矩阵习题 (1,2,3,4,5章)
离散数学（1-4-5章）自测题
离散数学（1-4-5章）自测题《离散数学1-4-5章》练习题第1章集合1、在0（）Φ之间写上正确的符号。
(1) = (2) ?(3) ∈(4) ?2、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（）。
3、设P={x|(x+1)2≤4且x∈R},Q={x|5≤x2+16且x∈R},则下列命题哪个正确（） (1) Q?P (2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q4、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？( )(1) A=Ф (2) B=Ф(3) A?B (4) B?A5、判断下列命题哪几个为正确？( )(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}}(4) Ф?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}}6、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：a、A? (B－C)＝(A?B)－(A?C)b、(A－B)?(A－C)=A－(B?C)第4章关系1、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R 和R-1的集合表示和关系矩阵表示。
2、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)R R (2) R-1。
3、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R= {( )}。
4、设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质：5、R是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系，R=I{<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,6>,<6,3>}A求R诱导的划分。
6．画出下列集合关于整除关系的哈斯图.(1){1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.(2){1,2,…..,9}.并指出它的极小元，最小元，极大元，最大元。
线性代数答案第四版(高等教育出版社)
−ab ac ae (3) bd −cd de ;
bf cf −ef
a 1 00 (4) −1 b 1 0 .
0 −1 c 1 0 0 −1 d
解: (1)
4 124
1 202
1202
1 2 0 2 ==r1=↔=r=2= − 4 1 2 4 ==r=2−=4=r=1= − 0 −7 2 −4
10 5 2 0
(2) ay + bz az + bx ax + by = (a3 + b3) y z x ;
az + bx ax + by ay + bz
zxy
4
第一章 行列式
证明: ax + by ay + bz az + bx
x ay + bz az + bx
y ay + bz az + bx
ay + bz az + bx ax + by ==按=第==1=列== a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
xyz
yzx
=再==次=a3 y z x + b3 z x y
裂开
zxy
xyz
xyz
xyz
xyz
=a3 y z x + b3(−1)2 y z x = (a3 + b3) y z x .
zxyzxyzxy源自此题有一个 “经典” 的解法:
ax + by ay + bz az + bx
ax ay az
by bz bx
ay + bz az + bx ax + by = ay az ax + bz bx by
线性代数练习题-矩阵
线性代数练习题——矩阵一、 填空题1、 设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1032A ，则1−A = 2、设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3−=B ，则=−12AB 3、 设A 为3阶方阵，且5=A ，则=−13A4、 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。
6、 已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。
7、 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。
二、 单项选择题1． 关于矩阵下列说法正确的是（ ）（A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆（C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆 （D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆2． 设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ ）（A ）||||||||A B B A ⋅=⋅（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)(3． 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+221211111λ的秩为2，则=λ（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34． 设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（ ）矩阵（A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m ×（D ）m m ×与n n × 5． 设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（ ）也为n 阶对称矩阵（A ）1)(−AB （B ）11−−B A （C ）AB （D ）B A −6． 初等矩阵（ ）（A ）相乘仍为初等矩阵 （B ）都可逆 （C ）相加仍为初等矩阵 （D ）以上都不对7． 已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛10113121A ，则=A （ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0113 （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1301 （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3110 （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1031 8． 设A ，B 为n 阶矩阵，且0=AB ，则必有（ ）（A ）0=A 或0=B （B ）0=+B A（C ）0=A 或0=B（D ）A +0=B 9． 若A ,B 均为n 阶非零矩阵,且22))((B A B A B A −=−+则必有（ ）（A ）BA AB = （B ）E A = （C ）E B = （D ）A ,B 为对称矩阵10． 已知B 为可逆阵，则11[()]T B −−=（ ） （A ）B（B ）T B （C ）1−B （D ）TB )(1− 三、 计算题 1、⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=520012121A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=413212B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=401223C 求C AB T −； 2、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=412711310A 求1−A ；3、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101020101A ，E 为三阶单位矩阵，满足B A E AB +=+2，求矩阵B ；4、设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵； 5、设A 为3阶方阵，31=A ，求行列式1*)2(3−−A A 的值，其中*A 为A 的伴随矩阵； 6、已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩是3，求a 的值。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ， 则 Gij 是 反 对 称 矩 阵 ， 易 证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ， 则 Fij 是对称矩阵， 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n ， 其 中 aij = a ji ， 有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +
矩阵论(方保镕、周继东、李医民)习题1-3章
6. 解：（1）设 A 的实系数多项式 f A的全体为
f A a0 I a1 A am Am ai R, m正整数
1
显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间. （2）与（3）也都是线性空间.
(ai bi ) ai bi 2
i1
i1
i1
于是可知 L，因此 L 不是 V 的子空间.
18.
解：
Span(
' 1
,
' 2
,
' 3
)
的基为
1'
,
' 2
,
' 3
的一个最大无关组，
' 1
,
' 2
,
' 3
在基1
,
2
,
3
下的坐标依次为
(1, -2, 3) T , (2 , 3 , 2) T , (4, 13, 0 ) T
故 C =(1 , 2 , 3 , 4 ) 1 ( 1 , 2 , 3 , 4 )
1 0 0 0 1 2 0 5 6
= 0100
0010
1 336 1 1 2 1
0001
1 013
2 056 1 336
= 1 1 2 1 .
1 013
⑵ 显然，向量α在基1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为 X =(1 ,2 ,3,4 ) T ,
7
（2）取
A
1 0
0 0
，B
矩阵运算练习题及
矩阵运算练习题及解答矩阵运算练习题及解答矩阵运算是线性代数中的重要内容之一，它在各个领域都有广泛的应用。
通过对矩阵的加法、乘法等基本运算进行练习，可以帮助我们更好地理解和掌握矩阵运算的相关概念和性质。
本文将为大家提供一些矩阵运算的练习题及其详细解答，以便读者巩固相关知识。
1. 矩阵加法设矩阵A、B分别为：A = [2 3 -1]，B = [1 4 2]求矩阵A和B的和。
解答：两个矩阵的和等于对应元素相加。
根据题目给出的矩阵A和B，可以直接进行相加。
A +B = [2+1 3+4 -1+2] = [3 7 1]因此，矩阵A和B的和为[3 7 1]。
2. 矩阵乘法设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4 5 6]求矩阵A和B的乘积。
解答：两个矩阵相乘的结果可通过将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行对应元素相乘并相加得到。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的乘积为[32]。
3. 转置矩阵设矩阵A为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]求矩阵A的转置。
解答：转置矩阵是将原矩阵的行变为列，并将列变为行得到的新矩阵。
根据题目给出的矩阵A，可以进行转置操作。
A的转置记为AT，且AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i 列元素。
A的转置为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]因此，矩阵A的转置为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]4. 矩阵的数量积设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4; 5; 6]求矩阵A和B的数量积。
解答：矩阵的数量积等于矩阵A的行向量与矩阵B的列向量的数量积，即矩阵A与矩阵B的乘积。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的数量积为[32]。
5. 矩阵的逆设矩阵A为：A = [1 2; 3 4]求矩阵A的逆。
线性代数第4,5章综合练习题和答案
第4，5章 综合练习题 一、填空题1.已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，100B 01000a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦且A 与B 相似，则_______________a =.2.设可逆阵A 的一个特征值是2，且-4detA =,则A 的伴随阵*A 的一个特征值为__________.3．设A 与B 相似，B 与112⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦相似，则A 的特征值是_______.4．已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦有二重特征值1，则A 的另一个特征值是______.5．二元二次型()112122x 13f (x ,x )x x 52x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的矩阵是_______. 6．若矩阵A 的一个特征值为0，则A =7. 二次型()2221231231223,,3524f x x x x x x x x x x =++++的矩阵A =8．设A 为3阶矩阵，其特征值分别为1,2,-1，则A = , 2A 的特征值是__________，1A -的特征值分别为 , *A 的特征值分别为 ,.9．已知矩阵20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭相似，则x = ， y =10. 已知三阶矩阵11020421A x -⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭的特征值为1、2、3，则x =11. 设向量组：(),0,1,11T=α ()T 1,0,12=α ，则与21,αα 等价的正交向量组为___________.12. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020001A 的特征值为：_______, 2A 的特征值为：_______.13. 用配方法把二次型32312123222162252x x x x x x x x x +++++化成标准形为 .二、单项选择题1. 设12,αα都是n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则( ) (A) 02T 1=αα; (B) 12T 1=αα ; (C) 线性相关与21αα ;(D) 线性无关与21αα2. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(A) (A)(B)r r =； (B)A 与B 和同一个对角矩阵相似； (C) B E A E -=-λλ； (D) A 与B 的特征向量相同. 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，与A 有相同特征值的是( ) (A) -1A ; (B) TA ; (C) *A ; (D) 2A . 4.以下四个矩阵，正定的是( )(A) 1-10-120003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(B)120210002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(C)120240001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (D)200012023⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.5.A 与B 都是n 阶矩阵，且都可逆，则( )(A) 必存在可逆n 阶矩阵P ，使B AP P =-1; (B) 必存在可逆n 阶矩阵C ，使TC AC B =; (C) 必存在可逆n 阶矩阵P 与Q ，使B PAQ =; (D) A 与B 都与同一个对角矩阵相似.6. 设4-52A 5-736-94⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则A 的属于特征值00λ=的特征向量是( )(A) T )2,1,1(1=α ; (B) T )3,2,1(2=α ;(C) T)1,0,1(3=α ; (D) T )1,1,1(4=α .7． 二次型2123222132162-6-2)x ,x ,x (f x x x x x +-=是( ) (A)正定的; (B)负定的; (C) 半正定的; (D) 半负定的.8． 设001A 010100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,则以下四个向量中是A 的特征向量者是( )(A) T )1,0,1(； (B) T )1,1,1(-； (C) T )2,0,0( ； (D) T)2,1,0(.9. 设A 为n 阶实对称阵，B 为n 阶可逆阵，Q 为n 阶正交阵，则矩阵 ( )与A 有相同的特征值（A ）1T-B Q AQB ； (B) ()11TT --BQ AQB ； （C ）T T B Q AQB ； (D) T T BQ AQB10. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 都不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征值 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵A E λ-与B E λ-相等 11. 设A 是三阶矩阵,10λ=,21λ=,31λ=-是A 的三个特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，则使得1100000001P AP --⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭成立的P 是（ ）（A ）（123,,ααα） （B）（132,,ααα） （C）（321,,ααα） （D）（312,,ααα） 12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则（ ）（A）存在非奇异矩阵P ，使1P AP B -= （B）存在对角矩阵D ，使A 与B 都相似与D （C）0AB = （D）E A E B λλ-=-13．如果（ ），则矩阵A 与B 相似（A）A B = (B)()()r A r B = （C）A 与B 有相同的特征多项式 （D）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同 14．A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（ ）（A）0A > (B)存在n 阶矩阵C ，使TA C C = （C）负惯性指数为零 （D）各阶顺序主子式均为正数 15. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论不成立的为（ ）A. A B =B. ()()r A r B =C. A 与B 有相同的特征值D. A B = 16. 若A 为设n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ）A. A 的任n 个特征向量线性无关B. A 的属于不同特征值的特征向量线性无关C. A 的属于不同特征值的特征向量正交D. A 的任n 个特征向量线性相关17. 若n 阶方阵A 与B 的特征值完全相同，且A 与B 都有n 个线性无关的特征向量，则（ ）A. A B =B. A B ≠ 但0A B -=C. A 相似于BD. A 与B 不一定相似，但A B =18．设矩阵a b A b a -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中0a b >>，221a b +=，则A 为（ ） A. 正定矩阵 B. 初等矩阵 C. 正交矩阵 D. 以上都不对 19. 下列各矩阵中，不是正交矩阵的为（ ）（A）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（B）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（C ）1001⎛⎫ ⎪⎝⎭；（D）11222⎛⎫⎪-⎝⎭ 20. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 同时可逆或不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征向量 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵E A λ-与E B λ-相等21. 设三阶方阵A 的特征值分别为 -1，0，2.则下列结论正确的是（ ）。
矩阵论复习题综合
1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)( j i j T -=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++ 12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++ 1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵.10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基. 11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=1)()())(),((dx x g x f x g x f若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.（1） 设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ⋅-+=-12.（2） 求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和. (提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。
线性代数第五章练习题
第五章练习题一、 填空题1. 设A 是n 阶矩阵，0A a =≠，*A 是A 的伴随矩阵，E 是n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值 .2. 设A 是3阶矩阵，它的特征值为2，-2，1，则224A A E +-的特征值为 ， 224A A E +-= . 3. 设 10102001,100,010*******A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，与A 相似的矩阵是 . 4. 设A ，B 都是3阶矩阵，满足E B AB +=，且A 的特征值为2，3，0，则B 的特征值是 .5. 设A 是3阶矩阵, 且||A =0, 111,A =222A =, 334A =-, 则*A 的特征值是*1λ= , *2λ= , *3λ= . 6. 设A 是元素全为2的n 阶矩阵, 则A 的特征值是 .二、计算与证明题1. 已知三阶矩阵231303132A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵，并写出此对角矩阵.2. 设A 为4阶实对称矩阵，()2r A =， 特征值122λλ==是A 的2重特征值，123(1,1,0,0),(1,1,2,0),(2,2,2,0)T T Tααα===-是A 的属于特征值122λλ==的特征向量.(1) 求矩阵A 的另外两个特征值和特征向量；(2) 求矩阵A .3. 设3阶实对称矩阵100032023A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(1) 求矩阵A 的特征值和特征向量；(2) 求正交矩阵Q ，使得1Q AQ -=Λ（其中Λ是对角矩阵），并写出对角矩阵Λ；(3) 多项式87()21G x x x =-+，求矩阵()G A .4. 设A 是3阶实对称矩阵, 它的特征值是1, -1, -1, 且属于特征值1的特征向量是(1,0,1)T β=-1) 求属于特征值-1的所有特征向量;2) 求矩阵A ;3) 求10A .5. 设(1,2,3)T α=，11(1,,)23β=，A αβ=，求A 的特征值和特征向量.6. 设A 是3阶实对称矩阵，特征值1232,6λλλ===，属于特征值122λλ==的特征向量为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα=-=-=-，求1）属于特征值36λ=的特征向量；2）矩阵A.7. 设,A B 都是3阶实可逆矩阵, A 的特征值是123111,,,λλλ 这里123,,λλλ是互不相同的正数, 若B 的特征值是-5, 1, 7, 12()6B A A -=-, 求123,,λλλ, 并写出与1,,A A B -相似的对角矩阵.8. 设A 是3阶实对称矩阵且38A E =，求232A A E +-的值.9. 设A 是3阶实对称矩阵，特征值是2，2，3，属于特征值3的特征向量是1(1,1,1)T α=，求矩阵A .10. 证明：若n 阶矩阵A 满足22E A A =+，则A 与对角矩阵相似.11. 证明： 设A 为n 阶矩阵，则2A E =的充要条件是()()r A E r A E n ++-=.12. 设矩阵A 与对角矩阵100020004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, ()(2)(4)B A E A E A E =---, 求证 0B =. 13. 设矩阵1()T T A E X X X X -=-，其中E 是n 阶单位矩阵，X 是n m ⨯实矩阵，且()()r X m m n =≤，求证存在正交矩阵Q ，使得10n m m E Q AQ --⎛⎫= ⎪⎝⎭，这里n m E -是n m -阶单位矩阵，0m 是m 阶零矩阵. 14. A 是n 阶矩阵且32A E =， 若222B A A E =-+，试证明：B 可逆，并求出1B -.。
线性代数练习题（矩阵）
线性代数练习题（矩阵）线性代数练习题（矩阵）A一、填空题 1、1330,,2112A B AB BA ==-=-2、()312321?? ?= ? ?3、431712325701-= ??? ???????4、13121400121134131402??-?? ?= ? ?--??-??5、2546,1321X X -==6、已知221()53,33f x x x A -??=-+= ?-??，则()f A =二、选择题1、21234-??=（）1451010039161510A B C D --???? ? ?????2、000000na b c ??= ? ???（）000000()0000000000n nn n a A B abc C D b c ??3、矩阵1132-??的标准型是（）1110011101A B C D ???? ? ?????4、矩阵023*********-?? ?- ? ?--??的最简型矩阵是（）0105010000130 01300000001100011000010000000000000A B C D5、矩阵1234124511012??- ? ???的秩是（）1243A B C D6、,A B 均为n 阶方阵，且22()()A B A B A B +-=-，则必有（）A AB B A EC AB BAD BE ====7、设,A B 均为n 阶方阵，且AB O =，则必有（）000A AB B A B OC A O B OD A B ==+===+=或或8、,A B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充要条件是（）0A A B B C AB D AB BA ≠=可逆可逆9、11,,,A B A B A B --++均为n 阶可逆矩阵，则111()A B ---+=（）1111()()A A B B A B C A A B B D A B ----++++线性代数练习题（矩阵）B一、填空题1、设A 是m n ?阶矩阵，B 是s m ?阶矩阵，则TTA B 是阶矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n nT V A A RA A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
4.设111213315A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，讨论向量(2,3,4)T α=是否在R (A )中。
5.讨论线性空间P 4[x ]中向量3211P x x x =+++，32223Px x x =-+，323452P x x x =+++的线性相关性。
6.设m nA R ⨯∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。
7.设113021211152A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。
8.在22R⨯中，已知两组基11000E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20100E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，30010E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，40001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭10111G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31101G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41110G ⎛⎫= ⎪⎝⎭求基{E i }到基{G i }的过渡矩阵，并求矩阵0123⎛⎫⎪-⎝⎭在基{G i }下的坐标X 。
9.判别下列集合是否构成子空间。
（1）2221{(,,)|1,,,}W x y z x y z x y z R α==++≤∈； （2）22{|,}n nW A A I A R⨯==∈；（3）3R 中，231231230{(,,)|(}0}tW x x x x x x d ατττ==++=⎰；（4）411{()|0}m nij m n iji j W A a a⨯=====∑∑。
10.设1(1,2,1,0)Tα=，2(1,1,1,1)Tα=-，1(2,1,0,1)Tβ=-，2(1,1,3,7)Tβ=-，112{,}W span αα=，212{,}W span ββ=，求12W W ⋂和12W W +。
11.在矩阵空间22R ⨯中，子空间121123434{|0}xx V A x x x x x x ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭，212{,}V L B B =，其中11023B ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 20201B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求（1）V 1的基和维数；（2）12V V +和12V V ⋂的维数。
12.设1W 和2W 为n V 的子空间，1121{(,,,)|0}nTn ii W x x x xα====∑ ，21212{(,,,)|}T n n W x x x x x x α===== ，证明12n V W W =⊕。
13.nR 中，12(,,,)Tn αααα= ，12(,,,)Tn ββββ= ，判别下面定义的实数(,)αβ是否为内积。
（1）1(,)niii αβαβ==∑；（2）1(,)niii i αβαβ==∑；（3）(,)T A αβαβ=，其中A 为正定矩阵。
13.设125{,,,}εεε 是V 5的标准正交基，又115αεε=+，2134αεεε=-+，31232αεεε=++，求123{,,}W L ααα=的标准正交基。
14.在欧氏空间R 4中，求子空间{(1,1,1,1),(1,1,1,1)}T T W L =---的正交补子空间W ⊥。
15.判断下列变换哪些是线性变换 （1）R 2中，21212(,)(1,)T TT x x x x =+；（2）R 3中，12312123(,,)(,,2)TTT x x x x x x x x =+-；（3）n n R ⨯中，A 为给定n 阶方阵，n n X R ⨯∀∈，()T X AX A =+； （4）22R ⨯中，()T A A *=，A *为A 的伴随矩阵。
16.设R 3中，线性变换T 为：i i T αβ=，i =1,2,3，其中1(1,0,1)Tα=-，2(2,1,1)Tα=，3(1,1,1)T α=，1(0,1,1)T β=，2(1,1,0)T β=-，3(1,2,1)T β=，求（1）T 在基123{,,}ααα下的矩阵； （2）T 在标准正交基下的矩阵。
17.设线性变换43R R →，有123412341241234(,,,)(,2,3)T T T x x x x x x x x x x x x x x x =-+++-++-，求N (T )和R (T )。
18.在欧氏空间R n 中，设有两组基12,,,n ααα 与12,,,n βββ ，满足关系式1212(,,,)(,,,)n n P βββααα= ，n n P R ⨯∈证明：（1）若12,,,n ααα 与12,,,n βββ 都是标准正交基，则P 是正交阵；（2）若12,,,n ααα 是标准正交组，P 是正交阵，则12,,,n βββ 是标准正交组。
习题二1.设A 、B 为n 阶方阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，证明 （1）tr(AB )=tr(BA )； （2）1()nki i tr A λ==∑；（3）若1P AP B -=，则1()()ni i tr A tr B λ===∑。
2.设n 阶方阵()ij n n A a ⨯=，且11nijj a=<∑，i =1,2,…,n ，证明A 的每一个特征值λ的绝对值1λ<。
3.设三阶方阵1114335A x y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的二重特征值2λ=对应有两个线性无关特征向量，（1）求x 与y ；（2）求P ，使1P AP -=Λ。
4.设1a 与2a 是n n A ⨯的两个不同特征值，且有 12()()r a I A r a I A n -+-= 证明矩阵A 可对角化。
5.设3R 中，3123(,,)Tx x x R α=∈，线性变换T123123123123(,,)(22,22,22)T T T x x x x x x x x x x x x =++++++求一组基，使T 在此基下的矩阵为对角阵，并求出此对角阵。
6.求可逆矩阵P 及J ，使1P AP J -=，其中211212112A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭7.设22{,,,}x x x x W L e xe x e e =为函数向量22,,,x x x x e xe x e e 生成的4维空间，T 为导数变换， （1）求T 在基22,,,x x x x e xe x e e 下的矩阵； （2）找一组基，使T 在此基下为Jordan 标准形。
8.在多项式空间[]n P x 中，T 为是[]n P x 的一个导数变换，证明T 在任一基下的矩阵不可对角化。
9.设211212112A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求100A 。
10.设A 为n 阶方阵，证明：（1）若20A A I --=，则A 可对角化；（2）若k A I =，k 为大于1的整整数，则A 可对角化。
习题三1.设212446678A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）求A 的LDV 分解； （2）设(102)T b =，用LDV 分解求解方程组AX =b 。
2.求下列矩阵的满秩分解001(1)211,20i i i ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1230(2)02111021⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3.设m nA C⨯∈，A 的分块为X Y A Z W ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中r rX C ⨯∈，()()rank A rank X r ==，1W ZX Y -=，证明A 有如下形式的满秩分解1()r X A I X Y Z -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1()r I A X Y ZX -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4.阵133353664A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的谱分解。
5.明反对称矩阵()n nT A R A A ⨯∈=-和反Hermite 矩阵()n n H B C B B ⨯∈=-的特征值为0和纯虚数。
6.A 与B 为正规矩阵，证明A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。
7.设m nA C⨯∈（1）证明H A A 与H AA 的非零特征值相同；（2）设HA A 的非零特征值12,,,r λλλ 对应的正交特征向量为12,,,r ααα ，则HAA 的特征值12,,,r λλλ 对应的特征向量为12,,,r A A A ααα 且它们也是正交向量组。
8.求下列矩阵的奇异值分解10(1)0111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭00000(2)100001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭9.证明一个正规矩阵若是三角阵，则一定是对角阵。
10.设n nA C ⨯∈的奇异值是12,,,n σσσ ，证明1det()nii A σ==∏。
习题四1.1023510224i A i i i -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪-⎝⎭，120i -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭x ，1i =-计算：112,,,,A A A A A ∞∞x x x 。
2.设12,,,n a a a 均为正实数，向量()12Tn n x x x R ∈ x =，证明由1221ni i i a x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑x 定义的非负实数是R n 空间的一个向量范数。
3.判别下列定义的实函数是否为m nC ⨯的矩阵范数。
（1）设()m nij A a C ⨯=∈，定义实函数值,max ij i jA a =；（2）设()m nij A a C ⨯=∈，定义实函数值,ij i jA a =。
4.设pA是由向量px诱导的矩阵范数，A 可逆，证明（1）11ppAA -≥（2）11minpx ppAx xA-≠=5.证明（1）酉矩阵U 的谱范数等于1； （2）设n nA C ⨯∈，U ，V 为n 阶酉矩阵，则2222U A A V U A V A ===。
6.设111210131005A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求lim k k A →∞。
7.已知100210131003A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1）求证11k k kA∞-=∑收敛；（2）求11k k kA∞-=∑的收敛和。
8. 126103114A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求A e ，Ate ，sin A 。
9.已知A 2=A ，求sin A 。
10.求解微分方程组()23110()201()0112(0)111t T X t X t e X ⎧-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-+⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎪=⎩习题五1.设120001122A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A +2.证明非齐次线性方程组AX b =有解的充分必要条件是AA b b +=。