2020-2021学年第一学期高等数学D (B卷)期末试题

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大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试之巴公井开创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线xy ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

2021年高一上学期期末考试数学(B)试卷含答案

2021年高一上学期期末考试数学（B）试卷含答案一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、设集合，集合，则等于（ D ）A. B. C. D.2、已知函数，则（ B ）A.4B.C.-4D.-3、函数的定义域为，若，，则（ B ）A. B. C. D.4、过点P(-1,3),且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( A)A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x+2y+7=05、函数f(x)=lnx+x3-9的零点所在的区间为( C)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)6、已知两直线l1:x+(1+m)y=2-m,l2:2mx+4y=-16,若l1∥l2则m的取值为( A)A.m=1B. m=-2C. m=1或m=-2D. m=-1或m=27、如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论错误的是( D)A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.AC1⊥BD18、函数的定义域为（ A ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9、若圆的圆心到直线的距离为，则的值为（C）Ａ．或Ｂ．或Ｃ．或Ｄ．或10、已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,那么f(4)+f(-4)的值为( B)A.5B.10C.8D.不确定11、一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( B)12、经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为 ( A ) A.(x-4)2+(y-5)2=10 B.(x+4)2+(y-5)2=10C.(x-4)2+(y+5)2=10D.(x+4)2+(y+5)2=10二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13、方程的解是．14、已知一个球的表面积为36πcm 2,则这个球的体积为 36π cm 3则的值为116、圆心为且与直线相切的圆的方程是．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分） 17、（本小题满分10分）已知直线：，：，求：（1）直线与的交点的坐标；（2）过点且与垂直的直线方程．解：（1）解方程组得，所以交点（2）的斜率为3，故所求直线为即为18、(本题满分12分)已知集合A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求A ∪B;(A)∩B.(2)若A ∩C ≠,求a 的取值范围. 解：B={x|4≤x<8}∪{x|2<x<10} ={x|2<x<10}; A={x|x<4,或x ≥8},(A)∩B={x|2<x<4,或8≤x<10}.1 2 32111 2 3321(2)若A ∩C ≠,则a>4.19、（本小题满分12分）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1解：（1）证明:连结BD . 在长方体中，对角线.又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， .. 又B 1D 1⊂≠ 平面，平面，EF ∥平面CB 1D 1.（2）在长方体中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又 B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 20、（本小题满分12分）已知函数f(x)=x 2-x-2a. (1)若a=1,求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点,求实数a 的取值范围. 解：(1)当a=1时,f(x)=x 2-x-2. 令f(x)=x 2-x-2=0得x=-1或x=2. 即函数f(x)的零点为-1与2.(2)要使f(x)有零点,则Δ=1+8a ≥0,解得a ≥-, 所以a 的取值范围是a ≥-.21、（本小题满分12分）已知以点C 为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上. (1) 求直线AB 的方程. (2) 求圆C 的方程.解：1)直线方程为：y=x+1A 12)圆方程为：(x+3)2+(y-6)2=40.22、（本小题满分12分）已知函数f(x)=2x+2ax+b,且f(1)=,f(2)=.(1)求a,b.(2)判断f(x)的奇偶性.【解析】(1)因为f(1)=,f(2)=,所以即解得a=-1,b=0.(2)由(1)知f(x)=2x+2-x,其定义域是R.又因为f(-x)=2-x+2x=f(x),所以函数f(x)是偶函数. :27122 69F2 槲M23188 5A94 媔#31418 7ABA 窺28462 6F2E 漮35159 8957 襗38285 958D 閍30163 75D3 痓33820 841C 萜 35968 8C80 貀T。

高等数学上册期末考试卷

高等数学上册期末考试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 2C. -2D. -42. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. 不存在3. 以下哪个函数是偶函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)4. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)5. 函数\( y = \ln(x) \)的导数是：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( \frac{x}{1} \)C. \( \frac{1}{x^2} \)D. \( \frac{1}{x} + 1 \)二、填空题（每空1分，共10分）1. 若\( \int_{0}^{1} f(x)dx = 2 \)，则\( \int_{1}^{2} f(x)dx\)的值是______。

2. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在\( x = 0 \)处的极限是______。

3. 若\( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + 4) = a \)，则\( a \)的值是______。

4. 函数\( y = \ln(1 + x) \)的二阶导数是______。

5. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)的和是______。

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。

0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e))，答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。

大一高数b下期末考试题及答案

大一高数b下期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处的导数是（）。

A. 0B. 2C. 4D. 8答案：B2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=ln(x)的定义域是（）。

答案：(0, +∞)2. 微分方程dy/dx + y = e^x的通解是（）。

答案：y = Ce^(-x) + e^x3. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的切线方程是（）。

答案：y = 18x - 424. 定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx的值是（）。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。

因此，x=0是极大值点，x=2是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1)。

答案：lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1) = lim(x→∞) (1-1/x^2)/(1+1/x+1/x^2) = 1/1 = 13. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。

已知切线斜率k=f'(1)=-2，切点为(1,0)。

因此，切线方程为y-0=-2(x-1)，即y=-2x+2。

4. 求定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。

2020-2021学年高等数学期末考试题(含答案)

2020-2021学年高等数学期末考试（含答案）一、填空题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)1. 已知f (x ) =x-11, 则f [f (x )] = .2. 设f (1+Δx ) - f (1) = 2Δx + (Δx )2, 则)1(f '= .3. f (x ) = x + cos x 的单调递增区间为 .4. 不定积分⎰=+xdx x 22tan )tan 1( . 5.⎰-=++113)1cos 3(dx x x x .6. 点M (-1, 2, 3)关于坐标面x o y 的对称点为 . 二、单项选择题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)1. 设函数f (x ) =⎪⎩⎪⎨⎧≥+<0,,0,2sin x x a x x x 在x = 0处连续, 则常数a =( )A . 0;B . 1;C . 2;D . 3. 2. 已知一个函数的导数为x y 2=', 且x = 1时y = 2, 则这个函数是( )A . 12+=x y ;B . 23212+=x y ; C . C x y +=2;D . y = x + 1. 3. 下列函数中在[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理条件的是( )A . ||x y =;B . )1ln(2x y +=;C . )1ln(x y +=;D . x y 1=. 4. 设f (x ) =⎰x tdt 0sin , 则f (f (2π))等于( )A . -1;B . 1;C . -cos1;D . 1-cos1.5. 下列反常积分收敛的是( )A . ⎰∞+e dx xx ln ;B . ⎰∞+e xx dxln ;C .⎰∞+ex x dx2)(ln ;D . ⎰∞+e x x dx ln .6. 同时垂直于向量a = (2, 1, 1)和b = (0, 1, 1)的单位向量是( )A . )21,21,0(; B . )21,21,0(-;C . )31,31,31(-; D . )31,31,31(.三、计算题 (本大题分5小题, 每小题8分, 共40分)1. 求极限: ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim π.2. 求曲线922=-xy y 在点(0, 3)处的切线方程和法线方程.3. 设函数f (x )的一个原函数为xxsin , 求⎰'.)(dx x f x4. 计算I =⎰++70311x dx.5. 计算I =⎰-1.|)12(|dx x x四、应用题(本大题分2小题, 每小题9分, 共18分)1. 已知函数f (x ) =dt t kt t x )2sin (1⎰-在x =6π处有极值, 求常数k 的值, 并讨论是极大值还是极小值.2. 求曲线y = e x , y = e -x 和直线x = 1所围成平面图形的面积A 以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积V x .五、证明题(本大题6分) 证明: 当x > 0时, 有ln(1+x ) >xx+1.一、填空题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)1. x 11-;2. 2;3. (-∞, +∞);4.C x +3tan 31; 5. 2;6. (-1, 2, -3).二、单项选择题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分) 1. C ; 2.A ; 3. B ; 4.D ; 5. C ; 6. B .三、计算下列各题 (本大题分5小题, 每小题8分, 共40分)1. 解: ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim π=x x x 1arctan 2lim -+∞→π (2分) =22111lim xx x -+-+∞→ (2分)=221lim x x x ++∞→ (2分)=1. (2分) 2. 解: 0222='--'⋅y x y y y , (2分)xy yy -=', (1分)10='=x y . (1分) 因此,所求切线方程为y - x = 3; (2分) 法线方程为y + x = 3. (2分)3. 解: 因为2sin cos )(xxx x x f -=, (2分)所以, ⎰'dx x f x )(=⎰)(x xdf (2分) = ⎰-dx x f x xf )()((2分) =2sin cos xx x x x -⋅C x x +-sin (1分) =C x x x +-sin 2cos .(1分) 4. 解: 设t x =+31, (1分)则13-=t x , dt t dx 23=. 当x = 0时, t =1; 当x = 7时, t = 2. (1分)因此⎰++70311x dx =⎰+21213tdtt =(1分)⎰++-2121113tdtt =⎰++-21)111(3dt tt (2分) =))1ln(21(32121212t t t ++- (2分)=)2ln 3ln 123(3-+-=23ln 23+. (1分)5. 解: ⎰-10|)12(|dx x x =⎰-210)21(dx x x +⎰-121)12(dx x x (4分)=210221032132x x+-121212132132x x -+(2分)=81211213281121+--++-=41. (2分) 四、应用题(本大题分2小题, 每小题9分, 共18分)1. 解: )(x f '=x k x 2sin 2-, (2分)若f (x )在x =6π处有极值, 则0)6(='πf , (2分)即得k = 1. (1分)又)(x f ''=221sin 2cos 2x x x x +-, (2分)从而0)6(>''πf ,(1分)所以f (6π)为f (x )的极小值. (1分) 2. 画图, (1分)所求面积为⎰--=10)(dx e e A x x (2分)=110x xe e -+=21-+-e e . (2分)所求体积为V x =⎰--1022)(dx eexxπ(2分)=)2121(10212x xe e -+π=)2(2122-+-e e π.(2分)五、证明题(本大题6分)证明: 设x x x x f -++=)1ln()1()(, (1分)则)1ln()(x x f +=', (1分)当x > 0时, 有0)(>'x f , (1分)即f (x )在[0, +∞)上单调增加, (1分)所以, 当x > 0时, 有f (x ) > f (0) = 0, (1分)因此, 当x > 0时, 有ln(1+x ) >xx+1.(1分)。

天津市部分区2020～2021 学年度第一学期期末练习高三数学参考答案与评分标准

=
4 5
2
2
5 5
……………………………………14
分
设平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角为，因为 0＜＜
所以 sin=
1 cos2
n, AB
5
5
故所求平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角的正弦值为 5 . 5
18.解：（1）由题意，知 3Sn an 1， n N* ， ①
…………15 分
所以 Tn
1 2
1 1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
2
3 4
1 2
1 n 1
n
1
2
.
………………………………………………13 分
因为 n N* ，
所以
1 2
n
1 1
n
1
2
0
，
所以 Tn
3 4
.
……………………………………………………………………15 分
，又
BAC
90
，
以点 A 为坐标原点，分别以 AC, AB, AD 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立
空间直角坐标系 A xyz .
……………………………………………………6 分
则 A0,0,0 ， B0, 2,0 ， C 1,0,0 ， D0,0, 2 .
因为
E
,
F
分别为
AB,
CB
线方程为 x 3 ，
则 P
3,0 , E
3, 3 , F
3,
3
，所以
PE

复旦大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷

2020-2021学年第一学期高等数学期末考试复旦大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1 学期考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.广义积分=⎰+∞dx x 131 . 212.x )x (f =的积分曲线中过)21,1(-的曲线的方程 ______.2x y=12-3.设S 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则=s .)1(412+e4..⎰='dx x f )2( . c x f +)2(215.曲线)1ln(xe y -=的渐近线为 . ex x y 1,0,1===二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.设函数，则A.B.C.D.2.设曲线如图示，则函数在区间内( )．A.有一个极大值点和一个极小值点B.没有极大值点，也没有极小值点C.有两个极小值点D.有两个极大值点3.极限（）．A.B.C.D.2020-2021学年第一学期高等数学期末考试4.函数的图形如图示，则（）.A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点C.是该函数的一个极大值点D.不是该函数的一个极值点 5.若定积分（）. A.B.C.D.三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求函数的极值与拐点.解：函数的定义域（－∞，+∞）。

2. 设抛物线上有两点，，在弧A B 上，求一点使的面积最大.3. 已知()x f 的一个原函数为2ln x ，则试求：()⎰'xf x dx .确定2x y e =2(x -2)的单调区间.212x x y +=24x y -=(1,3)A -(3,5)B -(,)P x y ABP ∆.4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d y x。

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2020---2021第一学期高等数学D (B 卷)
一．填空题（本题满分28分，，每道小题4分），请将合适的答案填在空中． 1．设二元函数
()
y x f z ，=由方程0=+----y x z xe y x z 所确定，则=dz
______________________．
2．设函数()x f 在区间()∞+∞-，上连续，且()20=f ，且设()()⎰=
2
sin x x
dt t f x F ，则()='0F
_________．
3微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________________________．
4 _________________)1
1(lim =-→∞x x x
5 1． ()()()
=++-∞
→502
80
201
52312lim x
x x x _________． 6．抛物线()a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为 ___________________
7 曲线⎩⎨⎧==t
e y t
e x t
t cos 2sin 在点()10，处的法线方程为 ______________________．二．选择填空题（本题满分24分，每道小题4分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．
1．极坐标系下的累次积分()⎰⎰θ
π
ρρθρθρθ
cos 0
2
sin cos d f d ，在直角坐标系下的累次积分可
写为_____________ ．
（A ）. ()⎰⎰-2
1
y y dx y x f dy
，；（B ）. ()⎰⎰-2
10
1
y dx y x f dy ，；
（C ）. ()⎰⎰1
10
dy y x f dx ，；（D ）. ()⎰⎰-2
1
x x dy y x f dx
，．
2设()x y 1与()x y 2是方程()()0=+'+''y x Q y x P y 的_________，则()()x y C x y C y 2211+=（1C 与2C 为任意常数）是该方程的通解．（A ）．两个不同的解；（B ）．任意两个解；（C ）．两个线性无关的解；（D ）．两个线性相关的解．
3 二元函数⎪⎩
⎪⎨
⎧
=≠+=)
0,0(),(,0)
0,0(),(,2),(22y x y x y x xy
y x f 在点)0,0(处
（A ）极限存在；（B ）连续；
（C ）偏导数存在；（D ）可微。

4 ．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x ''存在，是),(y x f 在该点连续的
（A ）充分条件而必要条件；（B ）必要条件而充分条件；
（C ）充分必要条件；（D ）既非充分条件又非必要条件； 5．设函数()x f 有原函数x x ln ，则()=⎰dx x xf ___________ ．
（A ）．C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+ln 41212；（B ）．C x x +⎪⎭
⎫
⎝⎛+ln 21412；
（C ）．C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 41212；（D ）．C x x +⎪⎭
⎫
⎝⎛-ln 21412
6 设区间[]b a 连续函数()x f 满足关系式：()0=⎰b
a
dx x f ，则________ ．
（A ）．在区间[]b a 的某个小区间上有()0=x f ；
（B ）．对区间[]b a 上的所有点x ，有()0=x f ；（C ）．在区间[]b a 内至少有一点x ，使得()0=x f ；（D ）．在区间[]b a 内不一定有()0=x f ．三．（本题满分10分）
设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=y x y x f z ，2，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，试求x z ∂∂，y x z ∂∂∂2．
四．（本题满分10分）计算积分()⎰=102
dx x f x I ，其中()⎰-=x
x y dy e x f 3
2
．
五（本题满分10分）
求微分方程 ()x y y dx
dy
x ln ln -= 的通解．
六（本题满分10分）设()x x x a a a y arccos 12-+= （其中0>a ，1≠a 为常数），试求dy ．七．（本题满分8分）
设()x x x f 22tan sin 2cos +=+'，试求()x f ．
答案
一 1 ()dy dx xe e x y
x z y x z ++-+----111；2 2-；；3 ()x
e x C C y 221-+=．4 e
1， 5 50
80
20532⋅； 6 ()613
a + ，7 012=-+y x
二 ⒈ （D ）； ⒉ （D ）； ⒊ （B ）；⒋ （D ）；5 （B ）6 （C ）．
三解：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=∂∂y x y x f y y x y x f x z ，，212221 ----------------5分
222231221121
122f y f y x f y y x f y x z --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∂∂∂----------10分四解：
⎰⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-1
02
32dx dy e x I x x y ⎰⎰-=x
x y dy e dx x 3
2
1
2
---------------------------------------5分
⎰⎰-=3
2
21
y
y
y
dx x dy e
()
⎰-=-1
3231dy y y e y e 61
=
-----------------------------------------10 五解：
原方程化为x
y
x y dx dy ln =，
这是一个齐次方程，令ux y =，则dx
du
x
u dx dy +=，代入原方程，得 u u dx du
x u ln =+ ……3分
分离变量，得()x
dx
u u du =-1ln
积分，得()C x u ln ln 1ln ln +=-，
即 Cx u =-1ln ……6分
代回原变量，得 1+=Cx e x
y
，
因此所求通解为
1+=Cx xe y ……10分
六解：
()
x x x
x x x x a
a a a a a a a a a dx dy 22221ln 1arccos 1ln ln -⋅
----=-------------5分 ()
x x
x a a
a a arccos 1ln 22--
=
所以，()
dx a a
a a dx y dy x x
x arccos 1ln 22--='= -----------------------------------10分
七解：
()()()C x d x f x f +++'=+⎰2cos 2cos 2cos ……4分 ()
()C x d x x ++=⎰cos tan sin 22
()C x d x x +⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-=⎰cos 1cos 1cos 12
2
()C x d x x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎰cos cos cos 122 C x x +--
=3cos 3
1
cos 1 ……6分所以，()()C x x x f +----
=3
2213
……8分。