i n =为向量D 的分量。
在上式中加入最后一个限制条件，位的是使该线性规划有有限最优解；由于我们的目的在于寻找搜索方向D ，只需知道D 的各分量的相对大小即可。
将上述线性规划的最优解记为()(,)k k D η，如果求出的0k η=，说明在()k X 点不存在可行下降方向，在()()k j g X ∇（此处()()k j J X ∈）线性无关的条件下，()k X 为一K-T 点，若解出0k η<，则得到可行下降方向()k D ，这就是我们所要的所搜方向。
可行方向法二次规划求解算法改进
可行方向法二次规划求解算法改进一、传统可行方向法求解：本文基于可行性方向法的SVM 算法步骤如下：1. 求解二次规划问题12,111minK(,)..00,1,2,......,lli ji j i j ii j i l iii i y y x x s tyC i lαααααα===-=≥≥=∑∑∑2. 将上式转化成能用可行性方向法进行求解的二次规划标准形式121min ()..0,1,..0,1,..T T li ii i i f G e s tyC i li lαααααααα==-=≥=≥=∑其中**G=(g )=(K(,)),e(11,,1)ij l l i j i j l l y y x x = ,；3. 取满足约束条件的初始可行点1(0,0,....0)α=; 4. 确定kα处的有效约束指标集k 1i k 2i (){|C}(){|0}I k i I k i αα====5. 求解线性规划子问题121min ()..00,()0,(),1,..k T dlkii i k i k i k i f ds tdy d i I k d i I k C d C i lα=∇=≥∈≤∈≥≥-=∑其中1()11,2,3....jlk kiij j f g i l αα=∇=-=∑求得12(,,...)kk kk T l dd d d =；说明:在该步骤中()k T f d α∇为函数k f α在点的方向导数。
若该值小于0,说明f 沿着d 方向值下降;若该值等于0,说明k f α在点为极值;若该值大于0,说明f 沿着d 方向值上升。
min ()k Tdf d α∇就是要求下降最快的方向。
10lk i i i d y ==∑为等式约束,为保证沿着d 方向上的点为可行点。
210,();0,()k k i i d i I k d i I k ≥∈≤∈为不等式约束,为保证沿着d 方向上的点为可行点。
,1,..k i C d C i l ≥≥-=是为了获取一个有限解增加的约束条件。
可行方向法
a1 , a2 ,, am 和 b 是 n
维
的向量 p
T ai p 0, i 1, 2,, m
T b p0
也满足
的充要条件是，存在非负数
i 1
m b i ai .
Farkas引理的几何解释：
1 , 2 ,, m
，使得
T
j I ( x).
I ( x)是x 起作用约束集
证明：充分性
d 设 x 是问题(1)可行解，满足定理条件。来自必要性： d 是可行方向
T 是 的下降方向，则有 d x f ( x) d ，因此 0
T d 从 x 出发，选择 ，应使f ( x) d越小越好。
所以规划问题： min f ( x)T d ,
设可行域D R , x D, 若存在非零向量
n
d R , 存在 0, t (0, ),均有
n
x td D, 则称d为x的可行方向。
d
D
1
x
d
Farkas引理：
首先介绍两个引理，这两个引理本身在最优化理论中 处于很重要的地位。
引理4.7（Farkas） 设 向量，则满足
(1)
min f ( x),
T T
x Rn i 1,, l j 1, , m
s.t. i x bi 0
j x bj 0
(1’)
定理：设
x 是约束问题的可行点，则 d 为
x 可行方向的充分必要条件是：
iT d 0, i 1,2, l
j d 0,
可行方向法
1、可行方向的两个相关结论
d是x D的可行方向 , 则gi ( x)T d 0 i I ( x)
最优化：可行方向法38页PPT
最优化：可行方向法
46、法律有权打破平静。—马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
最优化可行方向法
最优化可行方向法最优化问题是数学中的一类重要问题，目标在于找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
可行方向法是一种常用的最优化算法，它通过在每个迭代步骤中确定一个可行方向，并将变量值沿该方向进行调整，逐步逼近最优解。
可行方向法的核心思想是从当前解的邻域中选择一个可以改进目标函数的方向。
具体而言，它通过计算目标函数的梯度（或是次梯度）来确定一个可行方向，并沿该方向对解进行调整。
这个过程可以反复迭代，直到满足终止条件为止。
在可行方向法中，选择合适的可行方向是一个关键问题。
一种常用的方法是梯度下降法，它使用目标函数的梯度方向作为可行方向，以减小目标函数的值。
另一种常用的方法是牛顿法，它使用目标函数的海森矩阵（Hessian Matrix）作为可行方向，以更快地逼近最优解。
可行方向法的具体步骤如下：1.初始化变量的取值。
2.计算目标函数在当前解的梯度或次梯度。
3.判断是否满足终止条件。
如果满足，结束迭代，输出当前解；否则，继续下面的步骤。
5.根据可行方向，计算变量的调整量。
6.更新变量的取值。
7.转到步骤2可行方向法的收敛性分析是一个重要的研究课题。
对于一般的最优化问题，如果目标函数是Lipschitz连续可微的，并且可行解集是非空、有界的，则可行方向法在有限步后可以找到一个近似最优解。
但对于非凸问题或非平滑问题，可行方向法的收敛性可能会有所不同。
除了梯度下降法和牛顿法外，可行方向法还有其他的变种，如共轭梯度法、拟牛顿法等。
这些方法在选择可行方向和调整变量值的方式上有所差别，但其基本思想仍然是寻找使目标函数得以改进的方向。
在实际应用中，可行方向法通常结合其他算法一起使用，以充分发挥各种算法的优势。
例如，可以使用可行方向法寻找一个大致的最优解，然后再使用更精确的算法对该解进行优化。
总之，可行方向法是一种重要的最优化方法，它通过选择合适的可行方向来逼近最优解。
尽管不同的变种方法有所差异，但它们的核心思想都是通过迭代调整变量值来逐步逼近最优解。
Zoutendijk可行方向法(0002)
线性规划问题
(9.1.22) 结论
Zoutendijk可行方向法
非线性约束情形 基本原理 (1) 利用起作用约束构造可行下降方向
(2) 确定一维搜索步长
非线性约束情形 算法步骤
Step1
Step2
束
Step3
Step4 Step5
Zoutendijk可行方向法
非线性约束情形 算法特点
计算实践和理论分析表明，该算法可能失效或出现锯齿现象， 使算法收敛很慢甚至不收敛到最优点或K—T点．
Zoutendijk可行方向法
Step3
Step4 Step5
Zoutendijk可行方向法
线性约束情形 举例 参见P243 例9.1.1
非线性约束情形
Zoutendijk可行方向法
非线性约束情形 基本原理 (1) 利用起作用约束构造可行下降方向
点 x 处的可行下 降方向d 满足：
定理1.2.3 定理3.3.2
Zoutendijk可行方向法
简介 Zoutendijk可行方向法是Zoutendijk于1960年提出的.
Zoutendijk可行方向法中选择搜索方向包括: 起作用约束构造可行方向和ε起作用约束构造可行方向.
Zoutendijk可行方向法可以求解线性约束优化问题和 非线性约束优化问题.
Zoutendijk法的改进 问题的提出
对于线性和非线性不等式约束问题，前面我们仅使用起作用约 束来确定搜索方向．当某迭代点在一个约束的边界上时，如果可 行方向取得不恰当，那么沿该方向可能因接近另一个约束边界而 只能作一个微小的移动，否则，就会使迭代点跑出边界．为防止 这一现象发生，设想在约束条件的边界上设立一道“安全带”， 迭代点进入“安全带”时，只允许它往可行域内部移动，而不许 向边界靠近．为此引入 ε起作用约束的概念，即在构造可行方向时， 既把通过当前迭代点的约束边界看作起作用约束，也把充分家近 当前这代点的边界约束考虑在内．
第四章 非线性规划5-可行方向法
第五节 可行方向法（FDM ）可行方向法是用梯度去求解约束非线性最优化问题的一种有代表性的直接探索方法，也是求解大型约束优化设计问题的主要方法之一。
其收敛速度快，效果较好，适用于大中型约束最优化问题，但程序比较复杂。
可行方向法(Feasible Direction Method)是一种直接搜索方法，其搜索方向的获取利用了目标函数和约束函数的梯度信息。
用目标函数的梯度可以得到目标函数值的下降方向，而利用约束函数的梯度则可以得到可行的搜索方向。
因此，可行方向法的搜索方向实质上是既使目标函数值下降，同时又可行的方向，即可行下降方向。
满足这一条件的方法就称为可行方向法。
一、基本原理当求解目标函数的极小值min () ..()0 1,2,3,nu f X X R s t g X u m ⎧∈⎨≤=⎩ 当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，下降可行方向S 必须同时满足条件： ()0T k i S g X ∇≤()0T k S f X ∇<由于于多数非线性规划的最优点都处在可行区的约束边界上或者几个约束边界的交点上，因此最优搜索如能沿着约束边界附近进行，就有可能加速最优化搜索的进程。
按照这一基本思路，在任意选定—初始点后到最后得到最优点必须解决三个问题： 一是如何尽快使最优搜索从初始点到达约束边界二是到达边界后怎样判断所找到的边界点是否是最优点；三是如果边界点经判断不是最优点，那么下一步应如何进行最优搜索。
二、如何从初始点尽快到达边界在任意选定初始点0X 之后，首先判断0X 是否为可行点，若是可行点，则选择目标函数的负梯度方向作为下一步的搜索方向。
若是非可行点，则选择目标函数的梯度方向为搜索方向。
搜索的步长可采用试探的方法逐步缩小，直到最后到达边界。
如图5-13表示了初始点为可行点时的搜索过程。
从初始点0X 出发沿0()f X -∇方向，取步长为t ，进行搜索，得到1X100()X X t f X =-∇若1X 仍在可行区内，则把步长加大一倍继续搜索得到2112()X X t f X =-∇若1X 仍在可行区内，则把步长再加大一倍继续搜索，如此方法得到新点只要仍在可行区内，则加大步长只到得到的点进入非可行区。
最优化方法 第三章(可行方向法)
又 f ( x k )T d * * 0,
d * 是可行下降方向。
改进方法具有全局收敛性。
一、Zoutendijk法
Frank Wolfe 方法 min f ( x )
给定线性规划问题
Ax b s .t . x0
f ( x k )T d k 0 gi ( x k )T d k 0 , i I ( x k )
1 di 1, i 1, 2,
,n
������ = 0 , 则 ������ ������ 处不存在可行下降方向 , ������ ������ 已是 ������−������ 点. 有例子表明上述方法不一定收敛到 ������−������ 点，即总有������ < 0 .
如果可行点为内点， 可取������ = −������������(������ )计算。
一、Zoutendijk法 非线性约束模型的可行方向确定方法
min s.t.
z f ( x )T d z 0 gi ( x) d z 0, i I
T
一、Zoutendijk法 线性约束模型的可行方向
min f ( x ) Ax b s .t . Cx e
紧约束
A1 b1 定理 设 x D ，在点 x 处有 A1 x b1 , A2 x b2 , 其中A , b ， A2 b2 则非零向量 d 是 x 处的可行方向的充分必要条件是
定理 设 f ( x )可微， x k D, 如果y k 是上述线性规划的最优解,则有
(1) 当f ( x k )T ( y k x k ) 0时 , 则x k 是(1)的K -T点；
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化简线性规划问题（ 5）
因为d k 是可行下降方向，所以Cd k 0，即约束条件 C ( x k td k ) Cx k tCd k Cx k e
总是成立。
设在点x k 处有 A1 x k b1 , A2 x k b2 , 其中 A1 b1 A ,b A2 b2
求解线性规划
min s .t .
f ( x k )T x x D
( 2)
定理 设 f ( x ) 可微， x k D ，如果 y k 是线性规划（ 2）的最优解， 则有 （1）当f ( x k )T ( y k x k ) 0时 , 则 x k 是（ 1）的 K T 点。 （2）当f ( x k )T ( y k x k ) 0时 , 则向量d k y k x k 是 f ( x ) 在点 x k 处关于D 的可行下降方向。
因为 t 0，所以 A1d 0。 C ( x td ) e tCd e
所以 Cd 0。
充分性同理可证。
（2）可行下降方向的确定
f ( x )T d 0 d 是点 x 处的可行下降方向。 A1d 0 Cd 0
如何求出满足上述条件 的可行下降方向？
则约束条件A ( x k td k ) b 可以改写为
A1 ( x k td k ) b1 k k A2 ( x td ) b2
因为A1 x k b1 , A1d k 0 , t 0，所以不等式约束 A1 ( x k td k ) b1自然成立。
二 . Zoutendijk可行方向法 1. 问题
给定非线性规划问题 min
f ( x) Ax b Cx e
( 3)
s.t .
其 中f ( x ) 是 可 微 函 数 , A是 m n矩阵，秩为 m , C 是l n矩阵， 秩 为l , x R n , b 和 e 分 别 是m 维 和l 维 列 向 量 。
2
1 由图解法得 d 2 1
1 0 1 1 1 2 d A2d , b b2 A2 x 0 1 1 1 1
max 1
进行一维搜索, 解
min f ( x 2 d 2 ) 2 2 2 2
当f ( x k )T ( y k x k ) 0时 , 求解下列一维搜索问题 ：
min s .t .
f ( x k t ( y k x k )) 0 t 1
设极小点为 t k , 则可取 x k 1 x k t k ( y k x k ) 。因为D为凸集， 则 x k 1 D。再对点x k 1 重复上述过程。
求解下列线性规划问题
min f ( x )T d s.t . A1d 0 Cd 0 | d | 1, j j
(4)
结果： （1）d 0是可行解，因此最优目 标函数值不大于 0。
（2）如果线性规划的最优 值小于0，则得到可行下降方向 。
（3）如果线性规划的最优 值等于0，则 x 是 K T点。
2. 算法分析
算法思想： 在每次迭代中，将目标函数 f ( x ) 线性化，再利用 线性规划方法求解。
算法分析：
设已知可行点 x k , 则有
f ( x ) f ( x k ) f ( x k )T ( x x k ) f ( x k )T x [ f ( x k ) f ( x k )T x k ]
2
0 1
1 2 3 2 2 2 所以 x x d 3 2
1 得步长 2
继续迭代,因为
0 d 0
3
所以
1 2 3 x 3 2
K T
4. 非线性约束
min f ( x) s.t . gi ( x) 0 , i 1 ,, m
证明： 必要性。
设非零向量d 是 x 处的可行方向。则存在 0，使得对任意 的 t ( 0 , )， x td 仍是可行解。即有
A ( x td ) b C ( x td ) e
A1 A ( x td ) ( x td ) A2 b1 tA1d b1 A2 x tA2 d b2
(*)
所以问题可最终简化为
min s.t .
f ( x k td k ) 0 t t max
(6)
3. 算法步骤
(1) 给定初始点x 0 , 令 k 0。 A1 b1 k ( 2) 在点 x 处将 A 和 b 分解成 和 , 使得 A1 x k b1 , A2 x k b2。 A2 b2
在x1处, (3)(4) 为紧约束, (1)(2)是松的, 故
1 0 2 1 A1 , A2 0 1 1 1
0 1 b1 , b2 0 2
min 2d1 4d 2
解线性规划 : min f ( x 1 )T d A1d 0 s .t . d j 1, j 1, 2
定理 设 x D ，在点x 处有 A1 x b1 , A2 x b2 , 其中 A1 b1 A ,b A2 b2 则 x 是 K T点的充要条件是（ 4）的最优目标函数值为 0。
（3）搜索步长的确定
已知迭代点x k 和该点的可行下降方向 d k , 则可令x k 1 x k t k d k 。
在迭代点 x k ，选择一个可行下降方向 d k 为搜索方向， 设 d k 满足
f ( x k ) T d k 0 g i ( x k ) T d k 0 , i I(xk )
令 D { x | Ax b , Cx e } , 称 D 为可行域。
算法思想： 在每次迭代中沿迭代点 处的可行下降方向进行 搜索。
如何确定可行下降方向？
2. 算法分析
（1）利用迭代点的积极约束确定可行方向。
定理 设 x D ，在点 x 处有 A1 x b1 , A2 x b2 , 其中 A1 b1 A ,b A2 b2 则非零向量d 是 x 处的可行方向的充分必 要条件是A1 d 0 , Cd 0。
3. 算法步骤 Frank Wolfe 算法：
1. 给定初始可行点 x 0 , 允许误差 0，令k 0。
2. 求解线性规划 min
s .t . f ( x k )T x x D
解得极小点y k 。
3. 若 | f ( x k )T ( y k x k ) | , 则停止计算，得到点 x k ；否则 转步4。
一. Frank Wolfe 方法
1. 问题
给定非线性规划问题 min
f ( x) Ax b x0
(1)
s.t .
其中 A 是 m n 矩阵，秩为m ， b 是 m 维列向量， f ( x ) 是可微 函数，x R n。
令 D { x | Ax b , x 0 } , 称 D 为可行域。
1
1 2 max min , 1 1 2
进行一维搜索, 解
min
0 1
f ( x1 d 1 ) 2 2 6 6
得步长 1 1
1 x x d 1
2 1 1 1
同样,进行第二次迭代:
0 f ( x ) 2
其中t k 应满足： （i）x k t k d k 仍为可行解； （ii）使目标函数值下降。
利用下列辅助线性规划 问题求t k :
min s .t . f ( x k td k ) A( x k td k ) b k k C ( x td )e t0
(5)
2 x1 x2 1 0 x x 2 0 2 s .t . 1 0 x1 x2 0
(1) (2) (3) (4)
0 初始点 x 0
1
解
第一次迭代
2 x 2 2 1 f ( x ) 1 , f ( x ) 4 2 x 4 2
计算f ( x k )。
(3) 求解线性规划问题min
f ( x k )T d A1d 0 Cd 0 | d | 1, j j
s.t .
求得最优解 dk。
(4) 如果f ( x k )T d k 0 , 则算法结束， x k 是 K T 点；否则转（ 5）。
定理 设 f ( x ) 可微， D有界， x 0 D，如果{ x k } 是由Frank wolfe 算法求解（ 1）产生的点列，则 （1）如果{ x k } 是有穷点列, 则其最后一个点x k 是（ 1）的 K T 点。 （2）如果{ x k } 是无穷点列, 则必有极限点，且其任 意一个极限 点 x* D 是（ 1）的 K T 点。
即
d1 0 d 0 2 s .t . 1 d1 1 1 d 2 1
1 由图解法得 d 1
1
求步长
1 1 1 d A2d , b b2 A2 x 2 2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在x 2处, (1)(2) 为紧约束, (3)(4)是松的,
2 1 1 0 1 0 A1 , A , b , b 1 2 2 1 1 0 1 2 0
解 min 2d 2 2d1 d 2 0 d d 0 1 2 s.t . 1 d 1 1 1 d 2 1