新人教版九年级数学上册21.1《一元二次方程》ppt课件2
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人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
1） (x 3)(3x 4) (x 2)2
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念
人教版九年级上册21.1一元二次方程课件 (共21张PPT)
1 1 20 x2 x
（C）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；
（D）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；
（E）ax2＋bx＋c＝０
1
2.将下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数 项：
5x 1 4x；
2
一般式： 5x 2
2 4x
2
81 ；
1 5x2 1 4x
应有如下关系:
C
设雕像下部高xm,于是得方程
AC BC 2 2 AC 即 BC BC 2
2
x
B
x 2(2 x) 整理得 x2 2 x 4 0
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形 , 然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为 3600 平方厘米 , 那么铁皮各角应切 去多大的正方形? 分析:
50㎝
设切去的正方形的边长为 3600 xcm,则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽为 (50-2x)cm . x 100㎝ 根据方盒的底面积为 3600cm2,得 (100 2 x)(50 2 x) 3600 即
x2 75 x 350 0
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1)
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
人教版九年级数学上册 21.1 一元二次方程 课件(共37张PPt)
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项
系数、一次项系数和常数项：
方程 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即 x2 ＋2x－8 0＝0.
当堂训练
?
一元一次方程与一元二次 方程有什么联系与区别？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax+b=0 (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
1.本节学习的数学知识是： （1）一元二次方程的概念（2）一元二次方程的一般形式 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
3、如何理解一元二次方程的一般形式
ax2bxc0 (a≠0)？
（1）(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件
找一元二次方程的二次项、一次项
解：（1）设其边长为x，则面积为x2，由题意得
4x2=25
4x2250
（2）设长为x，则宽为（x－2），由题意得 x(x－2)=100.
x2－2x－100=0. （3）设其中的较短一段为x，则较长一段为（1－x），由 题意得
x·1 = (1－x) 2 x2－3x＋1=0.
(4)设较长的直角边为x ，则较短的直角边为x -2，由题意，得
设农民收入平均每年增长的百分率是x，农民 收入一年后为5（1＋x）万元，两年后为
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项
系数、一次项系数和常数项：
方程 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即 x2 ＋2x－8 0＝0.
当堂训练
?
一元一次方程与一元二次 方程有什么联系与区别？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax+b=0 (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
1.本节学习的数学知识是： （1）一元二次方程的概念（2）一元二次方程的一般形式 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
3、如何理解一元二次方程的一般形式
ax2bxc0 (a≠0)？
（1）(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件
找一元二次方程的二次项、一次项
解：（1）设其边长为x，则面积为x2，由题意得
4x2=25
4x2250
（2）设长为x，则宽为（x－2），由题意得 x(x－2)=100.
x2－2x－100=0. （3）设其中的较短一段为x，则较长一段为（1－x），由 题意得
x·1 = (1－x) 2 x2－3x＋1=0.
(4)设较长的直角边为x ，则较短的直角边为x -2，由题意，得
设农民收入平均每年增长的百分率是x，农民 收入一年后为5（1＋x）万元，两年后为
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程的解及其图像经典课件(共34张PPT)
么条件下此方程为一元二次方程？在什么条 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程》课件 (共23张PPT)
广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
三、研学教材
根据下列问题，列出关于x的方程，并将所 列方程化成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形的边长x；
2=25 4x 解：所列方程为：______________ 化成一元二次方程的一般形式为： 4x2－25=0 _________________________ . 广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
三、研学教材
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二 次项系数、一次项系数、常数项： （1）5x2-1=4x; (2)4c2=81 （3）4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3 解：⑴把5x2-1=4x化为一般形___________ 5x2-4x-1=0 ， 二次项系数为_______ ，一次项系数为 5 -4 ，常数项为_______ -1 ______ ．
“引导学生读懂数学书” 课题研究成果配套课件
“引导学生读懂数学书” 课题研究成果配套课件
数学是最宝贵的研 究精神之一。 ——华罗庚
一、学习目标
1、理解一元二次方程的概念 及它的一般形式；
2、会判断一元二次方程的二 次项系数、一次项系数和常数 项；理解一元二次方程的解的 概念.
广东省怀集县梁村镇中心初级中学
周恒
三、研学教材 知识点三 二次项、一次项和常数项 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程 的一般形式，并写出其中的二次项系数、一 次项系数及常数项．
解：去括号，得：3x2-3x=5x+10 移项，合并同类项，得：3x2-8x-10=0 其中二次项系数为____ 3 ， －10 . －8 ，常数项为____ 一次项系数为____
三、研学教材
根据下列问题，列出关于x的方程，并将所 列方程化成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形的边长x；
2=25 4x 解：所列方程为：______________ 化成一元二次方程的一般形式为： 4x2－25=0 _________________________ . 广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
广东省怀集县梁村镇中心初级中学 周恒
三、研学教材
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二 次项系数、一次项系数、常数项： （1）5x2-1=4x; (2)4c2=81 （3）4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3 解：⑴把5x2-1=4x化为一般形___________ 5x2-4x-1=0 ， 二次项系数为_______ ，一次项系数为 5 -4 ，常数项为_______ -1 ______ ．
“引导学生读懂数学书” 课题研究成果配套课件
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数学是最宝贵的研 究精神之一。 ——华罗庚
一、学习目标
1、理解一元二次方程的概念 及它的一般形式；
2、会判断一元二次方程的二 次项系数、一次项系数和常数 项；理解一元二次方程的解的 概念.
广东省怀集县梁村镇中心初级中学
周恒
三、研学教材 知识点三 二次项、一次项和常数项 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程 的一般形式，并写出其中的二次项系数、一 次项系数及常数项．
解：去括号，得：3x2-3x=5x+10 移项，合并同类项，得：3x2-8x-10=0 其中二次项系数为____ 3 ， －10 . －8 ，常数项为____ 一次项系数为____
人教九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
B．4 个
C．5 个
解析：①③④⑦是一元二次方程．
D．6 个
2．当 m 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)(m－1)x2＋3x＝5； (2)4xm＋3－x－1＝0. 解：(1)由题意，得 m－1≠0，∴m≠1. (2)∵m＋3＝2，∴m＝－1.
知识点 2 一元二次方程的一般形式 【例 2】 将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 思路点拨：一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 具有两个特征：(1)方程的右边为 0；(2)左边的二次项系数不能 为 0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项时，不要漏掉其前面的符号． 解：去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18， 移项，得 4x2－26x＋22＝0， 其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善 于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化(a,为b,c为a常x数2 ，ab≠x0）的称c形为式一0,我元们二把次方程的一般形式。 ax2 bx c 0
谢谢
4．动脑思考，巩固训练
2．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将所列 方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求 正方形的边长 x；
（2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形 的长 x；
（3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长 与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的 长 x．
高多少米?
A
分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC 2-x
应有如下关系:
C
AC BC 即 BC2 2AC
x
BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B
x2 2(2 x) 整理得 x2 2x 4 0
问题正方形,然后将四周突 出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要 制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁 皮各角应切去多大的正方形?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各
赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是
同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 2
28场.
即
x2 x 56
1．细心观察，归纳定义
思考：观察上述三个方程，它们与一元一次方程有 什么共同点？有什么不同点？
21.1 一元二次方程
一元二次方程人教数学九年级上册PPT课件
A．﹣2
B．2 C．﹣4
D．4
课堂检测
基础巩固题 1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
课堂检测
2.填空：
方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0
概念
判断 ① 是整式方程； ② 含一个未知数；（一元） ③ 最高次数是2.（二次）
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要 条件；
解（根）
使方程左右两边相等的未知数的值.
感谢您的聆听
4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值为 _______．
课堂检测
能力提升题
如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去
一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖
去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积
区 别 未知数最
高次数为2
特 （1）这两个方程的两边都是整式； 点 （2）都只含一个未知数x；
（3）它们的未知数的最高次数都是 2 次的.
探究新知
一元二次方程的概念
像上述两个方程式这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次 数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必须满 足三个特征）.
人教版 数学 九年级 上册
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21.1一元二次方程 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册
数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为
ax2 + bx + c = 0的形式,我们把ax2 + bx + c = 0(a,b,c为常数，a≠0）称
=1
+
+
+
课堂练习
1、判断下列各式哪些是一元二次方程．
① + +
不是
②9 − =
是
③ =0
是
④
−
+=
⑤ − + =
⑥ 3 -5=43
⑦ ( + )( − ) =
不是
不是
是
不是
2. 把下列方程化成一般形式，并指出各项系数
请在下面方框内填入相应的方程
一元一次方程
3x - 4=5
二元一次方程
2x+ 5y=10
分式方程
2
1 15
4y 1
获取新知
问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角
各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制
作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，
方程
+ =
= +
一般形式
+ − =
− − =0
二次项系数
一次项系数
常数项
1
4
-12
3
-8
一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为
ax2 + bx + c = 0的形式,我们把ax2 + bx + c = 0(a,b,c为常数，a≠0）称
=1
+
+
+
课堂练习
1、判断下列各式哪些是一元二次方程．
① + +
不是
②9 − =
是
③ =0
是
④
−
+=
⑤ − + =
⑥ 3 -5=43
⑦ ( + )( − ) =
不是
不是
是
不是
2. 把下列方程化成一般形式，并指出各项系数
请在下面方框内填入相应的方程
一元一次方程
3x - 4=5
二元一次方程
2x+ 5y=10
分式方程
2
1 15
4y 1
获取新知
问题1 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角
各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制
作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，
方程
+ =
= +
一般形式
+ − =
− − =0
二次项系数
一次项系数
常数项
1
4
-12
3
-8
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4.（毕节·中考）某县为发展教育事业，加强了对教 育经费的投入，2008年投入3千万元，预计2010年投入5千
万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所
列方程正确的是（ ）
A. 3 000(1 x)2 5 000
C. 3 000(1 x％)2 5 000
B. 3 000 x2 5 000
D. 3 000(1 x) 3 000(1 x)2 5 000
【解析】选A.依题意可列方程 3 000(1 x)2 5 000.
中小学课件
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.一元二次方程的特征：只有一个未知数，并且未知
数的最高次数是2.
中小学课件
问题二：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队 之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该 邀请多少个队参赛？
对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？
中小学课件
第二十一章
21.1
一元二次方程
一元二次方程
中小学课件
1.将实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，形 成对一元二次方程的感性认识. 2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程. 3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次 方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方
中小学课件
例 题
【例1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各
项系数.
3x( x 1) 5( x 2)
【解析】一般形式：3x 2
8 x 10 0
二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.
中小学课件
程的二次项系数、一次项系数和常数项.
中小学课件
问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的 部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖 方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的 正方形？ 对于上述问题，你能设出未 知数，列出相应的方程吗？
50 50(1 x) 50(1 x) 2 182 万个.
中小学课件
3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，
连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是
（ ）
A.168（1+a%）2=128
C． 168(1 2a %) 128
.
解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？ 【解析】上述解法是错误的，将 x1、x2 代入原方程等 式两边不相等，因此它们并不是原方程的解.
中小学课件
1. 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0 是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数、 常数项分别是什么? 【解析】当a-1≠0，即a ≠1时，方程(a-1)x2-bx+c=0
中小学课件
跟踪训练 1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1）
x 36 0
2
（2） 4 x 2 9 0 .
【解析】根据平方根的定义得方程（1）的根为x=〒6，
3 2 2．有人解这样一个方程 ( x 5)( x 1) 7
方程（2）的根为x=±
2．归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式 ：
ax bx c 0(a 0)
2
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b 是一次项系数；c是常数项．
是一元二次方程，这时方程的二次项系数、一次项系数、
常数项分别是a-1,-b,c.
中小学课件
2.（衡阳·中考）某农机厂四月份生产零件50万个，第 二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增
长率为x，那么x满足的方程是（
A. 50(1 x) 2 182
2.一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)， 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都 是根据一般形式确定的.
中小学课件
B. 168(1 a %) 2 128
D． 168(1 a 2 %) 128
【解析】选B.第一次减价后为168（1-a﹪）元，第二次降价 后为168（1-a ﹪ ）（1-a ﹪ ）元，即168（1-a ﹪ ）元， 因此所列方程为 . 168(1 a %) 2 128
中小学课件
方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值 叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
中小学课件
思考： （1）下列哪些数是方程
x 2 x 6 0 的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4 从中你能体会根的作用吗？ （2）若x＝2是方程 ax 2 4 x 5 0 的一个根，
）
B． 50 50(1 x) 50(1 x) 2 182
C．50(1+2x)＝182
D． 50 50(1 x) 50(1 2 x) 182
【解析】选B.该农机厂五月份生产零件 50(1 x) 万个，六月 份生产零件 50(1 x)(1 x) 50(1 x) 2 万个，第二季度共生产零件
跟踪训练
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－
1 － －1 ＝0 3x
y2 (4) － ＝0 2
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
【解析】(1)、(4)．
中小学课件
猜测：
下列方程的根是什么？
x 2 x 56 0
1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
(1) x 2 75 x 350 0; (2) x 2 x 56 0; 1 (3) x( x 1) 28. 2
共同特点：（1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
中小学课件
你能求出a的值吗？
（提示：根的作用：可以使等号成立.）
中小学课件
例
题
【例2】关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值
为（ A．1 ） B ． -1 C．2 D．-2
【解析】选A. 将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0 ，解得 k=1.