高等固体物理4-维度
固体物理4-2
Δn =
( 2π )
3
∫
⎡ V Δw ds = ⎢ 3 ∇q w ( q ) ⎢ ( 2π ) ⎣
∫
⎤ ⎥ Δw ∇q ( w ( q ) ) ⎥ ⎦ ds
V ∴ g j (ω ) = 3 (2π )
∫
ds ∇ q w(q )
V g j (ω ) = (2π )3
∫
ds ∇ q w(q )
Cu晶体的总振动态密度函数谱
长波极限 q → 0
(m + M ) 4mM 2 1/ 2 {1 + [1 − sin aq] } 光学波 ω = β 2 mM (m + M )
2 +
4mM sin 2 ( aq) << 1 (m + M ) 2
ω+ ≈
2β
mM , μ= μ m+M
ω+ ≈
2β
mM , μ= μ m+M
2 +
性质， ω+ 支被称作光学支。 —— 将可以与光波作用的长光学波声子称为电磁声子
20 / 28
更一般的情况，图4.7 声频波
原胞中的两种原子的振动位 相基本相同，原胞 基本上 是作为一个整体振动，而原 胞中两种原子基本上无相对 振动 。
光频波
原胞中两种不同原子的振 动位相基本上相反，即原 胞中的两种原子基本上作 相对振动，而原胞的质心 基本保持不动 。
Δn g (w) = lim Δw→o Δw
Δn = g (ω )Δω
在q空间中，振动模式是均匀分布的，密度 ( 2π )3， 根据ω （q)=constant做出一个等频率面，两个两等频面ω－ω＋dω之 间的振动模式数（只考虑其中第j支格波）为
固体物理第四章总结1
第四章总结成员及分工1：一维晶格以及三维晶格的振动2：晶格热容的量子理论3：简谐近似和简谐坐标4：晶格的状态方程和热膨胀5：离子晶体的长波近似4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络二、重点1.格波的概念和“格波”解的物理意义(1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。
(2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。
相邻原子之间的位相差为aq 。
(3) q 的取值范围：－(π/a)<q ≤(π／a)这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。
q 的取值及范围常称为布里渊区（Brillouin zones ）。
(4) Born-Von Karman 边界条件: 1)(=-Naq i e h Naq ⨯=π22.一维单原子链的色散关系22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω=-=把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。
3.一维单原子链的运动方程相邻原子之间的相互作用βδδ-≈-=d dvF ad v d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22δβ 第n 个原子的运动方程11()(2)n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ∙∙+--=+-=4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解（1）运动方程( equation))2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙∙ )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙∙（2）方程的解(solution)])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ5.声学波与光学波的概念与物理意义（1）声学波与光学波的定义}]sin )(41[1{2/1222aq M m mM mM M m +-++=+βω }]sin )(41[1{2/1222aq M m mMmM M m +--+=-βω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ）（2）两种格波的振幅比aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛++aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛--（3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数)()(q aq --=+ωπω)()(q aq ++=+ωπω其中aq a22ππ≤〈-6.对色散关系的讨论（1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：0)0()(min ==--ωω Maβπωω2)2()(max ==-- m aβπωω2)2()(min ==++ mMM m )(2)0()(max +==++βωω 在ω-max 与ω+min 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。
four dimensions 翻译中文
four dimensions 翻译中文
四维空间是指在三维空间的基础上增加了一个附加的维度。
在物理学和数学中，四维空间通常用来描述时间的存在和运动。
四维空间可以用来解释一些现象，如相对论中的时空弯曲和宇宙的结构。
四维空间在几何学中也有应用。
它可以被用来描述一些复杂的几何形状，如四维超立方体（也称为tesseract）和四维球体。
这些形状在二维和三维空间中无法完全展示，而只能通过数学模型来描述。
在计算机图形学中，四维空间被用来进行3D动画和特效的计算。
通过在时间维度上进行变化，可以实现物体的运动和变形效果。
例如，通过在四维空间中定义一个物体的运动轨迹，可以让它在三维空间中沿着特定的路径移动。
在心理学和哲学中，四维空间也被用来思考时间的概念。
时间被认为是第四个维度，它与空间维度相互作用，影响物体的位置和状态。
通过将时间视为一个维度，我们可以更好地理解事件的顺序和发生。
四维空间是一个扩展了传统三维空间的概念，它在物理学、数学、几何学、计算机图形学以及哲学中都有广泛的应用。
通过引入额外的维度，我们可以更全面地描述物体的位置、运动和变化，以及时间的流逝。
固体物理第一章 晶体结构4-5
—— 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象
—— 立方晶体的光学性质则是各向同性的 ——已知晶体的对称性，可以简化物理常数的测量
20
固体物理
固体物理学
晶体宏观对称性的描述
列举晶体的全部对称操作：
对称操作是指能使晶体自身重合的动作。 与晶体宏观对称性相对应的是点对称操作 （操作过程中保持空间中至少有一个不动点的 对称操作），包括旋转、中心反演，镜面反映
及它们的联合操作。
对称操作的数目越多，晶体的对称性越高。
21
固体物理
固体物理学 举例：立方晶体的对称操作
绕三个立方轴转 3 , ,
2 2
绕6条面对角线转
绕4条体对角线转
2 4 , 3 3
共9个对称操作
共6个对称操作
共8个对称操作
另外，“不动”也是1个对称操作。以上24个对称以操作 加中心反演仍是对称操作，立方晶体共有48个对称操作。
i,j=1,2,3
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量 具有相同的量纲。
7
固体物理
固体物理学
2.3位矢之间关系
正格矢： 倒格矢： 二者的关系：
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3
G h h1 b1 h2 b2 h3 b3
G h Rl 2n (n为整数)；
11
固体物理
固体物理学
2 d 晶面族(h1h2h3)的面间距d为 Gh
(2)
证明：由前面的证明可知，原点 到面ABC的距离即为所求面间距 (设为d)。
d OA cos 又 OA Gh OA Gh cos d OA G Gh a1 1 2 ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h1 Gh Gh
固体物理-第4章-晶体中的缺陷和扩散-4
（成对出现）
4、杂质原子 在材料制备中，有控制地在晶体中引入杂质原子
A、杂质原子取代基质原子而占据格点位置,称替代式杂质。
（二者相接近或前者大一些）
B、杂质原子占据格点间的间隙位置，称填隙式杂质。
（杂质原子比基质原子小）
点缺陷的运动 1、空位的运动
空位运动势场示意图
原子结合成晶体的源动力:原子间的吸引力. 理想晶体的生长
问题4：当初如何提出位错概念？位错滑移如何理解？
Ax A d
a
x a 2
xa 2
弹性形变
范性形变 原子不能回到原来位置,易到A
即发生滑移
Ax A
d a
?有问题
最初认为: 滑移是相邻两晶面整体的相对刚性滑移
则可计算:使其滑移的最小切应力: c
第四章 晶体中的缺陷和扩散
原子绝对严格按晶格的周期性排列的晶体不存在
缺陷举例： 如晶体表面、晶粒间界、人为掺杂等
如金刚石
空位
点缺陷 填隙原子 （0维）
杂质原子
刃位错
线缺陷
晶体缺陷的基本类型 （1维）
（按维度或尺寸分类）
螺位错
大角晶界
晶粒间界
面缺陷
小角晶界
（2维） 堆垛间界（层错）
问题1：点缺陷的定义、分类、运动及其对晶体性能影响？
若某一晶面A丢失，则原子面排列： ABCABCBCABC………..
问题7:一定温度下,系统达统计平衡时,
热缺陷（空位.间隙原子）数目？
热力学平衡条件
平衡状态下晶体内的热缺陷数目
系统自由能F U TS 最小
F n T
0
热缺陷的数目
1、肖脱基缺陷（或空位）浓度
高等固体物理ppt课件
Ｍ du2 １ｄt２
＝
c（[ us
vs）（us
vs1）]
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37
同理可写出第s个晶胞中质量为M2的原子的运动方程为：
Ｍ2
＝ｃ ｄ２ｕ
ｄｔ２
vs
us1）（vs
us）]
＝ｃ us1 us 2vs）
us uei（t , ska）
vs vei(tska)
u，v可以是复数，第ｓ个晶胞中质量为 M1，M2 的原
(2). 固体比热的理论: 初步的晶格动力学理论
1907: 独立振子的量子理论(Einstein)
1912: 连续介质中的弹性波的量子理论(Debye)
1912: 周期结构中的弹性波(Born 和 von Karman)
ppt课件完整
14
(3). 金属导电的自由电子理论: Fermi 统计 1897: 电子的发现(Thomson) 1900: 金属电导和热传导的经典自由电子理论(Drude) 1924: 基于Fermi统计的自由电子理论(Pauli 和 Sommerfield)
凝聚态物理的重要性
(1)它为力学,流体力学,电子学,光学,冶金学及固态化学等经 典科学提供了量子力学基础.
(2)它为高技术的发展作出了巨大贡献. 如它是晶体管,超导 磁体,固态激光器, 高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的 源头. 对通信,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用, 对非核军事技术也产生了深刻的影响.
1, 2, 3
—— 原子在三个方向上的位移分量
—— 一个原胞中有3n个类似的方程
22
光子晶体多为人工设计, 自然界也有: 蛋白石、蝴蝶翅膀 Opal
Traditional multi-plpat课y件er完f整ilm
固体物理(2011) - 第4章 能带论 5 能带电子的态密度
—— 绝缘体带隙宽度较宽 ~ 10 eV
金属
—— 电子除了填满一系列的能带形成满带，还部分填充 了其它能带形成导带
—— 电子填充的最高能级为费密能级，位于一个或几个能 带范围内
—— 在不同能带中形成一个占有电子与不占有电子区域 的分解面
—— 面的集合称为费密面
满带、空带、导带、价带、禁带
金属、半导体、绝缘体
能态密度与X射线光电子能谱 (XPS) 实验，两个XPS？
能态密度和费米面
1. 能态密度函数
—— 固体中电子的能量由一 些准连续的能级形成的 能带
—— 能量在E~E+E之间的 能态数目Z
二维三维问题想不清楚， 请想1维！
E能态密Βιβλιοθήκη 函数N (E) lim Z E0 E
8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动
9 能带论的局限性
5 能带电子的态密度
别老盯着普遍定义，只需找一两个简单例子就可以理解
自由电子的能态密度：能快速演算 近自由电子的能态密度：讲故事，不理它 紧束缚模型的电子能态密度：1d, 2d, 3d
费米面 Fermi surface
Pauli不相容原理导致（记得电子波函数需要怎样怎样？） 费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度
固体物理
Solid State Physics
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动
中科大高等固体物理4--维度
性电子的电荷密度, 黑色箭头代表磁通线.
同 IQHE一样, Fermi 能级处于能隙位置时, 出现FQHE 平台. 不同之处在于IHQE的能隙来源于单粒子态在强磁 场中的量子化, 而FQHE的能隙来源于多体关联效应.
Haldane 和 Halperin, 利用级联模型, 指出Laughlin 态的 准粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态, 如从 1/3 态 出发, 加入准粒子导致 2/5态, 加入空穴导致2/7态. 准粒 子由这些态激发出来并凝聚为下一级的态 .
e2 ri rj
在超强磁场下, 电子位于第一Landau能级. 其单粒子波函数为
mz*mex 2m p 1 |m z|!(2/4Ic 2),zxiy
这一状态对应于电子在一由下式给出的面积内运动
m |z ||2 |m 2 lc 2 (m 1 )
Laughlin 建议了如下形式的波函数
The Nobel Prize in Physics 1998
for their discovery of a new form of quantum fluid with fractionally charged excitations.
Robert B. Laughlin(1950)
Horst L. Stormer(1949)
The Nobel Prize in Physics 1985
K. von Klitzing（1943~）
for the discovery of the quantized Hall effect.
实验设置示意图
实验观测到的霍尔电阻
1, 霍尔电阻有台阶,
2, 台阶高度为
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4.1 半导体低维电子系统 4.2 二维体系中的相变 4.3 准一维体系的Peierls
不稳定性和电荷密度波
4.1 半导体低维电子系统
1.维度
三维自由电子气体，沿z方向对体系的尺寸限制：
n (k)
n
2 k 2 2m
z
k是波矢在xy平面上的分量。
如限制势为方势阱：
n
( n) 2
2mW 2
1
lc
c 2 eB
经典回旋半径
解为：
i(E)
(i
1 2
)ceE(lc2k yeE2mc2)
i
(
x,
y)
e e ( iky y )
[
(
x
2
x0 lc2
)2
]( Hi[
x
lc
x0
)]
x0
lc2k y
eE
m
2 c
,
i 0,1,2,3,...
Landau 能级
In two-dimensional systems, the Landau energy levels are completely seperate while in three-dimensional systems the spectrum is continuous due to the free movement of electrons in the direction of the magnetic field.
直到1980年, 才注意到霍尔平台的量子化单位 h , e2
K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 495 (1980) for a sufficiently pure interface ( Si-MOSFET ) => integer quantum Hall effect
,
xx
yx
j E, E j 仍成立
xy
yy
有磁场时, 加入罗仑兹力, 电子迁移速度为
vd
e(E
vd
B )
t
cm
稳态时, 易得
j nevd , 假定磁场沿z方向, 在xy 平面内
0 E x ctj y j x 0 E y ctj x j y
c
eB mc
xx
The Nobel Prize in Physics 1985
K. von Klitzing（1943~）
for the discovery of the quantized Hall effect.
实验设置示意图
实验观测到的霍尔电阻
1, 霍尔电阻有台阶,
2, 台阶高度为
h ie2
,i
为整数, 对应于占满第 i
根据德鲁特电导理论, 金属中的电子在被杂质散射前的一段时 间t内在电场下加速, 散射后速度为零. t称为弛豫时间. 电子的
平均迁移速度为: vd eEt / m
电流密度为:
j nevd 0E 0 ne 2t / m
若存在外加静磁场, 则电导率和电阻率都变为张量
此处
xx yx
xy yy
个Landau能级,
精度大约为5ppm.
3, 台阶处纵向电阻为零.
When these levels are well resolved, if a voltage is applied between the ends of a sample, the voltage drop between voltage probes along the edge of a sample can go to zero in particular ranges of B, and the Hall resistance becomes extremely accurately quantised
2 1 20meV
ns Vg ~ (1 ~ 10) 1011 cm 2 迁移率：104 cm 2 /V s 弹性散射平均自由程l : 40 ~ 120nm
AlxGa1x As GaAs
导带
F
价带
x 0.3,导带底能量差～0.3eV 电子有效质量0.067me , n ~ 2 ns 4 1011 cm 2 高迁移率：104 ～106 cm 2 /V s 长的弹性散射平均自由程l 102 ~ 104 nm
H
xy
nec B
jy yx Ex xyEx
在量子力学下（E沿x方向）
H 1 (P eA)2 eEx 2m c
选择矢量势
A (0, Bx,0)
波函数为
( x, y) e iky y ( x)
2 2m
d2 dx 2
1 2
m
2 c
(
x
l
2 c
k
y
)2
eEx ( x)
( x)
计算平均速度
1
vy m
* i
i
y
eBx c
i dr
Ec B
1
vx m
* i
i
x
i
dr
0
neEc jy B
与经典结果相同.
在Landau能级上, 纵向电流为0.
(2)整数量子霍尔效应
1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电导, 1978
年 Klaus von Klitzing 和Th. Englert 发现霍尔平台, 但
z
Split gates and one-dimensional electron gases
This "split-gate technique" was pioneered by the Semiconductor Physics Group at the Cavendish Laboratory of the University of Cambridge, in England, in 1986, by Trevor Thornton and Professor Michael Pepper.
3.量子化霍尔效应（Quantum Hall Effects (QHE) )
(1)霍尔效应基础
B
d
V Hall voltage
V’ resistivity
I + - current source
x yz
E. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879) => Hall effect
yy
1
0
,
xy
yx
ct 0
xx
yy
0 1 ( ct )2
, xy
yx
0 ct 1 ( ct )2
xx
xx
2 xx
2 xy
,
xy
xy
2 xx
2 xy
如果 xy 0 , 则当 xx 为0时 xx 也为0.
另一方面
xy
nec B
xx ct
由此, 当 xx 0 时, jx xy E y , xy 为霍尔电导
,
W n , 为电子的波长
2
对于抛物线型的限制势(V (z)
1 2
m
2 0
z
2
)
:
n
(n
1 2
)
0
电子只占据n=1的子带，二维体系
n>1也占据，准二维体系
F
W n=2
n=1 k
2. Si反型层及GaAs-AlGaAs异质结
反型层
导带
F eVg
价带
金属SiO2 耗尽层
Si(100)表面电子的有效质量0：.2me