导数在研究函数中的应用教学设计(秦霞)
普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2
江苏省南通中学秦霞
【教学内容解析】
1．导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一。
2．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.
3．这节课我们是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义之后，试图通过导数来研究函数的单调性，为研究单调性提供了更一般的方法，是后面学习函数的极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导。起到了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。
4．教学重点：导数与函数单调性的关系的探索和发现；利用导数研究函数的单调性.这节课将结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。【教学目标设置】
1．借助几何直观，通过实例归纳函数的单调性与导数的关系；
2．理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数单调区间；
3．通过用定义与用导数在研究函数单调性时的两种方法的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和感悟数学自身发展的一般规律．
【学生学情分析】
1. 已有的知识储备：（1）本节课的授课对象是南通中学高二年级的学生，他们在经历了高一一学年的数学学习后，已经基本了解高中数学的基本思想和研究方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。
（2）学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质，而且已经掌握了导数的定义、导数的计算以及其几何意义，已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。
存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生的抽象概括能力还不够；
解决方法：需引导学生通过不断探究，数学联想，逐步得出导数研究函数单
调性的结论。
2. 教学难点：发现和揭示导数与函数单调性的关系；并利用导数研究函数的单调性．
突破策略：课堂中引导学生通过探究、验证、回归逐步得出导数研究函数单调性的结论，再结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。【教学策略分析】
1. 精心设计教学内容
站在系统的高度组织教学内容，从生活情境入手，精心设问，帮助学生联想、抽象出数学问题，整个教学过程，将经历设问——探究——归纳——应用——反思，五个方面，层层递进。
2. 充分开展学生活动
站在学生的角度，根据学生的思维特点和认知基础，给学生提供课堂参与机会，让学生在动手操作和尝试探索中验证猜想，掌握方法，体会思想，形成技能.
3. 渗透提炼思想方法
通过典型例题及其变式的教学，由浅入深，逐层递进，给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会，帮助学生在解题和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的作用.
【教学过程设计】
一、创设情境生活实例中导入
1 情境：前一阶段我们已经学习了导数的定义及其几何意义，导数有什么实际应用呢，今天我们一起来研究。
问题1：先请同学们观看下面一段视频，你有什么发现？（第一次播放视频）问题2：同学们看了这个视频后有没有产生什么联想？能不能把这个动画与数学联系起来，看出其中的数学问题？(分组讨论、第二次播放视频) 问题3：同学们建立了数学模型，那我们可以将曲线看做是函数y=f (x)在某区间I上的图象，对应的函数有具有怎样性质呢？（建系，教师第三次播放动画）【师生活动】
（1）动画视频引入，直观感知；
（2）几何画板演示，猜想结论.
抽象出数学问题：
山坡 灯光向上 上坡
曲线 切线斜率k >0 上升
函数()y f x = ()0f x '> ？ 递增
感知可以通过函数图象上每一点处的切线的斜率，即函数f (x )在该点处的导数来研究函数的单调性.
2 猜想：导数与函数的单调性有什么联系呢？
（再次播放函数图象上每一点处的切线斜率随函数单调性的变化情况） 从图象上，我们发现，单调递增区间上，每一点处的切线倾斜角均为锐角，斜率大于0，曲线呈上升趋势，函数单调递增；在单调递减区间上，每一点处的斜线倾斜角为钝角，斜率小于0，曲线呈下降趋势，函数单调递减．
于是，可以猜想结论:
对于函数()y f x =，
如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数；
如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数．
【设计意图】本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以这里利用生活中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与函数增减之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念.
二、动手操作 合作学习中探究
问题4：我们要善于用数学的眼光看世界，刚才我们同学将实际问题抽象为一个数学问题，并且还建立了数学模型，数学语言来描述了这个问题，提出了一个猜想。这个猜想对不对呢？我们如何探究呢？
学生方案1：举出几个常见的函数，探究导数与函数单调性之间的联系，验证前面猜想的结论.