随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案
随机过程方兆本部分习题

∞ ∑ n=1
(3n2 − 2n)(1 − β)n−1
∞ ∑ n=1
= 3β
∞ ∑ n=1
n(n + 1)(1 − β)n−1 − 5β
n(1 − β)n−1 =
6 5 6 − 5β − = . β2 β β2
3.19 解:设第 n 天家中散的个数为 Xn , 其状态空间为 S = {0, 1, 2, . . . , M}; 根据
Xi )2 ]
n ∑ i=1
EX2 i = n
E[Y 3 |N = n] = 0 E[Y |N = n] = E[(
2 N ∑
Xi ) |N = n] = E[(
4
n ∑ i=1
Xi )4 ]
=
i=1 n ∑ i=1
EX4 i +
∑
i,j=1 i̸=j
2 EX2 i Xj
( )( ) n 4 =n+ = 3n2 − 2n;= (N − k)λPk (t) − (N − k − 1)λPk+1 (t), 0
将上式结果带入可得: ( ) Pk+1 (t) = kN (1 − e−λt )k+1 e−(N−k−1)λt ; +1 ( ) 从而可得 Pn (t) = N (1 − e−λt )n e−(N−n)λt 。 n
, λ 0
由 Kolmogorov 向前方程:P′ (t) = P(t)Q,得: P′ (t) = −NλP0 (t) 0 P′ (t) = (N − n + 1)λP n−1 (t) − (N − n)λPn (t), n
n = 1, . . . , N
易得 P0 (t) = Ce−Nλt ,且 C = P0 (0) = P0,0 (0) = 1,所以 P0 (t) = e−Nλt 。 当 n=1 时,可得 (P1 (t)e(N−1)λt )′ = NλP0 (t)e(N−1)λt = Nλe−λt 又因为 P1 (0) = 0,上式两边积分可得: ∫t (N−1)λt (P1 (t)e ) = Nλe−λx dx = N(1 − e−λt ) ( ) ( ) 可得:P1 (t) = N (1 − e−λt )e−(N−1)λt ;假设:Pk (t) = N (1 − e−λt )k e−(N−k)λt , 1 k
随机过程课后习题答案

随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支,研究的是随机事件在时间上的演变规律。
在学习随机过程的过程中,习题是不可或缺的一部分。
通过解习题,我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。
下面是一些随机过程课后习题的答案,希望对大家的学习有所帮助。
1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程,其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =e^(-2|h|),求该过程的自相关函数。
解:首先,自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示,即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。
由于该过程是平稳过程,所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数,可以将其记为μ。
因此,Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。
根据题目中给出的自协方差函数,我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。
将μ^2移到等式左边,得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
所以,该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程,其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|),求该过程的均值和方差。
解:由于该过程是平稳过程,所以均值和方差是常数,可以将均值记为μ,方差记为σ^2。
根据平稳过程的性质,自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =E[X(0)X(h)]。
根据题目中给出的自相关函数,我们有R(h) = e^(-3|h|)。
将t取为0,得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。
所以,该过程的均值为μ。
根据平稳过程的性质,方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。
将t取为0,得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。
(解答)《随机过程》第三章习题

第三章 Poisson 过程(Poisson 信号流)习题解答1、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的齐次泊松过程,而12/)()(-=t N t X ,0≥t 。
对0>s ,试求:(1) 计算)}()({s t N t N E +及})()({s N t s N E +的分布律;(2) 证明过程)(t X ,0≥t 是马氏过程并写出转移概率),;,(j t i s p ,其中t s ≤。
解:(1)由泊松过程状态空间可知)(t X 的状态空间为:},2,1,0:2/)2{(},2,2/3,1,2/1,0,2/1,1{ =-=--=k k St s t t s t t s t t s t N t N E λλλλ++=+++=+)(},min{)()}()({22由于tn e m t n m e n k t k n k t N kP n s N P n s N k t s N P k n s N k t s N kP n s N t s N E m tm n k t n k n k n k nk λλλλλ+=+=-=-=====+===+==+∑∑∑∑∑∞+=-∞+=--∞+=∞+=+∞=0!)()()!()(})({})({})(,)({})()({})()({因此t s N s N t s N E λ+=+)(})()({其分布列为:sn e n s n s N P t n s N t s N E P λλλ-===+=+!)(})({}})()({{(2)由泊松过程的独立增量性可知过程)(t X 也是独立增量的,又因为1)0(-=X ,因此可知过程)(t X 是一马氏过程,其转移概率为:),(;)]!(2[)]([)}1(2)({)}(2)({)}1(2)({)}1(2)({)}1(2)(),1(2)({})({})(,)({),;,()()(2s t i j e i j s t i s N P i j s t N P i s N P i s N P j t N i s N P i s X P j t X i s X P j t i s p s t i j ≥≥--=+=-=-+==+=+=+======---λλ),(;0),;,(s t i j j t i s p ≥<=附:泊松过程相关函数的计算: 设210t t ≤<,我们有:∑∑+∞=+∞=+==+=002121})(,)({)()}()({m n n m t N m t N P n m m t N t N E由于当210t t ≤<时,,2,1,0,,!!)(})(,)({212121=-=+==-+n m e n m t t t n m t N m t N P t nm n m λλ因此,我们有:1212)(1212)(1)(2121112111111212121111101222122121112110121201211112110121001210012120012100212112121212121222222222222)()!1()(!)1()(!)(!)1(!)(!)2(!)1(!)1()(!!)1()(!!)2()(!)1(!)1()(!!)1()(!!)(!!)(!!)()(})(,)({)()}()({t t t e e e t t t e e e t e e e t n t t m t et t t n t t m t et n t t m t et e n m t t t e n m t t t en m t t t en m t t t e n m t t t m en m t t t n m e n m t t t m e n m t t t n m m n m t N m t N P n m m t N t N E t t t t t t t t t t t t n n n m m m t n nn m m m t n nn m m m t m n t n m n m m n t nm n m m n t nm n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t nm n m m n λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+=-++=----+--+--=---++--+--=---+--=-+-=-+=+==+=------∞+=--∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-++∞=+∞=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑同理我们有:当120t t ≤<时221221)}()({t t t t N t N E λλ+=因此,有:},min{)}()({),(212122121t t t t t N t N E t t R N λλ+==2、 设}0);({≥t t X 与}0);({≥t t Y 是相互独立,参数分别为1λ与2λ的Poisson 过程。
随机过程习题答案及知识点

协方差矩阵及n 维正态分布1、设n 维随机变量)(n X X ,,,X 21⋯的二阶混合中心距:[][];,,2,1,},)()({),(,n j i j X E j X X E X E X X Cov c i i j i j i ⋯=--==都存在,则称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∑nn c c c c c c c c c n2n12n 22211n 1211为n 维随机变量)(n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵,它是一对称矩阵。
2、n 维正态分布定义:若n 维随机变量)(n X X ,,,X 21⋯的概率密度可以表示成以下的形式:⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑--∑==⋯-)()(21ex p )(det )2(1)(),,,(f 12/12/21U X U X X f x x x T n n π其中,Tn T T n X E X E X E U x x x X ))(,),(),((),,,(,),,,(21n 2121⋯=⋯=⋯=μμμ∑是)(n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵,则称n 维随机变量)(n X X ,,,X 21⋯为n 维正态随机变量,记为),(~),,,X (21∑⋯=μN X X X n ,),,,(f 21n x x x ⋯为n 维正态概率密度函数。
N 维正态随机变量的性质(1) n 维正态随机变量)(n X X ,,,X 21⋯的每一个分量都是正态变量;反之,若nX X ,,,X 21⋯都是正态随机变量,且相互独立,则)(n X X ,,,X 21⋯是n 维正态随机变量。
(2) n 维随机变量)(n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布的充要条件是n X X ,,,X 21⋯的任意的线性组合n n X l X l X l +⋯++2211服从一维正态分布;(3) 若)(n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布,设n Y Y ,,,Y 21⋯是),,3,2,1(X n j j ⋯=的线性函数,则n Y Y ,,,Y 21⋯也服从正态分布。
随机过程第三版课后答案

随机过程第三版课后答案【篇一:随机过程习题答案】们的均值分别为mx和my,它们的自相关函数分别为rx(?)和ry(?)。
(1)求z(t)=x(t)y(t)的自相关函数;(2)求z(t)=x(t)+y(t)的自相关函数。
答案:(1)rz(?)?e?z(t??)z(t)??e?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?利用x(t)和y(t)独立的性质:rz(?)?e?x(t??)x(t)?e?y(t??)y(t)???rx(?)ry(?)(2)rz(?)?e?z(t??)z(t)??e??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)?? ?e?x(t??)x (t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:rz(?)?rx(?)?2mxmy?ry(?)2、一个rc低通滤波电路如下图所示。
假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。
(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。
电流:i(t)电压:y(t)答案:(1)该系统的系统函数为h(s)?y(s)1? x(s)1?rcs则频率响应为h(j?)?11?jrc?n02而输入信号x(t)的功率谱密度函数为px(j?)?该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为:py(j?)?px(j?)h(j?)?2n0/21?rc?2对py(j?)求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数:1ry(?)?2?????py(j?)ej??1d??2?n0/2j?????1?rc?2ed??(2)线性系统输入为高斯随机过程,则输出也一定是高斯的。
因此,为了求输出的一维概率密度函数,仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。
均值:已知输入均值mx=0,则输出均值my=mxh(0)=02方差:ry(0)?var(y)?my因为均值为0,所以方差var(y)?ry(0)?一维pdf:略12?n0/2???1?rc2?2d??3、理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为b,其在通带的频率增益为1。
(完整版)随机过程习题答案

(完整版)随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数,)1,0(~N V ,求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V,所以1,0==DV EV ,b Vt t X +=)(也服从正态分布,b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ,)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π,),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ,令Yt e t X -=)(,0,0>>Y t ,求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t,Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量,根据随机变量函数的分布的求法,}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=,0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验,定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求:(1))(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和;(2))(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ;(3))(t X 的均值)1(),(X X m t m ,⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案

习题4以下如果没有指明变量t 的取值范围,一般视为R t ∈,平稳过程指宽平稳过程。
1. 设Ut t X sin )(=,这里U 为)2,0(π上的均匀分布.(a ) 若 ,2,1=t ,证明},2,1),({ =t t X 是宽平稳但不是严平稳, (b ) 设),0[∞∈t ,证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明:(a )验证宽平稳的性质,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=•==⎰t Ut tdU Ut Ut E t EX ππππ))cos()(cos(21)sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=•=t U s t s t U s t s t πππ21}])[cos(1])[cos(1{212020•+++--= s t ≠=,021Ut Esin ))(),((2==t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21)(有关与t t t t EX ππ-=.)2sin(8121DX(t)有关,不平稳,与t t tππ-=2. 设},2,1,{ =n X n 是平稳序列,定义 ,2,1},,2,1,{)(==i n X i n 为,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ,证明:这些序列仍是平稳的. 证明:已知,)(),(,,2t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+2121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX)1()1()(2),(),(),(),(),(),(111111)1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然,)1(n X 为平稳过程.同理可证, ,,)3()2(n n X X 亦为平稳过程.3.设1)nn k k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数,k=1,....n; 1,...n u u 是(0,2π)上独立均匀分布随机变量。
随机过程习题及答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为:试求:在时,求。
解:当时,==1.2 设离散型随机变量X服从几何分布:试求的特征函数,并以此求其期望与方差。
解:所以:2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t et t t X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解:(1)与无关(2),所以(3)只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E.321)方差函数)协方差函数;()均值函数;((2.4是其中,设有两个随机过程U Utt Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且数。
试求它们的互协方差函2.5,试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少?3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲)解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
4030(30)((1)40)!kk P N ek -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
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习题4以下如果没有指明变量t 的取值范围,一般视为R t ∈,平稳过程指宽平稳过程。
1. 设Ut t X sin )(=,这里U 为)2,0(π上的均匀分布.(a ) 若Λ,2,1=t ,证明},2,1),({Λ=t t X 是宽平稳但不是严平稳, (b ) 设),0[∞∈t ,证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明:(a )验证宽平稳的性质Λ,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=•==⎰t Ut tdU Ut Ut E t EX ππππ))cos()(cos(21)sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=•=t U s t s t U s t s t πππ21}])[cos(1])[cos(1{212020•+++--= s t ≠=,021Ut Esin ))(),((2==t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21)(有关与t t t t EX ππ-=.)2sin(8121DX(t)有关,不平稳,与t t tππ-=2. 设},2,1,{Λ=n X n 是平稳序列,定义ΛΛ,2,1},,2,1,{)(==i n X i n 为Λ,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ,证明:这些序列仍是平稳的. 证明:已知,)(),(,,2t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+2121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX)1()1()(2),(),(),(),(),(),(111111)1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然,)1(n X 为平稳过程.同理可证,Λ,,)3()2(n n X X 亦为平稳过程.3.设1)nn k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数,k=1,....n; 1,...n u u 是(0,2π)上独立均匀分布随机变量。
证明{,0,1,2,...}n x n =是平稳过程。
证明:E n X=1cos()nkk k k a n u σ=-∑,cos()k k E a n u -=201/2cos()k k k a n u du ππ-⎰=201/2sin()|k k a n u ππ-=0D[cos()k k a n u -]=1/2-cos(22)1/2k k E a n u -=cov (cos(),cos(())k k k k a n u a n t u -+-)=cos()k k E a n u -cos((1)k k E a n u +-)=1/2cos k a tcov(cos(),cos())0,()k k l l a n u a n u k l --=≠E n X =0,D(n X )=22)11.2(cos()nnkk k k k k D a n u σσ==-=∑∑.为常数11cov(,)..2.cov[cos(()),cov()]nnn t n k l k k l l K l x x a n t u a n u σσ+===+--∑∑=21.2.1/2.cos()nkk k a t σ=∑只与t 有关,与n 无关。
从而知道{n X .n=0,1,2….}为宽平稳的。
4.设k A k 1,2...n k n =是个实随机变量;W ,k=1,2…n 是n 个实数。
试问k A 与k W 之间应满足这样的条件才能使:21()j =1njwtk k Z t A e-==∑是一个复的平稳过程。
()Solution:()1k njw t k k Ez k EA e ==⋅=∑常数,要求k EA =()()()11k l nn j t j t k l k l Ez t z t E A A e ωω-==⋅=⋅=∑∑常数要求()0,k l E A A k l=≠5.设{},1,2,...n x n =是一列独立同分布随机变量序列,()1n P x p==,()11,1,2,...n P x p n =-=-=令010,1,2,...nn k s s n ====∑求{},1,2,...n s n =的协方差函数和自相关函数,p 取何值时,此序列为平稳序列? Solution :()()()()()()2222221,1112112141n n n n Ex p Dx Ex Ex p p p p p p =∂-=-=⋅+-⨯---=--=-()()(211,,1n n m n k k E x x p n m Es Ex p =⎫=∂-≠==∂-⎪⎭∑协方差函数()(),cov ,s n m n R n m n s s ++=()()11,cov ,n m n s k l k l R n m n x x +==⎫+==⎪⎭∑∑()())1...n D x D x ++()41p p =-自相关函数:()()(),,1s s n m n r n m n R n m n Es Es p p ++=++⋅=-()212p - 当p=12时,()()10,,0,12n n n n Ex D x Es D s ====但协方差函数(),s R n m n +=n,n+m 有关,还是不平稳!6.设(){}t X 是一个平稳过程,对每一个R t ∈,()t X /存在,证明对每个给定的t ,()t X 与()t X /不相关,其中()()dtt dX t X =/. Proof. ()m t EX =,()()2σ=t X D . ()()m t t X E =∆+.()()()tt X t t X t X t ∆-∆+=→∆0/lim,()0/=t EX . ()()()()()()()()()[]tt X t t X t X E t X t EX t X t X Cov t ∆-∆+=⋅=→∆0//lim , ()()()021********=+===m dtd t EX dt d dt t dX E σ7.设(){}t X 是Gauss 过程,均值为0,协方差函数()Z e R 242-=. 令()()()()1,1-=+=t X t W t X t Z ,(i ) 求()()()t W t Z E 和()()[]2t W t Z E +;(ii )求()t Z 的密度函数()z f Z 及()()1<t Z P ; (iii )求()t Z 与()t W 的联合密度()w z f W Z ,,. Solution. (i )()()()()4411-=-⋅+=e t X t EX t W t EZ . (ii )()()()()40,0===R t X D t EX . ()()1+=t X t Z ~()22,0N ()()dx e t Z P x ⎰∞-⨯-⨯=<14222211π.(iii )()()()t W t Z ,~()4224;2;0;2;0-e N ,()442-==e R P ()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--⋅----⋅⋅-=---40400240121ex p 4121,24288,w w z e z e e w z f W Z π8.设(){}R t t X ∈,是一个严平稳过程,ξ为只取有限个值的随机变量.证明()(){}R t t X t y ∈-=,ξ仍是一个严平稳过程.Proof. ()()()()()()h t X h t X t X t X n dn -⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅,,,11()()()()()()()n n n y y y y t y t y P t t t F n ,,,,,,,1121,,1⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=p((X(t 1-ε),…,X(t n -ε)≤(y 1,…,y n )) =k∑Pk.p((X(t 1- a k ,…X(t n - a k )≤(y 1,…,yn))=k∑Pk.p((X(t 1-h- a k ),…X(t n -h- a k ))≤(y 1,…,y n ))=p((y(t 1-h),…,y(t n -h))≤(y 1,…,y n ))=F h tn h t --,....,1(y 1,…,y n )即知{})(t y 为严平稳.9、设{}R t X ∈t (),是一个严平稳过程,构造随机过程Y 如下:Y (t )=1,)若X (t )>1,若X (t )>0;-1,若X (t )≤0证明Y (t )是一个平稳过程,如果进一步假定{}R t X ∈t (),是均值为0的Gauss 过程(平稳),证明)(τR Y 为2arcsin 0X X τπ(R ()())证明:P ((Y(t 1),…,Y(t n ))=(a 1,…,a n ))=P(X(t 1),…,X (t n )中有的大于0,有的小于等于0)=P (X(t 1+h),…,X (t n +h )相应于X(t 1),…,X (t n )中的符号不变)=P ((Y(t 1+h),…,Y(t n +h))=(a 1,…,a n )) 即{})(t y 亦为严平稳的.EX(t)=0,E)(2t X =)0(Rx,X(t)≈N(0,)0(Rx)EY(t)=1*P(Y(t)=1)- 1*P(Y(t)=-1)=P(X(t)>0)- P(X(t) ≤0)=21- 21=0 )(τRY=EY(t+τ)Y(t)=P(X(t+τ)>0, X(t)>0)+P(X(t+τ)≤0, X(t) ≤0)- P(X(t+τ)≤0, X(t)>0)+ P(X(t+τ)>0, X(t) ≤0)y x x xyd d R y xy x R R ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰⎰∞+∞+)0()2(22ex p 21021222202ρρρπ)(2(1-1-)()()( )0()2(2x x R R =)(记ρ +y x x xd d R y xy x R ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎰⎰∞-∞-)0()2(22ex p 2102122202ρρρπ)(2(1-1-)()( -x y x xd d R y xy x R ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎰⎰∞-∞+)0()2(22ex p 21021222002ρρρπ)(2(1-1-)()( -x y x xd d R y xy x R ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎰⎰∞+∞-)0()2(22ex p 2102122202ρρρπ)(2(1-1-)()(=2()θθρρρππrdrd r R R x x .2sin )2(1(21)(0(21exp )2(1)0(21222002⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎰⎰∞))(-()θθρρρππrdrd r R R x x .2sin )2(1(21)(0(21exp )2(1)0(21222002⎭⎬⎫⎩⎨⎧+---⎰⎰∞))( 极坐标变换:θθsin ,cos r y r x ===θθρρπθθρρπππd d ⎰⎰+----2022022sin )2(1)2(112sin )2(1)2(11令dt td t 211,arctan ,tan +===θθθθ =dt t t dt t t ⎰⎰++---+-20222022)2(21)2(11)2(21)2(11ππρρπρρπ=202202)2(1)2(arctan 121)2(arctan 1ππρρπρρπ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t )(=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+)2(1)2(arctan 21)2(1)2(arctan 2122ρρππρρππ=)2(1)2(arctan22ρρπ-=())2(arcsin 2ρπ注:验证()θθθθ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-arcsin sin 1arctansin 2. 即可!10.设(){}X t 是一个复值平稳过程,证明:()()()()()22Re 0E X t X t R R ττ+-=-Proof :()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2202Re 0E X t X t E X t X t X t X t EX t X t EX t X t EX t X t EX t X t R R R R R ττττττττττ+-=+-+-=+++-+-+=-+-=-11.设(){}X t 是零均值的平稳Gauss 过程,协方差函数为()R τ,证明:()()'P Xt a ⎛⎫⎪≤=Φ ⎪⎝⎭,其中()Φ•为标准正态函数。