数值计算方法与算法第三版课后习题答案
数值方法课后习题答案
数值方法课后习题答案习题1：插值法给定一组数据点 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\)，使用拉格朗日插值法构造一个多项式 \(P(x)\)，使其通过所有给定的数据点。
答案：拉格朗日插值法的多项式 \(P(x)\) 可以表示为：\[ P(x) = \sum_{i=1}^{n} y_i \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]习题2：数值积分使用梯形法则和辛普森法则分别计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的近似值。
答案：- 梯形法则的近似值：\[ \text{Trapezoidal Rule} \approx \frac{h}{2}(y_0 + 2y_1 +2y_2 + \ldots + y_{n-1}) \]- 辛普森法则的近似值：\[ \text{Simpson's Rule} \approx \frac{h}{3}(y_0 + 4y_1 +2y_2 + 4y_3 + \ldots + y_{n-1}) \]习题3：微分方程数值解考虑常微分方程 \(y' = f(x, y)\)，其中 \(f(x, y) = x^2 - y^2\)，初始条件 \(y(0) = 1\)。
使用欧拉方法和改进的欧拉方法分别计算\(y(0.1)\) 的近似值。
答案：- 欧拉方法：\[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]- 改进的欧拉方法：\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \cdot (f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_{n+1})) \]习题4：线性方程组的数值解给定线性方程组 \(Ax = b\)，其中 \(A\) 是一个 \(n \times n\)的矩阵，\(b\) 是一个 \(n \times 1\) 的向量。
数值计算方法习题答案(习题3_习题6)
习题三 2 解：()()2112230.2()10.210.80.80.20.80.20.80.61440.4613n n n n n y y y x y y y y +=+--=+⨯-==+⨯--⨯==同理，7. 解：()()()22212111,0.1(2)11,0.1(2)112pn n n n n nc n n n n p n n p c y y hf x y y y x y y hf x y y y x y y y +++⎧=+=+⨯-⎪+⎪⎪=+=+⨯-⎨+⎪⎪=+⎪⎩111230.1,0.097,0.09850.1913,0.2737p c y y y y y =====同理，11. 解：()112341213243123412340.2226833830.223830.228330.21, 1.4, 1.58, 1.05,(0.2) 2.30041.0986,0.7692,0.8681,0.5780,(0.4)2.4654n n nn n n y y k k k k k y k y k k y k k y k k k k k y k k k k y +⎧=+⨯+++⎪⎪=-⎪⎪⎪=--⨯⨯⎨⎪⎪=--⨯⨯⎪⎪=--⨯⨯⎪⎩==========同理，13. 解：()()[]()[]()110.220.22321,00,(0.2)0.181(0.4)(0.2)3(0.2)10.1810.1310.18110.3267(0.6)(0.4)3(0.4)(0.2)0.32670.1310.3267(10.181)0.4468n n nn hy y y y y y y y y y y y y y y +-''=+-'=-=='=+-=+⨯⨯--=⎡⎤⎣⎦''=+-=+⨯⨯---=⎡⎤⎣⎦(0.8)0.5454,(1)0.6265y y ==同理，习题四),(,121)('sin 21)('cos 21)(.2∞-∞∈<≤-==x x xx x x ϕϕϕ证明：迭代函数所以在均收敛。
算法数数据结构 第3版 绪论课后答案
算法与数据结构---C语言描述（第三版）第1章绪论1、解释以下概念：逻辑结构，存储结构，操作，数据结构，数据结构的表示，数据结构的实现，抽象数据类型，算法，算法的时间代价，算法的空间代价，大O表示法，贪心法，回溯法，分治法。
答：(1)逻辑结构（数学模型）：①指数据元素之间地逻辑关系。
②具体解释：指数学模型（集合，表，树，和图）之间的关系。
③描述方式：B = <K,R>, K是节点的有穷集合，R是K上的一个关系。
(2)存储结构（物理结构）：数据的逻辑结构在计算机存储器中的映射（或表示）。
(3) 操作（行为）：指抽象数据类型关心的的各种行为在不同的存储结构上的具体算法（或程序）。
(4) 数据结构：①传统观念：数据结构是计算机中表示（存储）的、具有一定逻辑关系和行为特征的一组数据。
②根据面向对象的观点：数据结构是抽象数据类型的物理实现。
(5) 数据结构的表示：(6) 数据结构的实现：(7) 抽象数据类型：(8) 算法：是由有穷规则构成（为解决某一类问题）的运算序列。
-算法可以有若干输入（初始值或条件）。
-算法通常又有若干个输出（计算结果）。
-算法应该具有有穷性。
一个算法必须在执行了有穷步之后结束。
-算法应该具有确定性。
算法的每一步，必须有确切的定义。
-算法应该有可行性。
算法中国的每个动作，原则上都是能够有机器或人准确完成的。
(9) 算法的时间代价：(10) 算法的空间代价：(11) 大O表示法：-更关注算法复杂性的量级。
-若存在正常数c和n0，当问题的规模n>=c*f(n), 则说改算法的时间（或空间）代价为O（f(n)）(12) 贪心法：当追求的目标是一个问题的最优解是，设法把整个问题的求解工作分成若干步来完成。
在其中的每一个阶段都选择都选择从局部来看是最优的方案，以期望通过各个阶段的局部最有选择达到整体的最优。
例如：着色问题：先用一种颜色尽可能多的节点上色，然后用另一种颜色在为着色节点中尽可能多的节点上色，如此反复直到所有节点都着色为止；(13) 回溯法有一些问题，需要通过彻底搜索所有的情况寻找一个满足某些预定条件的最优解。
算法设计与分析第三版第四章课后习题答案
算法设计与分析第三版第四章课后习题答案4.1 线性时间选择问题习题4.1问题描述：给定一个长度为n的无序数组A和一个整数k，设计一个算法，找出数组A中第k小的元素。
算法思路：本题可以使用快速选择算法来解决。
快速选择算法是基于快速排序算法的思想，通过递归地划分数组来找到第k小的元素。
具体步骤如下： 1. 选择数组A的一个随机元素x作为枢纽元。
2. 使用x将数组划分为两个子数组A1和A2，其中A1中的元素小于等于x，A2中的元素大于x。
3. 如果k等于A1的长度，那么x就是第k小的元素，返回x。
4. 如果k小于A1的长度，那么第k小的元素在A1中，递归地在A1中寻找第k小的元素。
5. 如果k大于A1的长度，那么第k小的元素在A2中，递归地在A2中寻找第k-A1的长度小的元素。
6. 递归地重复上述步骤，直到找到第k小的元素。
算法实现：public class LinearTimeSelection {public static int select(int[] A, int k) { return selectHelper(A, 0, A.length - 1, k);}private static int selectHelper(int[] A, int left, int right, int k) {if (left == right) {return A[left];}int pivotIndex = partition(A, left, righ t);int length = pivotIndex - left + 1;if (k == length) {return A[pivotIndex];} else if (k < length) {return selectHelper(A, left, pivotInd ex - 1, k);} else {return selectHelper(A, pivotIndex + 1, right, k - length);}}private static int partition(int[] A, int lef t, int right) {int pivotIndex = left + (right - left) / 2;int pivotValue = A[pivotIndex];int i = left;int j = right;while (i <= j) {while (A[i] < pivotValue) {i++;}while (A[j] > pivotValue) {j--;}if (i <= j) {swap(A, i, j);i++;j--;}}return i - 1;}private static void swap(int[] A, int i, int j) {int temp = A[i];A[i] = A[j];A[j] = temp;}}算法分析：快速选择算法的平均复杂度为O(n)，最坏情况下的复杂度为O(n^2)。
数值计算方法第三版课后习题答案
习题一解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
计算机算法基础第三版课后习题答案
上机实验 书上 121 页 5。
2 5。
3 书上 151 6。
1 6。
3 6。
6 他说搞懂这几题和实验就没问题了4.2 在下列情况下求解递归关系式当① n=2k g(n)= O(1) 和 f(n)= O(n) ； ②n=2k g(n)= 0(1)和 f(n)= 0(1)。
kk-1kk-2k-1k解: T(n)=T(2 k )=2T(2 k-1)+f(2 k )=2(2 T(2 k-2)+f(2 k-1)) +f(2 k )=2 2T(2k-2)+21 f(2 k-1)+ f(2 k )不妨设 g(n)=a ，f(n)=bn ，a ，b 为正常数。
则T(n)=T(2 k )= 2 k a+ 2 k-1*2b+2k-2*22b+…+2°*2k b =2k a+kb2k=an+bnlog 2n= 0(nlog 2n)② 当 g(n)= 0(1)和 f(n)= 0(1)时， 不妨设 g(n)=c ，f(n)=d ，c ，d 为正常数。
则 T(n)=T(2 k )=c2k + 2 k-1d+2k-2d+…+2°d=c2k +d(2k -1) =(c+d)n-d= 0(n) 4.3 根据教材中所给出的二分检索策略，写一个二分检索的递归过程。
Procedure BINSRCH(A,low, high, x, j) integer mid if low < high the n mid J (low high)/2 if x=A(mid) then jJ mid; endifif x>A(mid) then BINSRCH(A, mid+1, high, x, j); endif if x<A(mid) thenBINSRCH(A, low, mid-1, x, j); endif else j J 0; endif end BINSRCH4.5 作一个“三分”检索算法。
数值计算方法答案
1数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，92习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？3解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法与算法
数值计算方法与算法数值计算方法是指用数学模型和算法来解决数值计算问题的一类方法。
它主要涉及数值逼近、数值积分、数值微分、方程数值解、数值线性代数等内容。
随着计算机的快速发展，数值计算方法在科学研究、工程设计和生产实践中得到了广泛应用。
1.数值计算方法以数值模拟为基础，通过将连续问题离散化为离散问题，通过计算机程序的数值计算来进行近似解析解。
数值计算方法的关键是建立适当的数学模型和合理的离散化方法。
2.数值计算方法是一种近似解的方法，它通过增加计算精度和精心设计的算法来提高结果的精度。
数值计算方法中常用的方法包括有限差分法、有限元法、数值积分法等。
3.数值计算方法的核心是算法。
算法是为了解决具体数值问题而设计的一组操作过程。
合理的算法可以提高计算效率和精度。
在数值计算方法中，常用的算法有迭代法、插值法、逆插值法、线性方程组求解法等。
4.数值计算方法的优缺点：优点是可以处理复杂的数学问题，可以得到数值解；缺点是结果的精度有限，有时会受到计算机运算精度的限制。
1.数值逼近：数值逼近方法用于确定给定函数的近似值。
它将函数的连续性问题转化为有限阶多项式或有限阶插值函数的问题，通过计算机程序来计算得到逼近解。
2.数值积分：数值积分方法用于计算给定函数在一定区间上的定积分值。
它将定积分问题转化为有限阶多项式或插值函数的计算问题，通过计算机程序来计算得到积分近似值。
3.数值微分：数值微分方法用于计算给定函数在其中一点处的导数值。
它将导数计算问题转化为有限差分或插值函数的计算问题，通过计算机程序来计算得到导数近似值。
4.方程数值解：方程数值解方法用于求解给定方程的数值解。
它将方程求解问题转化为迭代计算或数值优化问题，通过计算机程序来计算得到方程的数值解。
5.数值线性代数：数值线性代数方法用于解决线性方程组和特征值问题等。
它将线性方程组的求解问题转化为矩阵运算和迭代计算问题，通过计算机程序来计算得到线性方程组的数值解。
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数值计算方法与算法第三版课后习题答案
1. 矩阵乘法
问题描述
给定两个矩阵A和B，尺寸分别为n×m和m×p，求矩阵A 和矩阵B的乘积矩阵C，尺寸为n×p。
算法实现
import numpy as np
def matrix_multiplication(A, B):
n, m = A.shape
m, p = B.shape
C = np.zeros((n, p))
for i in range(n):
for j in range(p):
for k in range(m):
C[i][j] += A[i][k] * B[k][j] return C
示例
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
C = matrix_multiplication(A, B)
print(C)
输出结果：
[[19. 22.]
[43. 50.]]
2. 数值积分
问题描述
给定一个函数f(x)，以及积分区间[a, b]，求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分值∫abf(x)dx。
算法实现
简单的数值积分算法是采用小梯形法，将区间[a, b]均分成n个子区间，然后计算每个子区间的面积，最后将这些子区间面积相加得到定积分值。
def numerical_integration(f, a, b, n):
h = (b - a) / n
integral =0
for i in range(n):
x1 = a + i * h
x2 = a + (i +1) * h
integral += (f(x1) + f(x2)) * h /2 return integral
示例
import math
f =lambda x: math.sin(x)
a =0
b = math.pi
n =100
result = numerical_integration(f, a, b, n) print(result)
输出结果：
1.9998355038874436
3. 非线性方程求解
问题描述
给定一个非线性方程f(x) = 0，求方程的根x。
算法实现
简单的非线性方程求解算法是采用二分法，首先根据方程f(a)和f(b)的符号确定方程在区间[a, b]上是否存在根，如果存在，则不断将区间[a, b]均分找到方程的根。
```python def bisection_method(f, a, b, tol): if f(a) * f(b) > 0: print(。