向量的内积及其运算
向量内积运算法则
向量内积运算法则向量内积是线性代数中的重要概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨向量内积的运算法则，包括定义、性质和应用。
1. 定义。
在二维空间中，我们可以将两个向量表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)。
\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\)。
这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)。
在三维空间中，向量的内积可以表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\)。
\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}\)。
这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)。
一般地，对于n维空间中的向量，其内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i\)。
2. 性质。
向量内积具有以下性质：交换律，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot\vec{a}\)。
分配律，\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)。
数乘结合律，\(k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a})\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})\)。
这些性质使得向量内积在实际应用中具有很大的灵活性，可以方便地进行运算和推导。
内积的概念及内积公式
内积的概念及内积公式内积这个概念在数学中可是个很有趣的家伙呢！咱先来说说啥是内积。
简单来讲，内积就是两个向量之间的一种运算，通过它能得到一个数值。
想象一下，有两个向量，就像两个小伙伴，它们之间的内积就像是在计算这两个小伙伴相互作用的某种“力量”。
比如说，在二维平面上，有向量 A = (a1, a2) ，向量 B = (b1, b2) ，那它们的内积公式就是 A·B = a1*b1 + a2*b2 。
这就好比两个小伙伴 A 和 B ，各自有自己的“本事”（坐标值），通过这个公式就能算出它们一起合作能产生的“效果”（内积的值）。
我给您讲讲我曾经遇到的一件事，来帮助您更好地理解内积。
有一次，我在课堂上讲内积，有个学生就特别迷糊，一直问我：“老师，这内积到底有啥用啊？”我想了想，就跟他说：“你看啊，假如你要把一个箱子从这儿搬到那儿，你用力的方向和你移动的距离，这两个结合起来，就可以用内积来算你做了多少功。
”然后我在黑板上画了个简单的图，标上力的大小和方向，还有移动的距离，用内积公式一算，这孩子恍然大悟：“哦！原来是这样啊！”内积的应用可广泛啦！在物理学中，计算功就是一个典型的例子。
力和位移都是向量，它们的内积就能算出力对物体做功的多少。
再比如，在信号处理中，内积可以用来衡量两个信号的相似程度。
如果两个信号的内积值大，就说明它们比较相似；内积值小，就说明差异较大。
在数学里，内积还有很多有趣的性质。
比如，内积满足交换律，也就是 A·B = B·A ，这就像两个小伙伴，不管谁先谁后，相互作用的“力量”是一样的。
还有正定性，就是自己和自己的内积总是大于等于零的，而且只有当自己是零向量的时候，内积才等于零。
这就好像一个人，如果自己有真本事（不是零向量），那自己的价值（内积）肯定是正的。
内积还和向量的长度以及夹角有关系呢！两个非零向量的内积除以它们的长度的乘积，就得到了它们夹角的余弦值。
向量的内积
学
实
施
教学内容
备注
导入新课
力学中功的实例引入
探究新知
1பைடு நூலகம்向量内积的定义
概括地说，向量的内积（点乘/点积/数量积）就是对两个向量执行点乘运算。
定义：两个向量a和向量b的内积：
a·b= |a| × |b| ×cos∠(a, b)
特别地，0·a=a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b正交的充要条件是a·b= 0。
3、向量内积的几何意义
内积（点乘）的几何意义包括：
1）表征或计算两个向量之间的夹角
2）b向量在a向量方向上的投影
进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：
1）a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间
2）a∙b=0→ 正交，相互垂直
3）a∙b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
《数学》教案
教学课题
向量的内积
所属系部
授课人
备课时间
课 时
9-10
教学目标
知识目标
向量内积的定义、向量内积的性质、向量内积的几何意义
能力目标
直观想象、逻辑推理、二维平面感、独立思考
素养目标
提升数学思维、数学修养
教学重点
向量内积的定义、向量内积的性质
教学难点
向量的夹角判定
教学方法
多媒体教学、板书、讲授、回答问题、练习
2、向量内积的性质
1）a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a= 0（正定性）
2）a·b = b·a（对称性）
3）(λa+ μb)·c= λa·c+ μb·c，对任意实数λ, μ成立（线性）
向量的内积、长度及正交性
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
向量的内积及其应用
向量的内积及其应用向量内积，在计算机图形、机器学习、统计学等领域得到广泛的应用。
首先，让我们来了解一下向量内积的概念及其计算方法。
向量内积向量内积，又称点积、数量积，是两个向量在空间中的相乘和加和，表示了这两个向量的夹角以及它们之间的相似程度。
对于两个 n 维的向量，它们的内积的计算如下：$A \cdot B = \sum_{i=1}^n A_iB_i$其中A、B 分别为两个n 维的向量，A[i]、B[i] 分别为向量A、B 在第 i 维上的值。
向量内积的几何意义是，两个向量的内积等于它们长度之积与夹角的余弦值：$A \cdot B = |A| \cdot |B| \cdot cos\theta$其中 |A| 表示向量 A 的长度，|B| 表示向量 B 的长度，$\theta$ 表示向量 A 与向量 B 之间的夹角。
向量内积的性质向量内积具有以下性质：1. 交换律：$A \cdot B = B \cdot A$2. 分配律：$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$3. 结合律：$(\alpha A) \cdot B = A \cdot (\alpha B) = \alpha(A \cdot B)$其中，$\alpha$ 为标量。
向量内积的应用1. 计算向量的长度向量的长度可以通过其自身的内积来计算。
假设有一个三维向量 A，其长度可以通过以下公式来求解：$|A| = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2} = \sqrt{A \cdot A}$2. 判断两个向量是否垂直如果两个向量的内积为 0，则它们垂直。
$\because A \cdot B = |A| \cdot |B| \cdot cos\theta$$\therefore A \bot B \Leftrightarrow A \cdot B = 0$3. 计算向量之间的夹角和上一条的应用类似，两个非零向量的夹角 $\theta$ 可以通过以下公式来计算：$cos\theta = \frac{A\cdot B}{|A| \cdot |B|}$$\Rightarrow\theta = arccos(\frac{A\cdot B}{|A| \cdot |B|})$4. 判断向量的方向给定两个向量 A 和 B，假设 A 的方向为 $\vec{e_A}$，则$\vec{e_A}$ 的方向可以通过以下公式来计算：$\vec{e_A} = \frac{A}{|A|} = \frac{A}{\sqrt{A \cdot A}}$同理，向量 B 的方向 $\vec{e_B}$ 可以通过以下公式来计算：$\vec{e_B} = \frac{B}{|B|} = \frac{B}{\sqrt{B \cdot B}}$5. 在机器学习中的应用在机器学习中，内积被广泛应用于矩阵乘法和神经网络的计算中。
内积和叉乘
内积和叉乘
内积和叉乘是向量运算中的两个重要的概念。
内积也称点积，是指两个向量间的乘积结果加和。
具体地，如果
有向量a和向量b，则它们的内积可以表示为a·b = |a||b|cosθ，
其中θ为a和b之间的夹角。
内积计算出来的结果是一个标量，即一
个实数。
叉乘也称向量积，是指两个向量所得的结果是另一个向量，其方
向垂直于原来的两个向量组成的平面。
具体地，如果有向量a和向量b，则它们的叉积可以表示为a × b = |a||b|sinθn，其中θ为a和b
之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位向量。
叉积计算出来的结果是一个向量，其模长相当于原来两个向量所在平面的面积。
内积和叉乘在多个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计
算机图形学等。
在物理学中，内积被用来计算力的功；在工程学中，
叉乘被用来计算机械转动矩；在计算机图形学中，内积和叉乘被用来
计算物体的法向量和光照效果等。
向量的内积 外积 混合积课件
AMB . 解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1)
则 cos AMB MA MB MA MB
100 1
22 2
故
AMB
3
A
B M
例3. 设均匀流速为 v 的流体流过一个面积为 A 的平
面域 , 且 v 与该平面域的单位垂直向量 n 的夹角为 ,
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为 ) .
解: P A v cos
n 为单位向量
A vn
v n
A
单位时间内流过的体积
A v cos
例
4
已知a
(1,1,4) ，b
(1,2,2)，求（1）
a ·b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影.
v a r sin
v a
M
且 r v 符合右手法则 v r
lr
O
三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b ) c 记作 a, b,c
ab
为 a , b , c 的混合积 . 几何意义
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
例11. 证明四点 A(1,1,1), B( 4,5, 6 ),C( 2,3 ,3),
D(10,15,17 ) 共面 .
解: 因 [ AB , AC , AD ]
3 45
1 2 2 0 9 14 16
A
B C
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ) , c (cx , cy , cz )
向量的内积
2T n
E，
T n
T
n1
nT 2
nTn
即
iT
j
ij
1，i 0，i
j j
(i ，j 1，2， ，n) ．
1.3 正交矩阵与正交变换
定义 7 若 P 为正交矩阵，则 y Px 称为正交变换， P 称为正交变换矩阵．
性质 1 正交变换保持向量的内积和长度不变． 证明 设 y Px 为正交变换，对任意 n 维向量1 ，2 ，记 1 P1 ，2 P2 ，则 [1 ，2 ] 1T2 1T PT P2 1T E2 1T2 [1 ，2 ]，
e1
||
1 1
||
，e2
2 || 2
， ||
，er
r || r
， ||
1.2 正交向量组与标准正交基
1
1
1
例1
设 1
1 ，2
2
，
3
4
，试用施密特正交化的方法将该向量组化为标准正交组．
1
3
9
解 易知1 ，2 ，3 是线性无关的．先将1 ，2 ，3 正交化，令 1 1 ；
2
2
[1 [1
y1
[x ，y] xT y
(x1 ，x2 ，
，xn )
y2
．
yn
容易验证内积有下列运算性质：
（1）[x ，y] [ y ，x] ；
（2）[ x ，y] [x ， y] [x ，y]；
其中 x，y，z 为任意 n 维向量， R ．
（3）[x y ，z] [x ，z] [ y ，z]；
3 3
1 6
2 1
，则
e1
，e2
，e3
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向量的内积及其运算
向量的内积
已知两个非零向量a 和b ，作OA a = ，OB b = ，则AOB ∠就叫做向量a 与b 的夹
角．记作,a b 〈〉．
我们规定，0,180a b ︒≤〈〉≤︒．
当,90a b 〈〉=︒时，我们说向量a 与b 垂直，记作a b ⊥．
我们把a 的长与b 在a 方向上正射影的数量cos ,b a b 〈〉的乘积叫做向量a 与b 的内积．记作a b ．即cos ,a b a b a b =〈〉 (1)
由上述定义可知，两个向量a 与b 的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零． 根据向量内积的定义，可以得到两个向量内积有如下重要性质：
(1) 如果e 是单位向量，则
cos ,a e e a a a e ==〈〉 ；
(2) 0a b a b ⊥⇔=
；
(3) 2a a a a == 或 (4) cos ,a b a b a b
〈〉= ； (5) a b a b ≤ ．
以上性质的证明留给同学作为练习．
例1 已知5a =，4b =，,120a b 〈〉=︒，求a b ． 解：cos ,a b a b a b =〈〉
54cos12010.
=⨯⨯︒=- 练习A
1．已知a ，b ，,a b 〈〉，求a b ． (1) 8a =，4b =，,60a b 〈〉=︒； (2) 7a =，12b =，,120a b 〈〉=︒； (3) 4a =，2b =，,2a b π
〈〉=；
(4) 4a =，1b =，,0a b 〈〉=．
2．已知a b ，a b ，求,a b 〈〉．
(1) 5a b = ，10a b =；
(2) 8a b =- ，16a b =；
(3) 25a b =- ，25a b =；
(4) a b = 12a b =．
练习B
1．已知5a =，b 在a 方向上的正射影数量如下，求a b ．
(1) 6； (2) -6； (3)8； (4) -8．
2．在直角坐标系xOy 内，已知向量AB 与x 轴和y 轴的正向的夹角分别为120︒和
30︒，求AB 在x 轴、y 轴上正射影的数量．
向量内积运算律
向量的内积运算满足如下运算律：
(1) a b b a =
； (2) ()()()a b a b a b λλλ==
； (3) ()a b c a c b c +=+
． 例2 求证： (1) 22
()()a b a b a b +-=- ； (2) 2222a b a a b b +=++ ； (3) 2221()2
a b a b a b =+-- ． 证明：(1) 22
()()a b a b a a a b b a b b a b +-=-+-=-
；
(2) 22
2()()2a b a b a b a a a b b a b b a a b b +=++=+++=++ ；
(3) 由(2)式解出a b ，即得
2221()2
a b a b a b =+-- ． 例3 求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线．
求证：AC BD ⊥．
证明：,AC AB AD BD AD AB =+=- ，
22()().
AC BD AB AD AD AB AD AB ∴=+-=- AB AD = ．
0AC BD ∴= ． AC BD ⊥ 即．
AC BD ∴⊥．
练习A
1．已知3a =，4b =，,60a b 〈〉=︒，求(2)(3)a b a b +-
． 2．已知6a =，8b =，,120a b 〈〉=︒，求2
a b +,a b +．
3．在ABC ∆中，已知3AB = ，5BC = ，60ABC ∠=︒，求AC ．
练习B
1．在ABC ∆中，已知8AB =，7BC =，150ABC ∠=︒，求AC 的长．
2．对任意向量a 、b ，求证：2222
2()a b a b a b ++-=+．
向量内积的坐标运算
在直角坐标平面xOy 内，已知1e 、2e 分别为x 轴、y 轴的基向量，12(,)a a a =，12(,)b b b =，则1122a b a b a b =+ ． (2)
证明：112211221111121221212222()().
a b a e a e b e b e a b e e a b e e a b e e a b e e =++=+++
因为 112212211,0,e e e e e e e e ====
所以 1122a b a b a b =+ ．
例5 已知(3,1)a =-，(1,2)b =-．求a b ，a ，b ，,a b 〈〉．
解：(3,1)(1,2)325a b =--=+=
，
a b ======
cos ,2a b a b a b 〈〉=
== ， ,4
a b π
∴〈〉=． 例6 已知：点A(1,2)、(2,3)B 、(2,5)C -．求证：AB AC ⊥ ．
证明：(2,3)(1,2)(1,1),(2,5)(1,2)(3,3),(1,1)(3,3)0,
AB AC AB AC =-==--=-=-= AB AC ∴⊥ ．
注 两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的内积等于零，因此可通过计算两向量的内积来证明两条直线或两个向量垂直．
练习A
1．已知向量,a b 的坐标，求,,cos ,a b a b a b 〈〉 及：
(1) (4,5)a =，(4,3)b =-；
(2) (3,5)a =，(5,3)b =-；
(3) (8,5)a =，(7,8)b =--；
(4) (11,2)a =-，(3,9)b =．
2．已知：A(1,2)，(5,8)B -，(2,1)C --．求证：2BAC π∠=．
练习B
1．已知向量(,),(,),a m n b n m ==-求证a b ⊥．
2．已知向量(1,0),(1,1),a b ==求λ的值，使a b λ+与a 垂直．
3．已知点A(-1,2)、(5,4)B ，点C 在x 轴上，且CA CB ⊥，求点C 的坐标． 4．已知三角形的三个顶点是A(6,3)、(9,3)B 、(3,6)C ，求AB AC 和BAC ∠的度
数．。