第5章点的合成运动习题解答080814课件
点的合成运动-精品
例5-2 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴x作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐
标系，刀尖的运动方程为 xbsi nt 。工件以
等角速度 逆时针转向转动。
求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
已知：xbsin t, t 求: fx,y0
解: 动点：M 动系：工件 O x y
x x t
y
yt
由坐标变换关系有
xyxyO Oxxcsoinsyyscions
例5-1 点M相对于动系 Oxy 沿半径为r的圆周 以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系 Oxy相 对于定系 Oxy 以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如 图所示。初始时 Oxy与 Oxy 重合，点M与O重合。
例5-4 如图所示曲柄滑道机构，T字形杆BC部分处于 水平位置，DE部分处于铅直位置并放在套筒A中。已知曲柄 OA以匀角速度ω=20rad/s绕O轴转动，OA=r=10cm，试求 当曲柄OA与水平线的夹角φ=0°、30 ° 、60 ° 、90 °时， T形杆的速度。
B
C
D
vr
va
A
ve
φ
E
ω O
解：选套筒A为动点，T字形杆为动系，地面为定系。动点 的绝对运动为圆，绝对速度的大小为 v a rω 1 0 2 0 2 0 0 c m /s
aa
d 2 rM dt2
rO x ' i ' y ' j ' z ' k ' x 'i ' y ' j ' z ' k '
2 ( x ' i ' y ' j ' z ' k ')
理论力学8—点的合成运动.
ve 54 sin a 2 0.669 vr 2 80.72
a 2 42
vA ve vB O x a2 A B R vr 2
y
二、动点、动系选取的一般原则 1、动点与动系不能选在同一物体上 2、要使动点的相对轨迹易于确定
遵循这两条原则，具体问题具体选取。下面分情 况讨论动点、动系的选取方法。
这里涉及“一点”（动点A）、“两系”（xoy和x`oy`），下 面给出具体定义。
动点：有待研究的运动点 动（参考）系：参考系之一，固 定在相对于静系有运动的物体上， 且动点有相对此参考系的运动。
x` o` y o A
静（参考）系：参考系之一，动 点和动系有相对此参考系的运动。
y`
转轮
x
注：其实运动都是相对的，动系有相对静系的运动，静系则必有相对动系的 运动。但我们通常将静系固定在一个便于观察的物体上（例如，工程中静系 一般取为地球），就好象此物体不动，故有上述说法。
(2) 求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。
ve 2 OA 50 v
va 2 10m / s
ve 2 5 0.5 va 2 10
‘
5m / s
北
vr 2 ve 2 2 vr 2 2 11.2m / s
tana
R B Ve2 Φ =30° α A S 东
ve va sin r sin ve O1 A 1 r 2 (l 2 r 2 )
O1
2 r 2 2 O1 A (l r ) 1 2 2 l r
例3 水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。 试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。 解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上， 动点的速度合成矢量图如图。
第5章点的合成运动习题解答080814讲课稿
第 5 章点的合成运动习题解答0 8 08 1 4第五章点的合成运动本章要点一、绝对运动、相对运动和牵连运动一个动点，两个参照系：定系，动系；三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动，包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度；三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。
二、速度合成定理动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即V a V e V r解题要领1定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.2牵连速度是牵连点的速度•3速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.4作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.5用解三角形的方法解速度合成图.三、加速度合成定理1牵连运动为平移时的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即a a a e a r ，当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成a；a a a e n t na e a r a r其中a；dv；，n aa2V a tdV e n，a e ，a e2Ve a t，a r dV r，a n2v■ ?a, e, r依次dt a dt e dt r为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。
解题要领1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.2牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。
但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。
《理论力学》点的合成运动(课件二)
■*ira川釦点的合成运动（二）5.2速度合成定理5.2.2速度合成定理Ar =2加+ Ar'\7^a=叫+人X上述结果表明，无论牵连运动为平动还是定轴转动,动点的绝对速度均等于其相对速度与牵连速度的矢量和。
即"a二人+上这一结论称为点的速度合成定理。
注意事项：1.上述结论适用于任何形式的相对运动和牵连运动。
2.注意公式的矢量性和瞬时性。
3.在定理的应用中常用几何法，作速度合成图，最后归结为解三角形。
X例卜正弦平动机构如图示，已知u,OM = R o 用合成法求©二45°时0M的角速度。
A匚解：动点：滑块M,定系：地面，动系：AB O速度合成图如图示，v e = U,故v a = v e / cos(p = ^2uA co=v a/R= ^2u/R,© = % ;求 © = 90' 解：动点：滑块M,定系: 地面，动系：OAo速度合成图如图示， V^=r (p= rco^ 故v e = v a sin^= r690sin 0 OM = r/sin 0 =69 = v e /OM =例2.己知 O C=h,CM = 时^ 04杆转动的角速度。
r2690/(r2+/z2)rB 例3.己知g 0C = r刁在图示位置4B丄CO,CD = OD。
求此时顶杆的速度。
解：动点：顶杆上的4点,定系：地面，动系：园盘。
速度合成图如图示。
=> v a = v e=ra例4・己知AB、CD平动，夹角为丄AB,V2 丄CD。
引」2为已知。
求交点M的速度。
"2解：此题用常规的办法来求解会有些问题。
设动点为交点胚分别取和CQ为动系。
#1.动系v el = Vj, v rl沿BA> % =儿+人1#2.动系CD"2人2二"2，片2沿CD> +叫2"1 +人1 =卩2 +人2上式沿丄仞方向投影得cos a + v rl sin a=v2v rl = (v2— Vj cos a)/ sin a+ —2V1V9COS a sin a5.3加速度合成定理绝对加速度（偽）：动点相对于定系的加速度a. = dv a / dt = d 2r / dr 2相对加速度（舛）：动点相对于动系的加速度，即动 点的相对速度对时间的相对导数牵连加速度（假）：牵连点相对于定系的加速度。
《点的合成运动》课件
04
机械臂的运动也是点的合成运动的实例，机械臂的每 个关节的运动都是相对独立的，但它们的合成结果决 定了机械臂的整体位置和姿态。
03
点的合成运动计算方法
坐标系转换法
总结词
坐标系转换法是一种通过坐标变换来计算点的合成运动的方法。
详细描述
坐标系转换法的基本思想是将点的合成运动分解为一系列坐标系的旋转和平移变换，通过逐一应用这 些变换来计算合成运动的结果。这种方法需要明确各个坐标系之间的关系，并掌握坐标变换的规则。
《点的合成运动》ppt课件
目 录
• 点的合成运动概述 • 点的合成运动原理 • 点的合成运动计算方法 • 点的合成运动在工程中的应用 • 点的合成运动的发展趋势与展望
01
点的合成运动概述
定义与概念
定义
点的合成运动是指一个点在两个或多个运动的作用下的相对 运动。
概念
点的合成运动是分析机构运动的基础，是研究机构运动特性 的重要方法。
合成运动的分类
平面合成运动
一个点在平面内的两个或多个运动作 用下的合成运动。
空间合成运动
一个点在三维空间中的两个或多个运 动作用下的合成运动。
合成运动的应用场景
机械制造
01
在机械制造中，点的合成运动被广泛应用于机构分析和设计，
如连杆机构、齿轮机构等。
机器人学
02
在机器人学中，点的合成运动是实现机器人精确控制和轨迹规
03
，广泛应用于工程、物理和生物等领域。
点的合成运动特性
01
点的合成运动特性包括相对性、 独立性和叠加性。
02
相对性是指点的合成运动是相对 于观察者的，观察者的位置和速
点的运动合成习题参考解答
解：用点的复合运动求解，取重物 B 为动点，动系与水平悬臂固连，则牵连运
动为定轴转动，相对运动为直线运动。
由于
vr
=
dx dt
=
−0.5 m/s
( ←)
方向与轴 x 的正向相反。
当 t = 10 s 时， ve = x ⋅ω = 15 × 0.1 = 1.5 m/s , 方向指向轴 z 的正向。速度图见上
2. 图示曲柄滑道机构中，曲柄长 AB = r，绕轴 O 以ω作匀速转动，滑槽 DΕ与水 平线成60°角。求当ϕ =0、30°、60°时，杆 BC 的速度。
解：本题机构 BC 作平动，可以用点的运动学方法求解。这里应用点的合成运动 求解，以滑块 A 为动点，动系与构件 BC 固结，考虑一般位置速度图如下图所示。
可得
aa = ae + ar
aBC = ae = va sinθ = OA⋅ω 2 sinθ = 0.4 × 0.25sin 30o = 0.05 m/s2 (↓)
6. 小车的运动规律为 x = 50 t2，x 以 cm 计，t 以 s 计。车上摆杆 OM 在铅垂面内
绕轴 O 转动，其转动规律为ϕ = π sin πt 。如 OM = 60 cm。求 t = 1 s 时摆杆端
由 va = ve + vr 和速度三角形，以及正弦定理有
ve sin(30o
−ϕ)
=
va sin60o
⇒
v BC
= ve
=
va sin60 o
sin(30o
−ϕ)
将 va = rω 及ϕ =0、30°、60° 分别代入上式解得当ϕ =0、30°、60° 时，
vBC =
3 rω, 3
哈工大第七版理论力学__点的合成运动课件
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
运
动
演
示
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
（2） 选择动点，动系与定系 情况一
视频
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
即为相对运动方程，也就是笔尖相对纸带的运动方程。
上二式消去时间t 得相对轨迹方程：
y A cos
v
x
余弦曲线
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
§8-2 点的速度合成定理 Theorem of Composition of the Velocities of a Particle
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
视频
牵连点、 牵连点的运动轨迹？动点的相对运动轨迹？绝对运动轨迹？
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
视频
牵连点的运动轨迹？动点的相对运动轨迹？绝对运动轨迹？
第八章 点的合成运动 视频
第八章 点的合成运动
Resultant Motion of a Particle
运动学
B
由三角形关系，AB 杆速度大小为：
y
vr
y ' va R
va ve cot v0 cot 60 0.577v0
ve
v0 x'
点的合成运动
r '
M1(m1)
§8−2 点的速度合成定理
va vr ve
绝对速度 相对速度
M '(m')
牵连速度
z' x'
M2(m2)
速度合成定理 动点的绝对速度等于其相 对速度与牵连速度的矢量 和。
y'
va
r
vr
M(m)
ve r 1
r '
M1(m1)
§8−2 点的速度合成定理
va vr ve
§8−1 合成运动基本概念 合成 本概
动点－摇杆上 A'点。 动系－固连于
'
曲柄OA。
§8−1 合成 合成运动基本概念 本概 练习题 4
动点－滑块 动点 滑块 A 。 动系－固连于 T形槽杆BAC。
§8−1 合成运动基本概念 合成 本概
动点－ T形槽 杆上 A'点。 动系－固连于 曲柄OA。
§8−1 合成运动基本概念 合成 本概
试比较其共同点
§8−1 合成运动基本概念 合成 本概
试比较其共同点
§8−1 合成 合成运动基本概念 本概 4. 相对运动 相对运动方程 r r (t )
x x(t )
y y (t )
z z (t )
s s(t )
M
§8−2 点的速度合成定理
y'
解： （1） 运动分析 动点－滑块 M 。
M
动系－ Ax'y'固连于摇杆 AB。 定系－固连于机座。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。
x'
相对运动－沿AB的直线运动。 牵连运动－摇杆绕A轴的摆动。
§8−2 点的速度合成定理
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第五章 点的合成运动本章要点一、绝对运动、相对运动和牵连运动一个动点，两个参照系： 定系，动系；三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动， 包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度； 三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。
二、速度合成定理动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即r e a v v v +=解题要领1 定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.2 牵连速度是牵连点的速度.3 速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.4 作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.5 用解三角形的方法解速度合成图. 三、加速度合成定理1 牵连运动为平移时的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即r e a a a a +=，当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成n r t r n e t e na t a a a a a a a +++=+其中 t v a d d a t a=，a 2a n a ρv a =，t v a d d e t e =，e2e ne ρv a =，t v a d d r t r =，r 2r n r ρv a =，r e a ,,ρρρ依次为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。
解题要领1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.2 牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。
但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。
剩下的三个切向加速度的大小方向共有六个因素，能且只能有2个未知量时方可求解。
3 因加速度合成定理涉及的矢量较多，一般不用几何作图的方法求解，而是列投影式计算，千万不能写成“平衡方程”的形式。
4 在加速度分析中，因动点和动系的选择不当而出现了一种似是而非的分析过程。
教材中例5.3.5的一个典型错误解法如下：例：半径为r 的半圆凸轮移动时，推动靠在凸轮上的杆OA 绕O 轴转动，凸轮底面直径DE 的延长线通过O 点，如图所示。
若在 30=ϕ的图示瞬时位置，已知凸轮向左的移动速度为u ，加速度为a 且与u 反向，求此瞬时OA 杆的角速度ω与角加速度α。
“解”：取OA 杆上与凸轮相接触的B 点为动点，动系固结在凸轮上。
设OA 杆的角 速度和角加速度分别为ω 和α。
1）速度分析：根据速度合成定理，可画出速度平行四边形如图所a 示。
由几何关系可得u v v 2130sin e a == , u v v 2330cos e r == 方向如图所示。
由此可求得OA 杆在图示瞬时的角速度为ru u r OB v ω63230ctg 1a ===， 转向如图所示。
2） 加速度分析：根据牵连运动为平移时的加速度合成定理，有（a ）(b)n r t r en ata a a a a a ++=+大小： αOB ？ 2ωOB a ？ BCv 2r方向： OA ⊥ 指向O 点 ← BC ⊥ 指向C 点加速度矢量关系图如图b 所示。
在这个矢量关系式中，各加速度分量的大小、方向共有十个要素，已知八个要素，可以求解。
将图示的加速度矢量关系向CB 方向投影，得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--=--=r u a r u/aBC v a a a a 43223230sin 30sin 222rn re ta， t a a 为负值说明τa a 的真实指向应与图设的指向相反。
由此，可求得OA 杆在图示瞬时的角加速度的大小为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+===r u a r rr /u a/BC a OB a α2323343230ctg 22ta t a ， 转向如图所示（由t a a 的真实指向决定）。
上述解法是“避免 ”了取OA 杆为动系时出现的科氏加速度，错在何处？这不难从杆OA 的转动方程xR=ϕsin ， 对时间求导求得OA 杆的角速度和角加速度值得到验证，式中OA x =。
可以看到，速度分析的结果是正确的，而加速度分析结果是错误的。
原因是“取OA 杆上与凸轮相接触的B 点为动点”，此动点只在此瞬时与凸轮相接触，随后就分道扬镳了，其相对轨迹不是凸轮轮廓线，相对轨迹不清楚，因此，上面分析中nr a 用凸轮轮廓线的半径作为相对轨迹的曲率半径的计算是错误的。
2 牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度，等于该瞬时动点的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和c r e a a a a a ++=，其中科氏加速度为r e c ω2v a ⨯=，当相对速度矢量与牵连角速度矢量垂直时，相对速度顺着牵连角速度转90的方向就是科氏加速度的方向，大小为r e ω2v a c =.当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成c n r t r ne t e n a t a a a a a a a a ++++=+.解题要领：1 在加速度分析中要特别注意动系是否有角速度，如果有，就要考虑科氏加速度。
2 牵连运动为转动时的加速度合成定理涉及的矢量较多，最多有7个矢量，分析和列投影式时不要遗漏了。
3 法向加速度和科氏加速度只与速度和角速度有关，因此，在加速度分析时应作为是已知的。
4 牵连运动为转动时的加速度合成定理只可以解2个未知量。
第五章 点的合成运动 习题解答5-1 在图a 、b 所示的两种机构中，已知20021==a O O mm ，31=ωrad/s 。
求图示位置时杆A O 2的角速度。
解：（1）取杆A O 1上的A 点为动点，杆A O 2为动系。
1a ωa v =，由r e a v v v +=作速度平行四边形（如题5-1图a 所示），得a v v 1a e 2330cos ω==， rad/s 5.1212e 2===ωωA O v ， （逆时针）（2）取滑块A 为动点，杆A O 1为动系， 1e ωa v =，由r e a v v v +=作速度平行四边形（如题5-1图b 所示），得1e a 3230cos ωa v v ==，rad/s 23212a 2===ωωA O v .（逆时针）5-2图示曲柄滑道机构中，杆BC 为水平，杆DE 保持铅直。
曲柄长10.OA =m ，并以匀角速度20=ωrad/s 绕O 轴转动，通过滑块A 使杆BC 作往复运动。
求当曲柄水平线的交角分别为0=ϕ、30、90时杆BC 的速度。
解：取滑块A 为动点，动系为BCE 杆。
m /s 2OA a =⋅=ϕv . 由 r e a v v v += 得 ϕsin a e v v =题5-2图(a)( b)题5-1图当 0=ϕ 时， 0e =v ；当30=ϕ时，m/s 1e =v ；当90=ϕ时，m/s 2e =v .5-3图示曲柄滑道机构中，曲柄长r OA =，并以匀角速度ω饶O 轴转动。
装在水平杆上的滑槽DE 与水平线成60角。
求当曲柄与水平线交角0=ϕ、30、60时，杆BC 的速度。
解：取滑块A 为动点，动系为杆BC ，ωωr v =⋅=OA a . 作速度矢量图如图示。
由正弦定理)30-sin()60-sin(180eaϕv v =， 解得 )30-sin(32-e ϕω⋅=r v . 当0=ϕ时， 3e v r =； 当30oϕ=时， 0=e v ；当60oϕ=时， e v r = (向右). 5-4如图所示，瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。
由于机器转速的变化，调速器重球以角速度1ω向外张开。
如该瞬间10rad/s =ω，1.2rad/s 1=ω。
球柄长500mm =l ，悬挂球柄的支点到铅垂的距离为50mm =e ，球柄与铅垂轴间所成的夹角30=β。
求此时重球绝对速度的大小。
解：取重球为动点，转轴AB 为动系，则 ωl v r =，方向如图示；牵连速度()ωβsin e l e v +=，方向与ADB 垂直。
根据r e a v v v +=，题5-3图题5-4图由勾股定理得 m/s 059.32r 2e a =+=v v v .5-5图示L 形杆BCD 以匀速v 沿导槽向右平动，CD BC ⊥，h BC =。
靠在它上面并保持接触的直杆OA 长为l ，可绕O 轴转动。
试以x 的函数表示出直杆OA 端点A 的速度。
解： 以L 形杆上的B 为动点，OA 杆为动系，则动点相对于动系做直线运动。
v v =a ，设OBC ∠为θ，由速度合成定理得v x h h v v 22a e c o s +==ϑ， 由此可求得v xh hl l x h v v eA 2222+=+=. 也可以利用以下关系解出A v 。
由h xh x arctan ,tan ==θθ，vt x = v x h hl r v x h vh h x h vt A 22222,1d d +==+=⎪⎭⎫⎝⎛+==ωθω.5-6如图所示，摇杆OC 绕O 轴转动，拨动固定在齿条AB 上的销钉K 而使齿条在铅直导轨内移动。
齿条再传动半径100=r mm 的齿轮D 。
连线1OO 是水平的，距离400=l mm 。
在图示位置，摇杆角速度50.=ωrad/s ， 30=ϕ。
试求此时齿轮D 的角速度。
解： 解法一：分两步计算。
（1）计算齿条AB 的速度。
取K 为动点，OC 杆为动系，则ωOK v =e . 由速度合成定理得：ϕωϕ2e a cos cos l v v v AB===， （2）计算齿轮D 的角速度。
r a d /s 67.238cos 2====ϕωωr l r v AB D .（逆时针） 解法二：设齿轮D 和齿条AB 的啮合点到K 点的距离为h，题5-5图题5-6图则 ωϕϕ-== ,tan l h ，从而有 ()tl l t t h v AB ωωϕ2cos tan d d d d -===， 代入数据，m/s 15430cos 5.04.02-=⨯-= AB v .其中负号表示AB v 是沿h 减小的方向，即向下。
齿轮D 的角速度为 m/s 67.238===r v v AB D .（逆时针） 5-7绕轴O 转动的圆盘及直杆OA 上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M 如图所示，0.1m =b 。