测量误差
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测量误差的表示方法
测量误差的表示方法测量误差表示方法：肯定误差、相对误差。
1.肯定误差定义式：Δx＝测量值x–真值A0，实际上计算式：Δx=x–实际值A其中，Δx正负号表示：x偏离A的方向，即偏大或偏小；Δx大小表示：x偏离A的程度。
例1一个被测电压，其真值U0为100V，用一只电压表测量，其指示值U 为101V.则肯定误差△U=U-U0=101-100=1V修正值（校正值）：与肯定误差的肯定值大小相等，但符号相反的量值称为修正值，用C表示。
修正值：C =–Δx=A–x→ A=C+Δx ，C常在用高级标准仪器对测量仪器校准时给出，给出的方式为数值、一条曲线、一张表格。
虽然肯定误差可以说明测量结果偏离实际值的状况，但不能准确反映测量结果偏离实际值的程度。
例：测量足球场的长度和成都市到绵阳市的距离，若肯定误差都为1米，测量的精确程度是否相同？2.相对误差一个量的精确程度，不仅与它的肯定误差的大小，而且与这个量本身的大小有关。
定义：测量的肯定误差与被测量的真值之比。
相对误差一般用实际相对误差、示值相对误差和满度相对误差，分贝误差表示。
（1）实际相对误差：；（2）示值相对误差：，因通常A、X ΔX 故常用X便利；（3）满度相对误差：，其中，xm：仪器满度值。
由于测量值相对误差γx与满度相对误差S%的关系：依据，测量值x靠近满量程值xm相对误差小，一般状况下，应尽量使指针处在仪表满度值的2/3以上区域.；指针式电工仪表精确度等级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0共七级，其数值表示仪表满度相对误差所不超过的百分比。
（4）分贝误差：用对数形式表示的误差称为分贝误差。
设输出量与输入量测得值之比为U0／Ui，则增益的分贝值：，Gx称为增益测得值的分贝值。
相对误差的对数表现形式，称之为分贝误差。
测 量 误 差
1 (12.236 12.2143)2 (12.13312.2143)2 (12.152 12.2143)2 11
1 (12.255 12.2143)2 (12.246 12.2143)2 11
1 (0.09132 0.01972 0.02072 0.01872 0.07232 0.00772 11
i 1
x0 )2
lim
1 n 2
n i1
标准误差的估计值 ˆ 可由下式计算（贝塞尔公式 ）
ˆ
n
1
1
n i 1
(
xi
x)2
n
1
1
i
n 1
vi 2
在一般情况下，我们对 和 ˆ 并不加以严格区分，
统称为标准误差。标准误差在评价正态分布的随
机误差时具有特殊的意义。
理论计算表明：
介于(-，+)之间的随机误差出现的概率为
Ⅱ.相对误差
相对误差是仪表指示值的绝对误差δ与被测量真
值x0的比值，常用百分数表示，即
r 100 % x x0 100 %
x0
x0
相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程
度。在上面的例子中
r1
0.001100% 10
0.01%
0.01
r2
100% 0.005% 200
显然，后一种长度测量仪表更精确。
4. 对称测量法 这种方法用于消除线性变化的系统误差。下面我们 通过利用电位差计和标准电阻RN，精确测量未知电阻Rx 的例子来说明对称测量法的原理和测量过程，如下图。
Ux Rx I S +E-
UN RN
RP
I
i
i-ε
i-2ε
测量误差
•
题：某量误差为4，相对误差为2%， 求该量真值。 • 解： ΔX= Δ/x0= Δ/x • x0= Δ/ ΔX=4/0.02=200 •
• 实际工作中，不难发现，在仪表的一个量程的 分度线上，当绝对误差保持不变，相对误差将 随着被测量的量值增大而减少即各个分度线上 的相对误差是不一致的。为了便于划分这类仪 表准确度级别，取某一被测量的量值为特定值。 这个特定值一般称为引用值。 • 引用误差（r）=计量器具的相对误差与特定 引用误差（ ） 计量器具的相对误差与特定 之比， 值（xN）之比，即r =∆/ xN • 最大引用误差：仪表在整个量程范围内的 最大示值的绝对误差∆m比仪表量程上限Am ， 并用百分数表示。
随机误差与系统误差
一、随机误差 • 1、随机误差产生原因 ——由很多暂时未能掌握或不便掌握的微 小因素所构成，这些因素在测量过程中 相互交错、随机ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ化，以不可预知方式 综合地影响测量结果。 • 2、随机误差的特点 特点 ——单峰性、对称性、有界性、抵偿性等
• 3、随机误差的评定 ——随机误差按统计方法来评定，如用算 术平均值来评定测量结果的数值，实验 标准偏差、算术平均值实验标准偏差来 评定测量结果的分散性等。
• （3）偏差（d） • ——某值减去其标称值。 • 偏差=实际值-标称值 • 如：用户需要一个准确值为1kg的砝码， 并将此用有的值标示在砝码上，而工厂 加工时由于诸多因素的影响，所得的实 际值为1.002kg，此时的偏差为 +0.002kg。
2．相对误差 相对误差
误差还有一种表示方法，叫相对误差，它是 绝对误差与测量值或多次测量的平均值的比值， 即或，并且通常将其结果表演示成非分数的形 式，所以也叫百分误差。 • ΔX= Δ/x0= Δ/x • 相对误差是个无量纲数，是专门用于评价距离 相对误差是个无量纲数， 测量结果精度的指标 • 绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度， 而相对误差则可以比较不同测量结果的可靠性。
名词解释测量误差
名词解释测量误差
测量误差是指在测量过程中由于各种因素引起的测量值与真实值之间的偏差。
测量误差是任何测量中都会存在的一个不可避免的问题。
这些误差可能是由于人为因素、设备误差、环境因素等多种因素引起的。
常见的测量误差包括系统误差和随机误差。
系统误差是由于测量仪器本身的固有误差或者测量条件的变化引起的误差，如设备校准不准确、操作不当、环境温度变化等。
随机误差则是由于测量过程中各种随机因素的影响而产生的误差，如人员操作不精准、数据采集不完整、环境噪声等。
为了减少测量误差，可以采取一系列措施，如加强设备的校准和维护、提高人员的技能水平、优化测量方法和环境等。
此外，在数据处理的过程中，也可以采用一些方法来降低误差的影响，如平均值滤波、线性拟合等。
在工程、科学等领域中，准确的测量是非常重要的，因为它直接关系到产品质量、实验结果的可靠性和科学研究的有效性。
因此，了解测量误差的原因和如何消除误差，对于提高测量精度和数据质量具有重要的意义。
测量误差及数据处理
x0
x
相对误差ε是一个无量纲的数据，通常以百分数的形式表
示。相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。例如，
在上面的例子中，ε1＝0.002/20×100%＝0.01%，ε2＝ 0.02/250×100%＝0.008%，可以看出，后者的测量精度更高。
1.2 测量误差的来源
计量器具 误差
计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用
（2）随机误差的评定指标
① 算术平均值 。对同一被测量进行n次等精度测量，测
量结果为x1、x2、…、xn，则算术平均值x 为：
x
x1 x2 xn n
1 n
n i1
xi
测量次数n越大，算术平均值 越趋近于真值x0。因此，用
算术平均值 x 作为最后测量结果是可靠的、合理的。
② 标准偏差σ。
用算术平均值 x 表示测量结果虽然可靠，但不能全面反
映测量精度。例如，有两组测得值： 第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002； 第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00。
两组测得值的算术平均值 x1＝ x2＝12，但第一组测得
值比较集中，第二组测得值比较分散，也就是说，第一组的 每一个测得值比第二组的更接近于算术平均值，第一组测得 值的测量精度比第二组高。此时，算术平均值就不能准确地 反映测量精度了，而常用标准偏差σ来反映测量精度的高低。
源
误差
所引起的误差。环境条件主要包括温度、湿度、气压、振
动和灰尘等，其中，温度对测量结果的影响最大。
测量人员 误差
测量人员误差是指由测量人员的主观因素所引起的误
差。例如，测量人员技术不熟练、测量瞄准不准确、估读 判断错误和测量习惯等引起的误差。
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
测量误差
mz k12mx21 k22mx22 kn2mx2n
第3章 测量误差
第3章 测量误差
3.4 误差传播定律
对n次等精度观测，算术平均值及线性函数的中误差分别为：
因为x是等l1精l度2n观测l，n 则mm 1=x m 2= 1 n … 2 =m m1 2 n =1 nm 2m ，2 2m 为 观 测1 n 值2m n 2 的中误差。由此得到按观测值的中误差计算算术平均值的中 误差的公式：
第3章 测量误差
第3章 测量误差 3.3 算术平均值及观测值的中误差
三、按观测值的改正值计算中误差 （白塞尔公式）
衡量观测精度的理想量是标准差，但实际工作中没有无限 次观测，故只能用中误差来代替标准差。
多数情况下，观测值的真值不可知，故真误差不可知，无 法求中误差。
实际计算为：对有限的n次观测值求算术平均值，由其计
第3章
3.4 误差传播定律
测量误差
因观测值含有误差，使得其函数受其影响也含有误差，称 为误差传播。
误差传播定律：反映观测值的中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律。
一、观测值的函数
1、和差函数 2、倍函数 3、线性函数 4、－般函数
z x 1 x 2 x n
zkx
z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n
( X x ) 2 [ ] 2 2 1 2 2 2 n 2 ( 1 2 1 3 1 2 )
n 2
n 2
n 2
第3章 测量误差
第3章 测量误差 3.3 算术平均值及观测值的中误差
因此可得： 按观测值的改正值计算中误差 ——白塞尔公式
m []m [vv]
n
n1
精度：反映一组观测值误差分布的密集或离散程度的数值。
测量基础知识----测量误差
误差称为偶然误差
偶然误差的特性
1. 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的 绝对值不超过一定的限值。
2. 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的 误差出现的频率小。
3. 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。 4. 当观测误差无限增多时，偶然误差平均值的极限
为0，即偶然误差具有抵偿性。
消除和减少系统误差的方法有两种：
1. 观测方法和观测程序上采用必要的措施，限 制或削弱系统误差的影响，如角度测量中采取 盘左、盘右观测；水准测量中限制前后视视距 差等；
2. 找出产生系统误差的原因和规律，对观测值 进行系统误差的改正。
（三). 偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行一 系列的观测，如果观测误差的符号和大小 都不一致，表面上没有任何规律性，这种
解
mK1 =
m1 D1
= 0.01m = 1 100m 10000
mK2=
m2 D2
= 0.01m = 1 30m 3000
比较mk1和mk2可知，D1的观测精度比D2 高。
结论：相对误差是专门用于评价距离测 量结果精度的指标。
3、极限误差
在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过 的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。
真误差绝对值大小统计结果
误差区间
0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 15″～18″ 18″～21″ 21″～24″ 24″～27″ 27″以上
合计
正误差个数
30 21 15 14 12 8 5 2 1 0 107
负误差个数
29 20 18 16 10 8 6 2 0 0 110
例 设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观
偶然误差的特性
1. 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的 绝对值不超过一定的限值。
2. 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的 误差出现的频率小。
3. 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。 4. 当观测误差无限增多时，偶然误差平均值的极限
为0，即偶然误差具有抵偿性。
消除和减少系统误差的方法有两种：
1. 观测方法和观测程序上采用必要的措施，限 制或削弱系统误差的影响，如角度测量中采取 盘左、盘右观测；水准测量中限制前后视视距 差等；
2. 找出产生系统误差的原因和规律，对观测值 进行系统误差的改正。
（三). 偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行一 系列的观测，如果观测误差的符号和大小 都不一致，表面上没有任何规律性，这种
解
mK1 =
m1 D1
= 0.01m = 1 100m 10000
mK2=
m2 D2
= 0.01m = 1 30m 3000
比较mk1和mk2可知，D1的观测精度比D2 高。
结论：相对误差是专门用于评价距离测 量结果精度的指标。
3、极限误差
在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过 的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。
真误差绝对值大小统计结果
误差区间
0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 15″～18″ 18″～21″ 21″～24″ 24″～27″ 27″以上
合计
正误差个数
30 21 15 14 12 8 5 2 1 0 107
负误差个数
29 20 18 16 10 8 6 2 0 0 110
例 设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
测 量 误 差
1.3 测量误差的表示方法
1、绝对误差： ΔX ＝ X－A0
其中：Ｘ－测量值， A0－真值
2、相对误差
（1）实际相对误差
（1.35）
A
X A
100%
（1.36）
ΔX－绝对误差， A－约定值(在实际测量中，常用某一被测
量多次测量的平均值，或上一级标准仪器测量所得的示值A代 替真值A0，A称为约定真值。)
1.1 误差理论的几个术语
1）等精度测量：指在同一条件下所进行的一系 列重复测量。
2）非等精度测量：是指在多次测量中，如对测 量结果精确度有影响的一切条件不能完全维持 不变的测量。
3）真值：被测量本身所具有的真正值称之为真 值。真值是一个理想的概念，一般不知道，但 在某些特定情况下，真值又是可知的。
（2）示值相对误差
X
X X
100%
（1.37）
其中：∆X－绝对误差 X－仪器示值
3、引用误差（满量程相对误差）
F
X X FS
100 %
（1.38）
其中： ΔX－绝对误差 XFS －仪器满度值
当ΔX 取最大值时的满量程相对误差，常用来表示仪表的精度 等级。国家规定电工仪表精确度等级分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、 2.5、5.0七级。 如0.2级表的引用误差最大值≤±0.2%。
4）实际值：通常只能把精度更高一级的标准器具 所测得的值作为真值。为了强调它并非是真正的 真值，故把它称为实际值。
5）标称值：指测量器具上所标出来的数值。 6）示值：是由测量器具读数装置所指示出来的被
测量的数值。 7）测量误差：用测量器具进行测量时，所测量出
来的数值与被测量的实际值（或真值之间的差 值）。
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二 .几种常用函数的中误差
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx (x为观测值，K为x的系数) dZ Kdx 全微分 2 得中误差式 mZ K 2 mx Km x
例：量得 1 : 1000 地形图上两点间长度 l =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 求全微分 中误差式
称为标准差：
[2 ] [] lim lim n n n n
湖北工业大学
土建学院测量工程系
13
2015年2月8日星期日
测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
中误差:
观测次数无限多时，用标准差
表示偶然误差的离散情形：
[] n
lim
n
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土建学院测量工程系
9
图6-1 误差统计直方图
2015年2月8日星期日
◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：
3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)； (2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
2 1 2 2 2 2 2 n 2 n
f x f x f x
2
K
2 1
K
K
K
即
m f m f m f m
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2 z
2 1
2 x1
2 2
2 x2
2 n
2 xn
(h)
土建学院测量工程系
21
2015年2月8日星期日
m f m f m f m
P() f ()d
km
2 m
e
2m
d
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
P( km)
km
1 e 2 m
2 2 2m
d
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在 一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.4 P(||3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：
湖北工业大学
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|极|=3|m| 或 |容|=2|m|
17
2015年2月8日星期日
3.相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。 解：
◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测
湖北工业大学
土建学院测量工程系
3
2015年2月8日星期日
§5.1测量误差与精度
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X ● 测量误差的表现形式 l X （观测值与真值之差） （观测值与观测值之差） l l ij i j ● 测量误差的来源
上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。
湖北工业大学
土建学院测量工程系
22
2015年2月8日星期日
通过以上误差传播定律的推导，我们 可以总结出求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。
湖北工业大学
土建学院测量工程系
23
2015年2月8日星期日
第 5章
测量误差的基本知识
湖北工业大学
土建学院测量工程系
1
2015年2月8日星期日
第5章
§5.1
测量误差的基本知识
测量误差与精度
§5.2
§5.3
知识要点 • 测量误 差 • •
误差传播定律
等精度直接观测的最可靠值及其中误差
掌握程度 (1) 准确理解测量误差及中误差的概念； (2) 掌握衡量精度的评定标准 • • 相关知识 (1) 偶然误差的四个特性； (2) 中误差的基本公式
图5-1 误差统计直方图
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湖北工业大学
土建学院测量工程系
2015年2月8日星期日
§5.4
1.方差与标准差
衡量精度的指标
y
正态分布曲线(a=0)
由正态分布密度函数
x 式中ຫໍສະໝຸດ 1 e 2 x a 2
2 2
a、
e =2.72828… 为常数；
x=
2 2 2
令： x a ，上式为：
(d)
(k ) (k ) ( k ) f1x1( k ) f 2 x2 f n xn
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2 2 2 f12 x12 f 22 x2 f n2 xn 2 f1 f 2 x1x2
观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：
2 2 2 [] 1 2 n m n n
上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：
i=i - X
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1 y f () e 2
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标准差 的数学意义
1 y f () e 2
2 2 2
y
较小 较大
上式中，
2
称为方差：
表示的 离散程度
x=
2 2 2 2 [ ] 2 1 2 n lim lim n n n n
0.02 1 K1=—— =—— 100 5000
0.02 1 ； K2= —— = —— 200 10000
K2<K1，所以距离S2精度较高。
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§5.5
误差传播定律
一.一般函数的中误差 设有函数： (a) Z F ( x1 , x2 ,, xn ) xi为独立观测值 设 xi 有真误差 xi ，函数 Z 也产生真误差
规律性变化，具有积累性。 例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) …… …… ● 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校)
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S 1000 l d S 1000d l mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m S 168.5m 0.2m
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2.线性函数的中误差 设有函数式 Z k x k x k x 1 1 2 2 n n 全微分 dz k1dx1 k2 dx2 kn dxn
•
精度评 定
• • •
(1) 重点掌握误差传播定律； (2) 熟练观测值中误差计算； (3) 了解权及加权平均值
• • •
(1) 相关公式推导和应用条件； (2) 应用算术平均值及其中误差； (3) 权与中误差的关系
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§5.1
◆测量与观测值
测量误差与精度
对(a)全微分：
F F F dZ dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
(b)
由于xi 和 是一个很小的量，可代替上式中的dxi 和 dz ：
代入(b)得
F F F x1 x2 xn x1 x2 xn
F fi xi
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
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§5.2
测量误差的种类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差 1.粗差(错误)——超限的误差 2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
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用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。 各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
2 f1 f 3x1x3 2 f i f j xi x j
对K个(e)式取总和：
(e)
f x f x f x 2 f f x x
2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 n 2 n n i , j 1 i j i j i j
2
(f)式两边除以K，得(g)式：
i , j 1 i j
i
j
i
j
(f)
<<前面各项
K