模为1的向量叫做
7-1 空间直角坐标系,向量及其线性运算
OM = { x , y , z } 与其终点 的坐标一致. 与其终点M 的坐标一致.
所以要求一个向量的坐标， 所以要求一个向量的坐标 ， 可将其起点移至坐标原点， 可将其起点移至坐标原点 ， 直接求终点的坐标即可. 直接求终点的坐标即可.
o o
z
M( x, y, z) y
x
利用坐标作向量的线性运算 r r r r r 设a = {ax , ay , az }, 即 a = a x i + a y j + a z k ; r r r r r b = bx i + b y j + bz k ; b = {bx , by , bz },
第七章
空间解析几何与向量代数
空间解析几何： 空间解析几何：通过建立空间直角坐标系 把空间几何图形和代数方程联系起来. 把空间几何图形和代数方程联系起来. 向量：既有大小又有方向的量. 向量：既有大小又有方向的量. 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何 基础。 基础。
第七章 七
第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算
MD = 1 ( b − a) 2
C
b
A
M a B
∴ MA = − 1 ( a + b) MB = − 1 (b − a) 2 2 MC = 1 ( a + b) 2
向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. r r r r 定理: 设向量a ≠ 0，那末向量b 平行于a 的
2
Q M 1 P = x2 − x1 ,
z
R
• M2
M1
电工向量的计算1(电子)
I I
0
I I m m
0
这里 I
Im 2
为有效值， 0 为正弦量的初相位。
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电工向量的计算（vector calculus）
案例2 已知正弦交流电的电流表示 i 3sin(t 300 )(单位A), 写出正弦量向量 并分别用有效值向量和最大值向量表示，并作出 向量图。
a+b=b+a 即 (a + b ) + c = a + (b + c). 根据向量加法的三角形法则， 若向量 b 加向 量 c 等于向量 a ， 则称向量 c 为 a 与 b 之差， 记为 c = a b .
b a c=ab
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电工向量的计算（vector calculus）
数与向量的乘积：设 a 是一个非零向量， 是一 个非零实数， 则 a 与 的乘积仍是一个向量， 记作 a ， ( 1 )
( 2 )
| a | = | | | a |;
与 a 反向，当 < 0， 如果 = 0 或 a = 0，规定 a = 0.
数乘向量满足结合律与分配律，即 (a ) = ( ) a ， ( a + b ) = a + b ， ( + ) a = a + b ， 其中 ， 是数量.
4 tan AOB , 即AOB 53 0 3
O B I
2m
i C
I 1m
A
t
AOB 30 23
0
0
因此，合成电流为 i 10 2 sin(t 230 )单位为A
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选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点
空间向量及其运算知识点1.空间向量的有关概念⑴空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)单位向量：模为1的向量称为单位向量(3)相等向量：方向相同且模相等的向量.(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.(5)共面向量：平行于同一个平面的向量.2•空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量uuu uuu uuuu uuuu uuuuuOAn=OA+A| A2+ A2A g+ + An—i A n•运算律：①加法交换律： a + b= b + a ②加法结合律：(a+ b) + c= a + (b + c)③数乘分配律：入(+ b)=入a入b.3.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量 a, b(b丰0) a II b的充要条件是存在实数人使得a =^b推论：|点P在直线 AB上的充要条件是：uuu um存在实数人使得AP AB ①uuu uir uur或对空间任意一点O,有OP OA AB ②um uur urn或对空间任意一点O, 有OP xOA yOB其中x+ y= 1 ③urn uur um uir uuu uur uur uur【推论③推导过程: OP OA AB OA (AO OB) (1 )OA OB】(2)共面向量定理如果两个向量a, b不共线，那么p与a, b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使p = xa+ yb推论：|空间一点P位于平面 ABC内的充要条件|是uur uur uur存在唯一有序实数对(x,y)使AP xAB yAC ,uin uir uur uuu或对空间任意一点O, 有OP OA xAB yACurn uur uur uuu或对空间任意一点O, 有OP xOA yOB zOC，其中x+ y+ z= 1uur uur uuu uuu uur uur uuu【推论③推导过程呈：OP OA xAB yAC (1 x y)OA xOB yOC】(3)空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组｛x, y, z｝,使得p = xa+ yb+ zc基底：把｛a, b, c｝叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.4.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量 a , b，在空间任取一点 0,作OA= a, Ofe= b，则/ AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a, b >,其范围是0w〈 a, b >三爭若〈a, b〉=寸，则称a与b互相垂直，记作a丄b.②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a, b,向量a, b的数量积记作a b,且a b= | a||b |cos〈 a, b >.(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(扫)b=?(ab);②交换律：a b = b a;③分配律：a ( b+ c)= a b + a c.5.空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算：a(2) 共线与垂直的坐标表示：b = a 1b 1 + a 2b 2+ a 3b 3.a / b? a= ?b? a 1 =入 b, a 2=入 2, a 3=入 3 (入€ R),a 丄b? a b= 0? a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3= 0(a, b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式： | a| = .'a a = 'a ! + a 2 + a 3,a b a 1b 1 + a 2b 2+ a 3b 3C0S a,b |a||b|.'a 2+ a 2+ a 3 • b 1 + b 2 +.设 A(a 1, b 1, C 1), B(a 2, b 2,⑵，贝U d AB = | AB| = ： a 2 — a 1 2+b 2— b 1 2+Q —C 1 26. 用空间向量解决几何问题的一般步骤:(1) 适当的选取基底{a, b, c}; (2) 用a ，b ，c 表示相关向量； (3) 通过运算完成证明或计算问题.题型一 空间向量的线性运算 用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量 的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系.例1:三棱锥 O —ABC 中，M, N 分别是OA, BC 的中点，G 是厶ABC 的重心，用基向量 OA, OB, OC 表示MG , OG解析：M G = M A + AG= 2O A+ 3AN= ^OA+ |(O N —O A)=苏+f[2(OB+ OC)—OA]= — |O A+ 3<5B + ^OCC )G = O M + M G = ?OA- 6<5A +|<5B +1(5C = £O A+ |OB + 扌OC〉1 T T —urn uu n uuu uuu例 2:如图所示，ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，ABCD 是平行四边形.若 AE= |EC A*= 2FD,且 EF =x AB+y AD+zAA ,题型二共线定理应用 向量共线问题： 充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与b 共线.点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明 例3:如图所示，四边形 ABCD, ABEF 都是平行四边形且不共面,1 1•/ E A = — 3心-3( AB+ AD) 1 1 2 uuu A F = AD+ DF= AD — F D= A D — A 1D= A D —； (A 1A+ AD)= — AD 3331 uuu 1 uuu AA EF= EA+ AF= AD3 3 1 uuu AA 31 uuu AB 3a 与b ，化简得出a = b ，从而得出a// b,即A 、B 、C 三点共线，即证明 AB 与AC 共线.M , N 分别是AC, BF 的中点，判断CE 与 MN 是否连接 AF, EF= EA+ A F.ABCD- A 1B 1C 1D 1 中，E 在 A 1D 1 上，且 A 1E= 2EDi,AA 1= c.2 2 2 2 2 2 2 A 1 F= §FC= 5A 1 C=5(AC — AA 1) = 5(AB + AD — AA 1) =5a + £b — £c42 2 2 TTTT2 215b — §c= 5 a — 3b — c , EB= EA + A 1A+ AB= — 3b — c+ a= a — 3b — c,T T2•- EF= 5EB •所以E, F, B 三点共线.题型三共面定理应用yPC,或对空间任一点 O,有 OP= OA+ xPB+ yPC 或 OP= xOA+ yOB+ zOC(x+ y+ z= 1)即可uur CE uir CBuur BE uuu MNuuu MC uir CB uuu BN 1 uuu — AC 2TMN , uir i uu uur 1 uuu uu CB (BA BE) (AC BA)uir CB 1 uur 1 uir2BE"CB1 uur BE 2••• CE= 2MN ,••• CE// 即CE 与MN 共线.例5 :已知A 、B 、2C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点O,若OP= 5ITT1 2OA+ 5OB+ 5OC,则点P 是否与A 、B 、C定共面试说明理由. 2 UUU 解析：••• OP 5 1TULT OA 2T1 uu u — OB 52 uuu -OC3 2 uuu uir -(OP + PA) 5 1 uuu uir —(OP + PB) 5 2 uu u uuu uiu 2 uir 1 uir 2 uu —(OP + PC)=OP + —PA+— PB + — PC 3 5 5 3• AP=；AB+；AC,故 A 、B 、C P 四点共面•F 在对角线A 1C 上，且心託点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P 、A 、B 、C 四点共面，只要能证明 PA= xPB+例4:如图所示，在正方体2 T例6:如图所示，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， 连结PA 、PB PC PD,点E 、F 、G 、H 分别为△ PAB△ PBC △ PCD △ PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面.证明：分别延长PE 、 ••• E、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，•f f f例7:正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E, F 分别是BBi 和A 1D 1的中点，求证向量 A 1B, BQ, EF 是共面向量.Dy Ci157i1 11 1证明：如图所示，EF= EB+ BA i + A 1F = 2B i B-A i B+ 尹1。
新高二暑假讲义 第1讲 空间向量及其运算(解析版)
第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
3.掌握空间向量的线性运算。
4.掌握空间向量的数量积。
知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记做-a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。
我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ；分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b .4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A.1B.2C.3D.4【分析】本题考查了向量的基础知识，根据向量模的概念求解即可；【解答】解：因为是空间的一个单位向量，所以的相反向量的模，故选A．【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】本题考查了相等向量及其平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用相等向量及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，与向量的相等的向量有以下3个：故选C．知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．利用化简即可；将分解为，继而进行正交分解即可．【解答】解：．．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．若D为BC的中点，则，根据向量的减法法则即可得到答案．【解答】解：依题意得，故选A．【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【分析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．根据题意，将进行转化，即可得解．【解答】解：．【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．【解析】解：．．向量，如图所示．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【解析】解，，，向量，，共面．由知向量，，共面，又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．【解析】证明：因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【解析】解：如图，设，，，则，，．．．．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．【解析】解，．．，．，，．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的运算，属基础题．根据空间向量的运算法则求解即可．【解答】解：，故选C．2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D.0【分析】本题主要考查了空间向量的运算、向量的数量积、向量垂直的判定，属于中档题．先求出向量的数量积，由它们的数量积为0判断，所以向量的夹角为，由此得出结论．【解答】解：，空间四边形OABC的四个面为等边三角形，，，，，，故选D．3.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础．利用向量共面的条件判断．利用零向量的性质判断．利用向量共线的定理进行判断．【解答】解：假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题．这是关于零向量的方向的规定；假命题．当，则有无数多个使之成立．故选B ．4.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A.；B.；C.D.【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．利用空间向量基本定理，进行验证，对于C ，可得，，为共面向量，从而可得M 、A 、B 、C四点共面．【解答】解：对于A ，，无法判断M 、A 、B 、C 四点共面；对于B ，，、A 、B 、C 四点不共面；C 中，由，得，则，，为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面；对于D ，，，系数和不为1，、A 、B 、C四点不共面．故选C ．5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是()A ．221111111()3()A A A D AB A B ++= B ．1111()0A C AB A A -=C ．向量1AD 与向量1A B的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：111111A A A D A B A C ++= ， 221113AC A B =，∴22111()3()AC A B = ，所以A 正确；1111A B A A AB -= ，11AB A C ⊥，∴110A C AB =，故B 正确；1ACD ∆ 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B的夹角是120︒，故C 不正确；1AB AA ⊥ ，∴10AB AA = ，故1||0AB AA AD =，因此D 不正确．故选：AB ．6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．【分析】正确理解共面向量定理是解题的关键．由于可用向量，线性表示，即可判断出空间中的三个向量，，是否是共面向量．【解答】解：可用向量，线性表示，由空间中共面向量定理可知，空间中的三个向量，，一定是共面向量．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误；若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；若空间向量，，满足，，则，故正确；故答案为．8．（未央区校级期末）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且3148OP OA OB tOC=++，若P，A，B，C四点共面，则实数t=．【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，3148OP OA OB tOC=++，且P，A，B，C四点共面，∴31148t++=18t∴=，故答案为：18．9．（天津期末）在正四面体P ABC-中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PE BC的值为．【分析】如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC⊥，可得：0PA BC=．由E是棱AB中点，可得1()2PE PA PB=+，代入PE BC，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC⊥，可得：0PA BC=．E是棱AB中点，∴1()2PE PA PB=+，∴1111()22cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC=+=+=⨯⨯⨯︒=-．故答案为：1-．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．【解析】解：．，在图中表示如下：．在图中表示如下：11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．【解析】证明：由底面ABCD为平行四边形，，，知，则．由底面ABCD ，知，则．又，所以，即．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++ ，求x y z ++的值．【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．（2）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．【解答】（1）证明： 1111111212()()3333AC AB AD AA AB AD AA AA AB AA AD AA AB BE AD DF AE AF =++=+++=+++=+++=+．A ∴、E 、1C 、F 四点共面．（2）解： 111211()333EF AF AE AD DF AB BE AD DD AB BB AB AD AA =-=+-+=+--=-++ ，1x ∴=-，1y =，13z =，13x y z ∴++=．B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a=⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗ C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ D ．若1(a x = ，1)y ，2(b x = ，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【分析】A 和B 需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C 由定义验证若a b λ= ，且0λ>，结论成立，从而得到原结论不成立；D 根据数量积求出cos a < ，b > ，再由平方关系求出sin a < ，b > 的值，代入定义进行化简验证即可．【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，||||sin b a b a b ==<⊗ ，a > ，故a b b a =⊗⊗ 恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗ ，)b > ，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗ ，b > ，故()()a b a b λλ=⊗⊗ 不会恒成立；对于C ，若a b λ= ，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗ ，c > ，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗ ，||||sin c b c b >+< ，(1)||||sin c b c b λ>=+< ，c > ，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ 不会恒成立；对于D ，cos a < ，1212||||x x y y b a b +>= ，sin a < ，b >= ，即有||||||a b a b a ==⊗=1221||x y x y ===-．则1221||a b x y x y =-⊗ 恒成立．故选：AD ．。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21
解析:(2)①( AB + BC )+ CC1 = AC + CC1 = AC1 ; ②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 = AD1 + D1C1 = AC1 ; ③( AB + BB1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 ; ④( AA1 + A1B1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 .
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的 概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共 面向量定理及推论.
自主学习 课堂探究
知识探究
自主学习
1.空间向量及其长度的定义 与平面向量一样,在空间,我们把 具有大小和方向的量 叫做空间向量,
解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.
2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是
(D)
(A)a=b
(B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同
(D)|a|=3
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
(A) OM =3 OA -2 OB - OC (B) OM + OA + OB + OC =0
第一讲向量及其线性运算
a a cos u
a
b
u
a
u
b
u
a a
u
u
例 9 设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA
OA a 求OA在OM方向上的投影 P rj OA AB M
φ
O
A
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则 三角形法则:
特别当b a 时, 有
a
➢运算规律: 三角不等式
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则
是一个数
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
定比分点公式
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 , M 的坐标 ,
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
中点公式
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
三个坐标为零
两个坐标为零 一个坐标为零
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
2）.
§7.1向量及其运算1
设有两非零向量
a
与
b
O
，任取空间一点
b
O
，
B
作 OA a ， OB b ，规定不超过 的角 AOB
（设 q
AOB,
0
q
）称为向量
a
与
b
的
夹角。记为
(a,
b)
或
(a
b)
，即
(a,
b)
q
。
如果向量a
与b
中有一个是零向量，规定
它们的夹角可在0 与 之间任意取值。
类似地可以规定向量与一轴 的夹角或空间两轴的夹角。
§7.1向量及其运算
7.1.1 向量的概念
B
向量： 既有方向又有大小的量。
常用有向线段来表示向量。
AB A
以 A为 起点，B为 终点的有向线段所表示的向量
记作 AB ，或a 。
向量的模：向量的大小，记作
a
。
单位向量：模等于 1 的向量。与非零向量a同 向的单
位向量称为向量a
的单位向量，记作a
。
零向量：模等于零的向量，记为0 ，其方向不定。
∵
a (a b )
0
，
a
(c
a
)
0
，
∴
a (b c )
0
，故a ,
b, c
共面。
作业
习 题 一 （P67）
3（做在书上）； 4 ；5 ；6 。
设物体在常力F 作用下沿某直线移动，其位移为S ，
则作用在物体上的常力F 所作的功为
F
W F S cos q 。 W F ·S 。
其中q 定义 3
为两力向F 量与a位、移bS的的模夹及角其。夹角的A 余弦q的乘S 积，
高中数学选修2-1知识点总结
高中数学选修2-1知识点总结高二数学选修2-1知识点命题是指用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句。
其中真命题是判断为真的语句，而假命题则是判断为假的语句。
若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，而q则称为命题的结论。
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题就称为互逆命题。
其中一个命题称为原命题，另一个则称为原命题的逆命题。
例如，若原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”。
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题就称为互否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个则称为原命题的否命题。
例如，若原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若p，则q”。
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题就称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个则称为原命题的逆否命题。
例如，若原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若q，则p”。
四种命题的真假性如下：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性。
而两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系。
若p q，则p是q的充分条件，而q是p的必要条件。
若p q，则p是q的充要条件（充分必要条件）。
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q。
当p、q都是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q是假命题。
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q。
当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q是假命题。
对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p。
若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题。
在逻辑中，短语“对所有的”、“对任意一个”通常称为全称量词，用“”表示。
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模为1的向量叫做
模为1的向量叫做单位向量。
由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。
单位向量有无数个。
一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。
一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是：(n,k) ，则有n²+k²=1。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。