材料力学 §8 组合变形
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
材料力学_ 组合变形_：扭转与弯曲的组合_
M2 T2 W
M 2 0.75T 2 W
式中W为杆的抗弯截面系数.M,T分别为危险截面的弯矩和扭 矩. 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.
例题4 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外
径 D=140mm,内外径之比α= d/D=0.8,材料的许用应力[] =
160MPa.试用第三强度理论校核AB杆的强度
A
C
D
F1
F2
解:将F2向AB杆的轴线简化得
400
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
400
F2 1kN Me 0.4kN m
AB为弯扭组合变形
B
A
C
D
F1
固定端截面是危险截面 F2
Mmax 0.8F1 0.4F2 0.8kN m
Tmax 0.4kN m
400
400
r3
Mm2 ax Tm2ax
W
d 38.5mm
W πd 3
32
d 44.83mm
MeC F=3F2
T=1kN·m + 1kN·m
+
例题6 F1=0.5kN,F2=1kN,[]=160MPa.
（1）用第三强度理论计算 AB 的直径 （2）若AB杆的直径 d = 40mm,并在B端加一水平力
F3 = 20kN,校核AB杆的强度.
400
400
B
对于许用拉压应力相等的塑性材
料制成的杆,这两点的危险程度是相同 的.可取任意点C1 来研究.
C1 点处于平面应力状态, 点的单元体如图示
该
C1
A截面
C3
C4
C2
C1
C3
T
C4
材料力学- 8组合变形
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m
《材料力学》第八章组合变形
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
《组合变形》PPT课件
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
32
l 几何参数
A 15103 m2 , zo 7.5 cm, I y 5310 cm4
l 求内力(作用于截面形心)
取研究对象如图
FN P kN,
M y 42.5 102 P kN.m
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
350
FN
33
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
l FN引起的应力
FN P MPa
u 拉伸、压缩
l 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
u 剪切
l 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
u 扭转
u 弯曲
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
'' My z Mz y
Iy
Iz
中性轴的方程：
My F1l
F2 (l a)
Mz
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
5
中性轴的方程：
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
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1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
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第八章组合变形§8.1 组合变形和叠加原理§8.2 拉伸(压缩)与弯曲的组合§8.3 斜弯曲（偏心压缩）§8.4 扭转与弯曲的组合*§8.5 组合变形的普遍情况本章习题§8.1 组合变形和叠加原理一、组合变形：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一数量级时，不能略去任一种变形，这类构件的变形称为组合变形。
PRＭ电动机皮带轮转动机构简图FM e电动机工作机转动轴主动皮带轮R A R B t (x )Phgq g h水坝二、组合变形的研究方法——叠加原理①外力分析：将外力向形心简化并沿主惯性轴分解，确定各分力对应的基本变形；②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定其构件的危险截面；③应力分析：画出危险截面应力分布图，确定危险点，叠加求危险点应力；④强度计算：确立危险点的强度条件，进行强度计算。
yxzPy xzPM Y一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力(或纵向力偶)和轴向力的作用而产生的变形。
PRPM YM Z双向偏压单向偏压§8.2 拉伸(压缩)与弯曲的组合PAPxP=σzz xMI y M z⋅=σyy xM I z M y ⋅=σ二、应力分析：zz y y x I y M I z M A P ⋅+⋅+=σyxzP M zMyM yyM zz得危险截面上任意一点的正应力：y y z z x I z M I y M A P 00⋅+⋅+=σ三、中性轴位置：0)1(20202020=⋅+⋅+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=yP z P y P z P i z z i y y A P i A z z P i A y y P A P yz中性轴P (y P ，z P)),(00z y 设点(y 0，z 0)为中性轴上一点：×01220=⋅+⋅+yP z P i z z i y y 中性轴方程：四、危险点(即距中性轴最远的点)：yyz z t W M W M A P ++-=maxσyyz z c W M W M A P ---=maxσyz中性轴),(00z y 01220=⋅+⋅+yP z P i z z i y y 三、中性轴方程：P (y P ，z P )×2max2A P =σ11max1z W eP A P ⋅+=σMPa (711302065035030203500002)=⨯⨯⨯+⨯=解：两柱的|σ|max 均为压应力：[例5] 图示不等截面与等截面杆，P = 350 kN ，试比较两柱内最大正应力的绝对值。
图（1）图（2）exyzMPa ... 758 2020350000=⨯=ENDmmz c 5102010100201020=⨯-⨯⨯⨯=235100101210010⨯⨯+⨯=cy I 得：452310277 ]252010122010[mm.⨯=⨯⨯+⨯-[例6]图示钢板厚10 mm ，受力P = 100 kN ，试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度可为多少？1002020解：1) 内力分析：y cy zN M挖孔处截面的形心：NmP M 500)105(3=⨯⨯=-10F N 平行移轴ycmax N maxI z M A F ⋅+=σMPa.. 8162837125=+=2) 应力分析：736310277)1055(5001080010100---⨯⨯⋅+⨯⨯=.若孔移至板中间时：)100(10 9631 10816210100263x maxNz mm ..F A -⋅==⨯⨯==σmm.z x 836 =∴1002020y cy z10解：1) 内力分析：NmM 500=σMσF NF N= 100 kN1045 10277mm.I Cy ⨯=+END？一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，杆轴线与横向力不共面。
二、斜弯曲的研究方法：1)首先将外力分解：将外载荷沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。
PyPzyZPPzPy§8. 3 斜弯曲二、斜弯曲的研究方法：1)首先将外力分解：将外载荷沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。
PyPzyZPPzPy2)然后分别进行叠加：先对两个平面弯曲分别进行研究；最后将其计算结果叠加起来。
ϕsin P P y =ϕcos P P z =mmxL2）分别研究两个平面弯曲：ϕϕsin ×= )sin (×= )(×= M x L P x L P M y z －－ϕcos ×=M M y ϕσcos yyy I M I z M z ⋅-=⋅-='①内力：②应力：ϕσsin zz z I M I y M y ⋅-=⋅-=''M y 引起K 的应力：M z 引起K 的应力：K·y zmmxLϕσcos yI M z ⋅-='②应力：ϕσsin zI M y⋅-=''M y 引起K 的应力：M z 引起K 的应力：K ·yz)sin cos (ϕϕσσσzy I yI z M +-=''+'=叠加得合应力：③令σ= 0 可得中性轴方程：①内力：ϕsin ⋅=M M z ϕcos ⋅=M M y 0)sin cos (00=+ϕϕzy I y I z1D D 2PyzP zP yϕϕαctan tan 00yzI I z y =-=α中性轴可见：只有当I y = I z 时，中性轴与外力才垂直。
④求最大正应力：即在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点：③令σ= 0 可得中性轴方程：0)sin cos (00=+ϕϕzy I y I z 1D max σσ=+2D maxσσ=-1D D 2PyzP zP y ϕα中性轴⑤变形量的计算：22zy ωωω+=zyωωβ=tan 即当ϕ=β时，才是平面弯曲。
④求最大正应力：1D maxσσ=+2D maxσσ=-ωωyωz βz PyxLhbD 1D 2例1 结构如图，P 过形心且与z 轴成ϕ角，求此梁的最大应力与挠度。
解：危险点分析如图：P zϕyzP y P中性轴α最大正应力：21D yz zy yy z z D max W L P W L P W M W M σσσ-=⋅+⋅=+==z PyxLhbD 1D 2变形计算：232322)3()3(yz z y zyEI L P EI LP +=+=ωωωϕωωβtan tan zyz y I I == ∴当I y = I z 时，才发生平面弯曲。
P zϕyzP y P中性轴α最大正应力：yz zy D D max W L P W L P ⋅+⋅=-== 21σσσωωyωz βEND例3 两端铰支矩形截面梁，其尺寸h = 80 mm ,b = 40 mm ,校核梁的强度。
[],MPa 120=σxABCD30 kNz 30 kN100mm 100mm100mmyzy hb+ABCDxyM 2 kNmzM -ABCDx2 kNm解:(1)确定危险截面:kNmM Cy 1=BzM kNm = 1即得：C 截面为危险截面！(2)校核强度:zCz yCy max W M W M +=σ(2)校核强度:zCz yCy max W M W M +=σ6622hb M bh M CzCy+=6104080102 6108040101923923//--⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=MPa . 19117=[]MPa120=<σ得：安全+ABCDxyM 2 kNmzM -ABCDx2 kNmkNmM Cy 1=BzM kNm = 2zy h b = 40= 80END例4 如图所示简支梁由28a 号工字钢制成，已知F =25kN ，l = 4 m ，，材料的许用应力[ ] =170 MPa ，试按正应力强度条件校核此梁。
︒=15ϕσ解: (1)将集中力F 沿y 轴和z 轴方向分解kN.F F y 42115cos 25cos =⋅=⋅=ϕkN.F F z 47615sin 25sin =⋅=⋅=ϕkNm..lFM ymaxz1244412422=⨯=⋅=kNm..lFM zmaxy4764447622=⨯=⋅=查P408表4中28a号工字钢的抗弯截面模量：33656508cm.W,cmWyz==MPaMPa......WMWMymaxyZmaxxmax170][716110)3114447()10(65610476)10(508101246323323=<=⨯+=⨯⨯+⨯⨯=+=∴--σσ得此梁满足强度要求。
kN.FFy421cos=⋅=ϕkN.FFz476sin=⋅=ϕl = 4mEND80°ABCD 150200100P 1P 2xzy1、外力分析：外力向形心简化并分解: 结论：轴发生弯扭组合变形T ：扭转变形P 2y ：xy 面的平面弯曲P 1、P 2z : xz 平面弯曲§8.4 扭转与弯曲的组合ABC D150200100P 1P 2yP 2zx zyTT即分别作出每个外力分量对应的内力图(内力方程):叠加弯矩，并画出其M 图:)()()(22x M x M x M zy+=如果M max 出现在B 处，则危险面为B 截面。
)( ; )( ; )(x T x M x M z y 2、内力分析：确定危险截面M zxxTTnxM yA B CDABC D150200100P 1P 2yP 2zx zyTTMxM maxWM max B B =-=21σσtB B W T ==21ττ画危险点的单元体：3、应力分析——确定危险点：xM TB 2B 1M y M zτBxM 1Bσ2Bσ1Bσ1Bτ1Bσ1Bτ4、按强度理论建立其强度条件：2121313r 4B B τσσσσ⋅+=-=212143B B r τσσ⋅+=22224tmax W T WM +=WTM 22max+=WTM 22max75.0+=22223tmax W T WM +=①、外力分析：将外力向形心简化，并分解后求约束反力；②、内力分析：画出每个外力分量对应的内力图(或内力方程)，确定其危险面；③、应力分析：确定危险面上的危险点，并画出其单元体；22r34τσσ+=弯扭组合问题的求解步骤：④、建立强度条件：依据对应的强度理论求出其相当应力，其对应的强度条件：22r43τσσ+=WT M 22max +圆截面WTM 22max 75.0+圆截面≤[σ]≤[σ]例如:[例7] 图示刚架，两杆在水平面内且互相垂直，受力与刚架平面垂直，P = 2 kN , L = 1 m ,各杆直径d = 10 mm ，[σ]= 70 MPa ，按最大剪应力强度理论校核强度。