阅读2.1 《数学阅读与欣赏》

第二章数学史料阅读与欣赏
2.1中国数学史简介
2.1.1中国古代数学的起源和形成
１．数学的萌芽：
早在远古时代，人们通过生产和生活的实践活动，逐渐积累了大量关于事物数量和物体形状的知识，形成了数与形的概念．传说“上古结绳而治”，用绳结表示事物数量的多少，这是文字产生以前的原始记数方法．解放前，我国有些兄弟民族仍然用结绳记事，还有的兄弟民族只能数到“3”或“10”，而把3或10以上的数统称为“多”，这种情况反映了人们对于数从分辨有无多少、略知一、二，然后逐渐脱离事物的具体性，抽象出纯粹的数目概念的认识过程．从河套人的骨器到仰韶文化的彩陶，大量的器物上绘有直线、三角、圆、方、菱形、五边形、六边形、各种对称图形以及一些相当复杂的几何图案．在西安半坡遗址，发现有圆形和正方形房屋基地，因此，当时必然存在某种确定方圆的简单方法．这些都反映了我国远古人们一定程度的抽象形体概念．
２．文字记数法、规和矩：
在仰韶文化及年代稍晚的马家窑文化等遗址中出土的彩陶钵上，有50多种刻化符号．其中如|、|| 、||| 、||||、×、+ 等，很可能是我国最早的记数符号．文字产生后，相应地出现了十进制的文字记数法．甲骨文记录的最大数字是三万，在西周铜器铭文中，个别记数文字虽然有变化，但整个记数系统仍然采用十进制，汉代以后，记数文字已经与现代基本一致了．“规矩”是现在常用的词汇．古代的“规”相当于圆规，“矩”类似木工用的曲尺．规和矩是我国早已发明的简单的绘图工具和测量仪器．古书记载夏禹治水时“左准绳、右规矩”，反映了规、矩、准、绳作为测量和绘图工具在兴修水利时受到的重视程度．山东嘉祥东汉武梁祠等处的汉代画象砖，绘有伏羲执矩、女娲执规的图象，从中可以看出古代规和矩的基本式样．甲骨文中已有“规”这个字，是一只手执规画圆的样子，矩可以作直线和直角．在测量方面，矩的用法是“平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远”．这就是说，利用矩的摆法，根据直角三角形对应边成比例的关系，可以确定水平和铅直方向，测量远处物体的高度、深度和距离．
３．算筹和筹算，十进位值制记数法：
算筹是一种特制的小竹棍，也有用木、骨、铁等材料制做的，是古代曾长期使用的计算工具．《前汉书·律历志》记载：“其算法用竹，径一分，长六寸”．《隋书·律历志》则说：“其算用竹，广二分，长三寸”．这说明算筹随着时代不同在变短变小，这样使用起来更加方便．
用算筹进行计算，叫做“筹算”．算筹和筹算究竟何时起源，现在还无法肯定．甲骨文中的有些记数文字类似于算筹的摆法，西周时数学是贵族子弟必修的课目之一，而在春秋早期，“九九”歌诀已成为很普通的常识，根据这些情况来看，算筹记数和简单的四则运算，很可能在西周或更早的时期就已经产生了．十位制记数法、算筹和筹算是中国古代极其出色的创造．一直到15世纪元朝末年珠算法逐渐推广之前，筹算制度沿用了两千多年．中国古代数学正是在筹算的基础上取得了辉煌的成就．
４．数学思想的丰富和深化：
春秋战国时期，百家争鸣，学术繁荣．废井田制，“履亩而税”，需要丈量土地面积；建筑城堡，兴修水利，计算人工，需要知道体积和比例分配；制定历法，制造器具，需要认识部分与整体的关系，掌握分数概念．因此，数学获得了相应的发展．公元前六世纪，楚国令尹筑沂城，晋国土牟筑成周城，都测量了长城的长、宽、高，计算了城墙和沟洫的土石方量和所需的人工物料、劳动力往返里程及所需的粮食数量等，显然，这时已经有了关于简单体积和比例分配问题的算法．《考工记》是战国时期齐国人关于手工业技术规范的一部著作，其中记载有分数和角度的资料．
战国时期，各自为政，各地区的度量衡制彼此不同，并且也不都是十进制．后来到了秦始皇时期，才进行了统一度量衡的工作，并基本上采用了十进制的度量衡单位．在这一时期，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念．其中著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和几何命题，并且有简单的极限概念和其他各种数学命题，它是在大量感性认识的基础上总结和抽象出来的理性认识，是相当精彩和可贵的数学思想．然而可惜的是，墨家等学派这种建立定义和命题，重视抽象性和逻辑严密性的新思想和新尝试，没有得到很好的继承和发展．
５．《算术书》
随着数学知识的不断丰富和积累，对于零散的材料逐渐加以总结和系统化、理论化，于是陆续出现了数学方面的专书．《汉书·艺文字》记载有《杜忠算术》和《许商算术》，这是最早见于著录的数学专著．但这两部书都失传了．1984年1月，在湖北省江陵张家山出土了大批竹简，其中有数学著作《算术书》．《算术书》抄写于西汉初年（约公元前二世纪），成书时间应该更早，大约在战国时期．这是一部比较完整的，也是目前可以见到的中国最早的数学专著．全书采用问题集的形式，共有60多个小标题，90多个题目，包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等．其中有些内容（如“合分”“少广”等）与《九章》相近，有些内容（如“相乘”、“增减”等）是《九章》所没有的．
６．《周髀算经》
《周髀算经》是解释盖天说的天文学著作，大约成书于公元前一世纪，而其中很多内容可能要早得多．在数学方面，《周髀》记述了矩的用途、勾股定理及其在测量上的应用，其中也包含了相似直角三角形对应边成比例的定理．《周髀》开篇就以商高回答周公问题的形式提出“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”，这是勾股定理的一个特例．接着，又在陈子回答荣方的问题中提出“以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日（太阳到观测者的距离）”，这是勾股定理的普遍形式．椐研究，陈子可能是公元前七到六世纪的人．
在西方，把勾股定理的发现归功于公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯．在《周髀》中还提到“环矩以为圆，合矩以为方”，前一句话的意思是，固定直角三角形的斜边，那么它的直角顶点的轨迹是一个圆．这个命题也给出了直角的作图法．在西方，这个定理的最早发现者是公元前七世纪的古希腊数学家泰利斯，他是陈子同时代的人，但比商高要晚得多了．《周髀算经》中测量太阳高、远的陈子测量日法，是勾股测量术的发展，又是后来重差术的先驱．比起西方“测量之祖”泰利斯测量金字塔的成就是毫不逊色的．《周髀算经》中还
有开平方的问题、等差级数问题，以及应用于古“四分历”计算的相当复杂的分数运算．对于研究古代天文学史和数学史，《周髀算经》是重要的和较完整的宝贵文献．
７．《九章算术》
古代数学名著《九章算术》，同《周髀算经》一样，不是一人一时写成的．它经历了多次的整理、删补和修订，是几代人共同劳动的结晶．大约出书于东汉初年（公元一世纪）．《九章算术》采用问题集形式，列举了246个问题，并在若干具体问题之后，叙述这类问题的解题方法．全书分为以下九章：
第一章：《方圆》是关于土地面积的计算．包括有正方形、矩形、三角形、梯形、圆、环等面积公式，以及弓形面积和球冠表面积的近似公式．后两个公式比较简单，但误差很大．刘徽在《九章算术注》中曾提出用类似割圆术的方法推求弓形面积，但未能给出更好的结果．在这一章中还有分数的四则运算法则和约分、通分、求最大公约数等方法．在《九章》中，把最大公约数称为“等数”，求两个数的最大公约数要“以少减多，更相减损”，这种方法与欧几里德的辗转相除法是相同的，后来在解决一次同余组等问题上获得了更重要的应用．完整的分数运算法则，在印度迟至七世纪才出现，而欧洲则更晚．
第二章：《栗米》主要讲述各种粮食折算的问题．所用方法称为“今有术”，即在成比例的四个数中，从三个已知数求出第四个数的算法．在欧洲，这种算法称为“三率法”．关于比与比例的思想，古希腊就已经有了，但把比例和三率法联系起来却是迟至15世纪的事情．第三章：《衰分》讲的是按等级分配物资或按一定标准摊派税收的比例分配问题．在这一章中还有等差数列和等比数列问题，但都用比例的方法来解决．
第四章：《少广》讲的是已知正方形面积和正方体体积反求边长，即开平方和开立方的方法．其具体运算过程是世界上最早的关于开平方和开立方法则的记载．在运算中，要把算筹摆放几层，相当于用分离系数法列出与解出二次方程和三次方程，从而发展了位值制，并开辟了求解数字高次方程的途径．《少广》章中还有从已知球的体积求直径的问题，给出一个误差很大的球体积公式．刘徽和祖氏父子在此基础上深入研究，终于获得了正确的结果．第五章：《商功》讲的主要是各种立体体积的计算．这些问题大都来源于营筑城垣、开凿渠道、修建仓窖等工程实际．其中包括长方体、棱柱、棱台、圆柱、圆锥、圆台、楔形体等，都给出了正确的计算公式．缺点是圆周率取3，这个数字误差很大．根据刘徽对商功章的注解可以知道，这些公式是通过具体模型的分解和合并来证明的．中国古代的体积理论有很高的水平和不同于西方古代数学的独特的处理方法．
第六章：《均输》讲的是计算如何按人口多少、物价高低、路途远近等条件，合理摊派税收和民工等问题．包括下比、反比、复比例、连比例、等差级数等．
第七章：《盈不足》讲的是盈亏类问题的算法．同时也解决一些不属于盈亏类并且较为复杂的问题的巧妙方法．它是通过两次假设取值，然后根据公式求出未知数，其实质与现在求高次代数方程和超越方程近似解的线性插值法是相同的．在中世纪欧洲，这种方法叫做“双设法”或“契丹算法”，是欧洲符号代数学产生以前的一种主要代数方法．椐考证，古代阿拉伯语言里，“契丹”一般指的是中国．因此，不少人认为，中国的“盈不足术”经阿拉伯传入欧洲，从而在西方数学领域中起到了重要的作用．
第八章：《方程》讲的是一次联立方程（线性方程组）的问题．用算筹表示一次联立方。