曲线运动案例

【新课导入】在学习新课之前，我们先对5.1 节《曲线运动》的知识，进行一个回顾。

同学们打开笔记本，对应的去寻找黑板上括号里的答案，一会儿我叫几位同学把它补充完整。

看看你还记得多少，过了个年是不是都恢复出厂设置了？（板书：写完前4点，逐一提问写出，结合PPT讲解）首先，曲线运动的定义是什么？**，（PPT讲解）这个很直观，轨迹是曲线的运动就称之为曲线运动。

第二个，曲线运动的特点是什么？**，（PPT讲解）任意时刻速度的方向沿轨迹的切线方向（两个例子），且速度的方向时刻发生变化，是一种变速运动。

（PPT）我们知道，速度是一个矢量，只要大小，方向中任意一个发生改变，就可以认为速度发生了变化。

曲线运动的方向是时刻改变的，所以它一定是变速运动。

第三，曲线运动的产生条件是什么？是非曲直由你来判断：合外力不为0，且不与初速度共线。

知道原因是什么吗？其实它是从特点上推出来的：你看，曲线运动是一种变速运动，所以会产生速度变化量△v;而△v是如何产生的呢？是由于物体具有一定的加速度a,对时间△t累积产生的（滴血认亲，追溯DNA）；那么这个加速度又是从何而来的？根据牛顿第二定律，是不是一定的合外力作用在物体上产生的？所以一定有合外力。

那如果合外力的方向与初速度共线，物体就会做什么运动？直线运动。

所以我们有了这样的条件。

接下来，我们回顾这样一个实验，看满足这样的条件是否可以发生曲线运动？（PPT实验视频）第四，设合外力与初速度的夹角为θ，**，若θ<90°，做加速曲线运动；若θ=90°，做匀速曲线运动；若θ>90°，做减速曲线运动。

画个图就清楚了，好，这就是以上三种情况。

在这三种情况中，我们把合外力按照切线和半径的方向进行正交分解。

径向的力由于和速度垂直，只能改变速度的方向；而切向的力与速度在同一直线上，可以改变速度的大小。

当θ<90°，切向力与速度同向，做加速运动；当θ>90°，切向力与速度反向，做减速运动；当θ=90°，不存在切向力，所以速度大小不发生改变。

好，我们看到：这里有加速曲线运动，减速曲线运动，它们的速度大小都在发生改变，是变速运动，那它（匀速曲线运动）就不是变速运动了吧？这是同学们容易出现的误区。

因为速度是矢量，只要大小、方向任意一个发生改变就算变速运动。

那么匀速曲线运动，虽然速度的大小不变，但是方向是不是时刻在发生改变？对，所以它仍然是变速运动。

那这三个都是变速运动，变速运动再深入一点，还可以分为两类：匀变速曲线运动，非匀变速曲线运动。

就像并非所有的牛奶都是特仑苏一样，那并非所有的曲线运动都是匀变速的。

二者的区别在哪儿？分成两部分去理解：都是变速运动，速度肯定要变；但一个变得均匀，一个变得不均匀。

其实这一概念大家并不陌生，我们是不是学过匀变速直线运动和非匀变速直线运动啊？它们的区别是什么？加速度是否恒定。

那这里也一样：加速度一定的曲线运动就是匀变速曲线运动；加速度发生变化的曲线运动就是非匀变速曲线运动。

而加速度的恒定与否有取决于什么呢？根据牛顿第二定律，它受到的合外力是否是恒力。

所以可以进一步理解：受到合外力是恒力的物体（抛粉笔只受重力，重力是恒力）做匀变速曲线运动，受到合外力是变力的物体（天体运动、悠溜溜球：万有引力是变力）做非匀变速曲线运动。

最后我们学习了一个知识点——运动的合成与分解。

任何矢量都可以合成或分解。

对于力来说，我们有分力与合力；对于运动来说，就有分运动与合运动。

那么，分运动根据平行四边形法则相加可以得到合运动，它们二者之间满足怎样的特性呢？有三大特性，请一位同学上黑板完成。

**，第一个，等时性：各个分运动是同时进行的；第二个，等效性：分运动与合运动的效果完全相同；第三个，独立性：各个分运动之间互不影响，各自独立，我国奉行“独立自主”的外交方针，发起不结盟运动；还有最后一个，矢量性：在运动的合成中3+4=5，并非像买菜的时3元+4元=7元，如果买菜的时候你这样做，买菜阿姨就会给你最爱吃的。

（合称：独立作用，矢量叠加）我们学习了分运动与合运动之间的对应关系。

我写分运动的，同学们填合运动的。

①当两分运动都是匀速直线运动，合运动是？②当一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是匀变速直线运动，合运动是？③当两分运动都是匀变速直线运动，合运动是？应该如何理解呢？主要把握这么一点——F合与V合是否共线。

（结合PPT讲解）【板书】【新课教学】那我就可以提一个非常好的问题了。

在之前，我们学过如何求解描述直线运动的物理量。

比方说，要求做直线运动物体的速度和位移，用什么公式？V t=v0+at,x=v0t+1/2at2还有印象吗？嗯，那现在同样的，要让你求做曲线运动物体的速度和位移，会吗？不会。

回答的还挺干脆啊。

有时候非常佩服导演啊，在电影前期设置一个不太起眼的小细节，然后到后半拉的时候发现这个小细节是如此之重要。

每部电影最典型的特点，就是到结尾最后一般坏人都死不了，突然从地底下冒出个手啊什么的，为什么埋下伏笔了？拍续集。

在这里（手指对应关系）我也留了个细节。

我们要求曲线运动（特殊一点啊），匀变速曲线运动的速度与位移。

可以怎么做呢？按照刚才分运动与合运动的对应关系先把它进行分解，分解成我们最熟悉的直线运动。

你来找找，哪儿有匀变速曲线运动？这儿一个，这儿一个（红线勾画）。

也就是说，同样是匀变速曲线运动，可以分成什么？一个匀速直线运动，一个匀变速直线运动；或者是两个分运动都是匀变速直线运动。

刚刚我们讲合运动与分运动具有等效性（红线勾画），所以合运动，也就是匀变速曲线运动的速度，加速度与两个分运动的速度合，加速度合都是怎么样的？等效的。

那么求解匀变速曲线运动物理量的问题，至此就解决了。

我们采用的方法是“运动的合成与分解”，把它分解成什么呢？直线运动。

这就是高考中常见的一种手段——“正交分解、化曲为直”：变曲线形式的合运动为两个直线形式的分运动。

然后利用平行四边形定则再把两个分运动中待求的物理量进行合成，就可以得到最后的答案。

这个方法大家一定要掌握啊，要印在脑子里。

就好像一看到物理书，你会想到我（你真的有这种想法啊）；一看到匀变速曲线运动，一定要想到把它分解为两个直线运动去分析。

举个例子，一支粉笔被水平抛出，它的运动轨迹是一条抛物线。

也就是说，它做的是匀变速曲线运动。

已知粉笔在水平方向的初速度是5m/s，在竖直方向做自由落体运动，求在3秒末粉笔的速度是多少？那遇到这种题目怎么办？我来示范一下。

第一步，“化曲为直”：这根粉笔的合运动是匀变速曲线运动，根据题意，可以分解为水平方向的匀速直线运动，和竖直方向的匀加速直线运动。

第二步，“求分物理量”：写出水平分速度和竖直分速度的表达式，分别为v水=5m/s；v竖=gt=10*3=30m/s；第三步，“分量合成”：利用平四法则，求合速度的大小是（52+302）1/2，方向是tanθ=1/6.【板书】好，再看一个例子。

不知道同学们喜不喜欢柯南【图片】，他是我们那会儿最喜欢的动漫人物之一，尤其是在快考试的当头，找幅柯南画像挂在桌前，心里面也很安慰。

不光是因为“挂科难”，主要是想拥有和柯南一样聪明的头脑。

好，今天我们就跟随柯南一起走进一个现场，当一回侦探。

【视频1】那么请问各位侦探，你认为当车速不低于多少时，柯南他们能够驾车飞到对面的大楼楼顶呢？好，我们还原一下现场：这两栋楼之间相距60米，高度差为20米，现在驾车从A位置飞到B位置，最低车速为多少？怎么分析呢？还是按照刚才的方法，汽车现在实际的运动轨迹是不是一条抛物线呢？对，也就是说它在做匀变速曲线运动。

那我们可以把这个运动“化曲为直”，分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

好，由于分运动之间具有等时性，所以汽车在水平和竖直方向经历的时间应该相等。

水平方向的时间是60/v，竖直方向经历的时间是1/2gt2=△H，所以t=(2*20/10)1/2=2s；由此可得，v=60/2=30m/s=108km/h.好，我们看看大家的推理是否正确？【视频2】果然没错，看来完美的推理还是要以科学知识为基础的，我们不能盲目迷信。

【例1擦掉，板书】从这点看，柯南一定不是小学生了，因为他学过合成与分解。

好，接下来我们来讨论三类常见的“运动的合成与分解”问题。

【板书】第一类，是“小船过河”问题（各点结合PPT）。

小船过河问题是这样的，我画一个图像出来。

这是一条河岸，其中有水。

水的速度为v2，在从左向右流动。

船的速度为v1，这个船速是什么意思呢？就是船在静水中的速度。

这个小船过河呢，就有几个典型问题和它的具体分解。

（控制变量法）A、均恒水速问题第一种情况，是船速>水速。

就是咱们这个船性能不能太差了，至少比水流的速度大。

在这个前提下，有两个问题。

楚霸王被刘邦追到乌江，看到有一个樵夫，他是想用最短的位移还是时间过河？第一，如何渡河使时间最短？第二，如何渡河使位移最小？这两类问题在高考当中作为选择题出现过。

那么让你当船长应该怎么做？其实船的速度大小已经固定了，你能改变的是谁？只有船头的指向。

第一类，当船速大于水速，如何使时间最短？实际上船在流水当中啊，第一，它要被水往下游冲（被时代的潮流所裹挟，随波逐游，这个速度是漂流不是过河。

）；第二，船本身还有一个速度。

所以怎样就能让时间最短呢？因为水流速度是横向的，并不影响渡河（独立性），只有谁影响渡河时间啊？船速。

所以我们能够想到是不是当船头正对对岸（船头是直的，但是身体是诚实的，像极了你过年收红包的样子），全力以赴往对岸开（从能量角度分析，全部的能量都用于速度大小：火力全开），所需时间最短。

在这种情况下，船实际发生的运动是不是应该是这两个速度的合成？哎，是指向船的下游o’点的。

所以当船头正对对岸的时候，用时最短，又由于分运动与合运动具有等时性，在这个方向的时间和总时间相不相等？相等，所以渡河时间就是t=d/v1，即河岸的宽度比上船速。

渡河位移就等于d/sinα（α为合速度与河岸的夹角）。

那考试题有时候喜欢这样问你：“想要让渡河时间最短，船现在保持船头正对河岸开啊，结果走了一半突然洪水来了，船也到达了对岸，问时间变还是不变？”哪种结果呀？你第一感觉肯定是要变，不管变大变小一会儿再说。

实际上变不变？不变！为什么呀？河岸的宽度没变，船速没变，用时t=d/v1就不变。

那哪个变了？肯定有一个会变啊，是到达下游的距离变了。

你原来在这儿登岸的，水流突然大了，你跑到这儿，更下游的地方登岸去了。

明白了吧，时间是不变的，需要你了解。

这是第一个，第二个问题，渡河位移最短：坐船的不管你快不快，只管你贵不贵。

反正你划船我也不累。

显然刚才船头正对对岸的模型，走过的距离不是最短，是一条斜线。