高二数学 暑假作业(22)一般数列求通项及求和
高中数学方法总结数列与数学归纳法的通项与求和解法
高中数学方法总结数列与数学归纳法的通项与求和解法高中数学方法总结：数列与数学归纳法的通项与求和解法在高中数学的学习过程中，数列与数学归纳法是十分重要且基础的部分。
数列是指按照一定规律排列的数字集合，而数学归纳法则是用来证明数学命题的一种常用方法。
在本文中，我们将对数列的通项与求和解法以及数学归纳法的应用进行总结与梳理。
一、数列的通项与求和解法：1. 等差数列：等差数列是指数列中的每个项与它的前一项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，aₙ为等差数列的第n项，a₁为首项，d为公差，n为项数。
求和公式：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sₙ为等差数列的前n项和，a₁为首项，aₙ为第n项，n 为项数。
2. 等比数列：等比数列是指数列中的每个项与它的前一项的比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ。
通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，aₙ为等比数列的第n项，a₁为首项，r为公比，n为项数。
求和公式：Sₙ = (a₁ * (1 - r^n))/(1 - r)其中，Sₙ为等比数列的前n项和，a₁为首项，r为公比，n为项数。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每个项都等于它前两项之和的数列。
设斐波那契数列的首项为F₁，第n项为Fₙ。
通项公式：Fₙ = Fₙ₋₂ + Fₙ₋₁其中，Fₙ为斐波那契数列的第n项，F₁和F₂为前两项。
求和公式：由于斐波那契数列没有固定项数的和，故没有求和公式。
二、数学归纳法的应用：数学归纳法是一种证明数学命题的方法，其中包含三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
首先，在基础步骤中，证明命题在某个初始情况下成立。
然后，在归纳假设中，假设命题在某个特定情况下成立。
最后，在归纳步骤中，通过归纳假设推导得出命题在下一个情况下也成立。
例如，我们利用数学归纳法证明某个等式对所有正整数n成立。
高二数学暑假作业数列通项与求和理苏教版
第15天 数列通项与求和1. 在数列{a n }中， a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n≥2)，则数列{a n }的通项公式是____________．2. 若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为S n ＝__________． 3. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________． 4.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1，则数列{b n }的前10项和S 10＝________．5. 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________．6. 若在正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×2n，则数列{a n }的通项公式为__________________．7. 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________．8. S n ＝12＋222＋38＋…＋n2n ＝____________．9. 对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值．现知某数列{a n }的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则该数列的通项公式为____________.10. 已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n∈N *)，则满足1 0011 000＜S 2n S n ＜1110的n 的最大值为________． 11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1) 设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2) 在(1)的条件下，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．12. 在等比数列{a n}中，a2a3＝32，a5＝32.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 设数列{a n}的前n项和为S n，求S1＋2S2＋…＋nS n.13. 在等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．(1) 求数列{a n}(2) 若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前2n项和S2n.14. 已知二次函数f(x)＝3x2－2x，数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 在(1)的结论下，设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m20对所有n ∈N*都成立的最小正整数m .第15天 数列通项与求和1. a n ＝1n 解析：因为a n ＝n －1n a n －1(n≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n－1)个式子相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立，所以a n ＝1n.2. 2n ＋1＋n 2－2 解析：S n ＝2（1－2n）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.3. 19 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9.又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4.1011 解析：由a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，得1a n ＝1－a n ＋1a n ＋1＝1a n ＋1－1，即1a n ＋1－1a n＝1.又a 1＝1，所以1a n ＝1a 1＋(n －1)＝n ，所以a n ＝1n .因为b n ＝a n ·a n ＋1＝1n （1＋n ）＝1n －11＋n ，所以数列{b n }的前10项和S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1－111＝1011.5. 13n 解析：因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则当n≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式左右两边分别相减得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n≥2)．由题意知，a 1＝13，符合上式，所以a n ＝13n (n∈N *)．6. a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12×2n 解析：在a n ＋1＝2a n ＋3×2n 的两边同时除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋32，即a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝32，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以a 12＝1为首项，32为公差的等差数列，所以a n 2n ＝1＋(n －1)×32＝32n －12，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12×2n . 7. 8 解析：当q ＝1时，不符合题意；当q≠1时，2S 9＝S 3＋S 6，所以2a 1（1－q 9）1－q＝a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ，所以1＋q 3＝2q 6，所以a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 7，即a 2＋a 5＝2a 8，所以m＝8.8.2n ＋1－n －22n解析：由S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ①，得12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1②，①－②得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －22n. 9. a n ＝2n ＋12n 解析：2n ＋2＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n，则a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n （n ＋2）2.当n ＝1时，a 1＝32；当n≥2时，na n ＝n （n ＋2）2－（n －1）（n ＋1）2＝2n ＋12，则a n ＝2n ＋12n .当n ＝1时也符合上式，故a n ＝2n ＋12n.10. 9 解析：由题意得2(S n ＋1－S n )＋S n ＝2，即S n ＋1＝12S n ＋1，S n ＋1－2＝12(S n －2)，且S 1－2＝a 1－2＝－1，所以S n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以S 2n S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0011 000，1110，即11 000＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜110，解得4≤n≤9，所以n 的最大值为9.11. 解析：(1) 因为a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2， 所以a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.由S n ＋1＝4a n ＋2，知当n≥2时，有S n ＝4a n －1＋2， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． 又因为b n ＝a n ＋1－2a n ，所以b n ＝2b n －1， 所以{b n }是首项b 1＝3，公比q ＝2的等比数列． (2) 由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，所以a n 2n ＝12＋34(n －1)＝34n －14，则a n ＝(3n －1)×2n －2.12. 解析：(1) 设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q·a 1q 2＝32，a 1q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2， 故a n ＝2·2n －1＝2n.(2) 因为S n 是数列{a n }的前n 项和， 所以S n ＝2（1－2n）1－2＝2(2n －1)，所以S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)]＝2(2＋2×22＋…＋n×2n)－n(n ＋1)，设T n ＝2＋2×22＋…＋n×2n，① 则2T n ＝22＋2×23＋…＋n×2n ＋1，②由①－②得－T n ＝2＋22＋ (2)－n·2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n·2n ＋1＝(1－n)·2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，所以S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(n －1)·2n ＋1＋2]－n(n ＋1)＝(n －1)·2n ＋2＋4－n(n ＋1)．13. 解析：(1) 当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意． 所以a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，则公比q ＝3，故a n ＝2·3n －1.(2) 因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n ＝2·3n －1＋(－1)n·ln (2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln 3＝2×1－32n1－3＋n ln 3＝32n＋n ln 3－1.14. 解析：(1) 因为点(n ，S n )(n∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2) 由(1)得知b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝∑i ＝1nb i ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1，所以要使12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＜m 20对任意n∈N *都成立的m 必须且仅须满足12≤m 20，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.。
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况【例1】.(1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n, 且对任意的正整数n 满足2足 a n1 ,求数列｛%｝的 通项公式。
(2)数列｛引中，为1对所有的正整数n 都有 a 〔 a ? a 3L a 。
n 2 ,求数列｛a n ｝的通项公式【作业一】1-1.数列 a n 满足 a1 3a2 32% L3n1an?(n N *),3求数列a n 的通项公式.a 一(二).累加、累乘型如a namf(n),或f(n)a n【方法】：S 1 (n 1) S n S ni (n 2)S n S ni”代入消兀消a n o型一：I a n a nif (n),用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法)【方法】a n a n 1 f(n),an 1 a n 2f(nD,a 2 a i f (2) n 2,从而 a n a i f (n) f(n 1) L f (2)，检验 n 1 的情 况 型二：|勉f(n),用累乘法求通项公式(推导等比an 1数列通项公式的方法)【方法】n 2,鬼业L 色f(n) f(n 1) L f(2)a n 1 a n 2a即冬f(n) f(n 1) L f(2),检验n 1的情 q况【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有 n 1个等式相加(相乘).11【例 2】.(1)已知 a12 , an an 1 n^W(n 2),求a n .n2 (2)已知数列a n 满足an1 =an,且a1 - ?n 23求an .【例3】.（2009广东高考文数）在数列｛a n｝中，, 一1、n 1 b冬…a 1,a ni （1n）a n "2厂.设b n n，求数列｛b n｝的通项公式n 1 n (c,p为非零常数,c 1,p 1)【方法】构造a n 1 x c(a n x),即a n 1 ca n (c 1)x ,故(c 1)x p,即｛a n 卫｝为 c 1等比数列【例4】.a1 1 , a n 1 2a n 3,求数列｛a n｝的通项公式。
数列的通项公式与求和公式总结
数列的通项公式与求和公式总结数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，通常用公式表示。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置得出该位置上的数值的公式，而求和公式则是指能够计算数列中所有数值的和的公式。
以下是一些常见数列的通项公式与求和公式的总结。
等差数列：等差数列是一个公差为d的数列，其中每一项与前一项之间的差值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d表示公差。
求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)其中Sn表示数列前n项的和。
等比数列：等比数列是一个公比为q的数列，其中每一项与前一项之间的比值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 * q^(n-1)其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q表示公比。
求和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1)其中Sn表示数列前n项的和。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，后续每一项是前两项之和。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = (1/sqrt(5)) * (((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n)其中an表示数列的第n项。
求和公式：Sn = a1 * (1 - ((1 + sqrt(5))/2)^n)/(1 - ((1 + sqrt(5))/2))其中Sn表示数列前n项的和。
这些是常见数列的通项公式与求和公式的总结，通过这些公式，我们可以通过给定的位置计算出数列中的数值，或者计算数列中所有数值的和。
在数学中，数列的通项公式与求和公式是非常重要的工具，能够帮助我们理解数列的规律和特性。
高中数学公式大全数列的通项公式与求和公式
高中数学公式大全数列的通项公式与求和公式高中数学公式大全：数列的通项公式与求和公式数列是指按照一定规律排列的一组数，而数列的通项公式和求和公式则是研究数列的重要内容。
在高中数学中，数列的通项公式和求和公式是学习和应用数列的基础。
本文将详细介绍数列的通项公式和求和公式的定义、推导以及应用案例。
一、数列的通项公式数列的通项公式又称为数列的第n项公式，它可以用来表示数列的任意一项，是数列的核心公式。
对于通项公式的推导，我们先来看一个常见的数列——等差数列。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每一项与前一项的差等于同一个常数d。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ表示等差数列的第n项，n表示项数。
举例：对于数列1, 3, 5, 7, 9...来说，其通项公式为：aₙ = 2n - 12. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中的每一项与前一项的比等于同一个常数q。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示等比数列的第n项，n表示项数。
举例：对于数列2, 4, 8, 16, 32...来说，其通项公式为：aₙ = 2^(n-1)二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列前n项和的公式，对于不同类型的数列，求和公式也各不相同。
下面我们来介绍两种常见的数列求和公式——等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列的前n项和，求和公式为：Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示等差数列的前n项和。
举例：对于等差数列1, 3, 5, 7, 9...来说，其前n项和的求和公式为：Sₙ = (n/2) * (1 + 2n - 1) = n^22. 等比数列的求和公式对于等比数列的前n项和，求和公式为：Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)其中，Sₙ表示等比数列的前n项和。
高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案
数列求通项公式的方法一、叠加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的两个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L两边分别相加得 111()nn k a a f k +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2.已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21nn n a n a S +=,求数列}{n a 的通项公式.解:由已知)(21nn n a na S +=得)(2111---+-=n n n n n S S nS S S ,化简有n S S n n =--212,由类型(1)有n S S n ++++=Λ32212,又11a S =得11=a ,所以2)1(2+=n n S n ,又0>n a ,2)1(2+=n n s n ,则2)1(2)1(2--+=n n n n a n练习1，已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和14n a n =-练习3. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a所以na a n 111-=- 211=a Θ，nn a n 1231121-=-+=∴评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
高二数学必修5数列求通项、求和知识点+方法+练习题总结(可编辑修改word版)
n n 1 n n n 1⎨ 1 ≠数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1) 观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式 a n ； (2) 利用前 n 项和与通项的关系 a n ＝Error!Error! (3) 公式法：利用等差(比)数列求通项公式；a n ＋1(4) 累加法：如 a n ＋1－a n ＝f (n )， 累积法，如(5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且 A ≠1)．2、求和常用的方法：(1) 公式法：a n ＝f (n )；① S = n (a 1 + a n ) = na + n (n - 1) dn2 12 ⎧ na 1(q = 1) ② S n = ⎪a (1- q n ) (q 1) ⎩⎪ 1- q(2) 裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项：①1 11n (n 1) n n 1 ② 1 1 ( 1 1 ) n (n k ) k n n k ③ 1 1 1 ( 1 1 ); 1 1 1 1 1 1 1 k 2 k 2 1 2 k 1 k 1 k k 1 (k 1)k k 2 (k 1)k k 1 k④ 1 1 [ 1 1] n (n 1)(n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)⑤ 2(n ) 2122(n1)(3) 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 项和公式的推导方法) .(4) 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前 n 项和公式的推导方法) .(5) 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题n 1nn n n +1 n nn1 考点 1：求数列的通项 [题型 1] a n +1 = a n + f (n )解法：把原递推公式转化为 a n +1 - a n = f (n ) ，利用累加法(逐差相加法)求解。
数列求通项公式及求和的常用方法
数列求通项公式与求和的常用方法求通项公式一.公式法：（高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比） 1、等差数列公式例1．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式.2、等比数列公式例2.设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式.3、通用公式:(若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。
一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式)例3．已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式.二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法:(一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a )即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥；例4．数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且()*+∈-=N n a a b n n n 1．若则12,2103=-=b b ，则=8a ( )A ．0B ．3C ．8D ．11例5．已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++，求数列{}n a 的通项公式.2、叠乘法：（一般地对于形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。
求数列通项公式与数列求和的几种方法
求数列通项公式与数列求和的几种方法数列是由一定规律形成的数的序列，通常可以用数学公式表示。
数列的通项公式是指能够表示数列中任意一项的公式。
数列的求和是指将数列中所有项相加的过程。
在数学中，有多种方法可以求解数列的通项公式和数列的求和问题。
下面将介绍一些常见的方法。
一、通过递推关系求解通项公式与求和递推关系是指数列中相邻项之间的数学关系。
通过观察数列中的规律，可以找到数列的递推关系，从而求解通项公式和数列的求和。
1.1等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差是一个常数。
设数列的第一项为a1，公差为d，则等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
通过该递推关系，可以求解等差数列的通项公式和求和。
1.2等比数列等比数列是指数列中相邻项之间的比是一个常数。
设数列的第一项为a1，公比为r，则等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * r^(n-1)。
通过该递推关系，可以求解等比数列的通项公式和求和。
1.3斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
设数列的第一项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2、通过该递推关系，可以求解斐波那契数列的通项公式和求和。
二、通过数学工具求解通项公式与求和2.1代数方法对于一些特定的数列，可以使用代数方法求解通项公式和求和。
例如，对于等差数列和等比数列，可以使用代数方法推导出通项公式和求和公式。
2.2比较系数法比较系数法是一种常用的方法，适用于具体的数列。
通过对比数列中的系数和常数，可以列方程组求解通项公式和求和。
2.3拆分合并法对于一些数列，可以通过拆分合并法求解通项公式和求和。
该方法将数列分为不同的部分进行拆分和合并，从而得到整个数列的通项公式和求和。
三、通过数学工具和技巧求解通项公式与求和3.1差分法差分法是一种常见的求解通项公式和求和的方法。
对于一些特殊的数列，可以通过数列和数列之间的差值来推导出数列的特征，进而求解通项公式和求和。
数列求通项公式及求和的方法
数列求通项公式及求和的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
解决数列问题，首先需要找到数列的通项公式，然后可以利用通项公式求出数列的各项，再利用求和公式求出数列的和。
找到数列的通项公式的方法有多种，常见的方法包括等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
一、等差数列的通项公式及求和方法等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
求等差数列的和，我们可以利用求和公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=n/2*(a₁+aₙ)。
二、等比数列的通项公式及求和方法等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等比数列的通项公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)。
求等比数列的和，我们可以利用求和公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。
除了等差数列和等比数列之外，还有其他种类的数列，如等差数列与等比数列交替出现的数列、斐波那契数列等。
这些数列有着特定的规律，可以通过观察数列中的数字之间的关系来确定其通项公式和求和公式。
在实际应用中，数列的求通项公式和求和公式可以帮助我们计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
在数学、物理、经济等领域中，数列经常被运用到，掌握数列的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常重要。
总结起来，数列问题的解决方法主要包括找到数列的通项公式和求和公式。
通过运用这些公式，我们可以计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
而在确定通项公式和求和公式时，我们可以通过观察数列中的数字之间的关系来推导，常见的数列类型包括等差数列、等比数列等。
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高二暑假作业(22) 一般数列求通项及求和
考点要求
1．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式求数列的通项；
2．了解数列求和的意义，主要利用等差､等比数列的前n项和公式解决数列的求和问题；
3．掌握常见数列的求和方法，尤其是要掌握用公式法､分组求和法､裂项相消法､错位相减法､倒序相加法求解一些特殊数列的前n项和．
考点梳理
1．数列的递推公式
如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任何一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n＝f(a n－1)或a n＝f(a n－1，a n－2)，那么这个式子叫做数列{a n}的递推公式．
2．求数列的通项公式的常用方法
观察归纳法∶根据数列前几项的特点归纳猜想出a n的表达式；
公式法∶根据等差数列或等比数列的通项公式求a n的表达式；
递推关系法∶将已知的递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形，然后采用累差法､累乘法､迭代法､换元法等求a n的表达式．
3．常见的一般数列求和的方法
分组求和法∶从通项公式入手，将数列分成几个等差数列､等比数列或常见数列，先分别求和，然后再合并；
倒序相加法∶如果一个数列{a n}，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如________数列的前n项和公式即用此法推导的；
错位相减法∶如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法，如________数列的前n项和公式即用此法推导的；
裂项相消法∶把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
考点精练
1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n－1，则数列{a n a n＋1}的前n项和S n＝__________．
2．设S n＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)，则S17＋S20＝____________．
3．
1
1×4
＋
1
4×7
＋…＋
1
(3n－2)×(3n＋1)
＝____________．
4．在数列{a n}中，a n＝
1
n＋n＋1
，且前n项和为S n，若S n＝9，则n＝____________．
5． 12－22＋32－42＋…＋992－1002＝____________．
6．若数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和S n＞1 020，则n的最小值为____________．
7．已知a n＝n·2n－1，则数列{a n}的前n项和S n＝____________．
8． 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n ，则a n ＝____________． 9．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝
5a n －133a n －7(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项的和为____________．
10． 求和;S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ．
11． (1) 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2×3n ＋1，a 1＝3，求数列{a n }的通项公式；
(2) 已知首项为1的正项数列{a n }满足(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，求数列{a n }的通项
公式．
12．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1．
(1) 试求数列{a n }的通项公式；
(2) 设b n ＝1a n ·a n ＋1，{b n }的前n 项和为T n ，求证∶T n ＜12
．
第22课时 一般数列求通项及求和
1． 38(9n －1) 2． 3 3． n 3n ＋1
4． 99 5． －5 050 6． 10 7． n ·2n －2n ＋1 8． 2＋ln n 9． 200
10． 解：S n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 ，a ＝1，a (a n －1)－n (a －1)a n (a －1)2
，a ≠1． 11． 解：(1) 用累加法可得，a n ＝3n ＋n －1．
(2) 原递推式可化为[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0， ∵ a n ＋1，a n ＞0，∴
a n ＋1a n ＝n n ＋1
． 则a 2a 1＝12，a 3a 2＝23，a 4a 3＝34，…，a n a n －1＝n －1n
． 逐项相乘得a n a 1＝1n ，即a n ＝1n
． 12． (1) 解：∵ a n ＞0，2S n ＝a n ＋1，
∴ 4S n ＝(a n ＋1)2，4S n －1＝(a n －1＋1)2(n ≥2)，
则当n ≥2时，4a n ＝a 2n ＋2a n －a 2n －1－2a n －1，
即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，
而a n ＞0，∴ a n －a n －1＝2(n ≥2)．
又2S 1＝a 1＋1，∴ a 1＝1，则a n ＝2n －1． (2) 证明：b n ＝
1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12
．。