几种积分的特殊求解方法

4 积分符号下的积分法 例 7
1 0
计算下列定积分 b a 1 x - x sin( 1n ) dx x 1nx
1 b a 0
( a > 0, b > 0 )
参考文献 [ 1] 孙续元 . 高等数学解 题构思与技 巧 [ M ]. 北 京 : 北 京广播 学院出版社 , 1995. [ 2] B. N 斯米尔诺夫 . 高等数学教 程第一 卷 [ M ]. 孙念 增译 . 北京 : 人民教育出版 社 , 1979 . [ 3] 吉林师范大学数学系 . 数学分析 讲义 [M ] . 北京 : 人民教 育出版社 , 1978. [ 4] 刘书田 . 高等数学 [M ]. 北京 : 北京大学出版社 , 2004 . [ 5] 清华大学数学教研组 . 高等数学 [ M ]. 北京 : 人民 教育出 版社 , 1978.
( 责任编辑 : 段兆英 )
88
2 2
0
1n ( a sin x + b cos x )dx
2 2 2 2
2
2
2
2
解 设 F (a) =
2
0
1n ( a sin x + b cos x )dx, 则
2
F '= =
2
0
对最后一个积分 , 作万能代换 t = tan 1) < x < ( 2n + 1 ) ( n = # 1 , 2 , 3 ,... )
2 2
2
sin ( 1n
b
=
a b 2 2 2 = a+ b a - b a - b
2
a
所以
0
1n ( a sin x + b cos x )dx =
2
2
2
2
1n∣ a + b ∣
= arctan ( 1 + b ) - arctan ( 1 + a ) 5 结束语 通过以上举例看出 , 正确分析所给题目的条件, 结合本文给出的几种特殊积分法 , 使得求解不定积 分和定积分问题更方便。
2
2
1
x sin ( 1nx ) dx = 0 = 因此
1 0
t
1 2 1 + ( 1 + t) 1 x - x ) dx x 1nx 1 b 2 d t = arctan ( 1 + t) ∣ a 1 + ( 1 + t)
b a
+∃
- 2a =
2
0
b 2 2 2 dt (a - b ) (a t + b )
解 ==1 0
sin( 1n 1 ) x - x dx x 1nx
1 0 b a b
sin( 1nx ) [
1
a
x d t ] dx
t
[
0
x sin( 1nx )dx ] d t
1
t
由分部积分法 x sin ( 1nx )dx =
t
1 t+ 1 1 x cos( 1nx ) dx 1+ t0 x
1 1 t+ 1 =co s( 1nx ) dx 2 ( 1 + t) 0 1 1 1 t = x sin( 1nx ) dx, 移项得 , 2 2 ( 1 + t) ( 1 + t) 0
dx = 2 sinx - 2cosx + 3
( 5t +
1 1 5
) +
2
4 5
dt
5t + 1 = arctan + C = arctan 2 2 分项积分法
5tan
x + 1 2 + C 2
解 利用例 1结果, 其中 a1 = 1 , b1 = - 1 , a= 1 , b = 2得 1 3 ,B =于是 5 5 sinx - cosx 1 3 dx = - x - 1n ∣ sinx + 2co sx sinx + 2co sx 5 5 b ∣ + C ( x ! k - arctan ) a 类似地 A = 例 3 证明 a1 sinx + b1 co sx + c1 dx = A x + B 1n ∣ asinx + a sinx + b co sx + c dx bcosx + c ∣ + C asinx + bcosx + c b 其中 A, B, C 是常数; x ! k - arctan a 证明 令 a1 sinx + b 1 co sx + c1 = A ( asinx + bco sx + c) + B ( aco sx - bsinx ) + C a1 = A a - B b 比较两端同类项系数, 得 b1 = A b + Ba, 解此 c1 = A c + C 方程组得 A =
a x n ∣ tan ( + ) ∣ + 2 3 /2 1 2 2 (a + b ) b + C1 2 2 ( a + b ) ( a sinx + bco sx ) a x I2 = n ∣ tan ( + ) ∣ 2 2 3 /2 1 2 2 (a + b ) b + C2 2 2 ( a + b ) ( a sinx + bco sx ) aa1 + bb1 x I = a1 I 1 + b1 I 2 = n ∣ tan( + 2 2 3 /2 1 2 (a + b ) a1 b - ab1 )∣ + + C 2 2 2 ( a + b ) ( asinx + bcosx ) 3 参数积分法 例 6 计算 定积分
2
( 2)
( 2)
a1 a + b 1 b ab 1 - ba1 2 2 2 , B = 2 2 , C = c1 - A c( a + a + b a + b
b ! 0) 最后将 ( 2 ) 代到原积分中 , 得要求的结果。 sinx - 2co sx - 3 dx sinx - 2co sx + 3 3 4 解 利用例 3的结果 , 得 A = - , B = , C = 5 5 例 4 求积分 6 , 所以 5 sinx - 2 co sx - 3 3 4 dx = x+ 1n ∣ sinx sinx - 2 co sx + 3 5 5 2co sx + 3 ∣ 6 5 dx sinx - 2cosx + 3 x , ( 2n 2
2
当一个积分可以找出一个或几个与原积分结构 相似时, 可以用分项积分法。 a1 sinx + b1 cosx 2 dx ( asinx + bcosx ) sinx 解 令 I1 = 2 dx, I 2 ( asinx + bcosx ) co sx = 2dx ( a sinx + b co sx ) 1 1 则 a I 1 + bI 2 = dx = 1n 2 2 asinx + bcosx a + b x ∣ tan ( + )∣ + C ( 1) 2 2 a b ( 其中 co s = , sin = ) 2 2 2 2 a + b a + b d ( asinx + bcosx ) aI2 - bI 1 = 2 ( asinax + bco sx ) 例 5 求不定积分 1 + C asinx + bco sx 由 ( 1) 和 ( 2 ) 得 = I1 =
收稿日期 : 2009 - 09- 26
k - arctan
b 。 a
证令 a1 sinx + b1 cosx = A ( asinx + bcosx ) + B ( acosx - bsinx ) ( 1) 比较两端同类项系数 , 得 方程组得 A = a1 a + b 1 b ab 1 - ba1 2 2 2 2 , B = 2 2 ( a + b ! 0) a + b a + b a1 = A a - B b , 解此 b1 = A b + B a
第 8 卷 第 4期 2009年 10月
北京工业职业技术学院学报
JOURNAL OF BE IJING POLYTECH N IC COLLEGE
∀ 4 V o. l8 O ct . 2009
几种积分的特殊求解方法
吴翠兰
( 北京Hale Waihona Puke Baidu业职业技术学院, 北京 100042) 摘 要 : 求解积分问题时比较麻烦, 甚至无从下手。 只要抓住积分问题的不同的特点, 找出规律就可以比较 待定系数法 、 分项积分法 、 参数积分
W u Cuilan
( Be ijing Po ly technic Co llege , Be ijing 100042 , China) Abstract : It can be easy to so lv e the prob le m o f integ ration as long as w e f ind the characterist ics and ru les o f in te gration. Th is paper g ives four specia lm ethods to so lv e th e problem of indefinite in tegration and defin ite integ ration , such as: m ethod of undeter m ined- coe ff ic ien; t integ ration m ethod by subentry ; in tegration m ethod by param eter ; in tegrat io n m ethod by sig n of integra tio n . K ey w ord s : m ethod of undeter m ined- coefficien; t in teg ration m ethod by subentry ; integratio n m ethod by para me ter ; in tegration m ethod by sign o f in tegrat ion
容易地求出来。 给出求解不定积分和定积分问题的四种特殊方法 法、 积分符号下的积分法。 关键词 : 待定系数法; 分项积分法; 参数积分法 ; 积分符号下的积分法 中图分类号 : O 175 . 1 文献标识码: A
文章编号: 1671- 6558 ( 2009) 04- 86- 03
On Som e Special Integration M ethods
2asin x 2 2 dx a sin x + b cos x
2 2 2
0
2a( 1 - cos x ) d tanx 2 2 2 a tan x + b 87
北 京工 业 职业 技 术学 院 学报
第 8卷 1 ( t + 1) 2% 2 ( 1 + t) 1 + ( 1 + t)
2
2a tan x = 0 2 2 2 2 d tanx ( 1 + tan x ) ( a tan x + b ) 2 +∃ 2at 令 t = tanx 0 2 2 2 2 dt (1+ t ) (a t + b ) +∃ 1 = 2a 0 2 2 2 dt (a - b ) (1+ t )
0 前言 含有三角函数的积分问题比较复杂, 下面给出 几种特殊的积分方法, 对几类特殊的积分问题变得 简单, 容易理解和掌握。 1 待定系数积分法 当被积函数的分子、 分母含有 sinx, co sx 的一次 式时, 可以用待定系数法。 a1 sinx + b1 cosx dx = A x + B 1n asinx + bcosx ∣ asinx + bcosx ∣ + C, 其中 A, B 是待定常数, x ! 例 1 证明
最后 , 将 ( 1) 代到原积分中 , 得
作者简介 : 吴翠兰 ( 1956- ) , 女 , 吉林九台人 , 副教授 , 主要从事应用数学教学及研究工作。
第 4期
吴翠兰: 几种积分的特殊求解方法
a1 sinx + b1 cosx dx = A asinx + bcosx dx + B asinx + bcosx asinx + bcosx acosx - b sinx dx = A dx + B acosx - bsinx dx = A x + asinx + bcosx asinx + bcosx B 1n ∣ asinx + bcosx ∣ + C (C 是积分常数 ) 例 2 求积分 sinx - cosx dx sinx + 2co sx