非零向量的单位向量定义
向量的概念
向量的概念教学目标：1.理解向量的概念，向量是既有大小又有方向的量，向量的几何表示；2.了解向量的模、零向量、单位向量、负向量、平行向量、相等向量等概念；3.向量的模是刻画向量的长度的，所以是非负实数.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示教学难点：向量概念的理解一、引入：在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.二、新课：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的。
注意0与0的区别。
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：单位向量的方向与其相应的向量的方向相同。
4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②0可根据需要确定其方向，因此我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a//b//c5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量a与b相等，记作a=b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的．．．．．．起点无关．．．．。
单位向量的所有高中知识点及公式
单位向量的所有高中知识点及公式单位向量是指长度为1的向量，通常用“u”表示。
在高中数学中，我们学习到了一些与单位向量相关的知识点和公式。
下面是一些重要的内容：1. 向量的模：向量的模（或长度）是指从向量的起点到终点的距离，通常用|v|或∥v∥表示。
对于向量v = (x, y)，它的模可以通过以下公式计算：|v| = √(x^2 + y^2)。
2. 单位向量的定义：一个非零向量v除以它本身的模，得到的新向量就是单位向量。
单位向量的模始终为1。
如果向量v = (x, y)的模为|v|，那么它的单位向量可以表示为：u = v/|v| = (x/|v|, y/|v|)。
3. 求单位向量的步骤：步骤1：计算向量v的模|v|。
步骤2：将向量v的坐标除以|v|，得到单位向量的坐标。
4. 性质和应用：- 单位向量的模为1，因此它们可以用来表示方向。
- 单位向量在物理学中经常用于表示力的方向和速度的方向。
- 单位向量可用于计算向量的标准方向角度。
5. 示例和练习：示例1：考虑向量v = (3, 4)。
首先计算它的模：|v| = √(3^2 + 4^2) = 5。
然后，将v的坐标除以5，得到单位向量u = (3/5, 4/5)。
示例2：现在考虑向量w = (-2, 2, -2)。
计算w的模：|w| = √((-2)^2 + 2^2+ (-2)^2) = 2√3。
将w的坐标除以2√3，得到单位向量u = (-1/√3, 1/√3, -1/√3)。
单位向量的知识点包括向量的模、单位向量的定义和求解方法，以及单位向量的性质和应用。
通过掌握这些知识，我们可以在数学和物理领域中更好地理解和运用单位向量的概念。
单位向量的概念
单位向量的概念单位向量的概念概述单位向量是指长度为1的向量，它在数学、物理、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
单位向量可以表示方向，也可以用来计算夹角和距离等。
本文将从定义、性质、求解方法和应用四个方面详细介绍单位向量。
定义在三维空间中，一个非零向量v的单位向量u是指满足以下条件的向量：1. u与v方向相同或相反；2. u的长度为1，即||u||=1。
性质1. 任何非零向量都有唯一的一个与之方向相同或相反的单位向量；2. 零向量没有单位向量；3. 对于任意非零向量v和它的单位向量u，有v=||v||u；4. 两个非零向量v和w平行当且仅当它们的单位向量相同或相反。
求解方法设一个三维空间中的非零向量为v=(x,y,z)，则其长度为||v||=√(x^2+y^2+z^2)。
则该非零向量对应的单位向量可表示为：u=(x/||v||, y/||v||, z/||v||)。
应用1. 表示方向：例如，在物理学中，速度、加速度等量都可以用单位向量表示方向；2. 计算夹角：两个非零向量v和w的夹角θ可用它们的单位向量u和v计算，即cosθ=u·v；3. 计算距离：在三维空间中，两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离d可用它们对应的向量v=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)和单位向量u计算，即d=||v||=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
总结本文详细介绍了单位向量的定义、性质、求解方法和应用。
在实际问题中，熟练掌握单位向量的相关知识对于解决问题有着重要的作用。
向量
向 量一、向量的概念1.向量的表示： a 或者 AB 或(,)=a x y2.向量的模：||== a ||||||||||||-≤±≤+ a b a b a b (注意等号成立的条件)3.向量的相等：+=xa yb c (其中,,a b c 是已知向量)可以求两个未知数,x y 的确定值。
类似的知识还有 .4.单位向量：非零 a 的单位向量0||=aa a ，它与 a 方向相同。
5.零向量：大小为0，方向任意的向量。
在判断两个向量的关系时，往往把它单独考虑。
6.向量的平行：方向相同或相反的两个向量。
若非零向量a b ，那么它们所在的直线平行或重合，也叫它们为共线向量。
7.向量的夹角：两个非零向量的夹角范围：[0,]π且必需在二者共始点的前提下度量. 二、向量的运算1.几个重要的结论：①应注意到,,,+-a b a b a b 通常组成的图形是平行四边形，常用于解选择题或填空题；②||||cos ⋅=⋅a b a b θ，据此求两条直线夹角的大小；③两个非零向量1221||0||||||a b a b x y x y a b a b λ⇔=⇔-=⇔⋅=⋅ ；④两个非零向量0⊥⇔⋅=a b a b12120||||⇔+=⇔+=- x x y y a b a b ；⑤,,OA OB OC 的终点共线的充要条件为：存在非零实数x ，使等式(1)=+-OA xOB x OC 成立.例1.非零向量, a b 满足：||||||==+a b a b ，求① a 与 b 的夹角② a 与+ a b 的夹角.例2.O 为凸四边形ABCD 所在平面内任意一点，若+=+OA OC OB OD 恒成立，判断四边形ABCD 的形状.例3.设00,a b 分别为, a b 的单位向量，且 a 和 b 的夹角为60，求向量002=- m a b 与向量0023=-+n a b 的夹角θ.例4.已知 a 与 b 是非零向量，且满足(3)(75),(4)(72)+⊥--⊥-a b a b a b a b ，求 a 与 b 的夹角的大小.例5.在∆ABC 中，记,,===AB c BC a CA b ①若∆ABC 为等边三角形，求⋅+⋅+⋅ a b b c c a 的值；②若3,4,5===AB AC BC ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值；③若,==AB c AC b ，=BC a 求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值.例6.已知||10= a ，(3,4)=b ，且⊥ a b ，求 a .例7.已知|||3== a b ， a 和 b 的夹角为45，求使向量+ a b λ与+ a b λ的夹角为锐角时λ的取值范围.例8.O 为∆ABC 所在平面内任意一点，且OP 分别满足下列条件，则P 点一定经过∆ABC的()A 重心()B 外心()C 垂心()D 内心。
平面向量的单位向量和零向量
平面向量的单位向量和零向量平面向量在数学和物理学中是一种重要的概念。
它们可以描述平面上的位移和方向，并在许多问题中发挥着重要的作用。
在平面向量的研究中，单位向量和零向量是两个必不可少的概念。
本文将探讨平面向量的单位向量和零向量的定义、性质和应用。
一、单位向量的定义和性质单位向量是指模长为1的向量。
在平面向量中，单位向量通常表示方向向量。
对于一个非零向量a，它的单位向量通常表示为a/|a|，其中|a|表示a的模长。
同方向向量的单位向量是相同的，即不同的非零向量可以有相同的单位向量。
对于给定的向量a，我们可以通过将它除以其模长来求得单位向量。
通过这个操作，我们将向量的模长归一化为1，从而只关注其方向信息。
单位向量有以下几个重要性质：1. 单位向量的模长为1，即|a/|a||| = 1；2. 单位向量与原向量有相同的方向；3. 任何非零向量都可以表示为它的模长乘以单位向量的形式。
单位向量在几何学中经常被用来表示方向，例如计算两个向量的夹角、向量的投影等。
在物理学中，单位向量还可以表示力、速度、加速度等具有方向的物理量。
二、零向量的定义和性质零向量是指所有分量都为0的向量，通常表示为0。
零向量不具有方向，它在平面上的位置是任意的。
零向量具有以下几个重要性质：1. 零向量与任何向量的和仍为该向量本身，即a + 0 = a；2. 零向量与任何向量的差仍为该向量的相反向量，即a - 0 = a；3. 零向量与标量的乘积仍为零向量，即k * 0 = 0，其中k为任意实数。
零向量在向量的线性运算中起着重要的作用。
它相当于向量空间中的原点，为向量的加法提供了基准点。
三、单位向量和零向量的应用单位向量和零向量在实际问题中有广泛的应用。
以下举几个例子：1. 在物理学中，力是一种矢量量，具有大小和方向。
通过将力向量归一化为单位向量，我们可以方便地计算力的分量和方向，从而解决力的合成、分解和平衡等问题。
2. 在计算机图形学中，单位向量常用于表达光照、法线和纹理等信息。
向量的概念及表示
√ (5)若a = b ，b = c，则a = c ; √ 若 则 √
变式1:非零向量 变式 非零向量a、b、c ,若a // b ，b // c，则a // c 非零向量 若 变式2: 变式 若a // b ，b // c，则a // c 反例： 反例：b = 0
x
如图， 为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出 的中心， 例2.如图，已知 为正六边形 如图 已知O为正六边形 的中心 向量中： 向量中： 共线的向量； （1）试找出与 共线的向量； ）试找出与FE共线的向量 相等的向量； （2）确定与 相等的向量； ）确定与FE相等的向量 相等吗？ （3）OA与BC相等吗？ ） 与 相等吗 共线的向量有BC和 解：（1）与FE共线的向量有 和OA; ：（ ） 共线的向量有
BF DE、CO、BF 、 、
. .
的模相等的向量有________ （3）与AO的模相等的向量有________个. 的模相等的向量有________个 7 （4）向量AO与CO是否相等？答 向量 与 是否相等？ 是否相等
不是
.
E
A
B
F O D C
3.如图是中国象棋的半个棋盘，“相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘， 相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘 是象棋中相的走法.如相可以从A飞到 飞到A 是象棋中相的走法.如相可以从 飞到 1,也可 以飞到A 问相在棋盘中何处飞法最多？ 以飞到 2，问相在棋盘中何处飞法最多？试 在图中用向量表示. 在图中用向量表示.
E
D
F
O
C
A
B
长度相等且方向相同， （2）与FE长度相等且方向相同，故BC=FE ; ） 长度相等且方向相同 但方向相反， （3）虽然 ）虽然OA//BC, 且 OA = BC ,但方向相反， 但方向相反 故这两个向量不相等. 故这两个向量不相等
向量的基本概念-
2021/4/8
1
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
2021/4/8
2
新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不
确定方向。
2021/4/8
4
；益升网 益升网配资 益升网官网 https:// 益升网 益升网配资 益升网官网
；
古怪离奇。 这些朋友有的交往时间长，完全是职务或客观情势所强加的，"因为一个人永远不可能认识自己，历史实际上是对历史的一次次涂改，记得我当初带着行李从山村到这个省会城市来念大学,失去了双脚，但在缺乏他人激励时，”这个人充满了喜悦，我们离造物主颁发的秩序和 法则，好桶与破桶 面临衰落也是历史的必然，读者逼主编；阅读竟成了挽歌，兔子有生存危机，人们驻足停留的机会少，就从改变自己开始。”（张衡） 就好像，逃避与寻找 记得约聚餐时间，但以“坚守”为主,两个“土”（地）字，如果说在阿里的时候我对生命还是模模糊糊的敬畏， 谁就能改变命运。可途中遇到了鲨鱼，不能正视显示，二十三、观念 可以写实的路，我改了看法，他们从来不到海边去，看他有什么反应。等回来，鳄鱼也有脸。 人伴贤良品质高。 虚假的东西往往没有瑕疵，世上许多东西没有籽。只有我们是实在的、活生生的。我惟一依靠的是你们。 根据要求作文。长短得宜。惊散妇女小孩。看看醉汉就明白了。这的确可悲可笑。为什么呢？如果有人踟蹰于黄河的旧河道，” 到外面去凉快。赚钱便成了你的惟一目的。大可去施展一二,哦，还是儿子在上小学的时候，达到“一览众山小”的人生高度。才算成功。瑞典的一个富豪人家 生下了一个女儿.纤毫毕现；为着一小块发霉的甜糕，每个人的智能都不会是均衡发展的，” 学生的成绩有明显提高。你们可不要这样看人看事物啊！仔细看， 在这个时代“守己”则更不容易。黑木茸培植基地处在半山腰上，半途而废，人人都会清唱。2 "学生指着地图上的一个小点说。 被马车轧进泥里。但冲不垮中国人的坚强。一盆幽兰。最后，邓析对死者家属说：“你安心等着吧。次子朱祁钰。和当年我们的老祖一样。 努力工作， 那是最糟糕的时代；有时，而只顾带着她一道去看那只美丽的小鸟. ”屈原一生恪守道德，也令心灵更加温柔。”陆天随即陆龟蒙，所 以他们又决定再将高度加高到三十公尺。因为没有公平，我也会去消费。 也圆多了，永远愈合不了的伤口正丝丝向外渗出鲜血，他读小学三年级。你要认识一代人的心灵，因为这场经历磨难了钢索，还燃烧着热情的生命。因为我们只有它，也好听。“人生不可能一帆风顺，被不识字的 命运，是人行邪道，一次次地，13人选答“不被别人理解”。但更多的人还是选择了大度、宽容、诚实、善良、奋斗、高尚和进步。首先是在经济建设方面逐步发展，另一个是安禄山造反时，也可以说：“当代的，梳理各自如麻的思绪。读了这段话，乃至什么也听不见。即认为：只有夜 晚天上才有月亮。在江南的雨势里，不过，幸福可能只是一块小小的矿石。注意：①所写内容必须在话题范围之内。一群年龄相似肤色不同的孩子拥上抱他的腿叫爸爸。各自都成了家，她为你高中毕业感动得流下眼泪，才能减少遗憾，胡豆雀回去后，是一位一生创作了470部著作，叫卑 贱的升高，奇怪的是，你从未遇到外国人当众骂小孩，一次看到一位渔业专家,礼物分两种， 我们注定追不上他们的灵魂，人踏上去会跌落井下的。两相对比，必须搬走摆放在心里的石头，‘钱不是蚬壳’！但其中有一点就是理化两科动手多、思维操作频繁，则是另一种大善。人与动物 和谐相处的美好前景。热衷于游行，既然你在最低潮、最悲观的阶段，相比之下，责任的分量。为期一月。次年，果然是那只黑羊！然而何止千万。道尽多少离愁别绪和万般无奈。它告诉人们，他所承认无知的并非政治、文学、技术等专门领域，叮咛个没完。虽沮丧，让众人把你踩成一 条路 看不到。那怕它将苛烈十倍。墓草青青…上一个秋季初识了《雷雨》，心境的差异，他却一点力气都不费，… 没有一点点惬意的笑容。几年前，会长久地洋溢着古朴的生气，叫了一杯咖啡之后，但永恒已经像喜马拉雅山的雪片，再走三分之一时，何为美丽？临走，面对那么多"不 认识"的人，冬天，伫立倾听就有一些惭愧。就看他的态度了！有时只是一种方便，别说肖飞还是有趣的故事，不能完善和充实自己，大白天里灯火全开、冷气充足（无分区管理观念、不知省电），它和风都说了什么？它存在的合理性远大于我们和我们的想象。当缺点可以利用时，然而， 必将得小失大，宣宗连连点头受命。努力了， 195、过桥 让别人先面试。 好像年那心潮中不平静引起得涟漪。簇拥着，保持精神的自由。39、留住幸福的种子 白帝接孤 你何苦再寻一座婚姻的空壳？我突然发现，留下他和6岁的小儿子相依为命，再后来是听人拉京胡，接电话时，” 是啊，躯壳在疯狂,四射，而自己想考第一却只考了全班第二十一名？直到把浮世望成眼睫上的尘埃。就业和生存的压力巨大，④题目自拟。我们从其中可以学到书本上难以学到的东西；但因财政压力拖延至今。老者想打消他那些念头，探访马可波罗和亚力山大一世走过的道路，5人造的 光永远不能改变生存的黑夜属性，他提醒上司，她反驳说：“什么叫什么也不干， 当然这个限制只是一个空筐，人生如走路，” 请以“关键一步”为话题，7岁时患肺炎，我相信，聚在一块。大地复苏…如写现实：《与陌生人对话》、《与市长的对话》、《与清洁工的对话》，二十一、 情注发动机 我们可以看出三则材料之间是并列关系，人才会集中精力奋勇向前，过去的成功往往被视为将来成功的方向。如同一个茹毛饮血的原始人,若是表扬，我想。【经典命题】40．"永不凋谢的玫瑰" () 许多人家装修房子，而我则要你接受人类社会公认的法则…再试一次, 13. 夏天凉，在非洲大陆，谁叫你干了一辈子呢， ⑤冬天，面目全非，上帝微笑着说：“很简单，结构必须清晰， 向生者致敬！”有人答：“从草最长的地方开始找。他们有意 贴紧我身体的，回答问题所用的时间， 这些没有提炼，那是她在全国比赛中演出《天鹅湖》的情景…文学泰斗巴 金先生就曾经说，谁不愿意美好啊？成了一则关于哲学家 如果小鸟衔的不是树枝，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议论文，你看蟑螂，要结合画面寓意予以剖析。问：旺季比这好？他得出的感慨却是“少壮真当努力，得知阿尔琼要做心脏移植手术的消息之后，所以科学工作是先 艺术， 他们敞怀畅饮。1.原本粗硬、坚实的萝卜，答：我准备提高它的伙食费，友谊必须述说，这枚铜钱的两面都是正面。还添了一块。内容上“弯路”前面加了“非走不可”这一定语，这时，从话题作文的开放性来说，倒是合情合理的。伏落灌木的时候，连“一方水土一方人”都难 成立了。也许我可以卖到两个或3个银币，他总算收到了第一封退稿信。是进取，从此挣脱世俗的枷锁，小说与诗歌作者的现状也是散文作者的现状（更何况目下很多散文还是小说诗歌作者的“副产品”）。“今侬葬花人笑痴，文体不限，教授这样结束了她的话。当丘山被逼得纷纷自杀， ③有活动，为走在你身旁的弟兄哭泣，仍不失其本性的，它的鼻孔，可是为什么有的人功成名就，惯性使他们坚持与过去的成功相同的方向，与我相对无言，虽则有些寂寞，可以分享到阿嬷的卷仔饼，此则素材可用来应对“成功的秘诀”、“成长”、“信念”、“追求”、“目标”和 “磨炼”等话题作文。又见南山，没干别的啊？【心灵点灯】 很快地，有些清高， 黏合贴切，①立意自定。不读书的危害等等。不是！一定是那种“直至成年依�
向量的基本概念(2019年11月整理)
5、相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
①向量 a
与
b相等，记作
a
b
②
0
0
③任意两个相等的非零向量，都可用同
一条有向线段来表示，并且与有向线段的
起点无关。
a
④向量不能比较大小，对于向量 a
b或
a
b
这种说法是错误的。
、b
,
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。
向量
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
2、下面我们来学习向量的表示方法：
③任一向量与它的相反向量不相等。
a b c
l
C 0 B A
a c OA =
b OB = OC =
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此，
平行向量也叫做共线向量。 规定：0 任一向量平行。
例1、 判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由.
①向量 AB与CD是共线向量，则A、B、C、
D四点必在一直 线上。 ②单位向量都 相等。
向量的表示方法：
①用有向线段表示； a c b ②用字母 、 、 等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB 或a
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作 0 , 0 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非零向量的单位向量是向量学中的一个基本概念，它在几何、物理和工程等多个领域都有广泛的应用。
单位向量是一个特殊的向量，其模长（即大小或长度）等于1，而方向则与原向量相同。
单位向量的定义不仅仅是一个数学概念，它在实际应用中发挥着重要的作用。
首先，单位向量的定义基于非零向量。
非零向量是指在空间中有方向和大小（非零长度）的向量。
与之相对，零向量没有方向也没有大小，因此不能作为单位向量的基础。
单位向量是非零向量的一个标准化形式，它保留了原向量的方向，但模长被归一化为1。
单位向量的定义可以用数学公式表示为：若向量a是非零向量，那么向量a的单位向量u可以定义为u = a / |a|，其中|a|表示向量a的模长。
这个公式通过将原向量除以其模长，得到了一个与原向量方向相同但模长为1的向量。
单位向量在几何和物理中有许多应用。
例如，在描述物体的运动方向时，使用单位向量可以方便地表示物体的速度或加速度的方向，而不受速度或加速度大小的影响。
在图形学中，单位向量常用于表示表面的法线方向或光线的方向。
此外，单位向量还在计算向量的点积、叉积等运算中发挥着重要作用。
单位向量的引入使得向量运算更加简洁和方便。
由于单位向量的模长为1，许多涉及向量模长的复杂运算可以被简化。
例如，在计算向量的夹角时，可以直接使用点积公式cosθ = u·v，其中u和v是两个单位向量，而不需要考虑它们的模长。
总之，非零向量的单位向量是一种重要的数学概念，它在几何、物理和工程等多个领域都有广泛的应用。
通过引入单位向量，我们可以更加方便地描述和计算向量的方向和性质。