导数在研究函数中的应用(含标准答案)
导数在研究函数中的应用
【自主归纳,自我查验】
一、自主归纳
1.利用导函数判断函数单调性问题
函数f (x )在某个区间(a ,b )的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___,则f (x )在这个区间上是增加的. (2)若____ ___,则f (x )在这个区间上是减少的. (3)若_____ __,则f (x )在这个区间是常数. 2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x ).
(2)在定义域解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调区间. 3.函数的极大值
在包含0x 的一个区间(a ,b ),函数y =f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值,称点0x 为函数y =f (x )的极大值点,其函数值f (0x )为函数的极大值. 4.函数的极小值
在包含x 0的一个区间(a ,b ),函数y =f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值,称点0x x 0为函数y =f (x )的极小值点,其函数值f (0x )为函数的极小值.极大值与极小值统称为_______,极大值点与极小值点统称为极值点. 5.函数的最值与导数
1.函数y =f (x )在[a ,b ]上的最大值点0x 指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x ).
2.函数y =f (x )在[a ,b ]上的最小值点0x 指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x ).
二、自我查验
1.函数f (x )=x +eln x 的单调递增区间为( ) A .(0,+∞)
B .(-∞,0)
C .(-∞,0)和(0,+∞)
D .R
2.若函数f (x )=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调增函数,则m 的取值围是________.
3.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )有极小值点( ) A .1个 B .2个 C .3个
D .4个
4.若函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9在x =-3时取得极值,则a 等于( ) A .2 B .3 C .4 D .5
5.函数ln x
y x
=
的最大值为( ) A .1
e - B .e C .2
e D .
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【典型例题】
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )=ln x +a (1-x ).
(1)讨论f (x )的单调性;
(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值围.
【变式训练1】已知()3222f x x ax a x =+-+.
(1)若1a =时,求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程; (2)若0a >,求函数()f x 的单调区间.
考点二 利用导函数研究函数极值问题
【例2】已知函数()ln 3,f x x ax a =-+∈R .
(1)当1a =时,求函数的极值; (2)求函数的单调区间.
【变式训练2】(2011·)设f (x )=e x 1+ax 2,其中a 为正实数.当a =4
3时,求f (x )的极值点;
考点三 利用导函数求函数最值问题
【例3】已知a 为实数,.
(1)求导数; (2)若,求在[]2,2-上的最大值和最小值.
【应用体验】
1.函数ln y x x =-的单调递减区间为( ) A .](
1,1- B .)(
0,+∞ C .[)1,+∞ D .](
0,1
()))(4(2
a x x x f --=()x
f '()01=-'f ()x f
2.函数()e x f x x -=的单调递减区间是( )
A .(1,)+∞
B .(,1)-∞-
C .(,1)-∞
D .(1,)-+∞ 3.函数()()3e x f x x =-的单调递增区间是( ) A .()
0,3 B .()1,4
C .()
2,+∞
D .()
,2-∞
4.设函数()2
ln f x x x
=+,则( ) A .1
2x =
为()f x 的极大值点 B .1
2
x =为()f x 的极小值点
C .2x =为()f x 的极大值点
D .2x =为()f x 的极小值点
5.函数3
2
()23f x x x a =-+的极大值为6,那么a 的值是( ) A .0 B .1 C .5 D .6
【复习与巩固】
A 组 夯实基础
一、选择题
1.已知定义在R 上的函数()f x ,其导函数()f x '的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )
A .()()()f b f c f d >>
B .()()()f b f a f e >>
C .()()()
f c f b f a >>
D .()()()f c f e f d >>
2.函数()2ln f x x a x =+在1x =处取得极值,则a 等于( ) A .2 B .2-
C .4
D .4-
3.函数()e x
f x x =-(e 为自然对数的底数)在区间[]1,1-上的最大值是( )
A.1
B.1
C.e +1
D.e -1
二、填空题
4.若函数()321f x x x mx =+++是R 上的单调增函数,则实数m 的取值围是
________________.
5.若函数()23e
x
x ax
f x +=在0x =处取得极值,则a 的值为_________. 6.函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是_____________. 三、解答题 7.已知函数()2
1ln ,2
f x x x =-求函数()f x 的单调区间
8.已知函数(),1ln x
f x ax x x
=
+>. (1)若()f x 在()1,+∞上单调递减,数a 的取值围; (2)若2a =,求函数()f x 的极小值.
B 组 能力提升
一、选择题
1.已知函数()2
13
ln 22
f x x x =-
+在其定义域的一个子区间()1,1a a -+不是单调函数,则实数a 的取值围是( ) A .13,22??-
??? B .51,4??
???? C .31,
2?? ??? D .31,2??
????
2.若函数3
2y x ax a =-+在()0,1无极值,则实数a 的取值围是( ) A .30,2
??
??
??
B .(),0-∞
C .(]
3,0,2??-∞+∞???? D .3,2??
+∞????
3.若函数()3
2
32
f x x x a =-+在[]1,1-上有最大值3,则该函数在[]1,1-上的最小值是( ) A . B .0 C .
D .1
二、填空题
4.已知函数f (x )=1
2x 2+2ax -ln x ,若f (x )在区间????13,2上是增函数,则实数a 的取值围为________.
5.设x 1,x 2是函数f (x )=x 3-2ax 2+a 2x 的两个极值点,若x 1<2 6.若函数f (x )=x 2-e x -ax 在R 上存在单调递增区间,则实数a 的取值围是________. 三、解答题 7.已知函数f (x )=x -2ln x -a x +1,g (x )=e x (2ln x -x ). (1)若函数f (x )在定义域上是增函数,求a 的取值围;(2)求g (x )的最大值. 1 2 -1 2 8.设函数f(x)=(x-1)e x-kx2(其中k∈R). (1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间和极值; (2)当k∈[0,+∞)时,证明函数f(x)在R上有且只有一个零点. 《导数在研究函数中的应用》标准答案 一.自主归纳 1.(1)f ′(x )>0 (2)f ′(x )<0 (3)f ′(x )=0 3. 小于 4. 大于 极值 5.不超过 不小于 二.自我查验 1.解析:函数定义域为(0,+∞),f ′(x )=1+e x >0,故单调增区间是(0,+∞). 答案:A 2.解析:∵f (x )=x 3+x 2+mx +1, ∴f ′(x )=3x 2+2x +m . 又∵f (x )在R 上是单调增函数,∴f ′(x )≥0恒成立,∴Δ=4-12m ≤0,即m ≥13. 答案:???? ??13,+∞ 3.解析:导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中,左侧图象在x 轴下方,右侧图象在x 轴上方的只有一个,故选A. 答案:A 4.解析:f ′(x )=3x 2+2ax +3,由题意知f ′(-3)=0,即3×(-3)2+2×(-3)a +3=0,解得a = 5. 答案:D 5..A 当(0,e)x ∈时函数单调递增,当(e,)x ∈+∞时函数单调递减, A. 三.典型例题 【例题1】(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -a .若a ≤0,则f ′(x )>0, 所以f (x )在(0,+∞)单调递增.若a >0,则当x ∈? ? ???0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ????1a ,+∞时,f ′(x )<0.所以f (x )在? ? ???0,1a 单调递增, 在? ?? ?? 1a ,+∞单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)无最大值;当a >0时,f (x )在x =1a 处 取得最大值,最大值为f ? ????1a =ln 1a +a ? ? ???1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ?? 1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)单调递增,g (1)=0. 于是,当01时,g (a )>0. 因此,a 的取值围是(0,1). 【变式训练1】(1)当1a =时,()322f x x x x =+-+,∴()2321f x x x '=+-, ∴切线斜率为()14k f '==,又()13f =,∴切点坐标为()1,3,∴所求切线方程为 ()341y x -=-,即410x y --=. (2)()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=+-,由()0f x '=,得x a =-或3 a x = .0,.3a a a >∴>-由()0f x '>,得x a <-或3a x >,由()0f x '<,得.3a a x -<< ∴函数()f x 的单调递减区间为,3a a ??- ???,单调递增区间为(),a -∞-和,3a ?? +∞ ??? . 【例题2】(1)当1a =时,()ln 3f x x x =-+,()()1110x f x x x x -'= -=>, 令()0f x '>,解得01x <<,所以函数()f x 在(0,1)上单调递增; 令()0f x '<,解得1x >,所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减; 所以当1x =时取极大值,极大值为()12f =,无极小值. (2)函数()f x 的定义域为()0,+∞,()1 f x a x '=-. 当0a ≤时,1 ()0f x a x '=->在()0,+∞上恒成立, 所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增; 当0a >时,令()0f x '>,解得10x a << ,所以函数()f x 在10,a ?? ??? 上单调递增; 令()0f x '<,解得1x a > ,所以函数()f x 在1,a ?? +∞ ??? 上单调递减. 综上所述,当0a ≤时,函数()f x 的单调增区间为()0,+∞;当0a >时,函数() f x 的单调增区间为10,a ?? ???,单调减区间为1,a ?? +∞ ???. 【变式训练2】解 对f (x )求导得 f ′(x )=e x ·1+ax 2-2ax 1+ax 22 . 当a =4 3 时,若f ′(x )=0, 则4x 2-8x +3=0, 解得x 1=32,x 2=1 2 .结合①,可知 x (-∞, 12) 1 2 (12,32) 32 (32,+∞) f ′(x ) + 0 - 0 + f (x ) 极大值 极小值 所以x 1=2是极小值点,x 2=2 是极大值点. 【例题3】1). (2)由得, 故, 则43x =或, 由,,41641205504.39329627f ??????=-?-=-?=- ? ? ??????? 故,. 【变式训练3】1)当0a ≥时,函数()e 20x f x a '=+>,()f x 在R 上单调递增, ()423)4()(2'2 2 --=-+-=ax x x a x x x f ()01=-'f 2 1=a 2 42 1)21)(4()(2 32+--=--=x x x x x x f ()3 4,143'2 =-=?--=x x x x x f 或0)2()2(==-f f 29)1(=-f 29)(max =x f 27 50 )(min -=x f 当0a <时,()e 2x f x a '=+,令e 20x a +=,得ln(2)x a =-,所以当(,ln(2))x a ∈-∞-时,()0f x '<,函数()f x 单调递减;当(ln(2),)x a ∈-+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增. (2)由(1)可知,当0a ≥时,函数()e 20x f x ax =+>,不符合题意. 当0a <时,()f x 在(,ln(2))a -∞-上单调递减,在(ln(2),)a -+∞上单调递增. ①当ln(2)1a -≤()f x 最小值为(1)2e f a =+. 解2e 0a +=,得. ②当ln(2)1a ->()f x 最小值为(ln(2))22ln(2)f a a a a -=-+-, 解22ln(2)0a a a -+-=,得2 e a =-,不符合题意. 应用体验: 1.D 【解析】函数的定义域为)(0,+∞,令11 10x y x x -'=-=≤,解得](0,1x ∈,又0x >,所以](0,1x ∈,故选D. 考点:求函数的单调区间. 2.A 【解析】导数为()() ()e e 1e x x x f x x x ---'=+?-=-,令()0f x '<,得1x >,所以减区间为()1,+∞. 考点:利用导数求函数的单调区间. 3.C 【解析】()()()e 3e e 2x x x f x x x '=+-=-,令()()e 20x f x x '=->,解得2x >,所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞.故选C . 4.【解析】()2 2212 x f x x x x -'=- +=,由()0f x '=得2x =,又函数定义域为()0,+∞, 当02x <<时,()0f x '<,()f x 递减,当2x >时,()0f x '>,()f x 递增,因此 2x =是函数()f x 的极小值点.故选D . 考点:函数的极值点. 5.D 【解析】 ()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-,令()0,f x '= 可得0,1x =,容易判断极大值为()06f a ==. 考点:函数的导数与极值. 复习与巩固 A 组 1.C 【解析】由()f x '图象可知函数()f x 在(),c -∞上单调递增,在(),c e 上单调递减,在(),e +∞上单调递增,又(),,,a b c c ∈-∞,且a b c <<,故()()()f c f b f a >>. 考点:利用导数求函数单调性并比较大小. 2.B 【解析】()2a f x x x '=+,由题意可得()121201 a f a '=?+=+=,2a ∴=-.故选B. 考点:极值点问题. 3.D 【解析】()e 1x f x '=-,令()0,f x '=得0x =. 又()()()010e 01,1e 11,111,e f f f =-==->-=+>且11e 11e 2e e ?? --+=-- ??? = 2e 2e 1 0e --=>,所以()()max 1e 1,f x f ==-故选D. 考点:利用导数求函数在闭区间上的最值. 4.1,3??+∞???? 【解析】由题意得()0f x '≥在R 上恒成立,则()2320f x x x m '=++≥,即 232m x x ≥--恒成立.令()232g x x x =--,则()max m g x ≥????,因为() g x 232x x =--为R 上的二次函数,所以()2 max 11333g x g ???? =-=-?-?? ? ??????? 11233??-?-= ???,则m 的取值围是1,3??+∞????. 5.0 【解析】()()()() ()222 6e 3e 36e e x x x x x a x ax x a x a f x +-+-+-+'= = , 由题意得()00f a '==. 考点:导数与极值. 6.1 【解析】因为()e 1x f x '=-,()00,()00f x x f x x ''>?><,所以()f x 在 [1,0]-单调递减,在[0,1]单调递增,从而函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是 0(0)e 01f =-=. 考点:函数的最值与导数. 7.【解析】()21 ln 2 f x x x =-的定义域为()0,+∞, ()211 x f x x x x -'=-=,令()0f x '=,则1x =或1-(舍去). ∴当01x <<时,()0f x '<,()f x 递减,当1x >时,()0f x '>,()f x 递增, ∴()f x 的递减区间是()0,1,递增区间是()1,+∞. 考点:利用导数求函数的单调区间. 8.(1)1 4a ≤-(2 )【解析】(1)函数(),1ln x f x ax x x = +>,则()2ln 1 ln x f x a x -'=+,由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立,∴2 211111 ln ln ln 24 a x x x ??≤- =-- ???, ∵()1,x ∈+∞,()ln 0,,x ∴∈+∞021ln 1=-∴x 时,函数2 111 ln 24t x ??=-- ???取最小值4 1 - ,41-≤∴a , (2)当2a =时,()2ln x f x x x =+,()22 ln 12ln ln x x f x x -+'=, 令()0f x '=,得22ln ln 10x x +-=,解得2 1 ln = x 或ln 1x =-(舍去), 即x = 当1x <<()0f x '< ,当x >()0f x '>, ∴()f x 的极小值为 f =. B 组 1.D 【解析】因为函数()213 ln 22 f x x x =-+在区间()1,1a a -+上不单调,所以 ()2141 222x f x x x x -'=-=在区间()1,1a a -+上有零点, 由()0f x '=,得12x =,则10, 1 11,2 a a a -≥?? ?-<<+??得312a ≤<,故选D . 考点:函数的单调性与导数的关系. 2.C 【解析】232y x a '=-,①当0a ≤时,0y '≥,所以32y x ax a =-+在()0,1上单调递增,在()0,1无极值,所以0a ≤符合题意;②当0a >时,令0y '=,即2320x a -=,解 得12x x ==, 当6,,a x ???∈ -∞+∞ ? ????? 时,0y '>,当33x ?? ∈- ? ???时 ,0y '<, 所以32y x ax a =-+的单调递增区间为,,, 33?? ??-∞-+∞ ? ? ? ????? ,单调递减区间为33 ?- ? ?,当3x = -时原函数取得极大值,当3 x = 时,原函数取得极小值,要满足原函数在()0,1无极值,1≥,解得32a ≥.综合①②得,a 的取值围为(]3,0,2?? -∞+∞???? ,故选C. 考点:导函数,分类讨论思想. 3.C