2008—2009研究生数值分析参考答案(A)

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(完整版)2009研究生数值分析试题及答案-石家庄铁道大学,推荐文档

姓名学号评分时间120分钟石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称数值分析任课教师王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1. 3，32. 43. -34. )()(max x P x f bx a -≤≤5. )2)(1(!4)(),2(2)4(2--+-x x x f x x ξ 6. 33,3321=-=x x 7. 21<a8.Λ,2,1,0,211721=--=+k x x x x kkk k 9. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323/22/3212L 10.1,...,2,1,1--=⎩⎨⎧-==+n n k x d x d x k k k kn n β 二(16分).1. 解 :⎢⎢⎢⎣⎡221213112⎥⎥⎥⎦⎤ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32/12/1112132/112/31------8分解,b Ly =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=304y解,y Ux =得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111x . -----------------------------------------------12分2.Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧--=--=--=+++2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , Λ,2,1,0=k ------------------------------16分-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003--+--++++-=---+--+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理∑=--=302))((i i i y b ax I 最小，----2分有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00aI bI即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑i i i ii i x y y a b xxx 24----------------------8分即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36915554a b ，解得b =1.2857，a =2.8286 拟合曲线2857.18286.2+=x y ----------------------10分四(16分)解: 1．+----=))(())(()()(2010210x x x x x x x x x f x L ))(())(()(2101201x x x x x x x x x f ----+))(())(()(1202102x x x x x x x x x f ---- ------------------------------6分计算=)(0'x L ()()()()2104321x f x f x f h-+- ----------------9分 )()(0'0'x L x f ≈=()()()()2104321x f x f x f h-+- ------------------------------------------12分2．)()(),,(210x L x f x x x ≈∈,))()!1()(()()(1)1(2'++'='++x n f x L x f n n ωξ, x x n f n n 与ξωξ,))()!1()((1)1('+++有关, )()(),,(210x L x f x x x '≈'∈无法估计. )(,2x L x '不是插值节点时当的值不能作为)('x f 的近似值.-----------------16分五. 解 1．(8分)Λ004.041.10=-I 21021-⨯≤------------------2分 2000011102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I ------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I类推有 8210999910101021102110~10)1~10(110~--⨯=⨯⨯≤-=---=-I I I I I I-----------6分计算到10I 时，误差限为初始0I 的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍，所以这个计算过程是不稳定的。

研究生《数值分析》试卷(带答案)

2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈ 6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-= 0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f ,0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξff 三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++= 1)(=x f 时：1110==⎰dx I1]00[121]2[21=-+=n I x x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I 4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ 52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛154153234520320320320221a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H ,解得 5,3=-=b a 因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈110)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -=得得Gauss 点： ,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A 解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈ Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k k k k kk k k k x x x x x x x x x令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解. 解：由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛135152121137253125121211113112即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y 令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n nn n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ，即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。

2009数值分析试题_A卷与答案

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考试题__2009___年~__2010___年第一学期课程名称：数值分析专业年级： 2009级（研究生）考生学号：考生姓名：试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y2412注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考2,又*3x a =10=≠。

北京理工大学2008级数值分析试题及答案

课程编号：12000044 北京理工大学2009-2010学年第二学期2008级计算机学院《数值分析》期末试卷A 卷班级学号姓名成绩注意：① 答题方式为闭卷。

② 可以使用计算器。

请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。

一、填空题（每空2分，共30分）1. 设函数f (x )区间[a ，b]内有二阶连续导数，且f (a )f (b )<0, 当时，用双点弦截法产生的解序列收敛到方程f (x )=0的根。

2. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为______次，n 个求积节点的高斯求积公式的代数精度为。

3. 已知a =3.201，b =0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则a ⨯b 有位有效数字，a +b 有位有效数字。

4. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是。

5. 设有矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4032A ，则‖A ‖1＝_______。

6. 要使...472135.420=的近似值的相对误差小于0.2%，至少要取位有效数字。

7. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是。

8. 已知n=3时的牛顿-科特斯系数,83,81)3(1)3(0==C C 则=)4(2C ，=)3(3C 。

9. 三次样条函数是在各个子区间上的次多项式。

10. 用松弛法 (9.0=ω)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++--=++3103220241225322321321x x x x x x x x x 的迭代公式是。

11. 用牛顿下山法求解方程033=-x x 根的迭代公式是，下山条件是。

二、选择填空（每题2分，共10分）1. 已知数x 1=721 x 2=0.721 x 3=0.700 x 4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为( )。

东北大学09数值分析(研)答案

1+ n
。 2 − n ,...,2,1 = k � 0 =
i≠ j
k
i
∑ �即
) 4 h(O + ) 2n f
2 n
x∂ 61 y∂ y∂x∂ y∂ x∂ 2 + n fh + n y = + ) nf n + n ( + nf n 2 + n2 ( f 2∂ f 2 ∂ 3 h3 f 2∂ f∂ f∂ 2 h
3 n 2
1+ k
i)
1= i j − i 1= j 1= i ∏ ( ∑ = i y ) x ( i l ∑ = ) x ( nL = ) x ( f = j −x n n n
x
�有性一唯的式项多值插由
i≠ j
j i 1= j j − i 1= j ∏ x− x∏ = = )x ( il jx − x j −x n n
x−
) k(
x 使若� T )4 / 3 ,3 / 2 ,2 / 1( =
)1(
x �得步一代迭
解
�有且而。3�n 取应�故
4
� 4 /1 − 2 /1 − � � � 0 6 0 3 / 1 − � = B 为阵矩代迭 . = 1 B, � 3 / 1 − i b o c a J 于由 5 � � � 2 /1 2 /1 − 0 �
2
解
。线曲合拟的 2 xb + a = y 如形求试 1 0 3 1�
i y
… … … … 密 … … … …
○
。步 2 5 代迭应即。 2 5� k 取�以所
1
4 2
2 1
82.15 ≈
ix
x − )1( x 6 21 / 32 )0 ( nl ÷ nl = 1 B nl ÷ 1 nl > k 5 6 / 3− 01 ) B − 1( ε

东北大学数值分析 08数值分析(研)答案

0 1
y n1 y n
f 1 h 2 f n hfn ( n fn ) 3 3 x y ( 2
2 2 fn 2 fn 2 fn 2 f f n2 ) O(h 4 ) n xy x 2 y 2
问应取 n 为多少？并求此近似值。 2 2 1．由 A0 A1 A2 , A0 A1 x1 A2 0, A0 A1 x12 A2 , 3 5 1 4 3 A0 A1 x1 A2 0, 可得： A0 A2 , A1 , x1 0 ，具有 3 次代数精度。 5 15 2． n 4
五、（12 分）已知求解常微分方程初值问题：
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
的差分公式：
h y n 1 y n 3 (k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n h, y n hk1 ) y0
( A)
5 33 ， Cond( A)1 21。 2
6．求区间[0，1]上权函数为 ( x) 1 的二次正交多项式 P2 ( x) 。
P0 ( x) 1， P1 ( x) x
9 x 3 3． x 为何值时，矩阵 A x 8 4 可分解为 GG T ，并求 x 6 时的分解式，其中 3 4 3
由 A 正定可得， 0 x 8 ， x 6 时有：
9 6 3 3 3 2 1 A 6 8 4 ＝ 2 2 2 1 3 4 3 1 1 1 1
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。由于 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 ，所以 0 (1,1,1,1)T ,1 (1,0,1,4)T , f (2,1,3,2)T

四川大学2009年数学分析考研真题与解答

四川大学2009数学分析考研真题与解析1·求下列极限。

（a ）∑=∞→nk k nn Cn2.ln 1lim解：原极限=()221111121ln ln limln 1limnn C C Cn n k nk kn k n n k nnk n ++-=∑∑∑+==+∞→=∞→=∑=∞→-++nk n k n nn 11ln 121lim =∑=∞→∞→--⋅+n k n n nk n n n 1111ln 1lim 12lim =⎰=--1021)1ln(21dx x(b)().sin lim 22n n n +∞→π解：原极限=nn n nn n n n n ++=-+∞→∞→22sinlim )sin(lim πππ=12sin 111limsin ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→ππn n （c ）().sin sin lim2302dtt t t tdtx x x ⎰⎰-→解：原极限=()().1262limsin sin 2lim 53302230=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-⋅→→x x x x x x x x x x x x ο （d ）xx xe x x cos 11lim 0----+→ 解：原极限=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++→222222024218212lim x x x x x x x x x οοο =.32418121-=--2·计算下列积分。

（a ）,222dxdy y x yx D⎰⎰--+其中{()}1;R ,222≤+∈=y x y x D 解：原积分=rdr r r r d ⎰⎰-+12202sin cos θθθπ=dr r r d 220104sin ⎰⎰-⎪⎭⎫⎝⎛+ππθθ=()()θθθπθθd dr r r dr r r ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-201sin 23sin 032sin sin=θθθπd ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-204413sin 6sin =85π(b) ⎰l yzds ,其中l 是球面⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=++332222a a z y x 与平面1=++z y x 的交线.解：原积分=()ds z z ds zx yz l l ⎰⎰-=+121)(21 =()()ds z y x ds z y x l l ⎰⎰++-++2226161 =⎰-l ds a 612 =().3131312612222--=-⋅-a a a a ππ（c ）设()x f 在()+∞∞-,内有连续导函数，求积分()()[]dy xy f y y x dx y xy f y L11222-++⎰，其中L 是从点⎪⎭⎫⎝⎛32,3A 到()2,1B 的直线段。

09下数值分析答案(A)

《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。

---------------------------------------- -------10分二、证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。

--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。

--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。

2009年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷

2009年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷(总分：30.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：7，分数：14.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设多项式f(x)=4x 4十6x 3 +9x+1，则求f(x 0 )仅含有4次乘法运算的算法为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：[(4x 0 +6)x 02 +9]x 0 +1)解析：3.已知实对称矩阵A的全部特征值是3，2，1，则cond(A) 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：3)解析：4.设f(x)=x 3 -3x+1，则f(x)以0，1，2为插值节点的2次牛顿插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1-2x+3x(x-1))解析：5.用Simpson(保留小数点后3位小数)是______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0.747)解析：6.Euler公式是______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：y i+1 =y i[f(x i，y i )+f(x i+1 ,y i，hf(x i，y i ))])解析：7.求解双曲型方程初边值问题的显格式稳定的条件是步长比s______，该差分格式关于空间步长_______阶收敛，关于时间步长______阶收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：≤1，2，2)解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)8.分析方程x 5 -5x+1=0有几个正根，并用迭代法求此方程的最大正根，精确到4位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=x 5—5x+1，则f"(x)=5x 4—5，当x=±1时f"(x)=0．注意到x∈(0，1)时f"(x)＜0，x∈(1，+∞)时f"(x)＞0．又因为f(0)=1＞0，f(1)=-3＜0，f(2)=23＞0，因此方程有2个正根分别在(0，1)和(1，2)中，故最大正根x *∈(1，2)．用Newton迭代法求解，迭代格式为x k+1 =x k -,k=0,1,2，…，取x 0)解析：9.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =1，x 2 =1，x 3 =8．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)10.设有求解线性方程组Ax=b的迭代格式Bx (k+1) +Cx (k) =b，k=0，1，…，(A)其中ξ和η的取值范围，使迭代格式(A)收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由迭代格式(A)得x (k+1) =-B -1 Cx (k) +B -1 b，由迭代法基本定理知迭代格式收敛ρ(-B -1 C)＜1．-B -1 C的特征方程为｜λI+B -1 C｜=｜B -1｜｜λB+C｜=0，由此得λ[λ2 -(ξ+η)λ+ξη]=0，求得λ1 =0，λ2 =ξ，λ<)解析：11.设，∈C 4[a，a+2]，求一个3次多项式H(x)，使之满足H(a)=f(a)，H(a+1)=f(a+1)，H(a+2)=f(a+2)，H"(A)=f"(a)，并写出插值余项f(x)-H(x)的表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由Hermite插值，有H(x)=f(a)+f[a，a](x—a)+f[a，a，a+1](x—a) 2 +f[a，a，a+1，a+2](x-a) 2[x-(a+1)]．f[a，a]=f"(a)，f[a，a+1]=f(a+1)-f(a)，f[a+1，a+2]=f(a+2)-f(a+1)，f[a，a，a+1J=f(a+1)-f(a)-f"(a)，f[a，a+1，a+2]= [f(a+2)-2f(a+1)+f(a)]，f[a，a，a+1，a+2]=)解析：12.用最小二乘法确定经验公式u=a+be x中的参数a和b，使该曲线拟合下面的数据：（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令φ0 (x)=1，φ1 (x)=e x，则(φ0，φ0 )=4， (φ0，φ1 )=e -1 +1+e+e 2 =11．4752， (φ1，φ1 )=e -2 +1+e 2 +e 2 =63．1225，(φ )解析：13.设f(x)∈C 2 [a，b]，I(f)= ,h=(b-a)／n，x k =a+kh，k=0，1，…，n；=X k +h／2，k=0，1，…，n-1. 1)写出计算积分I(f)的一点Gauss公式G(f)以及对应的复化求积公式G n (f); 2)设Tn (f)是计算积分I(f)的复化梯形公式，求参数α，使得（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：1)求∫ -11 g(t)dt的一点Gauss公式为2g(0)，则所以2)复化梯形公式为所以)解析：14.给定常微分方程初值问题n，记h=(b—a)／n，x i =a+ih，i=0，1，2，…，n．给定求初值问题(B)的多步方法： y i+1 =--4y i +5y i-1 +h[β1 f(x 1，y 1 )+β2 f(x i+1，y i+1 )]． (C) 1)试确定公式(C)中的参数β1，β2，使求解公式具有尽可能高的阶数，写出局部截断误差表达式并指出最高阶数； 2)利用Euler公式和公式(C)构造一个预测-校正公式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)多步公式(C)的局部截断误差为R i+1=y(x i+1)+4y(x i)-5y(x i-1)-h[β1f(x i，y(x i ))+β2 f(x i+1，y(x i+1 ))]=y(x i+1 )+4y(x i )-5y(x i-1 )-hβ )解析：15.给定初边值问题其中ψ(x)，α(t)，β(t)是光滑函数，且满足相容性条件．取正整数M，N，记h=(b—a)／M，τ=T／N，x i=a+ih(0≤i≤M)，t k =kτ(0≤k≤N)． 1)写出求上述定解问题的古典隐格式；2)设f(x，t)≡0，α(t)=β(t)≡0，{u i k｜0≤i≤M，0≤k≤N}是古典隐格式的解，记r=τ／h 2，,k=0，1，…，N.证明：对任意步长比r，有‖u k‖ ∞≤‖u 0‖ ∞,k=1,2,…,N（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)古典隐格式为2)当f(x,t)≡0．α(t)=β(t)≡0时，上述古典隐格式可写为由此可得对任意1≤i≤M-1，1≤k≤N有 (1+2r)｜u i k｜≤r(｜u i+1k｜+｜u i-1k｜)+｜u ik-1｜≤2r‖u k‖∞+‖u k-1‖∞)解析：。

2008级研究生数值分析试题A卷答案

12008级研究生数值分析试题A 卷答案一、单选题（3*5=10分）1、A ；2、B ；3、C ；4、B ；5、C 二、填空题（3*5=10分）1、2124x -；2、100300115/31100200125/321002/3001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3、0<w<2；4、2阶，1阶；5、10.123三、（10分）解：设010,1x x == ，由2点3次Hermite 插值公式可得，1333()[()()()()]j j j j j H x H x x H x x αβ='=+∑=22100(12)()(1)()101010x x x x ----+---- 8分 =232x x - 2分四、（10分）解：{1,}spanx φ=，()f x Cosx =，设所求最佳平方逼近为：*101()P x a a x =+则法方程为：00001101001111(,)(,)(,)(,)(,)(,)a a f a a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+=⎧⎨+=⎩ 即201230112828242a a a a πππππ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ 8分01011.5708 1.233711.2337 1.29190.5708a a a a +=⎧⎨+=⎩解得： 8分 011.1585,0.6644a a ==-于是，*1() 1.15850.6644P x x =- 2分五、（10分）解：1()1k k A x dx n π-==+⎰，取n=2,0123A A A π===5分令33()430T x x x =-=，则高斯点0120,22x x x =-==于是1[((0)3f f f π-≈++⎰5分六、（10分）解：设A=111213212223313233100100100u u u l u u ll u ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=100123010050111002⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5分2由Ly=b,求y={1,0,-2},由Ux=y 求x={4,0,-1} 5分七、解答下列各题（3*10=30分） 1、解：Jacobi 迭代计算格式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()312111;5510111;51020121);333k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩101/51/5()1/501/101/32/30J B D L U -⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 5分 113/15J B =，于是，1()1J G B ρ<<，即迭代收敛。

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河北科技大学硕士学位研究生
2008——2009学年第一学期
《数值分析》课程期末考试试卷(A)参考答案
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、设2()35,,0,1,2,,0.5k f x x x kh k h =+===,则12[,,]n n n f x x x ++= 3 ,
123[,,,]n n n n f x x x x +++= 0
2、区间[,]a b 上的三次样条插值多项式()s x 在[,]a b 上具有直到二阶连续导
数，在内（中间）插值节点处应满足条件:(0)(0),i i S x S x -=+
''""(0)(0),(0)(0)i i i i S x S x S x S x -=+-=+
3、设{}0()k k q x ∞
=是区间[0,1]上权函数为()x x ρ=的最高项系数为1的正交多项
式族，0()1q x =，则1
0()k xq x dx =⎰1,02,0,0
k k ⎧=⎪⎨≠⎪⎩2
()q x =2
63510x x -+ 4、解非线性方程()0f x =的Newton 迭代法，在单根附近具有至少二阶收敛速
度，在重根附近具有至多一阶收敛速度。

5、设⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--==1327,)2,1(A X T
,则=∞)(A Cond 90 ,=1AX 16 二、选择题（每小题3分，共15分）
1.设a=0.310和b=1.51分别是x 和y 的近似值,并且都有三位有效数字,如果用
~
u =b e a 2作为y e x u 2=的近似值,则~
u 能有多少位有效数字?( C )
a. 没有
b. 一位
c. 二位
d. 三位 2. 对任取的0[0.4,1.2],x ∈下列迭代公式中（其中0,1,2,k =）哪一个总能收敛
于方程(1)tan 1x x +=在区间[0.4,1.2]内的根S? ( a )
a. 11
arctan
1
k k x x +=+ ； b. 12cot 1k k k x x x +=-+ c. 1(1)tan 1k k k k x x x x +=++-； d. 1cot 1k k x x +=- 3.设矩阵A 、B n n R ⨯∈都非奇异，则有下列性质：（ a ）
a. cond(AB)≤cond(A)·cond(B)；
b. cond(AB)=cond(A)·cond(B)；
c. cond(AB)≤cond(A)+cond(B)；
d. cond(AB)≥cond(A)·cond(B)。

4. 在下列求解初值问题'00(,),()y f x y a x b y x y ⎧=≤≤⎨=⎩
的数值解法中，哪一个与这里的
微分方程相容？（ b ）
a. 1[2(,)],0,1,2,1n n n n n n y y h f f x h y hf n M +=++++=- ,
b. 12(,)],0,1,2,1n n n n n y y hf x h y hf n M +=+++=- ,
c. 112(),2,3,
1n n n n y y h f f n M ++-=+-=-
d. 32132(),0,1,2,3n n n n n y y y h f f n M ++++=-+-=-
5. 设0
()()n
j j
j y x c x ϕ
*
*
==
∑是函数族0
()()n
j j j y x c x ϕ==∑中按最小二乘法确定的对于
数据(,)(0,1,2,)i i x y i m =的拟合函数，
则当m n =时，必有以下结论 ( c ) a.
2
[()]
0m
i
i
i y x y *
=-=∑, b. (),0,1,2
,j j x x j n ϕ==
c. 200
(
())
(),0,1,2,,m
m
j
i j i j i i i c y x x j n ϕϕ*====∑∑， d. 0{()}n
j j x ϕ=是区间0[,]m x x 上的正交函数系。

三、解答题（每小题7分，共14分）
1、试确定方程组⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1011010201321x x x a a 中a 的范围,使解该方程组的Jacobi 迭代
法收敛。

答：a <
2、将矩阵122013410277121114A -⎡⎤⎢⎥--⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦
分解成LU 形式，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，并给出detA 的值。

解、100
0122
01
1000121,021000351
031000
1L U -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦
，detA=-3 四、解答题（每小题10分，共20分）
1、设32
01219
(),,1,44
f x x x x x ==
==，试求()f x 在19[,]44上的三次Hermite 插
值多项式()H x ，使满足()(),0,1,2,j j H x f x j ==''11()()H x f x =；并写出余项()R x 的表达式。

解、1）、32142632331
()22545045025
H x x x x =-
++- 2）、52
291919
()()(1)(),()(,)1644
44
Rx x x x x ξξξ-=---=∈
2
、求函数()f x =在区间[0，2]上的三次最佳平方逼近多项式()p x 。

解、令1,[0,2][1,1],()()t x x t f x t ϕ=-∈∈-=则当时可得 333
3() 1.153846153863 1.9780219788033() 1.153846153863(1) 1.9780219788033(1)
p t t t
p x x x =-+=--+-所以
五、解答题（10分）
试确定常数,,A B C 和α，使数值积分公式
2
2
()()(0)()f x dx Af Bf Cf αα-≈-++⎰
有尽可能高的代数精度。

试问所得的积分公式代数精度是多少？是否为Gauss 型的？
解、1016,,99
A C
B α====；该求积公式具有5次代数精度；它是Gauss 型的。

六、解答题（10分）
用改进Euler 法求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧
≤≤=-=5
.11,5.0)1(112
/x y y x
y x y ；有根据的说明该方法是几阶方法；并给出绝对稳定区间。

解、5(1.5)0.600078y y ≈=；二阶方法；[2,0]- 七、解答题（11分）
设有解方程1232cos 0x x -+=的简单迭代法12
cos 4,0,1,2,3
k k x x k +=
+=…， ()s x *为原方程的根。

试解: (1).证明0x R ∀∈均有lim ()k k x s x *→∞
=；
(2).取04x =为初值用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过310-； (3).此迭代法的收敛阶是多少？并说明理由。

解、（1）213L =<；（2）() 3.347s x *
≈；(3)1()2sin ()0()3
n n n x s x s x x s x **+*→∞
-→-≠-, 所以是线性收敛。