平行线习题1

平行线与相交线单元检测【巩固基础训练】题型发散1.选择题，把正确答案的代号填入题中括号内．（1）下列命题中，正确的是（）（A）有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角（B）有公共点，且又相等的角是对顶角（C）两条直线相交所成的角是对顶角（D）角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角（2）下列命题中，是假命题的为（）（A）邻补角的平分线互相垂直（B）平行于同一直线的两条直线互相平行（C）垂直于同一直线的两条直线互相垂直（D）平行线的一组内错角的平分线互相平行（3）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角（）（A）相等（B）互补（C）相等或互补（D）以上结论都不对（4）已知下列命题①内错角相等；②相等的角是对顶角；③互补的两个角是一定是一个为锐角，另一个为钝角；④同旁内角互补．其中正确命题的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（5）两条直线被第三条直线所截，则（）（A）同位角的邻补角一定相等（B）内错角的对顶角一定相等（C）同位角一定不相等（D）两对同旁内角的和等于一个周角（6）下列4个命题①相等的角是对顶角；②同位角相等；③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；④两点之间的线段就是这两点间的距离其中正确的命题有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个（7）下列条件能得二线互相垂直的个数有（）①一条直线与平行线中的一条直线垂直；②邻补角的两条平分线；③平行线的同旁内角的平分线；④同时垂直于第三条直线的两条直线．（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个（8）因为AB//CD，CD//EF，所以AB//EF，这个推理的根据是（）（A）平行线的定义（B）同时平行于第三条直线的两条直线互相平行（C）等量代换（D）同位角相等，两直线平行180，那么（）（9）如图2-55．如果∠AFE+∠FED=（A）AC//DE （B）AB//FE（C）ED⊥AB （D）EF⊥AC（10）下列条件中，位置关系互相垂直的是（）①对顶角的平分线；②邻补角的平分线；③平行线的同位角的平分线；④平行线的内错角的平分线；⑤平行线的同旁内角的平分线．（A）①②（B）③④（C）①⑤（D）②⑤2.填空题．（1）把命题“在同一平面内没有公共点的两条直线平行”写成“如果……，那么……”形式为_______________________________________________________．（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，_________最短．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的比为2:7，则这两个角的度数为______________.（4）如果∠A 为∠B 的邻补角，那么∠A 的平分线与∠B 的平分线必__________________.（5）如图2-56①∵AB//CD （已知），∴∠ABC=__________（ ）____________=______________（两直线平行，内错角相等），∴∠BCD+____________=︒180（ ）②∵∠3=∠4（已知），∴____________∥____________（ ）③∵∠FAD=∠FBC （已知），∴_____________∥____________（ ）（6）如图2-57，直线AB ，CD ，EF 被直线GH 所截，∠1=︒70，∠2=︒110，∠3=︒70．求证：AB//CD ．证明：∵∠1=︒70，∠3=︒70（已知），∴∠1=∠3（ ）∴ ________∥_________（ ）∵∠2=︒110，∠3=︒70（ ），∴_____________+__________=______________,∴_____________//______________,∴AB//CD （ ）．（7）如图2-58，①直线DE ，AC 被第三条直线BA 所截，则∠1和∠2是________，如果∠1=∠2，则_____________//_____________,其理由是（ ）．②∠3和∠4是直线__________、__________，被直线____________所截，因此____________//____________．∠3_________∠4,其理由是（ ）．（8）如图2-59，已知AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，求证∠1+∠2=︒90．证明：∵ BE 平分∠ABC （已知），∴∠2=_________（ ）同理∠1=_______________,∴∠1+∠2=21____________（ ）又∵AB//CD （已知），∴∠ABC+∠BCD=__________________（ ）∴∠1+∠2=︒90（ ）（9）如图2-60，E 、F 、G 分别是AB 、AC 、BC 上一点．①如果∠B=∠FGC ，则____//_______,其理由是（ ）②∠BEG=∠EGF ，则_______//_______，其理由是（ ）③如果∠AEG+∠EAF=︒180，则_______//______，其理由是（ ）（10）如图2-61，已知AB//CD ，AB//DE ，求证：∠B+∠D=∠BCF+∠DCF ．证明： ∵AB//CF （已知），∴∠______=∠________（两直线平行，内错角相等）．∵AB//CF ，AB//DE （已知），∴CF//DE （ ）∴∠_________=∠_________（ ）∴∠B+∠D=∠BCF+∠DCF （等式性质）．3．计算题，（1）如图2-62，AB 、AE 是两条射线，∠2+∠3+∠4=∠1+∠2+∠5=︒180，求∠1+∠2+∠3的度数．（2）如图2-63，已知AB//CD ，∠B=︒100，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF ．求∠BEG 和∠DEG 的度数．（3）如图2-64，已知DB//FG//EC ，∠ABD=︒60，∠ACE=︒60，AP 是∠BAC 的平分线．求∠PAG 的度数．（4）如图2-65，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB=︒50，∠B=︒70，DE//BC ，求∠EDC 和∠BDC 的度数．纵横发散1．如图2-66，已知∠C=∠D ，DB//EC ．AC 与DF 平行吗？试说明你的理由．2．如图2-67，已知∠1=∠2，求∠3+∠4的度数．解法发散1．如图2-68，已知AB//CD ，EF ⊥AB ，MN ⊥CD ．求证：EF//MN ．（用两种方法说明理由）．2．如图2-69，a 、b 、c ，是直线，∠1=∠２． a 与b 平行吗？简述你的理由．（用三种方法，简述你的理由）变更命题发散如图2-70，AB//CD ，∠BAE=︒40，∠ECD=︒62，EF 平分∠AEC ，求∠AEF的度数．如图2-71，已知AB//CD ，∠BAE=︒30，∠DCE=︒60，EF 、EG 三等分∠AEC ．（1）求∠AEF 的度数；（2）EF//AB 吗？为什么？3．如图2-72，已知∠1=︒100，∠2=80°，∠3=︒95，那么∠4是多少度？4．如图2-73，AB 、CD 、EF 、MN 构成的角中，已知∠1=∠2=∠3，问图中有平行线吗？如果有，把彼此平行的直线找出来，并说明其中平行的理由．5．如图2-74，已知∠1+∠2=︒180，∠3=︒95．求∠4的度数？6．如图2-75，已知l //m ，求∠x,∠y 的度数．7．如图2-76，直线21,l l 分别和直线43,l l 相交，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∠4=︒115．求∠3的度数．转化发散1．如图2-77，已知∠AEF=∠B ，∠FEC=∠GHB ，GH 垂直于AB ，G 为垂足，试问CE ，能否垂直AB ，为什么？2．如图2-78，已知∠ADE=∠B ，FG ⊥AB ，∠EDC=∠GFB ，试问CD 与AB 垂直吗？简述你的理由．分解发散发散题 如图2-79，AB//CD ， ∠1=∠2，∠3=∠4，求∠EMF 的度数．【提高能力测试】题型发散选择题，把正确答案的代号填入括号内．（1）如图2-81，能与∠α构成同旁内角的角有（ ）（A ）1个 （B ）2个（C ）5个 （D ）4个（2）如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）（A ）︒︒138,42 （B ）都是︒10（C ）︒︒138,42或︒42，︒10 （D ）以上答案都不对（3）如图2-82，AB//CD ，MP//AB ，MN 平分 ∠AMD ．∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP 等于（ ）（A ）︒10 （B ）︒15 （C ）︒5 （D ）︒5.7（4）如图2-83，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC//DF ，BC//EF ．证明： ∵∠1=∠2（已知），（A ）∴AC//DF （同位角相等，两直线平行）∴∠3=∠5（内错角相等，两直线平行）（B ）∵∠3=∠4（已知）（C ）∴∠5=∠4（等量代换）（D ）∴BC//EF （内错角相等，两直线平行）则理由填错的是（ ）（5）如图2-84，已知AB//CD ，HL//FG ，EF ⊥CD ，∠1=︒40，那么，∠EHL 的度数为（ ）（A ）︒40 （B ）︒45（C ）︒50 （D ）︒55（6）直线21//l l ，D 、A 是1l 上的任意两点，且A 在D 的右侧，E 、B 是2l 上任意两点，且B 在E 的右侧，C 是1l 和2l 之间的某一点，连结CA 和CB ，则（ ）（A ）∠ACB=∠DAC+∠CBE （B ）∠DAC+∠ACB+∠CBE=︒360（C ）（A ）和（B ）的结论都不可能 （D ）（A ）和（B ）的结论有都可能（7）如图2-85，如果∠1=∠2，那么（ ）（A ）AB//CD （内错角相等，两直线平行）（B ）AD//BC （内错角相等，两直线平行）（C ）AB//CD （两直线平行，内错角相等）（D ）AD//BC （两直线平行，内错角相等）（8）如图2-86，AB//EF ，设∠C=︒90，那么x 、y 和z 的关系是（ ）（A ）z x y +=（B ）︒=++180z y x（C ）︒=-+90z y x （D ）︒=-+90x z y（9）如图2-87，∠1:∠2:∠3=2:3:4，EF//BC ，DF//EB ，则∠A:∠B:∠C=( )（A ）2:3:4 （B ）3:2:4（C ）4:3:2 （D ）4:2:3（10）如图2-88，已知，AB//CD//EF ，BC//AD ，AC 平分∠BAD ，那么图中与∠AGE 相等的角有（ ）（A ）5个 （B ）4个 （C ）3个 （D ）2个2．填空题．（1）三条相交直线交于一点得6个角，每隔1个角的3个角的和是_______度．（2）∠A 和∠B 互为邻补角，∠A:∠B=9:6，则∠A=__________,∠B=_________.（3）如果∠1和∠2互补，∠2比∠1大︒10，则∠1=___________,∠2__________.（4）如图2-89，已知AB//CD ，EF 分别截AB 、CD 于G 、H 两点，GM 平分∠AGE ，HN 平分∠CHG ，求证：GM//HN ．证明：∵ _______//_______（ ） ，∴∠AGE=∠CHG （ ）．又∵GM 平分∠AGE （ ）∴ ∠1=21_________（ ）．∵_______平分________（ ），∴ ∠2=__________（ ），则GM//HN （ ）．（5）如图2-90，已知21//l l ，∠1=︒40，∠2=︒55，则∠3=_______,∠4=______.（6）如图2-91，①∵∠1=∠2，∠3=∠2， ∴∠1=∠3（ ）②∵∠1=∠3， ∴∠1+∠2=∠3+∠2（ ），即∠BOD=∠AOC ，③∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC －∠2=∠BOD －∠2（ ），即∠3=∠1．（7）如图2-92，已知，AB 、AC 、DE 都是直线，∠2=∠3，求证：∠1=∠4．证明：∵AB 、AC 、DE 都是直线（ ），∴∠1=∠2，∠3=∠4（ ）．∵∠2=∠3（ ），∠1=∠4（ ）．（8）如图2-93，∠OBC=∠OCB ，OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，求证：∠ABC=∠ACB ． 证明：∵OB 平分∠ABC （ ），∴∠ABC=2∠OBC （ ）∵OC 平分∠ACB （ ）∴∠ABC=2∠OCB （ ）∵∠OBC=∠OCB （ ），∴2∠OBC=2∠OCB （ ），即∠ABC=∠ACB ，（9）如图2-94，AB ⊥BC ，∠1=∠2，∠3=∠4，求证CD ⊥BC ，证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4（ ）∴∠1+∠3=∠2+∠4（ ），即∠ABC=∠BCD ．∵AB ⊥BC （ ） ∴∠ABC=︒90（ ）∴∠BCD=︒90（ ）， ∴CD ⊥BC （ ）．（10）如图2-95，∠1=∠3，AC 平分∠DAB ，求证：AB//CD ．证明：∵AC 平分∠DAB （ ），∴∠1=∠3（ ）．∵∠1=∠2（ ），∴∠3=∠2（ ），∴AB//CD （ ）．3．计算题（1）如图2-96，已知21//l l ，∠1=︒65，∠2=︒35，求∠x 和∠y 的度数．（2）如图2-97，已知∠AMF=∠BNG=︒75，∠CMA=︒55．求∠MPN 的度数．（3）如图2-98，已知43∠B=︒75.33，过∠ABC 内一点P 作PE//AB ，PF//BC ，PH ⊥AB ．求32∠FPH 的度数．（4）如图2-99，已知AE//BD ，∠1=3∠2，∠2=︒28．求21∠C ．‘（5）如图2-100，OB ⊥OA ，直线CD 过O 点，∠AOC=︒20．求∠DOB 的度数．解法发散1．已知AB//CD ，试问∠B+∠BED+∠D=︒360．（用两种以上方法判断）2．如图2-101，已知∠BED=∠ABE+∠CDE ，那么AB//CD 吗？为什么？（用四种方法判断）变更命题发散1．如图2-102，在折线ABCDEFG 中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB ，GF 交于点M ．那么，∠AMG=∠3，为什么？2．如图2-103，已知AB//CD ，∠1=∠2．试问∠BEF=∠EFC 吗？为什么？ （提示：作辅助线BC ）．分解发散如图2-104，AB//CD ，在直线，AB 和CD 上分别任取一点E 、F ．（1）如图2-104，已知有一定点P 在AB 、CD 之间，试问∠EPF=∠AEP+CFP 吗？为什么？（2）如图2-105，如果AB 、CD 的外部有一定点P ，试问∠EPF=∠CFP －∠AEP 吗？为什么？（3）如图2-106，AB//CD ，BEFGD 是折线，那么∠B+∠F+∠D=∠E+∠G 吗？简述你的理由．4转化发散1．判断互为补角的两个角中，较小角的余角等于这两个互为补角的差的一半．2．已知点C 在线段AB 的延长线上，AB=24cm ，BC=83AB ，E 是AC 的中点，D 是AB 的中点，求DE 的长．综合发散1．线段AB=14cm ，C 是AB 上的一点，BC=8cm ，又D 是AC 上一点，AD:DC=1:2，E 是CB 的中点，求线段DE 的长．2．如图2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=︒36，∠ACB=︒60，AQ 平分∠FAC ，求∠HAQ 的度数．3．如图2-108，已知∠1=∠2，∠C=∠D ，试问∠A=∠F 吗？为什么？4．如图2-109，已知AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠4=∠C ，那么∠1=∠2．谈谈你的理由．参考答案【巩固基础训练】 题型发散1．(1)(D) (2)(C) (3)(C) (4)(A) (5)(D) (6)(A) (7)(B) (8)(B) (9)(A) (10)(D)2．(1)如果在同一平面内两条直线没有公共点，那么这两条直线平行．(2)垂线段．(3)40°、140°．(4)垂直．(5)①∠ABC=∠DCE ，(两直线平行，同位角相等)，∠1=∠2，∠BCD+∠ABC(两直线平行，同旁内角互补)．②AD ∥BC ，(内错角相等，两直线平行)． ③AD ∥BC ，(同位角相等，两直线平行)．(6)(等量代换)，AB ∥EF ，(内错角相等，两直线平行)，(已知)，∠2+∠3=180°，CD ∥EF(如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．(7)①∠1和∠2是同位角．∠1=∠2，则DE ∥AC(同位角相等，两直线平行)；②直线DE 、AC 被直线BC 所截，因此DE ∥AC ，∠3=∠4(两直线平行，同位角相等)．(8)∴ABC 212∠=∠(角平分线定义) 同理BCD 211∠=∠． ∴)BCD ABC (2121∠+∠=∠+∠ (等式性质)．又∵AB ∥CD(已知)，∴∠ABC+∠BCD=180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠1+∠2=90°(等量代换)．(9)①如果∠B=∠FGC ，则AB ∥FG ，因为同位角相等，两直线平行．②如果∠BEG=∠EGF ，则AB ∥FG ，因为内错角相等，两直线平行．③如果∠AEC+∠EAF=180°，则EG ∥AC ，因为同旁内角互补，两直线平行．(10)∴∠B=∠BCF ．∴CF ∥DE(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．∴∠D=∠DCF(两直线平行，内错角相等)．3．(1)AD 、BC 与AB 相交，∠DAB 与∠4是同旁内角，∵∠2+∠3+∠4=∠DAB+∠4=180°． ∴AD ∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．同理，∵∠1+∠2+∠5+∠EAC+∠5=180°，∴AE ∥BC ． ∴AD 、AE 在同—条直线上．(经过直线外一点，有—条而且只有一条直线和这条直线平行)则AE 、AD 在A 点处形成一个平角， 故∠1+∠2+∠3=180°．(2)50°，50° (3)12° (4)25°，85°． 纵横发散1．∵BD ∥EC(已知)，∴∠DBC+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补)． 又∵∠C=∠D(已知)，∴∠DBC+∠D=180°(等量代换)． 故AC ∥DF(同旁内角互补，两直线平行)． 2．∵∠1=∠2(已知)，∴AB ∥CD(同位角相等，两直线平行)，∴∠BMN+∠DNM=180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∴∠3+∠4=(180°-∠BMN)+(180°-∠DNM)=360°-180°=180°(等量代换)．解法发散1．(1)通过同位角相等，判断两直线平行．(2)通过两条直线都和第三条直线垂直来判断这两条直线平行．解法1如图2-1′， ∵EF ⊥AB(已知)， ∴∠1=90°(垂直的定义)． 同理，∠3=90°，∴∠1=∠3． 又∵AB ∥CD(已知)，∴∠1=∠2(两条直线平行，同位角相等)， ∴∠2=∠3(等量代换)．∴EF ∥MN(同位角相等，两直线平行)． 解法2 ∵EF ⊥AB(已知)， ∴∠1=90°(垂直的定义)． 又∵AB ∥CD(已知)，∴∠1=∠2=90°(两直线平行，同位角相等)， ∴EF ⊥CD(垂直的定义)，又∵MN ⊥CD(已知)，∴EF ∥MN(如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行)．2．解法1∵∠2=∠4，∠1=∠2． ∴∠1=∠4．∴a ∥b(同位角相等，两直线平行)． 解法2∵∠2=∠4，∠1=∠3(对顶角相等)． 又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4． ∴a ∥b(内错角相等，两直线平行)． 解法3 ∵∠1+∠5=180°(平角定义)， ∠1=∠2，∴∠2+∠5=180°，又∵∠2=∠4(对顶角相等)，∴∠4+∠5=180° ∴a ∥b(同旁内角互补，两直线平行)．变更命题发散 1．51°．2．(1)30°；(2)平行，根据内错角相等，两直线平行． 3．85°．4．因为∠1和∠4是对顶角，所以∠1=∠4，又因为∠1=∠2=∠3，所以∠4=∠2，∠4=∠3．直线AB ，CD 被EF 所截，∠2和∠4是同位角，且∠4=∠2，所以，AB ∥CD ．同理，由∠4=∠3，可推知EF ∥MN ． 5．∵∠1=∠6，∠2=∠7(对顶角相等)， 又∵∠1+∠2=180°(已知)， ∴∠6+∠7=180°(等量代换)．∴AB ∥CD(同旁内角互补，两直线平行)， ∴∠4=∠5(两直线平行，内错角相等)． 而∠3+∠5=180°(平角的定义)，∠3=95°(已知)，∴∠5=85°(等式性质)， 故∠4=85°(等量代换)． 6．∠x=125°，∠y=72°．7．由题意，∠1是∠3的余角，而∠2与∠3余角互补，故∠1+∠2=180°，于是21l //l ，所以∠3=∠5=180°-∠4=180°-115°=65°．转化发散1．分析 把判断两条直线垂直问题转化为判断两条直线平行问题．理由如下：∵∠AEF=∠B ，∴EF ∥BC ，∴∠FEC=∠1． 又∵∠FEC=∠GHB ，∴∠GHB=∠1，∴GH ∥CE ． ∵GH ⊥AB ，∴CE ⊥AB ．2．分析 本题将证明两条直线垂直的问题转化为证明两条直线平行的问题．理由如下：∵∠ADE=∠B （已知），∴DE ∥BC （同位角相等，两直线平行）， ∴∠BCD=∠EDC （两直线平行，内错角相等）． 又∵∠EDC=∠GFB （已知）， ∴∠BCD=∠GFB （等量代换），∴FG ∥CD （同位角相等，两直线平行）． 又∵FG ⊥AB （已知），故CD ⊥AB （如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直）．分解发散如图2-2′，过M 作MN ∥AB （过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线），∵AB ∥CD （已知），∴MN ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴∠2=∠EMN （两直线平行，内错角相等）．∠4=∠NMF 而∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠EMF=90°． 综合发散1．已知：如图2-3′，AB ∥CD ，∠BMN 与∠MND 是一对同旁内角，MG ，NG 分别是两个角的角平分线．求证：MG ⊥NG ．证明：∵AB ∥CD （已知）， ∴∠BMN+∠MND=180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵MG 、NG 为角平分线（已知）， ∴MND 21MNG BMN 21NMG ∠=∠∠=∠，（角平分线定义），∴︒=︒⨯=∠+∠=∠+∠9018021)MND BMN (21MNG NMG ， ∴∠MGN=90°． ∴MG ⊥NG ．2．已知∠1=∠2，∠3=∠4，EM ∥FN ，求证：AB ∥CD ． 如图2-4′，∵ME ∥FN ，∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4．即∠AEF=∠DFE ．故AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．3．DEB 21ACB 21DCE FEB ∠=∠=∠=∠． 4．8.1cm ．5．解∵AB ∥CD （已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∠A+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 即∠A+∠ADB+∠2=180°． ∵AD ⊥DB （已知），∴∠ADB=90°（垂直的定义），∴∠A+∠2=90°（等量减等量，差相等）， ∴∠A+∠1=90°（等量代换）， ∴∠1与∠A 互余（互余的定义）．【提高能力测试】 题型发散1．（1）（C ） （2）（D ）（3）（C ） （4）（A ）（5）（C ） （6）（A ） （7）（A ）（8）（C ）（9）（B ）（10）（A ） 2．（1）180．（2）108°，72°．（3）85°，95°． （4）AB ∥CD （已知），两直线平行，同位角相等（已知）．AGE 211∠=∠（角平分线定义）HN 平分∠CHE （已知），CHG 212∠=∠（角平分线定义）；∠1=∠2（等量代换），同位角相等，两直线平行．（5）∠3=95°，∠4=85°．（6）①（等量代换）．②（等量之和相等）．③（等量之差相等）（7）（已知），（对顶角相等），（已知），（等量代换）． （8）（已知），（角平分线定义）．（已知），（角平分线定义）．（已知），（等量的同倍量相等）．（9）（已知），（等量之和相等）．（已知），（垂线定义）．（等量代换），（垂线定义）．（10）（已知）（角平分线定义）．（已知），（等量代换）．（内错角相等，两直线平行）．3．（1）80°，100°．（2）50°．（3）30°．（4）28°． （5）∵OB ⊥OA （已知），∴∠AOB=90°（垂直定义）． 又∵∠AOC=20°（已知），∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-20°=70°（等式性质）． 又∵DOC 是一直线（已知），∴∠DOB+∠BOC=180°（平角的定义），∴∠DOB=110°（等式性质）． 4．略． 解法发散1．解法1 如图2-5′，从E 点作EF ∥AB ．∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵AB ∥CD （已知），∴EF ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°， 即∠B+∠BED+∠D=360°．解法2 如图2-6′，从E 点作EF ∥AB ， 则∠1=∠B （两直线平行，内错角相等）． 又∵AB ∥CD （已知），∴EF ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠2=∠D （两直线平行，内错角相等）． ∵∠1+∠BED+∠2=360°（周角的定义）， ∴∠B+∠BED+∠D=360°（等量代换）．2．分析 关键是找到“第三条直线”把原两条直线AB ，CD 联系起来．解法1 如图2-7′，延长BE 交CD 于F ．有∠BED=∠3+∠2， ∵∠BED=∠1+∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠2．即∠1=∠3，从而AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．解法2 如图2-8′，过E 点作EF ，使∠FED=∠CDE ，则EF ∥CD ． 又∵∠BED=∠ABE+∠CDE ，∴∠FEB=∠ABE ．因而EF ∥AB ． ∴AB ∥CD （AB ，CD 都平行于EF ）．解法3、解法4可依据图2-9′、图2-10′，读者可自行判断．变更命题发散 1．判断理由如下： ∵∠1=∠2（已知），∴AM ∥CD （内错角相等，两直线平行）． 同理，∵∠4=∠5，∴GM ∥DE ，∵∠AMG=∠3（如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补）．2．判断理由如下： 连结BC ．∵AB ∥CD （已知），∴∠ABC=∠BCD （两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2，∴∠EBC=∠FCB （等量之差相等）， ∴EB ∥CF （内错角相等，两直线平行）， ∴∠BEF=∠EFC （两直线平行，内错角相等）． 分解发散（1）提示：过P 作PQ ∥AB ，把∠EPF 分割成两部分∠EPQ 、∠QPF ，利用平行线内错角相等判断．（2）提示：先求∠CFP 的等角∠1，过Q 点作QG ∥PE ，把∠1分割成两部分，再利用平行线内错相等证明．∠EPF=∠1-∠AEP ，又∵∠1=∠CFP ， 最后证得结论：∠EPF=∠CFP-∠AEP ． （3）提示：过E 、F 、G 作AB 的平行线． 转化发散1．提示：考虑互补的两角有一条边互为反向延长线MN ，过角的顶点作MN 的垂线，只须证互补两角中的大角减小角的差等于小角的余角的2倍．2．如图2-11′，∵AB 83BC=，∴33248324BC AB AC=⨯+=+=．又∵E 是线段AC 的中点，∴5.163321AC 21AE=⨯==． 同理122421AB 21AD =⨯==， 故DE=AE-AD=16.5-12=4.5（cm ）． 迁移发散∵一条直线将平面分成2个区域，加上第二条直线，区域数增加2，加上第三条直线，区域数又增加3……，加上第10条直线，区域数又增加10．∴10条直线，按已知条件，将平面分成的区域数为n ． 则n=2+2+3+4+…+10=1+(1+2+3+4+…+10) =56．综合发散 1．8cm ． 2．12°．3．提示：先判断DB ∥EC ，再判断DF ∥AC ． 4．本题判断如下：∵AD ⊥BC （已知），EF ⊥BC （已知）， ∴AD ∥EF （垂直于同一条直线的两直线平行）， ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠4=∠C （已知）．∴AC ∥GD （同位角相等，两直线平行）． ∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）． ∴∠1=∠2（等量代换）．。