2021届四川省巴中市高三零诊考试数学(理)试题(解析版)
四川省巴中市2023-2024学年高三下学期一诊(一模)考试 数学(理)含答案
巴中市普通高中2021级“一诊”考试数学（理科）（答案在最后）（满分150分120分钟完卷）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置.2.答选择题时请使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区城以外答题无效，在试题卷上答题无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.若复数z 满足()2i 2i z -=，则在复平面内z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{1A xx =<∣，或{}23},680x B x x x >=-+<∣，则集合()R A B ⋂=ð（）A.{34}xx <<∣ B.{23}xx <<∣ C.{23}xx <∣ D.∅3.已知55a c =+=-,,a b c 三个数成等比数列，则b =（）A.5B.1C.-1D.-1，或14.已知,a b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知向量,a b 满足||1,|||||a b a b a b ==+=-，则cos ,a b a 〈-〉=（）A.13-B.13C.3-D.36.已知直线,m n 与平面,,αβγ，下列命题中正确的是（）A.若,m n αγβγ⋂=⋂=，则m ∥nB.若m ∥,m αβ⊥，则αβ⊥C.若α∥,,m βαβγ⊥⊥，则m ∥γD.若,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m α⊥7.ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2sin 2cos 2AC c ⋅=⋅.则A =（）A.5π6B.2π3C.π3D.π68.从0,1,2,3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（）A.23B.59C.12D.139.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0的直线交抛物线C 于,A B 两点，点Q 在直线AB 上且OQ AB ⊥（O 为坐标原点），则下列结论中不正确的是（）A.1FQ =B.4OA OB ⋅=-C.FA FB +的最小值为6D.OAB 的面积的最小值为10.在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面,ABC AB BC ⊥且2AB BC ==，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A.1372π81B.196π9C.28π3 D.7π311.若函数()2231f x ax x =+-在区间()1,1-内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为（）A.{12}aa -<<∣B.9{|8a a =-，或12}a -<<C.{}12aa -∣ D.9{|8a a =-，或12}a - 12.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，若()()π4π,63f x f f x f x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在π5π,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可以是（）A.3B.5C.7D.9二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的相应位置上.13.622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于__________.（用数字作答）14.已知实数,x y 满足约束条件20,2340;240x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪--⎩则32x y -的最小值为__________.15.已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f '-=.则()f x 的单调增区间为__________.16.已知双曲线221124x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在直线260x y -+=上.当12F PF ∠取最大值时，12PF PF =__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列()12n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .18.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AA AB AC M N ===分别是1,BC CC 的中点，1AB MN ⊥.（1）证明：MN ⊥平面1AB M ；（2）求MN 与平面1AB N 所成角的正弦值.19.（12分）下图是某市2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y （单位：万吨）与年份t 的散点图.（1）根据散点图推断变量y 与t 是否线性相关，并用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该市生活垃圾无害化处理量.参考数据：()77721119.06,39.33,7 2.646.i i i i i i i y t y y y =====-=≈∑∑∑参考公式：121ˆˆˆ,ni ii nii t y nt ybay bt tnt ==-⋅==--∑∑；相关系数()()()()12211nii i n ni i i i tty y r t t y y ===--=--∑∑∑20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，左顶点分别为,,A B G 为C 的上顶点，且ABG 的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0的动直线与C 交于,M N 两点.证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上.21.（12分）.已知函数()ln xe f x ax a x x=-+.（1）设()()g x xf x =，证明：当a e 时，过原点O 有且仅有一条直线与曲线()y g x =相切；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，已知曲线12cos ,:22sin x C y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）和圆222:40C x y x +-=.以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）设过点O 倾斜角为π04αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 分别与曲线1C 和圆2C 交于点,A B （异于原点O ），求2ABC 的面积的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()211f x x x =+--.（1）解不等式()21f x x >+；（2）若不等式()2f x x x m <-+恒成立，求m 的取值范围.巴中市普通高中2021级“一诊”考试数学参考答案（理科）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.6014.-715.()()1,0,0,1-16.55三､解答题：共70分17.（12分）解：（1）方法1由题意，得22n n a S =+1122n n a S ++∴=+两式相減得11122n n n n n a a S S a +++-=-=，化简得12n n a a +=取1n =得1122a a =+，解得12a ={}n a ∴是以2为首相，2为公比的等比数列2n n a ∴=.方法2由题意，得22n n a S =+取1n =得1122a a =+，解得12a =当2n 时，()122n n n S S S --=+，整理得122n n S S -=+()111222,224n n S S S a -∴+=++=+={}2n S ∴+是以4为首项，2为公比的等比数列112422n n n S -+∴+=⋅=222n n n S a +∴==.（2）由（1）得：22log log 2nn n b a n ===，故22n b n +=+()()111112222n n b b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪+++⎝⎭11111111111112324352112n T n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22111135122124128n n n n n n +⎛⎫=+--= ⎪++++⎝⎭故22354128n n nT n n +=++18.（12分）解：（1）证法1由AB AC =且.BM CM =得AM BC ⊥由直梭柱的性质知1BB ⊥平面ABC .又AM ⊂平面ABC1BB AM∴⊥11,,BB BC B BB BC ⋂=⊂ 平面11BCC B AM ∴⊥平面11BCC B MN ⊂ 平面11BCC B AM MN∴⊥111,,,AB MN AM AB A AM AB ⊥⋂=⊂ 平面1AB M MN ∴⊥平面1AB M .证法2由AB AC =其BM CM =得AM BC ⊥出直棱柱的性质知，平面11BCC B ⊥平面ABC 又AM ⊂平面ABC ，垧11BCC B ⋂平面ABC BC=AM ∴⊥平面11BCC B MN ⊂ 平面11BCC B AM MN∴⊥111,,,AB MN AM AB A AM AB ⊥⋂=⊂ 平面1AB MMN ∴⊥平面1AB M .（2）方法1由（1）知MN ⊥平面1AB M ，又1B M ⊂平面1AB M1MN B M ∴⊥，故1B MB MNC∠∠=又11111tan ,tan ,2,1,2BB CM B MB MNC BB CN CC BM CM BM CN ∠∠======22BM ∴=.222248BC BM AB AC ∴===+故AB AC ⊥，从而1,,AB AC AA 两两垂直以A 为原点，1,,AB AC AA分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz-出题意得，()()()()10,0,0,1,1,0,2,0,2,0,2,1A M B N 1(2,0,2),(0,2,1),(1,1,1)AB AN MN ∴===-设平面1AB N 的一个法向量为(),,u x y z =由10,0u AB u AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得220,20x z y z +=⎧⎨+=⎩取2z =-得()2,1,2u =- 设MN 与平面1AB N 所成角为θ，则|||21111(2)|3sin |cos ,|3||||33u MN u MN u MN θ⋅=〈〉===⋅⨯MN ∴与平面1AB N 所成角的正弦值为33.方法2由（1）知MN ⊥平面1AB M ，又1B M ⊂平面1AB M1MN B M ∴⊥，故1B MB MNC∠∠=又11111tan ,tan ,2,1,2BB CM B MB MNC BB CN CC BM CM BM CN ∠∠======22BM ∴=，故BM CM==22218,BC AB AC MN B M ∴==+====AB AC ∴⊥，故AM =1111132A B MN V AM MN B M -∴=⨯⨯⨯⨯=又1AB ==13AN B N ==22211111cos 22AB B N AN AB N AB B N ∠+-∴==⨯，故1sin 2AB N ∠=111111sin 33222AB N S AB B N AB N ∠∴=⨯=⨯⨯ 设点M 到平面1AB N 的距离为,d MN 与平面1AB N 所成角为θ则113313M AB N AB NV d S -=== 3sin 3d MN θ∴==，即MN 与平面1AB N 所成角的正弦值为33.19.（12分）解：（1）123456728477t ++++++===()7222222221(3)(2)(1)012328i i tt =-=-+-+-++++=∑()()7711739.3349.06 3.09iii ii i t t y y t y ty ==∴--=-=-⨯=∑∑3.090.972 2.6460.6r ∴≈≈⨯⨯由y 与t 的相关系数约为0.97表明：y 与t 的线性相关程度相当高∴可用线性同归模型拟合y 与t 的关系.（2）由9.06 1.297y =≈及（1）得()()()717213.09ˆ0.1128ii i i i tty y b t t ==--==≈-∑∑ ˆ 1.290.1140.85ay bt =-≈-⨯≈y ∴关于t 的回归方程为ˆ0.850.11y t=+代2024年对应的年份代码9t =入回归方程得：ˆ0.850.119 1.84y=+⨯=∴预测2024年该市生活垃圾无害化处理量将约为1.84万吨.20.（12分）解：（1）由题意得2232a b a -=，化简得2a b =又122ABG S AB OG ab =⨯== 2,1a b ∴==∴椭圆C 的方程为2214x y +=（2）方法1：由（1）得()()2,0,2,0A B -设()()1122,,,M x y N x y ，直线():2MA y m x =+，直线():2NB y n x =-由()222,440y m x x y ⎧=+⎨+-=⎩得()222214161640m x m x m +++-=山于212164214m x m --=+，战21122284,1414m mx y m m -==++①.由()222,440y n x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222214161640n x n x n +-+-=由于222164214n x n -=+，故22222824,1414n nx y n n--==++②由题设知121244x x y y --=，代入①②化简得()()4130mn m n ++=省410mn +=，则14mn =-，此时22122224144m n m y y m m n m -===++故,M N 重合，即直线l 椭圆C 相切，不合题意3m n∴=-∴点(),P x y 满足()2y m x =+且()32y m x =--，联立解得1x =∴即AM 与BN 的交点在定直线1x =上.方法2：由（1）可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y 山题意知，直线MN 的斜率不为0，设其方程为4x my =+，且m >由224,440x my x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得()2248120m y my +++=则()216120m =->，解得m >由根与系数的关系得121222812,44m y y y y m m -+==++直线MA 的方程为()1122y y x x =++，直线NB 的方程为()2222y y x x =--联立直线MA 与直线NB 的方程可得：()()()()()2121121211212121266622222y x y my my y y y y x x y x y my my y y ++++-+===--++11222112212836666444 3.12122244m m m y y m m m m m y y m m --⋅+⋅--+++===-⨯++++由232x x +=--可得1x =，故AM 与BN 的交点在定直线1x =上方法3：由（1）可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y 由题意知，直线MN 的斜率不为0，设其方程为4,x my =+且m >由224,440x my x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得()2248120m y my +++=则()216120m =->，解得m >由根与系数的关系得121222812,44m y y y y m m -+==++当线MA 的方程为()1122y y x x =++，自线NB 的方程为()2222y y x x =--联立得()()()()12212222y x x y x x -+=+-代入11224,4x my x my =+=+得：()()()()1211222262my y y x my y y x ++=+-()()222221216122262444m m m y x y x m m m -⎛⎫⎛⎫∴+-+=+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭即()()22222623244m m y x y x m m -⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得()232x x +=--解得1x =，故AM 与BN 的交点在定直线1x =上.方法4：设()()1112,,,M x y N x y ，由题可知MN 的斜率一定存在，设():4l y m x =-由()224,440y m x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222214326440m x m x m +-+-=()()()()222232414644161120m m m m =--+-=->，解得66m -<<由根与系数的关系得2212122232644,1414m m x x x x m m -+==++又()()1212:2,:222y y MA y x NB y x x x =+=-+-联立解得：()12211212211222222x y x y y y x x y x y y y +-+=-++()()12211212211222222y x y x y y y x y x y y +-+--+++()()12121212410162258mx x m x x m m x x x x ⎡⎤=-++=-++⎣⎦()222222814644322258280141414m m m m m m m m ⎡⎤-+⎡⎤-⎢⎥=⨯-⨯+=+=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦1x ∴=，即AM 与BN 的交点在定直线1x =上.方法5：设()()1112,,,M x y N x y ，由题意知MN 的斜率一定存在，设():4l y m x =-山()224,440y m x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222214326440m x m x m +-+-=()()()()222232414644161120m m m m =--+-=->，解得66m -<<由根与系数的关系得2212122232644,1414m m x x x x m m -+==++()()121244,22MB NB m x m x k k x x --==-- ()()2222221212221212226441281641614143..6446424441414MB NB m m m m x x x x m m k k m m x x x x m m ⎛⎫--+ ⎪⎡⎤-++++⎣⎦⎝⎭===--++-+++①由221114x y +=得11111224y y x x ⋅=-+-，即14MA MB k k =-②由①②得3NB MAk k =-∴直线MA 的方程为()2MA y k x =+，直线NB 的方程为()32MA y k x =-+联立直线MA 与直线NB 的方程解得1x =AM ∴与BN 的交点在定直线1x =上.方法6：设MA 与NB 交于点(),P P P x y ，则()():2,:222P P P P y y MA y x NB y x x x =+=-+-代入2214x y +=，解得()()()()22222222842,2424P P P P M M P P P P x y x y x y x y x y +-+==++++()()()()22222282242,2424P P P P N N P P P P y x x y x y x y x y ----==-+-+由题设知()()()()()()()()22222222222242422424822228442424P P P P P P P P P P P P P P P Px y x y x y x y y x x y x y x y --+-+++=--+----+++即()()()()222222324212P P P P P P P Px y x y x y x y -+=-+-+-，化简得()()221440P P P x x y ---=根据题意知2p x <，故22440p p x y --<1p x ∴=，即AM 与BN 的交点在定直线1x =上.注：本题第（2）问的解法1，解法4，解法6是参照2024年版《高考试题分析（数学）》P 225228对2023年高考新课标II 卷第21题的解题思路给出的.21.（12分）解：（1）证法1由题意，()()2ln ,2ln (0)x xg x e ax ax x g x e ax a a x x =-+=++>'-设过原点的直线与曲线()y g x =相切于点()(),t g t ，则2ln 2ln (0)t t e at at t e at a a t t t -+=-++>，变形化简得()()10t t e at --=设()x h x e ax =-，则()xh x e a '=-若0a ，则当0x >时恒有()0h x >，此时方程①有唯一解1t =∴过原点O 的有且仅有一条直线()y e a x =-与曲线()y g x =相切若0a e < ，则()0h x '<得0ln x a <<，由()0h x '>得ln x a>()()min ()ln 1ln 0h x h a a a ∴==- ，方程①有唯一解1t =∴过原点O 有且仅有一条直线与曲线()y g x =相切.综上，当a e 时，过点O 有且仅有一条直线()y e a x =-与曲线()y g x =相切.证法2由题意，()()2ln ,2ln (0)x xg x e ax ax x g x e ax a a x x =-+=++>'-设过原点的直线与曲线()y g x =相切于点()(),t g t ，则2ln 2ln (0)t t e at at t e at a a t t t -+=-++>变形化简得()10t e t a t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭①设()(0)te t a t t ϕ=->，则()()21t e t t t ϕ-=' 当01t <<时()()0,t t ϕϕ'<单调减；当1t >时()()0,t t ϕϕ'>单调增()min ()1t e aϕϕ∴==-由a e 知()min ()10t e a ϕϕ==- ，当H .仅当1t =取等号∴当a e 时，关于t 的方程①有唯一解1t =∴当a e 时，过原点O 有且仅有一条直线与曲线()y g x =相切.（2）方法1()()()()2211,0x xx e ax x e a f x a x x x x '---=-+=>内（1）知：当a e 时，0x e ax - 故当01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x '>()min ()10f x f e a ∴==- ，此时()f x 至多一个零点，份题意当a e >则，设()xh x e ax =-由（1）中方法1知()min ()1ln 0h x a a =-<又()()()()010,10,2ln 2ln 0h h e a h a a a a =>=-<=->()h x ∴在()()0,1,1,∞+各有一个零点，设为()1212,x x x x <()f x ∴'有三个零点12,1,x x ，且1201x x <<<当10x x <<，或21x x <<时，()0f x '<；当11x x <<，线2x x >时，()0f x '>()f x ∴的极大值为()()10,f e a f x =-<的极小值为()1f x 和()2f x 且()()()()1210,10f x f f x f <<<<又当0x →，或x ∞→+时，都有()f x ∞→+()f x ∴恰在()10,x 和()2,x ∞+各有一个零点，符合题意a ∴的取值范围为(),e ∞+方法2由()ln x e f x ax a x x=-+变形得()()ln ln x x f x e a x x -=--令(),ln (0)t F t e at t x x x =-=->，则11t x'=-当01x <<时，0t '<：当1x >时，0t '>min 1ln11t ∴=-=，故1t X 当01x <<时，有ln ln t x x x =->-，此时t 的取值范围为()1,∞+当1x >时，由直线上升与对数增长的比较知，t 的取值范围为()1,∞+故对任意的01t >，关于x 的方程()00ln 1x x t t -=>恒有两个解()f x ∴有两个零点等价于()F t 在()1,∞+有且仅有一个零点由（1）知，当a e 时，()0F t 在[)1,∞+恒成立，当H .仪当,1a e t ==取等号∴当a e 则，()f x 至多一个零点，不合题意当a e >时，由()1知()()min ()ln 1ln 0F t F a a a ==-<又()10F e a =-<，且()()2ln 2ln 0h a a a a =->()F t ∴在()1,∞+有且仅有一个零点综上可知，a 的取值范围为(),e ∞+.方法3由()ln x e f x ax a x x =-+变形得()ln x xe ef x a x x=-令()ln ,(0)x e G t t a t t x x =-=>，则()21xx e t x -='当01x <<时，0t '<；当1x >时，0t '>min t e ∴=，故t e又当01x <<时，有1x e t x x=>，此时t 的取值范围为(),e ∞+当1x >时，由直线上升与指数爆炸的比较知，t 的取值范围为(),e ∞+故对任意的0t e >，关于x 的方程()00x e t t e x=>恒有两个解()f x ∴有两个零点等价于()0G t t =在(),e ∞+内有唯一零点又()()1a t a G t t e t t-=-='（i ）当a e 则，()()0,G t G t ' 在(),e ∞+足增函数，此则min ()0G t e a =- 当且仅当a t e ==取等号，故a e 时，()f x 至多一个零点，不合题意（ii ）当a e >时，若e t a <<，则()0G t '<；若t a >，则()0G t '>此时()()min ()1ln 0G t G a a a ==-<又()0G e e a =-<，且()()22ln 0G a a a a =->()G t ∴任(),e ∞+有且仅有一个零点综上可知，a 的取值范围为(),e ∞+.方法4令ln y x x =-，则11y x'=-当01x <<时，0y '<；当1x >时，0y '>min (ln )1ln11x x ∴-=-=，故1ln 0x x -- ，且2ln 0x x x ->由()0f x =得ln 0x e ax a x x -+=，变形得20ln xe a x x x-=-令()2ln xe H x a x x x=--，则()f x 有两个零点等价于()H x 有两个零点()()()221ln 0ln x e x x H x x x x --=-' ，当且仅当1x =时取等号∴当01x <<时()()0,H x H x '<单调递减：当1x >时()()0,H x H x '>单调递增()min ()1H x H e a∴==-由()H x 有零点知0e a -<，则a e>X 当01x <<时1x e >，故()21ln H x x x x >-取*1,n x n e =∈N ，则221ln n n n x x x e e -=+X ，头n ∞→+时，有0x →，且221ln 0n n n x x x e e-=+→∴当0x →时21ln x x x ∞→+-（如下图），故()H x ∞→+当1x >时，保()2x e H x x >，而当x ∞→+则，2xe x∞→+∴当x ∞→+是()H x ∞→+故当a e >时，()H x 在()0,1和()1,∞+各有一个零点，故()f x 有两个零点a ∴的取值范围为(),e ∞+（二）选考题：共10分.22.（10分）解：（1）由2cos ,22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩变形得2cos ,22sin x y ββ=⎧⎨-=⎩，消去参数β得2240x y y +-=代cos ,sin x y ρθρθ==入1C 和2C 的普通方程并化简得：12:4sin ,:4cos C C ρθρθ==∴直线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，圆2C 极坐标方程为4cos O ρ=.（2）方法1由题意，设直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R 代()θαρ=∈R 入4sin ρθ=得()4sin ,A αα，故4sin OA α=代()θαρ=∈R 入4sin O ρ=得()4cos ,B αα，故4cos OB α=由π04α<<知cos sin αα>，印OB OA >由圆2C 的方程得22OC =()22221sin 2ABC BOC AOC S S S OC OB OA α∴=-=⨯- ()4cos sin sin 2sin22cos22ααααα=-=+-ππ222044αα⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 当且仅当π8α=时取等号2ABC ∴ 的面积的最大值为2-.方法2由题意，设直线l 的极坐标方程为()O αρ=∈R 代()4sin θαρλρθ=∈=R 得()4sin ,A αα，故4sin OA α=代()θαρ=∈R 入4sin ρθ=得()4cos ,B αα，故4cos OB α=由π04α<<知，()4cos sin AB OB OA αα=-=-由圆2C 的方程得22OC =设2C 到直线l 的距离为d ，则2sin 2sin d OC αα==()214cos sin sin 2sin22cos222ABC S d AB ααααα∴=⨯⨯=-=+- ππ222044αα⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 当且仅当π8α=时取等号2ABC ∴ 的面积的最大值为2-.方法3设直线l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）.代l 的方程入2240x y y +-=解得4sin A t α=，故4sin OA α=代l 的方程入2240x y x +-=解得4cos B t α=，故4cos OB α=由π04α<<知，()4cos sin AB OB OA αα=-=-下同方法1或2方法4设直线l 的方程为y kx =，由π04α<<知，()tan 0,1k α=∈由22,40y kx x y y =⎧⎨+-=⎩解得241A k x k =+；由22,40y kx x y x =⎧⎨+-=⎩解得241B x k =+B A AB x ∴=-=设2C 到直线l 的距离为d，则d =()2222411444211ABC k k k S d AB k k +-∴=⨯⨯==-+++ 令1k t +=，则()22414412,211(1)2k t t k t t t +<<==++-+-2t t+()1,2t =时取等号()24142212k k t t+∴=++-2ABC S ∴ ，即2ABC的面积的最大值为2-.23.（10分）解：（1）方法1不等式()21f x x >+可化为：①1,321,x x x <-⎧⎨-->+⎩解得43x <-②11,3121,x x x -⎧⎨+>+⎩解得01x < ③1,321,x x x >⎧⎨+>+⎩解得12x <<∴不等式()21f x x >+的解集为()4,0,23∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.方法2()3,1,21131,11,3, 1.x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=+-⎨⎪+>⎩由()21f x x =+解得43x =-，或0x =，或2x =如图，由不等式解集的几何意义得：()21f x x >+的解集为()4,0,23∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭（2）“不等式()2f x x x m -+ 恒成立”等价于“不等式()2m x x f x -++ 恒成立”记()()2g x x x f x =-++，则()max []m g x 当1x <-时，()()2314g x x g =--<-=-当11x - 时，()()2241(2)514g x x x x g =-++=--+= 当1x >时，()()2223(1)414g x x x x g =-++=--+<=()()max []14g x g ∴==。
2021年四川省巴中市高考数学零诊试卷(理科)(解析版)
2021年四川省巴中市高考数学零诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．∅B．（﹣1，3）C．（1，3）D．（2，3）2．若复数z满足（2﹣i）z＝5，则|z|＝（）A．B．5C．D．23．设曲线y＝a（x﹣1）﹣lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝3x﹣3，则a＝（）A．1B．2C．3D．44．已知a，b，c满足2a＝3，bln2＝1，3c＝2，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c5．在△ABC中，cos A＝，BC＝3，AC＝2，则cos C＝（）A．B．C．或D．6．已知函数f（x）＝sin2x+cos2x+1，若函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．7．已知P为圆（x+1）2+y2＝1上任一点，A，B为直线3x+4y﹣7＝0上的两个动点，且|AB|＝3，则△PAB面积的最大值为（）A．9B．C．3D．8．在直角△PAB中，∠P＝90°，AB＝4，点Q在平面PAB内，且PQ＝1，则•的最小值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣49．已知＝2，则tanθ＝（）A．1B．2C．3D．10．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（素数即质数）猜想的一个弱化形式．素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数．则从不超过20的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（）A．B．C．D．11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，A，B两点分别在一、四象限，若，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C．D．12．函数f（x）＝xlnx﹣x+2a+2，若f（x）与f（f（x））有相同的值域，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣，0]C．[0，）D．[0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若（x﹣）n的展开式的二项式系数和为32，则展开式中x3的系数为．14．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值．15．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠A＝60°，，PA＝4，则三棱锥P﹣ABC 外接球的表面积为．16．已知函数f（x）＝xe x，g（x）＝，h（x）＝xlnx，现有以下四个命题：①f（x）﹣g（x）是奇函数；②函数f（x）的图象与函数g（x）的图象关于原点中心对称；③对任意x∈R，恒有f（x）≥g（x）；④函数f（x）与函数h（x）的最小值相同其中正确命题的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。
四川省巴中市高考数学零诊试卷(理科)解析版
设 f（x）= ，则 f′（x）= ，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比
较． 本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题． 【解答】
解：
，
，= ，
∵6π＞0，
∴a，b，c 的大小比较可以转化为
的大小比较．
设 f（x）= ，
则 f'（x）= ，
当 x=e 时，f'（x）=0，当 x＞e 时，f'（x）<0，当 0＜x＜e 时，f'（x）>0 ∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减， ∵e＜3＜π＜4，
10. 若双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线 y2=4x 的准线围成的三角形 面积为 2．则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C. 2
D.
11. 已知三棱锥 P-ABC 中，PA=4，AB=AC=2 ，BC=6，PA⊥面 ABC，则此三棱锥的 外接球的表面积为（ ）
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A. -
B. -
C.
D.
6. 记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 S2=2，S3=-6．则{an}的通项公式为（ ）
A. an=（-2）n
B. an=-2n
C. an=（-3）n
D. an=-3n
7. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
是（ ）
A. 16 B. 32 C. 48 D. 144
2.【答案】B
【解析】解：z= =
=i（1+i）=-1+i，
则|z|=
=，
故选：B．
根据复数的运算性质求出 z，求出|z|即可．
本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．
四川省巴中市2021届高三零诊数学(理)试题 Word版含答案
四川省巴中市2021届高三零诊考试数理试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）留意事项：必需使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合M={x |1+x ＞0}，N={x |x -11＞0}，则M∩N=A.{x |-1≤x ＜1}B.{x |x ＞1}C.{x |-1＜x ＜1}D.{x |x ≥-1} 答案为：C2、假如a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的是A.b a 11< B.b a <- C. a 2＜b 2 D. |a|＞|b|. 答案为：A3、某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不行能是（ ）答案为：D4、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．假如输入某个正整数n 后，输出的S ∈(10,20)，那么n 的值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 答案为：B5、若|a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 答案为：C6、要得到函数y ＝cos(2x +1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移21个单位D ．向右平移21个单位答案为：C7、设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ,则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是A ．［23-，6］ B ．［23-，－1］C ．［－1,6］D ．［－6，23］ 答案为：A8、将2名老师，4名同学分成2个小组，分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动，每个小组由1名老师和2名同学组成，不同的支配方案共有（ ）A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种 答案为：A9、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为…( ) A ．32 B.52 C ．34 D.54 答案为：B10、设S ，T 是R 的两个非空子集，假如存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：（1）T ＝{f (x )|x ∈S }；（2）对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )． A ．A ＝N *，B ＝NB ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}C ．A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q 答案为：D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
四川省巴中市2025届高三上学期“零诊”考试数学试题
四川省巴中市2025届高三上学期“零诊”考试数学试题一、单选题 1．已知复数21iz =+，则||z =（ ）A B ．1C D ．2 2．设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l”是“lm 且ln ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知集合{}4,,141P x y y Q x x x ⎧⎫==∈=-≤≤⎨⎬+⎩⎭N ∣，则P Q =I （ ） A ．{1,2,4} B ．{0,1,3} C ．{03}x x ≤≤∣ D ．{14}xx -≤≤∣ 4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4812,40S S ==，则12S =（ ） A ．44B ．56C ．68D ．845．设函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩；若()23(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(1,)-∞-+∞U6．有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ） A ．34B ．23C ．13D ．147．已知函数1()31f x x x =++-的图象与直线(1)4y k x =-+有两个交点()()1122,,,x y x y ，则1212x x y y +++=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B =u u u r u u u u r ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B C D ．23二、多选题9．设离散型随机变量X 的分布列如下表若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则（ ） A ．04m =. B ．()()2, 1.2E X D X == C ．()()3, 3.4E Y D Y ==D ．()()5, 4.8E Y D Y ==10．已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于π3x =对称，下列结论中正确的是（ ）A ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数B ．π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若()f x 在[,]m m -上单调递增，则π03m <≤ D ．()f x 的图象与直线π23y x =+有三个交点 11．已知A ，B 为双曲线22:12y C x -=的左，右顶点，12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点．下列命题中正确的是（ ）A ．若R 为双曲线C 上一点，且14RF =，则26RF =B ．2F 到双曲线C C ．若P 为双曲线C 上非顶点的任意一点，则直线PA PB 、的斜率之积为2D ．双曲线C 上存在不同两点,M N 关于点()1,1Q 对称三、填空题12．412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是．13．正四棱台高为2，上下底边长分别为积是．14．已知向量,a b r r 满足||2,|2|||6a a b b =++=rr r r ，则||a b +r r 的取值范围为．四、解答题15．已知数列{}n a 的首项112a =，且满足132n n n a a a +=+．(1)证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)若123111150na a a a ++++<L ，求满足条件的最大整数n ． 16．在直三棱柱111ABC A B C -中，122,90,AA AB ABC D ==∠︒=在1BB 上，且12BD =．(1)证明：1AC AD ⊥； (2)当四棱锥1A BCC D -的体积为54时，求平面1AC D 与平面ABC 所成二面角的正弦值．17．已知锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a c c B -=． (1)证明：2B C =； (2)若2a =，求cos 1C b c+的取值范围． 18．已知动圆Q 经过点(1,0)F 且与直线1x =-相切，记圆心Q 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)设过点F 且斜率为正的直线l 交曲线C 于,A B 两点（点A 在点B 的上方），AB 的中点为M ， ①过,M B 作直线1x =-的垂线，垂足分别为11,M B ，试证明：11AM FB ∥； ②设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，若FPM V 的面积为4，求直线l 的方程．19．设函数()2()ln 1f x x x a x =--．(1)若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； (2)当1x >时()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：()*2ln 21nk kn k =<∈-∑N ．。
四川省巴中市普通高中2021级“零诊”考试理科综合(化学+生物+物理)参考答案
巴中市普通高中2021级“零诊”考试化学参考答案7. A 8. B 9. B 10. C 11. D 12. C 13. D 26. （14分）【除标注外每空2分】（1）球形冷凝管（1分） 平衡气压，便于浓盐酸顺利滴下（1分） （2）2KMnO 4+16HCl=2KCl+MnCl 2+5Cl 2↑+8H 2O （3）g→h→e→f（4） 增大气体与液体的接触面积，使反应充分进行溶解2Cl 和乙烯，促进气体反应物间的接触 （5）H 2O （其他合理答案也可） （6）7527. （15分）【除标注外每空2分】（1）+4（2）增大固体接触面积，提高碱浸速率适当加热（或搅拌或适当增大NaOH 溶液浓度等合理答案（1分） （3）Al 2O 3、SiO 2（2分）（4）成本增大（或其他合理答案）（5）3TiOSO 4+4H 3PO 4==Ti 3(PO 4)4↓+3H 2SO 4+3H 2O （6）平衡气压、防倒吸、稳定过滤速度等 （7）�a1.0×10−15428. （14分）【每空2分】（1）① 123411ΔH ΔH ΔH ΔH 23++×+×② C (CH 3OH )·C (H 2O )C (CO 2)·C 3(H 2) 11. 1 （2） > 催化剂乙、反应温度200℃（3） H 2通入CO 2使容器体积增大，使平衡正向移动；CO 2与H 2反应，也使平衡向脱氢的方向移动35. （15分）【除标注外每空2分】（1）3d 9 （1分）（2）①N O C >> ②1∶2 ③b>a>c（3）AC （4）B C （5）CD （6）√26ππ36. （15分）【除标注外每空2分】（1）邻氯甲苯（或2-氯甲苯）（2分）（2）浓硝酸，浓硫酸、加热（2分）（3）+CH3OH∆→浓硫酸+H2O（2分）（4）还原反应（2分）（5）酯基、酰胺基（2分）（6）（2分）（7）3HNOΔ →浓浓硫酸2423N H H OFeCl⋅→（3分）1-6 BCDCD 巴中市普通高中2021级“零诊”生物学试题参考答案B29.（10分，除说明外每空1分）（1）叶绿体基质→类囊体薄膜叶绿体细胞质基质线粒体（2分）（2）14CO 2与C5结合生成2分子14C3（2分）（3）番茄的品种和光照强度无水乙醇 B 与正常光照相比，弱光条件下 B 的（叶绿素含量显著提高）CO2的吸收速率下降幅度较小，故更耐阴（2 分）30.（共8分，除说明外每空1分）（1）胰岛素受体自身免疫病（2）氧化分解（2分） (血糖) 感受器→传入神经→下丘脑血糖调节中枢→传出神经→胰岛A细胞 (或肾上腺) （2分）（3）少饮用含糖饮料、全脂牛奶，适当饮用无糖饮料、低脂牛奶（合理即可）（2分）31（共10分）（1）生态系统的组成成分、营养结构（食物链和食物网）（2分）直接（1分）（2）空间结构（垂直结构）（1分）防止长期种植同一种作物而导致因土壤缺乏作物所需的某些元素（土壤肥力下降）而减产（2分）（3）用于生长发育和繁殖的能量（2分）32.（11分）（1）基因通过控制酶的合成控制代谢过程，进而控制生物体的性状（2分）（2）黄色和紫色（2分） aaBB和aabb（2分）（3）遵循（1分）实验1中F2的性状分离比符合基因的自由组合定律9:3:3:1的变式（2分）（4）选择F2紫色玉米的花药进行离体培养，获得单倍体植株，经人工诱导使染色体数目加倍，选择种子为紫色的玉米留种（2分）37.（共15分，除说明外每空2分）（1）淀粉酶（1分）包埋法一系列（2）C2H5OH+O2→CH3COOH+H2O（或醋酸菌在有氧条件下将酒精转变为醋酸）具有的防变质的特性或抑制醋酸菌的繁殖（3）稀释涂布平板法 45 3.5×108巴中市高2021级零诊考试物理参考答案14.A 15.B 16.D 17.C 18.D 19.BD 20.AC 21.AD 22.（1）AB （2分）（2）0.221 （2分） 0.230 （2分） 23.（1）X1 （2分） 30 （2分） （2）（3分）（3）UI −r （2分）24.（1）B =mv 0qLT =2πL v 0（2）t =πL 2v 0+Lv 0（1）带电粒子在磁场中从A 到O 做匀速圆周运动由几何关系得有 r =L ………………………………………………… （1分） 根据牛顿第二定律，有 qv 0B =m v 02r……………………………… （2分）联立解得 B =mv 0qL …………………………………………………………… （2分）运动周期 T =2πL v 0……………………………………………………………… （1分）（2）带电粒子在磁场中运动时间 t 1=14T =πL 2v 0………… （2分）带电粒子在电场中运动时间 t 2=L v 0 ……………………………… （2分）从A 运动到A 、总时间为t =πL 2v 0+L v 0……………………………… （2分）25.（1）v0=3m s⁄（2）L最小长度为0.75m（3）I=√I12+I22=2√109 N·S A对B的冲量I的方向斜向右上，与水平方向夹角为θ，tanθ=103（1）对B在台阶上全过程由能量守恒得m2v02……………………………………………………（2分）E P−um2gx=12解得v0=3m s⁄……………………………………………………………（2分）（2）B滑上A后，对B分析，有μ2m2g=m2a2………（1分）v B=v0−a2t1…………………………………………………………………（1分）x B=v0−1a2t12………………………………………………………………（1分）2对A分析，有μ2m2g−μ1(m1+m2)g=m1a1……………（1分）v A=a1t1…………………………………………………………………………（1分）x A=1a1t12………………………………………………………………………（1分）2当v A=v B时，得t1=0.5sx B−x A=L…………………………………………………………………………（1分）得L=0.75m由于μ1<μ2，共速后二者一起做匀减速运动，则木板A最小长度为0.75m ……………………………………………………………………………………（1分）（3）A、B共速后，有μ1(m1+m2)g=(m1+m2)a3………（1分）v A=a3t2………………………………………………………………………………（1分）A对B摩擦力f=m2a3………………………………………………………（1分）全过程A对B摩擦力的冲量大小I1=μ2m2gt1+ft2………（1分）（也可用动量定理求全过程A对B摩擦力的冲量：−I1=0−m2v0）全过程A对B支持力的冲量大小I2=N(t1+t2)………………（1分）N=m2g…………………………………………………………………………………（1分）联立解得，A对B的冲量大小I=√I12+I22=2√109 N·S（1分）A对B的冲量I的方向斜向右上，与水平方向夹角为θ，tanθ=103………………………………………………………………………………（1分）33.（1）ADE （5分）（2）设初始状态气缸内封闭气体压强为P，体积为V；稳定时汽缸内封闭气体压强为P1，体积为V1，加入沙子质量为m.初始状态下汽缸内气体压强与大气压强相同，有P=P0添加沙子过程中，汽缸内气体经历等温变化，由玻意尔定律得PV=P1V1……………………………………………………（1分）V=SH……………………………………………………（1分）V1=23SH………………………………………………………（1分）联立解得P1=32P0…………………………………………………（1分）对活塞进行分析有P1S=PS+mg…………………（1分）解得m=P0S2g…………………………………………………（1分）（2）设活塞再次回到高H处时，环境温度为t2温度升高过程中，气缸内气体经历等压变化，由盖·吕萨克定律得V1 T1=VT2……………………………………………………………………（2分）T1=t1+273T2=t2+273联立解得t2=177℃………………………………………………（2分）34.（1）ACE （5分）解: (1)单色光在透明介质中的传播路线如图所示(2分)由几何关系可知，当单色光在AC 边上刚好发生全反射时，其临界角为60°由sin C 1= n 可得 n =1sin C 1………………………………………………（1分）代入数据可得n ＝233 ……………………………………………………… (1分)(2)由几何关系可得NE ＝12L ，∠NEC ＝120°，由正弦定理得NQ ＝3NE ＝32L ………………………………………………………………… （1分）AQ ＝3NQ ＝32L …………………………………………………………………… (1分）又因为QC ＝AC －AQ ＝12L ，所以QM ＝34L …………………………… (1分)单色光在该透明介质中的传播速度v ＝c n ＝32c ……………………… (1分)所以单色光在该透明介质中的传播时间t ＝NQ+QMv………………… (1分)代入数据可得：t ＝3L 2C……………………………………………………………… (1分)。
四川巴中2025届高三上学期“零诊”考试数学试题(解析版)
巴中市普通高中2022级“零诊”考试数学试题（满分150分 120分钟完卷）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置．2．答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效、在试题卷上答题无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1. 已知复数21iz=+，则||z=（）A. B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算和模长的计算公式求解即可.【详解】()()()21i222i1i 1i1i1i2z−−====−++−，故||1iz=+=.故选：C2. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“l m且l n”A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“l m且l n”，反之若“l m且l n”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“l m且l n”的充分不必要条件，选A．的3. 已知集合{}4,,141P x y y Q xx x ==∈=−≤≤ +N ∣，则P Q = （ ） A. {1,2,4} B. {0,1,3}C. {03}xx ≤≤∣ D. {14}x x −≤≤∣【答案】B 【解析】【分析】用列举法表示集合P ，结合交集的概念即可得解. 【详解】若4,N 1y y x ∈+，则1x +是4的正因数，而4的正因数有1，2，4， 所以{}4,0,1,31P x y y x ==∈= +N ，因为{}14Q xx =−≤≤∣， 所以{0,1,3}P Q = . 故选：B.4. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4812,40S S ==，则12S =（ ） A. 44 B. 56C. 68D. 84【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的前n 项和性质：n S ，2n n S S −，32n n S S −成等差数列可求12S . 【详解】由题意可得4S ，84S S −，128S S −成等差数列， 所以()8441282S S S S S −=+−， 因为412S =，840S =，则12561240S =+−，解得1284S = 故选：D.5. 设函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥ = −−< ；若()23(1)f a f a −>−，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1)(2,)−∞−∪+∞B. (,2)(1,)−∞−+∞C. (,1)(3,)−∞−∪+∞D. (,3)(1,)−∞−+∞【答案】A.【解析】【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案. 【详解】作出函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥ =−−<的图象，如图：可知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥ = −−<在R 上为单调递增函数，故由()23(1)f a f a −>−可得231a a −>−，即220a a −−>， 解得1a <−或2a >，即实数a 的取值范围是()(),12,∞∞−−∪+, 故选：A6. 有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ） A.34B.23C.13D.14【答案】B 【解析】【分析】选出1个志愿者参加两天的服务，再从剩下的3人中抽取2人参加服务，再结合古典概型计算概率即可.【详解】不妨设4名志愿者分别,,,,,a b c d 假设a 连续参加两天的社区服务，剩下的3人中抽取2人参加服务，共有23A 6=种方法，所以恰好有1人连续参与两天服务的总数为：4624×=种.总的情况数为2244C C 36×=种. 故恰有1人连续参加两天服务的概率为242363=. 故选：B.7. 已知函数1()31f x x x =++−的图象与直线(1)4y k x =−+有两个交点()()1122,,,x y x y ，则1212x x y y +++=（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C 【解析】【分析】由直线过定点和函数图像的对称性结合即可；【详解】由题意可得直线(1)4y k x =−+恒过点()1,4，且无论k 取何值，直线与函数都有两个交点，所以分析函数11()31411f x x x x x =++=−++−−的对称中心为()1,4，所以122x x +=，128y y +=， 所以121210x x y y +++=， 故选：C.8. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A.13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF ，根据椭圆定义整理可得22b c m −=，根据向量关系可得1F A ∥2F B ，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c −，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m −+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a +=，即2a +=，整理可得22b c m−=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B ，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF由椭圆定义可知：|BBFF 1|+|BBFF 2|=2aa 2a =，2b c m+=；即2c c −=+3c =，所以椭圆C 的离心率ce a==. 故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求e 的值．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．9. 设离散型随机变量X 的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P0.10.2m0.20.1若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则（ ）A. 04m =.B.()()2, 1.2E X D X == C.()()3, 3.4E Y D Y ==D.()()5, 4.8E Y D Y == 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分布列性质可求出m 的值，判断A ；根据期望和方差公式计算判断B ；利用期望和方差性质可判断CD.【详解】由离散型随机变量X 的分布列性质可得10.10.20.20.10.4m =−−−−=，A 正确；()00.110.220.430.240.12E X =×+×+×+×+×=，()()()()()()22222020.1120.2220.4320.2420.1 1.2D X =−×+−×+−×+−×+−×=，B 正确；由于21Y X =+，故()()()()215,4 4.8EY E X D Y D X =+===，C 错误，D 正确； 故选：ABD10. 已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于π3x =对称，下列结论中正确的是（ ） A. π6f x−是奇函数B. π4f=C. 若()f x 在[,]m m −上单调递增，则π03m <≤ D. ()f x 的图象与直线π23y x =+有三个交点 【答案】AC 【解析】【分析】先函数对称性求解a ，得到()f x 解析式.A 项，化简π2sin 6f x x−=可知为奇函数；B 项，代入解析式求值即可；C 项，利用整体角求()f x 的单调递增区间，由2ππ33m m −≤−<≤可得m 范围；D 项，利用导数可知直线恰为曲线在π,06−处的切线，进而可得公共点个数. 【详解】因为()f x 的图象关于直线π3x =对称， 所以2π(0)3f f =112−=，解得a = 的所以π()cos 2sin 6f x x x x=+=+ ，验证：当π3x =时，π23f =，()f x 取最大值， 故()f x 的图象关于直线π3x =对称，满足题意； A 项，π2sin 6f x x−=，xx ∈RR ，由2sin()2sin x x −=−， 则π6f x−是奇函数，故A 正确；B 项，由)πππcos 1444f=+=+B 错误；C 项，π()2sin 6f x x=+， 由πππ2π2π,262k x k k −+≤+≤+∈Z ，解得2ππ2π2π,33k x k k −+≤≤+∈Z ， 当0k =时，32π3π−≤≤x ， 由()f x 在[,]m m −上单调递增，则2ππ33m m −≤−<≤， 解得π03m <≤，故C 正确；D 项，π()2sin 6f x x=+的图象与直线π23y x =+均过点π,06−， 由π()2cos 6f x x =+′，则π2cos 026f −==′， 故直线π26y x=+即π23y x =+与曲线π()2sin 6f x x=+相切，如图可知()f x 的图象与直线π23y x =+有且仅有一个公共点，故D 错误. 故选：AC.11. 已知A ，B 为双曲线22:12y C x −=的左，右顶点，12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点．下列命题中正确的是（ ）A. 若R 为双曲线C 上一点，且14RF =，则26RF =B. 2F 到双曲线CC. 若P 为双曲线C 上非顶点的任意一点，则直线PA PB 、的斜率之积为2D. 双曲线C 上存在不同两点,M N 关于点()1,1Q 对称 【答案】BC 【解析】【分析】根据双曲线的定义、渐近线、斜率、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于双曲线22:12y C x −=，1,a bc ==A 选项，根据双曲线的定义，由12242RF RF RF −=−=， 解得22RF =或26RF =，所以A 选项错误.B 选项，双曲线的一条渐近线方程为y =0y −=，)F0y −==，所以B 选项正确. C 选项，设(),,1P s t s >，则22221,222t s s t =−−=，()()1,0,1,0A B −，所以22222221111PA PBt t t s k k s s s s −⋅=⋅===+−−−，C 选项正确.D 选项，设不同两点()()1122,,,M x y N x y 关于点()1,1Q 对称，则12122,2x x y y +=+=，则221122221212y x y x −=−= ，两式相减并化简得121212122y y y y x x x x +−⋅=+−， 则12122y y x x −−=，即2MN k =，此时直线MN与双曲线的渐近线y =平行， 这与MN 是双曲线上不同的两点矛盾，所以D 选项错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：求解双曲线定义有关问题，一定要注意双曲线定义中的“绝对值”.在双曲线中，有关弦和中点的问题，可以考虑利用“点差法”来解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 412x x −的展开式中2x 的系数是____________． 【答案】32− 【解析】【分析】根据题意可求得展开式的通项为()4421412C rr r r r T x −−+=−⋅⋅，令422r −=，运算求解即可. 【详解】因为412x x − 的展开式通项为()()44421441C 212C ,0,1,2,3,4rr r rr r r r T x x r x −−−+ =−=−⋅⋅=， 令422r −=，解得1r =，所以展开式中2x 的系数是()131412C 32−⋅=−. 故答案为：32−.13. 正四棱台高为2，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____． 【答案】80π 【解析】【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积.【详解】如图所示，AB AD BC CD ====GH HE EF FG ====，O 为外接球球心，设外接球半径为R ，2MN =，OAOE R ==由勾股定理得：2AM=，4NE =， 设ON x =，则()22222OA x =++，2224OE x =+，故()2222224x x ++=+，解得：xx =2， 故2222420R =+=， 故球的表面积为24π80πR =.故答案为：80π14. 已知向量,a b满足||2,|2|||6a a b b =++=，则||a b +的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】不妨设()2,0a AO ==,(),b OB x y ==，利用向量的几何意义和坐标运算，确定点B 的轨迹为椭圆，然后利用椭圆的性质求解.【详解】设()2,0a AO ==,(),b OB x y ==，()24,0CO AO ==，则2,a b CO OB CB +=+=则||||6||4CB OB OC +=>= ,故点B 的轨迹是以,O C 为焦点，A 为中心，长轴长26a =的椭圆，故短半轴：b ，则a b AB +=∈ .故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知数列{}n a 的首项112a =，且满足132n n n a a a +=+． （1）证明：数列11n a−为等比数列； （2）若123111150na a a a ++++< ，求满足条件的最大整数n ． 【答案】（1）证明见解析 （2）47 【解析】【分析】（1）根据已知条件进行化简，结合等比数列的知识求得正确答案. （2）先求得1na ，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案. 【小问1详解】 由132n n n a a a +=+得121211333n n n n a a a a ++==⋅+， 则1121113n n a a + −=−，所以数列11n a −是首项为1111a −，公比为23的等比数列. 【小问2详解】由（1）得1112121,133n n n n a a −−−==+，所以1123111122133n n n a a a a −++++=++++21223313323313nn nn n n −=+=+−=+− −，数列2333nn+−是单调递增数列，当47n =时，4722335035033n n +−−< ， 当48n =时，48223350135033nn +−=+−>， 所以满足条件的最大整数为47.16. 在直三棱柱111ABC A B C −中，122,90,AA AB ABC D ==∠°=在1BB 上，且12BD =．（1）证明：1A C AD ⊥；（2）当四棱锥1A BCC D −的体积为54时，求平面1AC D 与平面ABC 所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证垂直.（2）先根据已知四棱锥的体积求BC 的长，再利用空间向量求二面角的三角函数. 【小问1详解】因为三棱柱111ABC A B C −是直三棱柱，且90ABC ∠=°，所以1,,BA BC BB 两两垂直，故可以B 为原点，建立如图空间直角坐标系：设BC t =，则()0,0,0B ，()0,1,0A ，(),0,0C t ，10,0,2D，()10,1,2A . 所以()1,1,2A C t −− ，10,1,2AD=−. 因为()11,1,20,1,2A C AD t⋅−−⋅−0110=+−=, 所以1A C AD ⊥.故1A C AD ⊥. 【小问2详解】因为梯形1BCC D 的面积：()112S BD CC BC =×+×1152224t t=×+×=，113A BCC DV S AB −=⋅1551344t =××=，所以3t =. 所以()3,0,0C ，()13,0,2C ，所以()13,1,2AC =− .设平面1AC D 的法向量为(),,n x y z =，则1n AC n AD ⊥ ⊥ ⇒()()(),,3,1,201,,0,1,02x y z x y z ⋅−=⋅−=⇒32002x y z z y −+= −+= ，取()1,1,2n =− .取平面ABC 的法向量为：()0,0,1m = ，设平面1AC D 与平面ABC 所成二面角为θ，则cos θn mn m⋅=⋅，所以sin θ17. 已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a c c B −=． （1）证明：2B C =； （2）若2a =，求cos 1C b c+的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）33,42【解析】的【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得sin()sin B C C −=，进一步即可证明； （2）由题意首先求得cos C 的取值范围，进一步将目标式子cos 1C b c+转换为只含有cos C 的式子即可求解．【小问1详解】因为2cos a c c B −=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A C C B −=， 所以sin cos sin cos sin 2sin cos B C C B C C B +−=，所以()sin cos sin cos sin sin sin B C C BC B C C −=⇔−=， 而0π,0C πB <<<<，则B C C −=或πB C C −+=， 即2B C =或B π=（舍去），故2B C =． 【小问2详解】因为ABC 是锐角三角形，所以π02π022π0π32C C C<<<<<−<，解得ππ64C <<， 所以cos Ccos C <<由正弦定理可得：sin sin b B c C =，则sin sin 22cos sin sin B C b c c C c C C=⋅=⋅=⋅， 所以cos 12C bc =，所以cos 132C b c c +=， 因为2cos a c c B −=，所以22cos 2c c C −=， 所以22cos 2c c C −=，所以22cos 21c C =+，所以()()234cos 132cos 21cos 13342442cos 21C C C b c c C −+++， 因为cos C∈，所以24cos 1C −∈()1,2， 所以()234cos 1cos 14C C b c−+=的取值范围是33,42 ． 18. 已知动圆Q 经过点(1,0)F 且与直线1x =−相切，记圆心Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设过点F 且斜率为正的直线l 交曲线C 于,A B 两点（点A 在点B 的上方），AB 的中点为M ， ①过,M B 作直线1x =−的垂线，垂足分别为11,M B ，试证明：11AM FB ∥； ②设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，若FPM 的面积为4，求直线l 的方程． 【答案】（1）24y x =（2）①证明见解析；②10x y −−=【解析】【分析】（1）由抛物线的定义知P 点轨迹是抛物线，方程为标准方程，求出焦参数可得； （2）①设直线AB 的方程为1(0)x my m =+>，112212(,),(,),()A x y B x y x x ≠，可求得1212(,)22x x y y M ++，进而可得121(1,)2y yM +−，12(1,)B y −，联立直线与抛物线方程可得124y y =−，进而可得11FB AM k k =，可证结论；②求得AB 的中点2(21,2)M m m +，进而可得线段AB 的垂直平分线方程为22(21)y m m x m −=−−−，进而可得2(23,2)P m m +，结合已知可得2(22)4m m +=，可求直线AB 的方程. 【小问1详解】依题意可得圆心Q 到定点(1,0)F 的距离等于到定直线1x =−的距离相等， 所以Q 的轨迹是以为(1,0)F 焦点，1x =−为准线的抛物线，又(1,0)F 到直线1x =−的距离为2p =，所心抛物线的方程为24y x =； 【小问2详解】①设直线AB 的方程为1(0)x my m =+>，112212(,),(,),()A x y B x y x x ≠， 则AB 中点1212(,)22x x y y M ++，由（1）可知121(1,)2y yM +−，12(1,)B y −，联立方程组�xx =mmmm +1mm 2=4xx，消去x 可得2440y my −−=，所以124y y m +=，124y y =−， 所以()11221121222211122421212421214AM y y y y y y y y y y k x x y y −+−−−−=====−++++，的又1220112FB y yk −==−−−，所以11FB AM k k =，所以11AM FB ∥；②由①可得1222y y m +=，代入1(0)x my m =+>，可得中点M 的横坐标为221m +， 所以2(21,2)M m m +，又线段AB 的垂直平分线的斜率为m −，所以线段AB 的垂直平分线方程为22(21)y m m x m −=−−−， 令0y =，可得223x m =+，所以2(23,2)P m m +，所以22|||231|22PF m m =+−=+， 所以21|||2|(22)2FPMS PF m m m ==+ ， 又FPM 的面积为4，所以2(22)4m m +=，所以2(1)(224)0m m m −++=，解得1m =，所以直线l 的主程为1x y =+，即10x y −−=. 19. 设函数()2()ln 1f x x x a x =−−．（1）若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为10x y +−=，求a 的值； （2）当1x >时()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*2ln 21nk k n k =<∈−∑N ． 【答案】（1）1a =； （2）12a ≥； （3）证明见解析． 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）求出导函数()f x ′(1)x >，并设()()u x f x ′=(1)x >，求得1()2u x a x′=−，由于101x <<，因此根据20a ≤，21a ≥以及021a <<分类讨论()0(1)f x x <>是否恒成立，从而得参数范围；（3）由（2）不等式变形得22ln 11x xx −<，x 后变形及放缩得ln 1x x <<−−，然后令2,3,,x n = 后相加可证．【小问1详解】()ln 12f x x ax ′=+−，由题意曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为10x y +−=， 则(1)121f a ′=−=−，解得1a =； 【小问2详解】()2()ln 1f x x x a x =−−，1x >，()ln 12f x x ax ′=+−，令()ln 12u x x ax =+−（1x >），则1()2u x a x′=−， 当20a ≤，即0a ≤时，()0u x ′>，()u x 即()f x ′是()1,+∞上的增函数，因此()(1)20f x f a ′′>=−>，()f x 是增函数，所以()(1)0f x f >=，不合题意，舍去； 当21a ≥即12a ≥时，()0u x ′<，()u x 即()f x ′是()1,+∞上的减函数，所以()(1)120f x f a ′′<=−≤， 所以()f x 是()1,+∞上的减函数，从而()(1)0f x f <=恒成立， 当021a <<即102a <<时，112a >， 1(1,)2x a ∈时，()0u x ′>，()u x 在11,2a 递增，1(,)2x a ∈+∞时，()0u x ′<，()u x 在1,2a ∞+递减，又(1)120u a =−>，所以1(1,)2x a ∈时，()0u x >恒成立，即()0f x ′>恒成立，此时()f x 在1(1,)2a上递增，因此()(1)0f x f >=，与题意不合，舍去， 综上12a ≥． 【小问3详解】由（2）知1x >时，21ln (1)2x x x <−，即22ln 11x x x −<1<，所以ln 1x x <−<，所以ln 1xx <−， 此不等式中分别令2,3,,x n = 得ln 21)1<，ln 32<−，，ln 1nn <−−， 将这1n −个不等式相加得()*2ln 21nk kn k =<∈−∑N ． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题，难点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出ln 1xx <−−，然后分别令2,3,,x n = 后相加得证．。
四川省巴中市2021-2022学年高三上学期“零诊”数学(理科)试题(含答案解析)
所以圆锥的高 ，
所以该圆锥的体积 .
故答案为： .
15．
【分析】
根据 ，利用正弦定理化角为边结合余弦定理可得 ，从而求得 ，进而求得 ，再利用三角形得面积公式即可的解.
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
故 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
16．
【分析】
设 ， ，根据 可得 ， ，设出直线 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理可求出 ，进而可求出 的面积.
由分步乘法计算原理知，共有 不同的结果，
恰有两人接种同一种疫苗，可先从 人中任选两人并成一组，有 种结果，
再与另两人一起按三种疫苗的顺序排成一排，
有 种排法，一种排法对应一种接种方法，
故恰有两人接种同一种疫苗共有 种不同结果，
由古典概型概率计算公式得： .
故选：A
10．D
【分析】
先由图象求出 解析式，再结合三角函数的性质与图像变换逐一判断即可求解
而点 在圆 上，于是有 ，整理得 ，
因此，曲线 是以点 为圆心，2为半径的圆，而 ，
即曲线 与圆 内切于点 ，
所以曲线 与圆 内切.
故选：C
9．A
【分析】
首先利用分步乘法计数原理求出基本事件总数，再由排列、组合求出恰有两人接种同一种疫苗的哇基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
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因为 ， 为原点，故可设 ，
所以 ， ，
所以
（其中 为辅助角）
当 时， 最小，最小值为 ，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，适当的方式建立坐标系是解题的关键，属于中档题.
9．已知 ，则 （）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.
得 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故选：A
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题.
6．已知函数 ，若函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 的图象的一个对称中心为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用函数 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论．
A．9B． C．3D．
【答案】B
【解析】计算出圆上点到直线的最远距离为 ，利用面积公式即可得解.
【详解】
由题意知圆 的圆心为 ，半径为1，
则圆心到直线的距离为 ，
所以圆上的点到直线的最大距离为 ，
所以 的最大值为 ．
故选：B.
【点睛】
本题考查了圆上点到直线距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.
所以从20以内的素数中任取两个，
其中能构成孪生素数的概率为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
11．已知双曲线 ： （ ， ），过 的右焦点 作垂直于渐近线的直线 交两渐近线于 ， 两点， ， 两点分别在一、四象限，若 ，则双曲线 的离心率为（）
【解析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解
【详解】
因为 ，且在点 处的切线的斜率为3，所以 ，即 .
故选D
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
4．已知 ， ， 满足 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据指数与对数的关系，将指数式化为对数式，最后根据对数函数的单调性判断即可；
A．5B． C． D．
【答案】B
【解析】把给出的等式两边同时乘以 ，然后利用复数代数形式的除法运算化简，进一步求得 ；
【详解】
解：由 ，得：
，
．
故选：B
【点睛】
本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的模，属于基础题．
3．设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据点到直线距离公式求得 ，再由 用 表示出 .根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得 与 的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.
【详解】
双曲线 ： （ ， ），右焦点 ，渐近线方程为 .
将渐近线方程化为一般式为 ，双曲线满足 ，
过 的右焦点 作垂直于渐近线的直线 交两渐近线于 ， 两点， ， 两点分别在一、四象限，如下图所示:
8．在直角 中， ， ，点 在平面 内，且 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以 为原点建立直角坐标系，两直角边分别为 轴和 轴，设 ， ，得 ，设 ，将向量数量积的坐标运算和三角函数相结合即可得结果.
【详解】
由于 ，不妨以 为原点建立直角坐标系，两直角边分别为 轴和 轴，
【详解】
解：将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，令 ， ，解得 ， ，故函数的对称中心为 ，
可得 的一个对称中心为 ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查函数 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7．已知 为圆 上任一点， ， 为直线 ： 上的两个动点，且 ，则 面积的最大值为（ ）
由点到直线距离公式可知 ，
根据题意 ，则 ，
设 ，由双曲线对称性可知 ，
而 ， ，
由正切二倍角公式可知 ，
即 ，化简可得 ，
由双曲线离心率公式可知 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了双曲线标准方程与性质的简单应用，渐近线方程与离心率的应用，属于中档题.
12．函数 ，若 与 有相同的值域，则 的取值范围为（）
故选：B
【点睛】
本题考查了导数研究函数的单调性，考查函数最值的计算，属于中档题．
二、填空题
13．若 的展开式的二项式系数和为32，则展开式中 的系数为_________.
【答案】
【详解】
解：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 在定义域上单调递增，所以
所以 ，
所以
故选：A
【点睛】
本题考查指数与对数互化以及对数函数的性质的应用，属于基础题.
5．在 中， ， ， ，则 （）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】根据余弦定理求出 ，根据余弦定理求出 .
【详解】
由余弦定理可得 ，
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】20以内的素数共有8个，从中选两个共包含 个基本事件，利用列举法求出20以内的孪生素数包含4个基本事件，由此能求出从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率．
【详解】
解：依题意，20以内的素数有 共有8个，从中选两个共包含 个基本事件，
而20以内的孪生素数有 ， ， ， 共四对，包含4个基本事件，
2021届四川省巴中市高三零诊考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简集合 ，根据集合的交集运算可得结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题.
2．若复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】判断 的单调性，求出 的值域，根据 与 有相同的值域得出 的最小值与极小值点的关系，得出 的范围．
【详解】
，故而当 时， ，当 时，为 ，且 时，
即 的值域为 ，
函数 与 有相同的值域，且 的定义域为 ，
，解得： ．
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B
【点睛】
本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.
10．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（素数即质数）猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数 ，使得 是素数，素数对 称为孪生素数.则从不超过20的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（）