专升本高等数学模拟试题1-4

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陕西专升本(高等数学)模拟试卷4(题后含答案及解析)

陕西专升本（高等数学）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(1一lnx)的定义域为( )?A．[1，-ln2]B．[0，1]C．[1，e]D．正确答案：D解析：由1≤1一lnx≤2，得一2≤lnx一1≤一1即一1≤lnx≤0，故，应选择D。

2．=( )(a≠0)．A．eB．eabC．ebD．eab+c正确答案：B解析：当x→一∞时，此极限为(1∞)型未定式，且与第二个重要极限结构相似，故应利用第二个重要极限计算出结论后再作选择，因为所以应选择B.3．=( )．A．1B．一1C．0D．不存在正确答案：A解析：所以应选择A.4．将二重积分化为二次积分，其中D为a≤x≤b,c≤y≤d，则下列式子正确的是( )．A．∫aydy∫cdx2y2dyB．∫abdy∫cxx2y2dyC．∫cxdy∫ayx2y2dxD．∫cdy2dy∫abx2dx正确答案：D解析：因为D：a≤x≤b，c≤y≤d为矩形域，所以或∫∫Dx2y2dxdy=∫cdy2dy∫abx2dx故应选择D.5．幂级数的收敛域是( )．A．(一9，9)B．(一3，3)C．(一2，4)D．(一2，4]正确答案：C解析：因为所以，原级数的收敛区间是｜x一1｜＜3，即一2＜x＜4，且当x=一2时级数亦发散。

故原级数的收敛域是(一2，4)．填空题6．已知极限，则常数a等于______．正确答案：ln3解析：7．设f’(x0)存在，则极限等于___________．正确答案：3f’(x0)解析：8．曲面ex+y+x2+y2一z2=0在(0，O，1)处的切平面方程是_________．正确答案：x+y一2z=一2解析：F(x)=ex+y+x2+y2一z2，Fx=ex+y+2x，Fy=ex+y+2y，Fz=一2z；Fx｜(0,0,1)=1，Fy｜(0,0,1)=1，Fz｜(0,0,1)=一2切面方程：1.(x一0)+1.(y一0)一2(z 一1)=0．即x+y一2z+2=0．9．=_________.正确答案：解析：10．设积分区域D={(x,y)｜0≤y≤x，x2+y2≤2x}，则二重积分等于__________.正确答案：解析：综合题11．设问k为何值时，函数k(x)在定义域内连续．正确答案：12．已知当x→∞时，f(x)与为等价无穷小，求．正确答案：13．求函数f(x，y，z)=x2yz3的梯度gradf(x，y，z)及其在点(2，一1，1)处方向导数的最大值．正确答案：gradf(x，y，z)={2xyz3，x2z3，3x2yz2}gradf(2，一1，1)={一4，4，一12}．14．设z=f(yex，xy2)，其中f具有二阶连续导数，求.正确答案：令yex为第1变量，xy2为第2变量15．求曲线的凹凸区间与拐点．正确答案：由上表可见，在区间(一∞，一1)和(0，1)内，曲线上凹，在区间(一1，0)和(1，+∞)内，曲线下凹，点(0，0)为拐点．16．求由方程所确定的隐函数z=z(x，y)的全微分．正确答案：17．计算，其中区域D={(x，y)｜1≤x2+y2≤4，x≥0，y ≥0)．正确答案：18．计算曲线积分其中f(s)在(一∞，+∞)内有连续的导数，l为从点到B(1，2)的直线段．正确答案：这是一个单调连通区域，故积分与路径无关，选择从A到B的任一条位于z轴上方的曲线作为积分路径，选择积分路径为折线ACB，其中，注意到19．将函数展开为x的幂级数，并写出收敛区间．正确答案：20．求微分方程y’’+2y’一3y=e2x的通解．正确答案：该方程的特征方程为r2+2r一3=0，特征根为r=1，一3．因此该方程对应的齐次方程y’’+2y’一3y=0的通解为y=C1ex+C2e-3x．设所给方程的一个特解为y*=ae2x，将其代入原方程有4ae2x+4ae2x一3ae2x=e2x则于是原方程的通解为：．证明题21．在抛物线y=x2(0≤x≤1)上求一点(a，a2)，过此点分别作平行于y轴和x轴的直线x=a，y=a2，设抛物线y=x2与直线x=a和x轴所围成的平面图形的面积为S1，抛物线y=x2与直线y=a2和x=1所围成的平面图形的面积为S2(如图所示)．试求a为何值时，S1+S2为最小．正确答案：22．证明：当x＞0时，正确答案：。

专升本高数一模拟题4

x 0 mx
x 0 mx
2、解析：因为 f ( x) 在 x0 处连续，所以 lim f ( x) 必定存在，且等于 f ( x0 ) ；连续不一定可导。 x x0
3、解析： y
2 x u=-x , y' y=2 u
(2 x) ' =(-x)' (2u )'=-2 x
d
4、解析： A ：
b
b
f ( x)dx 0； C： f ( x) dx
xdxdy
D
1
1 y2
dy xdx
0
0
1 ( y 1 y 3 ) |10 1
23
3
解答 2：利用极坐标系计算
1 2
x | 1 2 1 y 2
0
0
dy
11 (1
y2 )dy
20
区域 D 可以表示为： 0 r 1、 0
，所以：
2
xdxdy
D
1
dr
2 r 2 cos d
0
0
1 (r 2 sin
0
) |02 dr
f ( x) 的
A ： ex +x
B： ex +x+ C
2z
8．设 z y sin x ，则：
等于
xy
A ： cosx
B： y cos x
C： ex
D： ex +C
C： cos x
D ： ycos x
9．方程 y 3y 2 y xe2 x 的待定特解应取
A ： Axe2x
B ： ( Ax B) e2x
解答：设 A
1
f ( x) dx ，则： f ( x)

《专升本-高数一》模拟试题及参考答案

2018年成人高考《专升本-高等数学一》模拟试题第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．0B．1C．2D．不存在2 ．（）．A．单调增加且为凹B．单调增加且为凸c．单调减少且为凹D．单调减少且为凸3．A．较高阶的无穷小量B．等价无穷小量C．同阶但不等价无穷小量D．较低阶的无穷小量4．A．B．0C．D．15．A．3B．5C．1D．A．－sinxB．cos xC．D．A．B．x2C．2xD．28．A．B．C．D．9．设有直线当直线 l1与 l2平行时，λ等于（）．A．1B．0C．D．一 110．下列命题中正确的有（）．A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题．21～28 小题，共 70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分 8 分)22．(本题满分 8 分)设 y=x+arctanx，求 y'．23．(本题满分 8 分)24．(本题满分 8 分)计算25．(本题满分 8 分)26．(本题满分 10 分)27．(本题满分 10 分)28．(本题满分 10 分)求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积．模拟试题参考答案一、选择题1．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系．2．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．3．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．4．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．可知应选 D．5．【答案】A．【解析】本题考查的知识点为判定极值的必要条件．故应选 A．6．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为基本导数公式．可知应选 C．7．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为原函数的概念．可知应选 D．8．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法.因此选 D．9．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为直线间的关系．10．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为级数的性质．可知应选 B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．二、填空题11．【参考答案】e．【解析】本题考查的知识点为极限的运算．12．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为导数的计算．13．【参考答案】x—arctan x+C．【解析】本题考查的知识点为不定积分的运算．14．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为定积分运算．15．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为隐函数的微分．解法 1 将所给表达式两端关于 x 求导，可得从而解法 2 将所给表达式两端微分，16．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．17．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为二元函数的极值．可知点(0，0)为 z 的极小值点，极小值为 1．18．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数．19．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二重积分的计算．20．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给级数为缺项情形，三、解答题21．【解析】本题考查的知识点为极限运算．解法 1解法 2【解题指导】在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题．应引起注意．22.【解析】23．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．【解题指导】比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化. 24．【解析】本题考查的知识点为计算反常积分．计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．25．【解析】26．【解析】27．【解析】本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序．28．【解析】所给曲线围成的图形如图 8—1 所示．第二部分（选择题，共 40 分）一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．B．eC．e2D．12．A．B．C．D．3．A．凹B．凸C．凹凸性不可确定D．单调减少4．A．2B．C．1D．一 25．设 f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成的封闭图形的面积为（）．A．B．C．D．不能确定6．A．f(2)－f(0)C．D．f(1)－f(0)7．A．B．C．D．8．A．B．C．D．9．A．条件收敛B．绝对收敛C．收敛性与 k 有关D．发散10．A．AxB．C．第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分．11．12．13．设 sinx 为 f(x)的原函数，则 f(x)=．14．15.已知平面π：2x+y 一 3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为．16．17．1 8．19．20．三、解答题：21～28 小题，共 70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分 8 分)22．(本题满分 8 分)23．(本题满分 8 分)24．(本题满分 8 分)25．(本题满分 8 分)26．(本题满分 10 分)(1)切点 A 的坐标(a，a2)．(2)过切点 A 的切线方程。

专升本高等数学一(常微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)

专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．微分方程(y’)2=x的阶数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶，故此微分方程的阶数为1．知识模块：常微分方程2．微分方程y2dx一(1一x)dy=0是( )A．一阶线性齐次方程B．一阶线性非齐次方程C．可分离变量方程D．二阶线性齐次方程正确答案：C解析：将该微分方程整理可得dx，所以该微分方程是可分离变量方程．知识模块：常微分方程3．已知函数y=+x+C是微分方程y’’=x一1的解，则下列正确的是( )A．y是该微分方程的通解B．y是微分方程满足条件y｜x=0=1的特解C．y是微分方程的特解D．以上都不是正确答案：D解析：方程为二阶微分方程，则通解中应含有两个任意常数，因此y=x3一x2+x+C显然不是方程的通解，又y’=一x+1，y’’=x－1，故可知y=x2+x+C为y’’=x－1的解，因含有未知数，故不是特解，因此选D．知识模块：常微分方程4．方程xy’=2y的特解为( )A．y=2xB．y=x2C．y=2x3D．y=2x4正确答案：B解析：分离变量可得，两边积分得ln｜y｜=lnx2＋C1，即y=Cx2，所以方程的特解中x的最高次数也应该为2，故选B．知识模块：常微分方程5．微分方程y’+的通解是( )A．arctanx+CB．(arctanx+C)C．arctanx+CD．+arctanx+C正确答案：B解析：所求方程为一阶线性微分方程，由通解公式可得其中C为任意常数，故选B．知识模块：常微分方程6．方程y’’一y’=ex+1的一个特解具有形式( )A．Aex+BB．Axex+BC．Aex+BxD．Axex+Bx正确答案：D解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2一r=r(r一1)=0，所以r1=0，r2=1，又有f(x)=ex＋1，λ1=0，λ2=1是该二阶非齐次微分方程的一重特征根，所以特解形式为y*=Axex+Bx．故选D．知识模块：常微分方程7．某二阶常微分方程的下列解中为特解的是( )A．y=CsinxB．y=C1sin3x+C2cos3xC．y=sin3x+cos3xD．y=(C1+C2)cosx正确答案：C解析：由特解定义可知，特解中不含有任意常数，故排除A、B、D项，选C．知识模块：常微分方程8．下列方程中，可用代换p=y’，p’=y’’降为关于p的一阶微分方程的是( )A．+xy’一x=0B．＋yy’一y2=0C．＋x2y’一y2x=0D．＋x=0正确答案：A解析：可降阶方程中的y’’=f(x，y’)型可用代换p=y’，p’=y’’，观察四个选项，只有A项是y’’=f(x，y’)型，故选A．知识模块：常微分方程填空题9．方程(xy2+x)dx+(y－x2y)dy=0满足y｜x=0=1的特解为_______．正确答案：=2解析：分离变量得，两边积分得ln｜x2一1｜=．所以x2一1=C(y2+1)，又y｜x=0=1，故=2．知识模块：常微分方程10．已知微分方程y’+ay=ex的一个特解为y=xex，则a=_______．正确答案：一1解析：把y=xex，y’=ex+xex代入微分方程y’+ay=ex=(1+a)xex+ex，利用对应系数相等解得a=一1．知识模块：常微分方程11．微分方程y’’一4y’+3y=excosx+xe3x对应齐次微分方程的通解为=_______，它的特解形式为y*=________．正确答案：C1ex+C2e3x，ex(Acosx+Bsinx)+x(ax+b)e3x解析：事实上，原方程对应的齐次微分方程的特征方程为r2一4r+3=0，r1=1，r2=3，故齐次微分方程的通解为=C1ex+C2e3x．非齐次方程特解形式的假设，可分为两个方程进行：y’’一4y’+3y=excosx，①y’’一4y’+3y=xe3x．②λ=1±i不是特征方程的特征根，故①的特解形式是y1*=ex(Acosx+Bsinx)；λ=3是特征方程的一重特征根，故②的特解形式应是y2*=x(ax+b)e3x，则y1*+y2*=y*即是原方程的特解形式．知识模块：常微分方程12．非齐次微分方程y’’+9y=cosx，它的一个特解应设为________．正确答案：y=Acosx+Bsinx解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2+9=0，所以r1，2=±3i，f(x)=cosx，则±i不是该二阶齐次微分方程的特征根，所以特解形式为y=Acosx+Bsinx．知识模块：常微分方程13．设二阶常系数线性齐次微分方程y’’＋ay’+by=0的通解为y=C1ex+C2e2x，那么非齐次微分方程y’’+ay’+by=1满足的条件y(0)=2，y’(0)=一1的解为________．正确答案：y=4ex一解析：二阶线性常系数齐次方程对应的特征方程为r2+ar+b=0，又由通解可得特征根r1=1，r2=2，即(r一1)(r一2)=0，r2一3r＋2=0，故a=一3，b=2．所以非齐次微分方程为y’’一3y’＋2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，因此，设特解y*=A，则(y*)’=0，(y*)’’=0，代入可得，所以y’’一3y’＋2y=1的通解为y=C1ex＋C2e2x+，再由y(0)=2，y’(0)=一1，可得C1=4，C2=，故满足初始条件的特解为y=4ex一．知识模块：常微分方程解答题14．求微分方程dy=sin(x+y+100)dx的通解．正确答案：方程可写成y’=sin(x+y+100)，令μ=x+y+100，则，于是原方程化为=1+sinμ，就得到了可分离变量方程．分离变量，得=dx，恒等变形，有=dx，即(sec2μ—tanμsecμ)dμ=dx．两边积分，得tanμ—secμ=x+C，将μ=x+y+100回代，得方程通解为tan(x+y+100)一sec(x+y+100)=x+C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程15．求微分方程xy’一=0的通解．正确答案：方程分离变量得，两边积分有+C1，则方程的通解为2ln｜y｜+y2一ln2x=C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程16．求方程xsecydx+(1+x2)dy=0，满足初始条件y｜x=0=的特解．正确答案：方程分离变量得dy，即dx=一cosydy，两边积分有dx=－∫cosydy，即n(1+x2)=一siny+C，由初始条件y｜x=0=得C=1，则方程的特解为siny＋=1．涉及知识点：常微分方程17．求微分方程secx．y’+tanx．y=ecosx的通解．正确答案：将原方程改写成y’+ysinx=cosxecosx，则y=e－∫sinxdx(∫cosxecosxe∫sinxdxdx+C)=ecosx(∫cosxdx＋C)=ecosx(sinx+C)．其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程18．(1)求微分方程xy’+ay=1+x2满足y｜x=1=1的解y(x，a)，其中a为常数．(2)证明(x，a)是方程xy’=1+x2的解．正确答案：(1)原方程可改写成y’+，微分方程的通解为(2)设y0=+lnx，则xy0’=x(x＋)=1+x2，故结论成立．涉及知识点：常微分方程19．求微分方程y’+3x2y=xe－x3的通解．正确答案：由通解公式得y=e－∫3x2dx(∫xe－x3e3x2dxdx+C)=e－x3(∫xdx+C)=x2e－x3+Ce－x3．C为任意常数．涉及知识点：常微分方程20．求微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解．正确答案：方程xy’+2y=xlnx两边同时除以x，得y’＋y=lnx，是一阶线性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=lnx，利用通解公式得涉及知识点：常微分方程21．求解方程∫0x(x—s)y(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds．正确答案：∫0x(x—s)y(s)ds=x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds，两边对x求导，得∫0xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=一1，再次对x求导，得y’一y=sinx 为一阶线性非齐次微分方程．其中P(x)=一1，Q(x)=sinx，故解为y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)eP(x)dxdx+C]=ex[∫sinxe－xdx+C]=Cex一(sinx+cosx)，又由y(0)=一1，得C=，故原方程解为y(x)=(ex+sinx+cosx)．涉及知识点：常微分方程22．已知某曲线经过点(1，1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程．正确答案：根据题意可知，f(1)=1．由导数几何意义可知，曲线y=f(x)上任意一点(x0，y0)处的切线方程为：y—y0=f’(x0)(x—x0)．令x=0，y=一f’(x0)x0+y0，其中，y0=f(x0)，∴x0=一x0f’(x0)+f(x0)，即x0f’(x0)一f(x0)=一x0，求曲线方程相当于求=一1满足y(1)=1的特解．由通解公式得又∵y(1)=1，∴C=1，故所求曲线方程为y=一xln｜x｜+x．涉及知识点：常微分方程23．求y’’一2y’+y=x3的特解．正确答案：对应的齐次方程的特征方程为r2一2r＋1=0，解得r=1，为二重根，故λ=0不是特征方程的根．由f(x)=x3，设特解为y=Ax3+Bx2＋Cx+D，则y’=3Ax2+2Bx＋C，y’’=6Ax＋2B，代入原方程得6Ax＋2B一2(3Ax2＋2Bx+C)＋Ax3+Bx2+Cx＋D=Ax3+(B一6A)x2＋(6A+C一4B)x＋2B+D－2C=x3，则A=1，B=6，C=18，D=24，故特解为y=x3+6x2+18x+24．涉及知识点：常微分方程24．求y’’一5y’一14y=9e7x的特解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一5r一14=0，解得r=一2，7，λ=7是特征方程的一重根，故设原方程的特解为y=Axe7x，则y’=A(7x+1)e7x，y’’=A(49x+14)e7x，代入原方程得A(49x+14)e7x一5A(7x+1)e7x 一14Axe7x=9e7x，则A=1，故特解为y=xe7x．涉及知识点：常微分方程25．求y’’一4y’+4y=xe2x的通解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一4r+4=0，解得r=2(二重根)，所以对应的齐次方程的解为=(C1x+C2)e2x，λ=2是特征方程的二重根，故设原方程的特解为y*=x2e2x(Ax+B)，则(y*)’=2xe2x(Ax+B)+x2e2x(2Ax+2B+A)，(y*)’’=e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)，代入原方程得e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)一8xe2x(Ax+B)一4x2e2x(2Ax+2B+A)+4x2e2x(Ax+B)=xe2x，解得A=，B=0，故原方程的通解为y=(C1x+C2)e2x+x3e2x．其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程26．已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．正确答案：据题意的，y’=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f(x)=y’+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex，则下面求微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex 的通解，特征方程为r2+3r+2=0，求得r1=一1，r2=一2，所以y’’+3y’+2y=0的通解为y=C1e－x+C2e－2x，因λ=1不是特征方程的根，所以设y*=(Ax+B)ex 为原方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的一个特解，则把(y*)’=(Ax+A+B)ex，(y*)’’=(Ax+2A+B)ex代入原方程，并比较系数得A=，B=，所以微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解为y=C1e－x+C2e－2x+ex．其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程27．求y’’=y’+x的通解．正确答案：令y’=p，y’’=p’，原方程化为p’=p+x，解此一阶线性非齐次方程得p=e∫dx[∫xe－∫dxdx+C1]=ex(∫xe－xdx+C1)=C1ex－x－1即y’=C1ex一x一1，两边积分得通解为y=C1ex一一x+C2，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t)=[t2f(t)一f(1)]，求：28．y=f(x)所满足的微分方程；正确答案：据题意，V(t)=π∫1t[f(x)]2dx=[t2f(t)一f(1)]，即3∫1t[f(x)]2dx=t2f(t)一f(1)，上式两边同时对t求导得，3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，即y=f(x)所满足的微分方程为x2y’+2xy一3y2=0；涉及知识点：常微分方程29．该微分方程满足条件y｜x=2=的解．正确答案：将微分方程x2y’+2xy一3y2=0，化为，即为齐次方程．令μ=＋μ，代入方程并化简得=3μ2一3μ．变量分离得，两端积分并代入μ=得通解为y—x=Cx3y，再把y｜x=2=代入可得C=－1，故该微分方程满足条件y｜x=2=的解为y—x=一x3y．涉及知识点：常微分方程。

浙江专升本(高等数学)模拟试卷1(题后含答案及解析)

浙江专升本（高等数学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．下列关于奇偶函数表述正确的是( )A．若f(x)，g(x)均为奇函数，则f(g(x))，g(f(x))均为奇函数．B．若f(x)，g(x)均为奇函数，则f(x)g(x)，(g(x)≠0)均为奇函数．C．若f(x)为奇函数、g(x)为偶函数，则f(g(x))，g(f(x))均为奇函数．D．若f(x)为奇函数、g(x)为偶函数，则f(x)＋g(x)，f(x)一g(x)均为奇函数．正确答案：A解析：由于f(x)，g(x)为奇函数，则有：f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)；因而：f(g(－x))＝f(－g(x))＝－f(g(x))；g(f(－x))＝g(－f(x))＝－g(f(x))故有：f(g(x))，g(f(x))为奇函数．2．设函数f(u)可导，y=f(x2)在自变量x＝一1处取得增量△x＝一0．1时，相应函数的增量△y的线性主部为0．1，则f′(1)＝( )A．一1B．0．1C．1D．0．5正确答案：B解析：由微分的定义可知，△y＝A.△x+o(△x)，其中A称为线性主部，A=0．1，且f′(1)=A，因此，选项B正确．3．下列选项正确的是( )A．(a.b)2＝a2b2B．(a×b)2＋(a.b)2＝a2b2C．如果a.b=0，a×c＝0，那么b.c＝0D．(a×a).a＝a×(a×a)正确答案：B解析：由数量积和向量积的定义可知选项A，D错误．B答案正确．对于选项C，如果a，b，c为零向量，结论就不成立．4．微分方程y″.一3(y′)8＝x6lnx的阶数是( )A．3B．5C．8D．6正确答案：A解析：微分方程阶数指的是微分方程中含有最高阶导数的阶数，易知y″.一3(y′)8=x6lnx属于三阶微分方程，可见选项A正确．5．下列四个命题正确的是( )A．若f′(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界C．若f′(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界D．若f(x)在(0，1)内有界，则f′(x)在(0，1)内有界正确答案：C解析：令f(x)=，则f(x)与f′(x)＝－都在(0，1)内连续，但f(x)在(0，1)内无界，所以排除选项A和B，又令f(x)＝，则f(x)在(0，1)内连续，但f′(x)＝在(0，1)内无界，所以排除选项D，因此，选项C正确．填空题6．设在x=0处连续，则a＝____________．正确答案：a=1解析：根据连续的定义f(x)=f(0)得到a=1．7．若=e4，则a＝____________．正确答案：a=2解析：据题意知=e6，所以3a=6,a=2．8．曲线f(x)=的拐点是____________．正确答案：解析：f′(x)=，且令f″(x)=0，得x=时，f″(x) 9．函数f(x)=e－t2dt(x＞0)的单调递增区间是___________．正确答案：(0，＋∞)解析：因为f′(x)=e－x2＞0，所以f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增．10．y=ln(sinx+10－x)，则dy＝____________．正确答案：解析：由微分和导数的关系知dy=y′dx=11．若f′(x)=f(x)，且f(0)=1，则f(x)＝____________．正确答案：ex解析：解可分离变量的微分方程=y可得y=Cex，然后将y(0)=1代入可得C=1，故f(x)=ex．12．dx＝____________．正确答案：arctanex+C解析：dex=arctanex＋C．13．函数y=sinx在x=0处的幂级数展开式中x2n的系数是___________．正确答案：0解析：sinx在x=0处展开sinx=，由此可知偶次幂的系数为0．14．直线=z与平面x+2y+3z=5的交点坐标是_____________．正确答案：(16，－13，5)解析：将直线方程化为，将此方程代入x+2y+3z=5得到：z=5，进一步计算得到x=16，y=－13，所以交点为(16，－13，5)．15．微分方程y″＋y=0的通解为___________．正确答案：C1cosx+C2sinx解析：特征方程为r2+1=0，解得特征根为虚根±i，因而其通解可写为y=C1cosx+C2sinx．解答题解答时应写出推理、演算步骤。

专升本数学第一章至第四章复习题(精简版)答案

专升本入学考试《高等数学》复习题参考答案第一章函数、极限与连续19.[]1,3-, 2，0 20.[]0,1， []1,1- 21.,x x22.ln 1y x =- 23.2 24.1x 32 26. 43 27.0 28.203050235 29.1 30.x31.()()(),1,1,1,1,-∞--+∞ 32.0 33.(),(1),0,1,2,k k k ππ+=±± 34.1，1 35.（1）偶函数（2）既非奇函数又非偶函数（3）偶函数（4）奇函数（5）既非奇函数又非偶函数（6）偶函数 36.证明略 37.1 38.（1）1x =-为第二类间断点（2）x =（3）0x =为第一类间断点（4）0,1,2,x =±± 均为第一类间断点 39.（1）存在（2）不连续，1x =为可去间断点，定义：*,01()1,11,12x x f x x x <<⎧⎪==⎨⎪<<⎩，则*()f x 在1x =处连续 40. 0x =为可去间断点，改变(0)f 定义为(0)4f =，即可使()f x 在0x =连续； 2x =为第一类间断点第二章导数与微分14.()f a ' 15.-2 16.1 17.1()y x e e -=- 18.219.2cos x e xdx 20.(){}()()f f f x f f x f x '''⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 21.()2503y x +=- 22.(1)连续，不可导 (2)连续，不可导 23.cos ,0()1,0x x f x x <⎧'=⎨≥⎩ 24.()[()()()]f x x x xe f e e f e f x ''+25. 1(ln 1)xx x ++ 26. 222()42()f x x f x '''+第三章中值定理与导数的应用12.12 13. 121e 17.在(),1-∞-及()3,+∞单调递增，在()1,3-单调递减 18.极小值ln 22f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭19.20证明略 21. 在()0,1及()2,e +∞单调递减，在()21,e 单调递增，极小值()10f =，极大值()224f e e =22.2a =，在3x π=处取得极大值 23. 24.23b ac <第四章不定积分12.()F x C + 13.-5 14.()F ax b a+ 15.()f x e C + 16.arctan ()f x C +17.ln tan x C+ 18.arcsin x C-+19.12ln 31x C x -++20.11sin 2sin12424x x C -+ 21.(2C +22.11arcsin ln 22x x C ++ 23.322111arctan ln(1)366x x x x C -+++24.()()1cos ln sin ln 2x x x C ++⎡⎤⎣⎦ 25.2111sin 2cos 2448x x x x C +++26.()32e C + 27.()ln ln ln x C +⎡⎤⎣⎦28.()1ln 11xxx e C e-++++ 29.233x C - 30.6811sin sin 68x x C -+ 31.()21ln tan 2x C + 32.2arccos 1102ln10x C -+33.C 34.1arcsin C x -35.ln x C x-+ 36.()sin sec x e x x C -+。

(完整)专升本高等数学模拟试卷(一)

专升本高等数学模拟试卷（一）一、选择题1、函数)3lg(1)(x xx f +=的定义域为 A ，0≠x 且3-≠x B ，0>x C,3->x D,3->x 且0≠x2、下列各对函数中相同的是：A,4,4162+=--=x y x x y B ，x y x y ==,2C ，x y x y lg 4,lg 4== D ，31334)1(,-=-=x x y x x y3、当∞→x 时，xx x f 1sin 1)(=A ，是无穷小量B ，是无穷大量C ，有界，但不是无穷小量D ，无界，但不是无穷大量4、111111)(---+=x x x x x f 的第二类间断点个数为：A ，0B ，1C ，2D ，35、设⎩⎨⎧>+≤=11)(2x bax x x x f 在1=x 处连续且可导，则b a ,的值分别为A ，1,2-=-=b aB ，1,2=-=b aC ，1,2-==b a D,1,2==b a 6、下列函数在0=x 处可导的是A ，x y sin 3=B ，x y ln 3=C ，x y 5= D,x y cos 6= 7、下列函数在[]e ,1满足拉格朗日定理的是 A ，x -22 B,)5ln(-x C,xe ln 32- D,32-x 8、)2(3-=x x y 共有几个拐点A ，1B ，2C ，3D ，无拐点 9、xe y 12+=的渐近线：A ，只有水平渐近线B ，只有垂直渐近线C ，既有水平又有垂直渐近线D ，无渐近线10、下列函数中是同一函数的原函数的是：A ，x x 3lg ,lg 3B ，x x arcsin ,arccosC ，x x 2sin ,sin 2D ，2cos 2,2cos x 11、设31)(31)(0-=⎰x f dt t f x，且1)0(=f ，则=)(x fA ，x e 3 B,x e 3+1 C ，3xe 3 D ，31xe 3 12、下列广义积分收敛的是 A ，dx e x⎰+∞B ，dx x x e⎰+∞ln 1C,dx x⎰+∞11 D ， dx x ⎰∞+-13513、设)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 与直线0,,===y b y a x 所围成的平面图形的面积等于 A ，⎰badx x f )( B ，⎰badx x f )( C ，),())((b a a b f ∈-ξξ D ，⎰badx x f )(14、直线37423-=+=+zy x 与平面03224=---z y x 的位置关系是 A ，直线垂直平面 B ，直线平行平面 C,直线与平面斜交 D ，直线在平面内 15、方程2223z y x =+在空间直角坐标系下表示的是 A ，柱面 B ，椭球面 C 圆锥面 D 球面 16、=++-+→yx y x y x 11lim)0,0(),(A ，2B ，0C ，∞D ，—2 17、设yx z =，则=)1,2(dzA ，dy dx +B ，dy dx 2ln 2+C ，2ln 31+D ，0 18、),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，则A ，),(y x f z =在),(00y x 可微B ，),(y x f z =在),(00y x 连续C ，),(y x f z =在),(00y x 不连续 D,和在),(00y x 处是否连续无关 19、)1ln(2x y +=的凸区间为A ，)1,(--∞B ，)1,1(-C ，),1(+∞D ，)1,(--∞⋃),1(+∞ 20、0),(,0),(0000='='y x f y x f y x 是函数),(y x f 在),(00y x 点取得极值的 A ，无关条件 B ，充分条件 C,充要条件 D ，必要条件 21、函数1663223++--=y x y x z 的极值点为A ，（1，1）B ，（—1，1）C ，（1，1）和（—1，1）D ，（0,0） 22、设D ：922≤+y x ，则=+⎰⎰Ddxdy y x f )(222A ，⎰3)(4rdr r f πB ，⎰30)(2rdr r f π C ，⎰32)(4rdr r f π D,⎰32)(4dr r r f π23、交换积分次序，=+⎰⎰⎰⎰--xx xxdy y x f dx dy y x f dx 24110),(),(A ，⎰⎰+2022),(y ydx y x f dy B ，⎰⎰-+2122),(y ydx y x f dyC,⎰⎰+4022),(y y dx y x f dy D ，⎰⎰+222),(y y dx y x f dy24、设L 为沿圆周x y x 222=+的上半部分和x 轴闭区域边界正方向围成，则=++⎰Lxx dy x y e ydx e )cos 2(sin 2A ，π B,21 C ，21π D ，不存在 25、若∑∞=1n nv收敛，则（）也必收敛A ，11+∞=∑n n n vvB ，∑∞=12n nvC ，∑∞=-1)1(n n nv D,∑∞=++11)(n n n v v26、若a 为常数，则级数∑∞=-133)1sin (n nn a A ，绝对收敛 B ，条件收敛 C ，发散 D 收敛性与a 有关 27、设)11ln()1(nu nn +-=，则级数A ，∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都收敛 B ，∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散C,∑∞=1n nu收敛，∑∞=12n nu发散 D ，∑∞=1n nu发散，∑∞=12n nu收敛28、x x y y x +='-''32的通解为A ，c x x x y ++-=324312141 B ， 324312141x x x y +-= C ，23124312141c x c x x y ++-= D ，3124312141x c x x y +-=29、x y y cos =+''的特解应设为：A ，)sin cos (x b x a x +B ，)sin cos (2x b x a x +C ，x b x a sin cos +D ，x a cos 30、x x y y 2sin +=+''的特解应设为A ，x b ax x 2sin )(++B ，x d x c b ax x 2cos 2sin )(+++C ，x d x c b ax 2cos 2sin +++ C ，)2cos 2sin (x d x c x b ax +++ 二、填空题1、设=>=)(),0()(x f x x e f x 则2、=+→x x x sin 2)31(lim3、=-+⎰→xx dt t t xx sin )1ln(lim304、函数12+=x x y 的垂直渐进线为5、若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-=⎰,0,)1()(32x a x xdt e x f xt ，在0=x 连续，则=a 6、设==-dxdy y e y x x 则,sin 22 7、设)sin (ln x f y =，且)(x f 可微，则=dxdy 8、曲线xy 1=在点（1，1）的法线方程为 9、函数)1ln()(2x x x f +-=在[—1，2]上的最大值为 10、=⋅⎰-dx e x x 334sin11、两平面0722=-++z y x 与08354=+++z y x 的夹角为 12、广义积分dx xq⎰+111，当时候收敛13、=⎰⎰≤+ydxdy x y x 122214、微分方程0,≠=+'m n my y ，则满足条件0)0(=y 的特解为 15、已知a u n n =∞→lim ，则∑∞=1n )(1+-n n u u =三、计算题1、xx x x x cos sin 13lim2-+→2、设2cos x xy x+=，求y '3、求⎰xdx e x sin4、求⎰3arctan xdx5、设),(y x xy f z =，求yz x z ∂∂∂∂, 6、设D 是由03,032,1=-+=+-=y x y x y 所围成的区域，求⎰⎰-Ddxdy y x )2(7、将x y 2sin 3=展开成麦克劳林级数 8、求x y y x ln ='+''的通解四、应用题1、某服装企业计划生产甲、乙两种服装，甲服装的需求函数为126p x -=，乙服装的需求函数为24110p y -=，生产这两种服装所需总成本为1002),(22+++=y xy x y x C ，求取得最大利润时的甲乙两种服装的产量。

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模拟试题一一、单项选择题（每题2分，共60分） 1. 函数1arcsin(1)2y x =+-的定义域为（）A .B .C .D . 2. limsin x xx→∞的值为（）A .1B .∞C .0D .不存在3. 设()f x 为连续函数，且()0aaf x dx -=⎰，则下列命题正确的是（）A . ()f x 为[,]a a -上的奇函数B .()f x 为[,]a a -上的偶函数C .()f x 为[,]a a -上的非奇非偶函数D .以上都不对4. 当0x →时，1cos x -是2sin x 的（）A . 等价无穷小B . 同阶无穷小C . 高阶无穷小D .低阶无穷小5. 0x =是221()sinf x x x =的（） A . 连续点 B .跳跃间断点 C .可去间断点 D .第二类间断点6. 设'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（） A .3- B .6- C .9- D .12-7. 2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则()f x 在x a =处（）A .导数存在且'()0f a ≠B .导数不存在C .取极大值D .取极小值8. 若点00(,())x f x 是连续曲线()y f x =的拐点，则''0()f x （）A .等于零B .不存在C .等于零或不存在D .以上都不对9. 下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理的是（）A .,[1,2]y x =--B .2ln(1),[1,2]y x =+-C .22,[1,1]1x y x=-+ D .,[1,1]xy xe =-10. 设212()3f x xx =++，则'()f x =（） A .22x + B .322x -+ C .322x x -+ D .222x x-+11. 若()f x 在[,]a b 上连续，则在(,)a b 内()f x 必有（）A .导函数B .原函数C .最大值或最小值D .极值12. 设sin cos 2x t y t =⎧⎨=⎩，则22d y dx =（）A .4-B .4C .sin tD .cos t13. 曲线1xx e y e =-的水平渐近线为（）A .0y =B .1y =C .01y y ==或D .0x = 14. 02sin limsin xx x xt dt→-=⎰（）A .12-B .12C .2-D .215.21x xe dx =⎰（）A .1(1)2e -B .2eC .1e -D .e 16. 设'(ln )f x x =，则(sin )d f x dx =（） A .sin cos x e x B .cos sin x e x C .sin x e D .cos x e17. 下列广义积分收敛的是（）A.1+∞⎰B .211x dx x +∞+⎰C .1ln x dx x +∞⎰D .311dx x +∞⎰ 18. 设c a a b =+⨯，3a =，4a b ⨯=，则c =（）A .2B .8C .4D .519. 直线112311x y z -+-==-和平面230x y z +-+=的位置关系是（） A .互相垂直 B .互相平行但直线不在平面上 C .直线在平面上 D .斜交20.(,)(0,0)limx y →=（）A .12-B .12C .0D .+∞21. 对于二元函数221z x xy y x y =+++-+（）A .0是极小值B .0是极大值C .0不是极值D .4是极大值 22. 若xyz e =，则(1,2)|dz =（）A .()xy e ydx xdy +B .23eC .222e dx e dy +D .023.2220()Rdy f x y dx +⎰（0R >）化为极坐标形式累次积分为（）A .2sin 20()R d f r rdr πθθ⋅⎰⎰B .2cos 22()R d f r rdr πθθ⋅⎰⎰C .2sin 2200()R d f r rdr πθθ⋅⎰⎰D .2cos 20()R d f r rdr πθθ⋅⎰⎰24. 设22:(1)1D x y -+≤，则Dd σ=⎰⎰（）A .3πB .4πC .πD .2π25. 3223LI x dx zy dy x ydz =+-⎰，其中L 是从点(3,2,1)M 到点(0,0,0)N 的直线段，则I =（）A .4B .874 C .874- D .87 26. 下列方程是一阶线性微分方程的是（）A .'2xy y x +=B .'sin y xy x +=C .'y xy x e =+D .'sin y x y +=27. 微分方程2"6'8xxy y y e e -+=+的特解形式为（）A .2x x ae be +B .2x x ae bxe +C .2x x axe be +D .2x x axe bxe +28. 若1nn u+∞=∑收敛，则下列级数不收敛的是（）A .12n n u +∞=∑ B .1(2)n n u +∞=+∑ C .12n n u +∞=+∑ D .(1)n n ku k +∞=>∑29. 下列级数中，条件收敛的是（）A .1(1)1nn n n +∞=-+∑ B.1(1)n n +∞=-∑ C .211(1)n n n +∞=-∑ D .11(1)(1)n n n n +∞=-+∑ 30. 级数02!nn n +∞=∑的和为（）A .0B .eC .2eD .不存在二、填空题（每题2分，共20分）31. ()f x 为(,)-∞+∞上的奇函数，且满足(1),(2)()(2)f a f x f x f =+=+，则(2)f = 。

32. 11lim()1x x x x +→∞-=+ 。

33. sin y x y -=，则dy = 。

34. 曲面22z x y =+在点(1,0,1)处的切平面方程为。

35. 曲线sin y x =在[0,2]π上与x 轴所围图形的面积是。

36. ln tan sin cos xdx x x =⋅⎰ 。

37.212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰变换积分次序为。

38. 曲线224z x y z ⎧=+⎨=⎩在xoy 面上的投影柱面方程为。

39. 以3212xxy c e c e-=+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为。

40.幂级数1nn +∞=的收敛区间为。

三、计算题（每题5分，共50分）41. 求极限21lim(sincos )x x x x→∞+的值。

42.设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩，其中()g x 是有界函数，讨论()f x 在0x =处的可导性。

43.求不定积分x 。

44. 求定积分430sin cos x xdx xπ⎰。

45. 设222(,)z xy f x y xy =⋅-，其中f 可微，求dz 。

46. 求过直线240:310x y z L x y z -+=⎧⎨--=⎩且垂直于平面:41x y z π-+=的平面方程。

47.求二重积分)Dxy d σ⎰⎰，22:1D x y +≤。

48. 计算22(2)(2)Lyxy dx x xy dy +++⎰，其中L 沿2(arctan )y x =从点(0,0)O 到点2(1,)16B π。

49. 求方程22(1)'24x y xy x ++=的通解。

50. 将21()43f x x x =++展成关于2x +的幂级数。

四、应用题（每题7分，共14分）51.在1-与2之间求值c ，使,2,1y x y x y cx =-==+所围图形面积最小。

52.由抛物线2y x =与22y x =-围成一平面图形，试求：（1）此平面图形面积；（2）此平面图形x 绕轴旋转一周所得旋转体体积。

证明题（6分） 53. 证明方程2013101xx dt t --=+⎰在(0,1)内有唯一实根模拟试题二一、单项选择题（每小题2分，共60分）1.设函数(1)x f e +的定义域是[-1,1]，则()f x 的定义域为（）。

A [1,1]e e -++B [1,1]e e --+C 1[1,1]e e -++D 1[1,1]e e --+ 2.设11()()12xf xg x a ⎛⎫=⋅+⎪-⎝⎭，其中()g x 为奇函数，则()f x 为（）。

A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 无法确定3．点0x =是函数1111xxe y e -=+的( ).A 连续点B 跳跃间断点C 可去间断点D 第二类间断点 4．当0x →时，tan xx ee -与n ax 为等价无穷小，则( ).A 1,1a n ==B 1,22a n == C 1,33a n == D 1,44a n == 5.函数2sin(35)y x π=+的最小正周期是（）。

A103 B 23π C 2π D 32π 6. 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如下图所示，则()f x 有（）。

A 一个极小值点，两个极大值点 B 两个极小值点，一个极大值点 C 两个极小值点，两个极大值点 D 三个极小值点，一个极大值点7.设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中()f x 在点0x =处可导且(0)0f '≠，(0)0f =，则0x =是A 连续点 B 第一类间断点 C 8．方程220x y +=表示的二次曲面为（）。

A 球面B 旋转抛物面C 锥面D 柱面9.下列函数中，在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（）。

A 2ln(1)y x =- B 21y x =- C ||x y e = D sin y arc x =10. 曲线235x y x +=-（）。

A 仅有水平渐近线B 仅有垂直渐近线C 既有水平渐近线又有垂直渐近线D 无渐近线11. 设y =()f x 是微分方程240y y y '''-+=的一个解，若0()0f x >，0()0f x '= ，则函数()f x 在0x 处( ).A 某个邻域单增B 某个邻域单减C 取得极大值D 取得极小值 12.设50sin ()xtx dt tα=⎰，1sin 0()(1)x t x t dt β=+⎰，则当0x →时，()x α是()x β的（）。