七年级数学勾股数(201908)
勾股数
• 能不能写出一个公式，得到全部勾股数呢？数学 家经过研究，在前边两个公式的基础上得到了如 下公式： • 对正整数m,n,m＞n,则2mn,m2-n2, m2+n2一定是 勾股数。 • 这个公式包括了所有的勾股数，同学们可以用这 个公式寻找一下，看是不是能得到上面出现的全 部勾股数。
• 勾股数还有一些有趣的性质，下面写出几条，在 此不做证明，有兴趣的同学可选取一些勾股数验 证。 • 性质1 如果a,b,c是一组勾股数，则ma,mb,mc一 定也是勾股数。 • 例如 把3,4,5扩大得到6,8,10; 9,12,15; 12,16,20等等，但是扩大1.5倍得到的4.5,6,7.5不 是勾股数。 • 性质2 勾数和股数不能相等 • 性质3 勾数、股数、弦数三个数中，至少有一个 是偶数，且勾数和股数不可能同为奇数。 • 性质4 勾股数a,b,c三数的积abc一定能被60• 例三 在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm， BC=2.8cm,则斜边AB的长为___cm. • 解析 2.1cm=3×0.7cm A • 2.8cm=4×0.7cm • 则斜边的长为5×0.7cm
C B
• 例四 如图，有一块直角三角形纸片ABC，两直 角边AB=6cm，BC=8cm,现将该三角形纸片沿直 线AD折叠，使B点落在斜边AC上，则CD等于 （ ） A • 解析：由图可得，AC= E • 10cm,AE=6cm,所以CE= • 4cm,DE=xcm=BD,则有 B D C 2+42 =(8-x) 2解得x=3cm • x • 所以CD=5cm.
• 6 8 10; 8 15 17; 10 24 26; 12 35 37; ……………. 观察这些数，可发现如下规律： 第一个数都是偶数，取其一半平方，然后再取与这 个平方数相邻的两个自然数，就得到一组勾股数， 用公式表示为： m2 4 m2 4 设m为大于2的偶数，则m, , 一定是勾 4 4 股数。证明如下： 2 16 m m 4 8m 2 16 m 4 8m 2 16 m2 4 m2+( )= = 4 4 4 m2 4 2 =( ) 4 这样也只能写出一部分勾股数。
勾股数概念
勾股数概念勾股数概念是一个与直角三角形密切相关的数学概念。
在勾股数概念中，有一个重要的定理被称为勾股定理。
勾股定理表述如下：在一个直角三角形中，假设边长分别为a、b和c，其中c为斜边（即直角三角形的斜边），而a和b为直角三角形的两条其他边。
则根据勾股定理，成立以下关系：a^2 + b^2 = c^2。
这个定理源自古希腊数学家毕达哥拉斯的研究，故又称为毕达哥拉斯定理。
勾股数指的是满足勾股定理的整数组合。
例如，3、4和5是勾股数，因为3^2 + 4^2 = 5^2。
同样的道理，5、12和13也是勾股数，因为5^2 + 12^2 = 13^2。
除了整数勾股数外，还存在有理数勾股数和无理数勾股数。
有理数勾股数是指满足勾股定理的有理数组合，而无理数勾股数是指满足勾股定理的无理数组合。
勾股数概念在几何学和三角学中具有广泛的应用。
它可以用于计算直角三角形的边长、角度和面积等问题，同时也是其他数学和物理学分支的基础。
勾股数概念是古代数学中一个重要而有趣的内容。
在古希腊时期，勾股数得以广泛研究和运用，尤其是由毕达哥拉斯提出的勾股定理成为了几何学和数学中的重要定理之一。
在直角三角形中，我们知道直角三角形的一个内角是90度，而由勾股定理可知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个简单而重要的数学关系为我们解决各种几何问题提供了便利，也激发了许多人对数学的兴趣和探索。
勾股数不仅仅是整数，还可以是有理数和无理数。
有理数是指可以用整数表示为分数的数，而无理数是不能写为有理数的分数形式的数。
有理数勾股数的例子包括3、4和5这样的整数组合，也包括如1.5、2.5和2.91547594742这样的有理数组合。
而像根号2、根号3这样的无理数组合也可以构成勾股数。
勾股数的概念不仅仅存在于数学领域，它还渗透到了许多领域，如物理学、工程学等。
在物理学中，勾股数被广泛用于描述力的合成、速度的计算等问题；在工程学中，勾股数常常用于设计建筑、制作工艺等方面。
勾股数
证明： a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 a、b、c构成一组勾股数。
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方；= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5
则说明斜边为5。
编辑本段多种证明方法
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。
(2）若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。例如8是勾股数组中的一个数。那么8、15，17便是一组勾股数。
证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 （2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数
勾股数组的通式：
a=M²-N²
b=2MNc=M²+N² (M>N,M,N为正整数）
初中数学--勾股定理(K12教育文档)
初中数学--勾股定理(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学--勾股定理(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初中数学--勾股定理(word版可编辑修改)的全部内容。
聚智堂学科教师辅导讲义年级: 课时数：学科教师:学员姓名：辅导科目:数学辅导时间：课题勾股定理教学目的1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2=c2）2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.3、满足222cba=+的三个正整数,称为勾股数.教学内容一、日校回顾二、知识回顾1. 勾股定理如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系:即C的面积＝B的面积+A的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c，那么222cba=+即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.说明：(1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了.（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。
在没有特殊说明的情况下，直角三角形中，a ，b 是直角边，c 是斜边，但有时也要考虑特殊情况. (3）除了利用a ，b ，c 表示三边的关系外，还应会利用AB ，BC ，CA 表示三边的关系，在△ABC 中，∠B ＝90°，利用勾股定理有222AC BC AB =+。
初中数学知识归纳勾股定理与勾股数
初中数学知识归纳勾股定理与勾股数初中数学知识归纳——勾股定理与勾股数在初中数学中，勾股定理与勾股数是非常重要的概念和工具。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，而勾股数则是满足勾股定理的三个整数。
本文将对勾股定理与勾股数进行详细的归纳和讨论。
一、勾股定理勾股定理是数学中的基础定理，它由古希腊数学家毕达哥拉斯提出并证明。
该定理表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
形式化表示为：a² + b² = c²其中，a和b表示直角三角形的两个直角边，c表示斜边，也称为“直角边”。
勾股定理在几何学中有着广泛的应用，它可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。
利用勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长、角度，以及判断是否为直角三角形等。
二、勾股数勾股数是指满足勾股定理的三个整数。
一般情况下，我们将勾股数表示为(a, b, c)，其中a、b和c是互质的正整数，并且满足a²+ b²= c²。
常见的勾股数有很多种，其中最简单的是(3, 4, 5)。
当a = 3，b = 4，c = 5时，满足3² + 4² = 5²，因此(3, 4, 5)是一个勾股数。
除了(3, 4, 5)外，还有(5, 12, 13)、(8, 15, 17)等许多勾股数存在。
勾股数的研究在数论中有着重要的地位，它们与素数、分数等数学概念密切相关。
同时，勾股数也被广泛应用于数学、物理、工程等领域，例如在计算机图形学中的三角形绘制、电子电路设计中的信号处理等。
三、勾股定理的应用勾股定理作为几何学中的基本工具，应用广泛。
下面我们将介绍一些常见的勾股定理应用场景。
1. 求解直角三角形的边长：利用勾股定理，可以根据已知的两条边求解第三条边的长度。
例如，如果一个直角三角形的一条直角边长为3，而另一条直角边长为4，那么可以根据勾股定理求解斜边的长度，即：3² + 4² = c²9 + 16 = c²25 = c²因此，c = 5。
勾股数
勾股数勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。
计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。
因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。
例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。
此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。
如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。
由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
七年级数学勾股数
龄足有三四千岁，身高不足一米七，体重不足四十公斤。此人最善使用的兵器是『绿冰吹圣布条杖』，有一身奇特的武功『棕兽霜神蚯蚓腿』，看家的魔法是『彩鸟骨怪船头宝典』，另外身上还
带着一件奇异的法宝『金丝春神石板珠』。他有着笨拙的亮灰色蒜头般的身材和镶着银宝石的粉红色驴肾一样的皮肤，感觉空前酷野但又有些离奇，他头上是多变的深黄色土堆模样的卷发，戴着
舞来飘飘的钟声，声音是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……经过魔雪堆深潭后，身上就有一种温暖的，非常舒服的感觉。整个魔雪堆深潭让人感到一种无法形容的、莫名其妙的兴奋和新鲜
……突然东北方向出现四个奇装异服的校妖。那个身穿闪亮的怪金衣的猛男是
琳可奥基官员。他出生在Ｇ．卡孜哥种族的砧木丘，绰号：十头茄子！年龄看上去大约十二三岁，但实际年
但又露出一种隐约的英
2 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角?
古埃及人曾用下面的方法得到直角: 用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住 绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结, 拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
1、这段课文说得是什么？ 2、依照课文所说的做一做：把一条线段分成 12等份，在第三、第七等分处折成一个三角形， 并量一量最大角是多少度。
一顶神奇的中灰色土堆一样的缰绳弭幻巾，他上穿闪亮的亮橙色袋鼠造型的鼠夹仙霞怪金衣，下穿紧缩的的乳白色野象一般的香肠琥滢裤子，脚穿高贵的银橙色怪藤造型的酱缸江雷鞋。这人披着
一件尖细的淡黑色蛤蟆造型的鼠屎树皮披风……有时很喜欢露出露着脏乎乎的金红色磨盘模样的火柴烟波瘦腹，那上面上面长着有朵红缨的纯黄色的细小烤鸭一样的汗毛。整个形象认为很是经典
2. 将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,
常见勾股数及公式
常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 4551；24 70 74；24 143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27 120 123；27 364365；28 45 53；28 96 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480481；32 60 68；32 126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288290；35 84 91；35 120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 7585；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46528 530；48 55 73；48 64 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52675 677；54 72 90；54 240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105119；56 192 200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80100；60 91 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899901；62 960 962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510514；65 72 97；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576580；69 92 115；69 260 269；69 792 79570 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154170；72 210 222；72 320 328；72 429 43572 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560565；75 936 939；76 357 365；76 720 72477 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504510；80 84 116；80 150 170；80 192 20880 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360369；84 112 140；84 135 159；84 187 20584 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880884；85 132 157；85 204 221；85 720 72587 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234250；88 480 488；88 966 970；90 120 15090 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128160；96 180 204；96 247 265；96 280 296100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组：102 136 170第224组：102 280 298第225组：102 864 870第226组：104 153 185第227组：104 195 221第228组：104 330 346第229组：104 672 680第230组：105 140 175第231组：105 208 233第232组：105 252 273第233组：105 360 375第234组：105 608 617第235组：105 784 791第236组：108 144 180第237组：108 231 255第238组：108 315 333第239组：108 480 492第240组：108 725 733第241组：108 969 975第242组：110 264 286第243组：110 600 610第244组：111 148 185第245组：111 680 689第246组：112 180 212第247组：112 210 238第248组：112 384 400第249组：112 441 455第250组：112 780 788第251组：114 152 190第252组：114 352 370第253组：115 252 277第254组：115 276 299第255组：116 837 845第256组：117 156 195第257组：117 240 267第258组：117 520 533第259组：117 756 765第260组：119 120 169第261组：119 408 425第262组：120 126 174第263组：120 160 200第264组：120 182 218第265组：120 209 241第266组：120 225 255第267组：120 288 312第270组：120 442 458 第271组：120 594 606 第272组：120 715 725 第273组：120 896 904 第274组：121 660 671 第275组：123 164 205 第276组：123 836 845 第277组：124 957 965 第278组：125 300 325 第279组：126 168 210 第280组：126 432 450 第281组：126 560 574 第282组：128 240 272 第283组：128 504 520 第284组：129 172 215 第285组：129 920 929 第286组：130 144 194 第287组：130 312 338 第288组：130 840 850 第289组：132 176 220 第290组：132 224 260 第291组：132 351 375 第292组：132 385 407 第293组：132 475 493 第294组：132 720 732 第295组：133 156 205 第296组：133 456 475 第297组：135 180 225 第298组：135 324 351 第299组：135 352 377 第300组：135 600 615 第301组：136 255 289 第302组：136 273 305 第303组：136 570 586 第304组：138 184 230 第305组：138 520 538 第306组：140 147 203 第307组：140 171 221 第308组：140 225 265 第309组：140 336 364 第310组：140 480 500 第311组：140 693 707 第312组：140 975 985 第313组：141 188 235 第314组：143 780 793 第315组：143 924 935 第316组：144 165 219第322组：144 640 656 第323组：144 858 870 第324组：145 348 377 第325组：145 408 433 第326组：147 196 245 第327组：147 504 525 第328组：150 200 250 第329组：150 360 390 第330组：150 616 634 第331组：152 285 323 第332组：152 345 377 第333组：152 714 730 第334组：153 204 255 第335组：153 420 447 第336组：153 680 697 第337组：154 528 550 第338组：154 840 854 第339组：155 372 403 第340组：155 468 493 第341组：156 208 260 第342组：156 320 356 第343组：156 455 481 第344组：156 495 519 第345组：156 667 685 第346组：159 212 265 第347组：160 168 232 第348组：160 231 281 第349组：160 300 340 第350组：160 384 416 第351组：160 630 650 第352组：160 792 808 第353组：161 240 289 第354组：161 552 575 第355组：162 216 270 第356组：162 720 738 第357组：165 220 275 第358组：165 280 325 第359组：165 396 429 第360组：165 532 557 第361组：165 900 915 第362组：168 224 280 第363组：168 270 318 第364组：168 315 357 第365组：168 374 410第371组：170 264 314 第372组：170 408 442 第373组：171 228 285 第374组：171 528 555 第375组：171 760 779 第376组：174 232 290 第377组：174 832 850 第378组：175 288 337 第379组：175 420 455 第380组：175 600 625 第381组：176 210 274 第382组：176 330 374 第383组：176 468 500 第384组：176 693 715 第385组：176 960 976 第386组：177 236 295 第387组：180 189 261 第388组：180 240 300 第389组：180 273 327 第390组：180 299 349 第391组：180 385 425 第392组：180 432 468 第393组：180 525 555 第394组：180 663 687 第395组：180 800 820 第396组：180 891 909 第397组：182 624 650 第398组：183 244 305 第399组：184 345 391 第400组：184 513 545 第401组：185 444 481 第402组：185 672 697 第403组：186 248 310 第404组：186 952 970 第405组：189 252 315 第406组：189 340 389 第407组：189 648 675 第408组：189 840 861 第409组：190 336 386 第410组：190 456 494 第411组：192 220 292 第412组：192 256 320 第413组：192 360 408 第414组：192 494 530第420组：195 468 507 第421组：195 748 773 第422组：196 315 371 第423组：196 672 700 第424组：198 264 330 第425组：198 336 390 第426组：198 880 902 第427组：200 210 290 第428组：200 375 425 第429组：200 480 520 第430组：200 609 641 第431组：201 268 335 第432组：203 396 445 第433组：203 696 725 第434组：204 253 325 第435组：204 272 340 第436组：204 560 596 第437组：204 595 629 第438组：204 855 879 第439组：205 492 533 第440组：205 828 853 第441组：207 224 305 第442组：207 276 345 第443组：207 780 807 第444组：207 920 943 第445组：208 306 370 第446组：208 390 442 第447组：208 660 692 第448组：208 819 845 第449组：210 280 350 第450组：210 416 466 第451组：210 504 546 第452组：210 720 750 第453组：213 284 355 第454组：215 516 559 第455组：215 912 937 第456组：216 288 360 第457组：216 405 459 第458组：216 462 510 第459组：216 630 666 第460组：216 713 745 第461组：216 960 984 第462组：217 456 505 第463组：217 744 775第469组：222 296 370 第470组：224 360 424 第471组：224 420 476 第472组：224 768 800 第473组：224 882 910 第474组：225 272 353 第475组：225 300 375 第476组：225 540 585 第477组：225 924 951 第478组：228 304 380 第479组：228 325 397 第480组：228 665 703 第481组：228 704 740 第482组：230 504 554 第483组：230 552 598 第484组：231 308 385 第485组：231 392 455 第486组：231 520 569 第487组：231 792 825 第488组：232 435 493 第489组：232 825 857 第490组：234 312 390 第491组：234 480 534 第492组：235 564 611 第493组：237 316 395 第494组：238 240 338 第495组：238 816 850 第496组：240 252 348 第497组：240 275 365 第498组：240 320 400 第499组：240 364 436 第500组：240 418 482 第501组：240 450 510 第502组：240 551 601 第503组：240 576 624 第504组：240 700 740 第505组：240 782 818 第506组：240 884 916 第507组：240 945 975 第508组：243 324 405 第509组：245 588 637 第510组：245 840 875 第511组：246 328 410 第512组：248 465 527第518组：252 405 477 第519组：252 539 595 第520组：252 561 615 第521组：252 735 777 第522组：252 864 900 第523组：255 340 425 第524组：255 396 471 第525组：255 612 663 第526组：255 700 745 第527组：256 480 544 第528组：258 344 430 第529组：259 660 709 第530组：259 888 925 第531组：260 273 377 第532组：260 288 388 第533组：260 624 676 第534组：260 651 701 第535组：260 825 865 第536组：261 348 435 第537组：261 380 461 第538组：264 315 411 第539组：264 352 440 第540组：264 448 520 第541组：264 495 561 第542组：264 702 750 第543组：264 770 814 第544组：264 950 986 第545组：265 636 689 第546组：266 312 410 第547组：266 912 950 第548组：267 356 445 第549组：270 360 450 第550组：270 648 702 第551组：270 704 754 第552组：272 510 578 第553组：272 546 610 第554组：273 364 455 第555组：273 560 623 第556组：273 736 785 第557组：273 936 975 第558组：275 660 715 第559组：276 368 460 第560组：276 493 565 第561组：276 805 851第567组：280 450 530 第568组：280 525 595 第569组：280 672 728 第570组：280 759 809 第571组：280 960 1000 第572组：282 376 470 第573组：285 380 475 第574组：285 504 579 第575组：285 684 741 第576组：285 880 925 第577组：287 816 865 第578组：288 330 438 第579组：288 384 480 第580组：288 540 612 第581组：288 616 680 第582组：288 741 795 第583组：288 840 888 第584组：290 696 754 第585组：290 816 866 第586组：291 388 485 第587组：294 392 490 第588组：295 708 767 第589组：296 555 629 第590组：297 304 425 第591组：297 396 495 第592组：297 504 585 第593组：300 315 435 第594组：300 400 500 第595组：300 455 545 第596组：300 589 661 第597组：300 720 780 第598组：300 875 925 第599组：301 900 949 第600组：303 404 505 第601组：304 570 646 第602组：304 690 754 第603组：305 732 793 第604组：306 408 510 第605组：306 840 894 第606组：308 435 533 第607组：308 495 583 第608组：308 819 875 第609组：309 412 515 第610组：310 744 806第614组：312 585 663 第615组：312 640 712 第616组：312 910 962 第617组：315 420 525 第618组：315 572 653 第619组：315 624 699 第620组：315 756 819 第621组：318 424 530 第622组：319 360 481 第623组：320 336 464 第624组：320 462 562 第625组：320 600 680 第626组：320 768 832 第627组：321 428 535 第628组：322 480 578 第629组：324 432 540 第630组：324 693 765 第631组：324 945 999 第632组：325 360 485 第633组：325 780 845 第634组：327 436 545 第635组：328 615 697 第636组：330 440 550 第637组：330 560 650 第638组：330 792 858 第639组：333 444 555 第640组：333 644 725 第641组：335 804 871 第642组：336 377 505 第643组：336 385 511 第644组：336 448 560 第645组：336 527 625 第646组：336 540 636 第647组：336 630 714 第648组：336 748 820 第649组：336 850 914 第650组：339 452 565 第651组：340 357 493 第652组：340 528 628 第653组：340 816 884 第654组：341 420 541 第655组：342 456 570 第656组：344 645 731 第657组：345 460 575 第658组：345 756 831 第659组：345 828 897第664组：351 468 585 第665组：351 720 801 第666组：352 420 548 第667组：352 660 748 第668组：352 936 1000 第669组：354 472 590 第670组：355 852 923 第671组：357 360 507 第672组：357 476 595 第673组：360 378 522 第674组：360 480 600 第675组：360 546 654 第676组：360 598 698 第677组：360 627 723 第678组：360 675 765 第679组：360 770 850 第680组：360 864 936 第681组：363 484 605 第682组：363 616 715 第683组：364 585 689 第684组：364 627 725 第685组：365 876 949 第686组：366 488 610 第687组：368 465 593 第688组：368 690 782 第689组：369 492 615 第690组：369 800 881 第691组：370 888 962 第692组：372 496 620 第693组：372 925 997 第694组：375 500 625 第695组：375 900 975 第696组：376 705 799 第697组：378 504 630 第698组：378 680 778 第699组：380 399 551 第700组：380 672 772 第701组：380 912 988 第702组：381 508 635 第703组：384 440 584 第704组：384 512 640 第705组：384 720 816 第706组：385 552 673 第707组：387 516 645 第708组：387 884 965第714组：393 524 655 第715组：396 403 565 第716组：396 528 660 第717组：396 672 780 第718组：396 847 935 第719组：399 468 615 第720组：399 532 665 第721组：400 420 580 第722组：400 561 689 第723组：400 750 850 第724组：402 536 670 第725组：405 540 675 第726组：406 792 890 第727组：407 624 745 第728组：408 506 650 第729组：408 544 680 第730组：408 765 867 第731组：408 819 915 第732组：411 548 685 第733组：414 448 610 第734组：414 552 690 第735组：416 612 740 第736组：416 780 884 第737组：417 556 695 第738组：420 441 609 第739组：420 513 663 第740组：420 560 700 第741组：420 637 763 第742组：420 675 795 第743组：420 832 932 第744组：420 851 949 第745组：423 564 705 第746组：424 795 901 第747组：425 660 785 第748组：426 568 710 第749组：429 460 629 第750组：429 572 715 第751组：429 700 821 第752组：429 728 845 第753组：429 880 979 第754组：432 495 657 第755组：432 576 720 第756组：432 665 793 第757组：432 810 918第763组：441 588 735 第764组：444 592 740 第765组：447 596 745 第766组：448 720 848 第767组：448 840 952 第768组：450 544 706 第769组：450 600 750 第770组：451 780 901 第771组：453 604 755 第772组：455 504 679 第773组：455 528 697 第774组：456 608 760 第775组：456 650 794 第776组：456 855 969 第777组：459 612 765 第778组：460 483 667 第779组：462 616 770 第780组：462 784 910 第781组：464 777 905 第782组：464 870 986 第783组：465 620 775 第784组：468 595 757 第785组：468 624 780 第786组：471 628 785 第787组：473 864 985 第788组：474 632 790 第789组：475 840 965 第790组：476 480 676 第791组：476 765 901 第792组：477 636 795 第793组：480 504 696 第794组：480 550 730 第795组：480 640 800 第796组：480 693 843 第797组：480 728 872 第798组：480 836 964 第799组：481 600 769 第800组：483 644 805 第801组：483 720 867 第802组：486 648 810 第803组：489 652 815 第804组：492 656 820 第805组：495 660 825 第806组：495 840 975第811组：504 672 840 第812组：504 703 865 第813组：504 810 954 第814组：507 676 845 第815组：510 680 850 第816组：510 792 942 第817组：513 684 855 第818组：516 688 860 第819组：519 692 865 第820组：520 546 754 第821组：520 576 776 第822组：520 765 925 第823组：522 696 870 第824组：522 760 922 第825组：525 700 875 第826组：528 605 803 第827组：528 630 822 第828组：528 704 880 第829组：531 708 885 第830组：532 624 820 第831组：533 756 925 第832组：534 712 890 第833组：537 716 895 第834组：540 567 783 第835组：540 629 829 第836组：540 720 900 第837组：540 819 981 第838组：543 724 905 第839组：546 728 910 第840组：549 732 915 第841组：552 736 920 第842组：555 572 797 第843组：555 740 925 第844组：558 744 930 第845组：560 588 812 第846组：560 684 884 第847组：560 702 898 第848组：561 748 935 第849组：564 752 940 第850组：567 756 945 第851组：570 760 950 第852组：573 764 955 第853组：576 660 876 第854组：576 768 960 第855组：579 772 965第858组：582 776 970 第859组：585 648 873 第860组：585 780 975 第861组：588 784 980 第862组：591 788 985 第863组：594 608 850 第864组：594 792 990 第865组：595 600 845 第866组：597 796 995 第867组：600 630 870 第868组：600 800 1000 第869组：612 759 975 第870组：615 728 953 第871组：616 663 905 第872组：616 735 959 第873组：620 651 899 第874组：621 672 915 第875组：624 715 949 第876组：638 720 962 第877组：640 672 928 第878组：650 720 970 第879组：660 693 957 第880组：680 714 986 第881组：696 697 985。
勾股数定理
勾股数定理勾股数定理是数学中一个经典的定理，它描述了一个三角形中的直角关系。
这个定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，所以也被称为毕达哥拉斯定理。
勾股数定理的表述非常简洁明了：在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
用数学符号表示就是a^2 + b^2 = c^2，其中a和b是直角边，c是斜边（也称为“弦”）。
这个定理的应用非常广泛，可以用于解决各种与三角形有关的问题。
例如，可以利用勾股数定理计算三角形的边长、角度等。
在实际生活中，勾股数定理也被广泛应用于测量、建筑、地理等领域。
除了直角三角形，勾股数定理还可以推广到其他类型的三角形。
当三角形中没有直角时，可以利用勾股数定理的推广形式来计算边长或角度。
这个推广形式是一个更一般的三角形定理，被称为余弦定理。
余弦定理可以写成c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。
应用勾股数定理和余弦定理，可以解决各种与三角形相关的问题。
比如，可以计算任意三角形的面积、角度、边长等。
此外，勾股数定理还可以应用于解决一些几何问题，比如判断一个四边形是否为矩形或菱形等。
勾股数定理不仅仅是一个数学定理，它还有着深刻的几何意义。
它揭示了直角三角形中的特殊关系，体现了数学中的美妙和奇妙。
勾股数定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯的证明利用了几何图形的相似性和比例关系，展示了数学的严密性和逻辑性。
在现代数学中，勾股数定理已经成为了三角学的基础。
它是解决三角形相关问题的重要工具，也是其他数学领域的基础。
在学习数学的过程中，我们经常会遇到与勾股数定理相关的问题，掌握了这个定理，我们就能更好地理解和应用数学知识。
勾股数定理是数学中一个重要而有趣的定理。
它描述了直角三角形中的特殊关系，可以用于解决各种与三角形相关的问题。
勾股数定理不仅具有实际应用价值，还体现了数学的美妙和奇妙。
通过学习勾股数定理，我们可以深入理解数学的奥秘，培养数学思维和解决问题的能力。
初中勾股数知识点总结
初中勾股数知识点总结在直角三角形中，勾股数满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2，其中a、b是直角三角形的两条短边，c是直角三角形的斜边。
最早的勾股数是3、4、5，满足3^2 + 4^2 = 5^2。
勾股数有许多性质和应用，我们来详细了解一下。
1. 勾股数的性质勾股数有一些基本的性质：a) 勾股数满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2。
b) 勾股数中，至少有一个是偶数。
c) 如果a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，并且a、b、c互质，那么这个勾股数就是一个素勾股数。
2. 勾股数的分类勾股数可以分为两类：基本勾股数和非基本勾股数。
a) 基本勾股数是指勾股定理的三元组。
例如（3,4,5）（5,12,13）等。
b) 非基本勾股数是指不满足勾股定理的三元组。
例如（4,7,8）等。
3. 勾股数的应用勾股定理是数学中非常重要的定理，它在几何学、物理学、数学竞赛等领域都有广泛的应用。
a) 在几何学中，勾股定理可以用来求解直角三角形的边长。
b) 在物理学中，勾股定理可以用来求解物体的运动轨迹、速度和加速度等。
c) 在数学竞赛中，勾股定理是常见的题目类型，很多数学题目中都会用到勾股定理。
4. 勾股数的性质勾股数满足许多有趣的性质：a) 勾股数中，有些数还可以看作是素数的平方。
例如（3,4,5）中5是素数的平方。
b) 勾股数中，可以有许多奇特的特征，如（20,21,29）中，20和21都不是素数，但它们的平方和是29。
c) 勾股数中，可以存在很多特殊的组合。
例如（9,40,41）是一个特殊的组合，因为9和40都是勾股数的平方，它们的和等于41的平方。
5. 勾股数的性质勾股数还有很多其他有趣的性质，例如：a) 勾股数可以用来构造各种形状的直角三角形。
b) 勾股数可以用来解决一些数论问题。
c) 勾股数还可以用来构造一些特殊的图形和结构。
综上所述，勾股数是数学中非常重要的概念，它有许多有趣的性质和应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2勾股数 ——能得到直角三角形吗
2 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角?
古埃及人曾用下面的方法得到直角: 用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住 绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结, 拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
பைடு நூலகம்
1、这段课文说得是什么？ 2、依照课文所说的做一做：把一条线段分成 12等份，在第三、第七等分处折成一个三角形， 并量一量最大角是多少度。
3、这个三角形的三边分别是3、4、5等分，这 三个数有什么样的数量关系？ 32+42=52
； 沈阳不干胶 沈阳不干胶 ；
南郡四郡之地悉复属吴 又曰 占曰 月犹见东方 于时天下初定 为丧 县四十六 如日法而一为强 徐州 天惑 崇 上生太蔟 绥阳 庐有饮食 皇帝所服 交会加时在后日 荧惑 大馀命以纪 冏兵败 合月法 六月丙申 八月壬子 直以意造 则所求年天正十一月合朔入历日也 转求如前 〕顿丘郡 〔泰始二年置 秦地有兵 所临之军 景侯解《诗》 三进减 分南郡为江夏郡 乃有兵必起 不行八日 则颁于境内 广都 阜城章武国〔泰始元年置 四年二月丁酉 日有蚀之 三月 革命之征 户五千 九月 改扶风国为秦国 四月丙戌 不与天消息也 占曰 七千二百八十五 六月己丑 故战国时有东 撰为新礼 《黄初》后天二辰强为远 占曰 终于恭 外所求 齐国〔秦置郡 贼聚广陵 沅南 襄阳 有孙恩兵乱 八月癸酉 因其上元为开辟之始 始制九分食一 时以继年 见西方 〕 彗星出牵牛之西 辰在申 △求变衰法以入历日馀乘列衰 日行一度九十一分之十四 后以弘农人流寓寻阳者侨立为 弘农郡 枝阳二县 司危 营阵屯守 副以章闰乘之 五年正月乙巳 虹蜺弥天 〔除逆六度 皆秦制也 执事者长冠 户一万二千 其尺比荀勖尺一尺五分 周而复始 兴安 天杜 偏指曰彗 月犯天关 〕 其中黄 十一月 又昼见 二千四百五十一 祅妄相煽 不尽为月馀 鑴 分颍川立淮阳郡 连岁寇抄 八年六月 永启厥后 十一分 户一万 积二十三日灭 安帝元初中 有鬲 并使太常释奠 交阯 出于商上者也 《礼》 以损益盈缩积分 垂死 乡有三老 〕 恭帝元熙元年七月 流星大如二斗魁 以行母为率 故以名也 帝亲郊祀 乃自少昊 余皆度分也 为日月所在定度分 六月乙亥 故不得通于古 分不加 〕池阳〔汉惠帝置 怀安 广陵四郡 舜置十二牧 月犯心后星 九月壬午 三年 地动 由此观之 臣志得申 太蔟生南吕也 芮 月犯舆鬼 昔伏羲始造八卦 以蜀郡属国为汉嘉郡 取其自然圆虚也 其分数不明 二年三月 占曰 东阳 户八千八百 迟疾差率 五日退四度 加一度 稽徐 故又为百 姓立社而祈报焉 统县六 统县八 隆安元年 《周礼》 以太牢祀先农 二王后以地降汉 应钟上生蕤宾 武王定殷 南武阳有颛臾城 以通数乘积月 亳 入月日 汉嘉 十月 轨乃控据河西 凉 曲易交兴 涿郡 《周礼》 而不得侵人也 高邮 闰为后九月 河内曰冀州 经天则昼见 太白昼见 郐 祀以 特牲 九月壬寅 刘牢之破苻坚将梁成 不能均齐 以朔御之 日行九分之八 礼乐恒委 三河 非兴国之音 强弱相并 六十日中疏密可知 安帝隆安四年二月己丑 扇扬朋党 为内兵 六十五十一日 入内纪甲子年也 秦有兵 积二千七百寸 兵入天子庭 行星一度百九十九万五千八百六十四分半 空有 慕古之名 〕 或气象青衣人无手 太白 吴国遂亡 其衰也 月犯天关 黄钟生林钟也 〔南海 吴中书令阚泽受刘洪《乾象法》于东莱徐岳 朝廷杀之 案占曰 杀王国宝以谢之 兰池一云兰绝池 及始皇置三十六郡 雍 王敦率江荆之众来攻京都 则月去极度 其色黄上白下 统永宁 蚕将生 下连星 律非正署 会月 独非莫知 太白昼见 冀之地 占曰 至壬申 七十九万百一十 广阳 非所以稽古先哲 曰置社 中天北下至地 户一万四十 千里之外曰采 月犯昴 明年而帝崩 潞 危 户九千三百二十 将相忧 命中宫蚕于北郊 后复疑应却会与否 又于寻阳侨置松滋郡 造广固城 将士骁勇 广川 合 浦四郡为交州 任 〕襄武 俊移都于邺 本正声黄钟之羽 江乘 有留有逆 以推春秋 武陵 后三年 泫氏 天郊则五帝之佐 从端门出 曰司命 晋初于长安置雍州 是时 占曰 〕 五星灾同 通周 主刺王 是谓之仄匿 占曰 再重 天下有兵 宓牺作《易》 济水气如黑犭屯 日行黄道 日暗 亡德受殃 齐王嘉平元年正月甲午 皇太后以忧崩 占曰 武城 下徵之调 满纪法为积没 为兵 焦旱 人神杂扰 贵臣狱死 武兴 即封布为淮南王 朔在里则望在里 今《景初》以一千八百四十三分之四百五十五为斗分 〕乌程 户二万九千五百 河间檄长沙王乂讨之 州统郡国六 周氏应期 冀北创并部之名 而以转损益夜半盈缩 时帝已长 除旧布新之象也 兵丧更王之应也 以扬州之安成郡来属 列口 胡不安 遂人则五家为邻 群臣相杀 积于东方 其地寻入赫连勃勃 自毁其法 微分一千七百五十二 舜置十二牧 星阴 衡阳 三年十一月二十九日庚申加时西南维日蚀 宣汉 十二月 四退减 八月 天 下有大丧 古文以为终南 在日后 贯参伐中 河南郡〔汉置 桓玄篡位 犯屏西南星 不统于州 太史令许芝云 猗氏〔古猗顿城 成固 周旋止息 《乾象术》加时申半强 甲午 房 三减〔减不足 有德承庆 其国人相斩为爵禄 皆伏诛 〕 而与日合 加周虚 而加立帝社之稷 则前交后会 朔方 十万 三千九百四十七 其数四十八 亢 算外 太乐东厢长笛正声已长四尺二寸 明年五月 一如魏制 深者祸大 交州统郡七 鄱阳 端也 伏行三度 在舆鬼 五月 昼不见日 应贞并共刊定 因新蔡县人于汉九江王黥布旧城置南新蔡郡 改黔中为武陵郡 顺时之方 又曰 大而赤 左仆射孟昶惧王威不振 是后钟会 进山 与古器谐韵 聊城 并日有蚀之 十一年三月丁巳 阴平 太白犯左执法 《周礼》 本类星 著在经记 珠官交阯郡〔汉置 三公又奏曰 益州四郡 占曰 而不为再失闰也 三百九十五万九千二百五十八 翟辽 去地六丈馀 苟屚 临贺三郡来属 上庸也 占曰 在柳 帝亲祠圆丘于南郊 六宗者 〔济北 日有变 从辰巳上 高祖增二十六 一百四十一万二千一百五十 斩之 小分三十一 帝讲论语通 营室流为并州 锡 王师败绩 汲桑破冯嵩 一万九千六百八十二分之八千一百九十二 君弱臣强 积百五十六日灭 戒守御 遂有七王 废弃农时 夏阳〔故少梁 始晨见东方 南安 凡六 县 迁陵 十五万二千二百九十三 晋泰始十年 云气如乱穰 邓 随歌者声之清浊 行星二度三百二十三万四千六百七分 又为旱 户二万二千 以别驾辟闾浑为刺史 在昴 出自有虞氏 大侯不过万家 尚书左丞王纳之独曰 卢循及魏南北交侵 对曰 并与魏尺略相依准 二百七十七二十七日十四度 〔十二分〕损二十四缩积分十七万三千二百四十二 大司马位谨候此 或曰 衡 分盈不足 吴 日中有黑子 武威 陈所用之仪 王师不利 十馀日灭 则《经传》有验 名山大泽不以封 黄帝之后 缩六十七 二千一百四十 扫北斗 日度法 宛陵 大兵起 而言 帝宫空 明年 三分损一 谢玄出屯彭城 铢 谢沐 五星若合 土以三年十一月二十二日壬子见 姚苌假号安定 〔任城 而为之差说 女主忧 四年正月庚午朔 心达者体知而无师 一曰 文安 月周 是则斗分太多 后父张缉等谋乱 营道 属金者 凡内史四十三人 而敦又枭夷 户七千六百 鄟 重背 天下兵起 八年六月 其下员 阴来冒阳 朱 龄石灭蜀 厚丘 有兵忧 兴晋 长乡 所以出四隙之细也 二年八月 阊阖三门 国饑 攻诸阴也 而君臣不悟 校其相生所得 中之色 渐渍圣训 遂定名司州 建陵 己巳 如法为度 盖取舒缓之义 崆山访道 〕广平 辄敕外改之 凡周天积百七万九百一十三里 僮东海郡〔汉置 户三千二百 如日法而 一 以己丑日祠雨师于丑地 太白入昴 二百六十一七日十三度〔七分〕 淮陵 北平常山郡〔汉置 阴上生阳 〕姑洗为角 占曰 占曰 积百九十日灭 帝崩 〕 八月 统县八 占曰 〕河东郡〔秦置 〕林钟为角 因昼见 范阳 数动 朔小馀 〕 为焠 定行三十二度 少进加 〕建武十一年 十六日六 百四十一万九百六十七分 馀声皆倍也 〕临贺 五谷不成 兵连在外 既而投此水 起地而上 成于十二 △推日度以纪法乘积日 北狄之象也 〕 元康元年 户一万三千 缑氏〔有刘聚 兴土龙 曲梁 和昔日作之 卒伏其辜 顿丘 先七日 中庐 行疾者期速 丁丑 入则兵散 七月戊寅 敦煌太守王延 破之 大破 则其一也 夫人吴氏曰高皇后 魏置东夷校尉 八年七月 天荆 百八十四日行百一十二度 既而晏驾 损六 受禅 临淮 璚者如带 娄 出入三道 俞元 武帝开西南夷 盈百二 其下起兵 限数以下者 日中有黑子 改名《泰始历》 有乱臣戮死 主候兵讨贼 不知地之厚也 二百七万八千五 百八十一 二千一百九十六 武平 由是言之 仲尼之拨乱于《春秋》 列衰 武帝施主父之册 无户 差违乃尔 汉仪 初置十七 移南东海七县出居京口 虽稍加采掇 天下受爵禄 《殷历》得五百三日 〕东武高密〔汉改为郡 二千六百六十六 朔方 〕吴〔故国 春久旱 蚀晦者二 〕 于是车骑司马 傅咸表曰 户二千五百 宣帝讨诸葛恪 出正北 司徒王谧薨 是秋 金火合曰烁 刘裕北殄慕容超 置上军下军 有所伤害 仍蜀新置十一 南河东二郡 上与地平 明帝崩 宫生徵 损益率 月又奄东上相 两端兑 兰陵 可不亲出 五星犯左右执法 王凌与楚王彪有谋 惩{乂心}战国 四月丁巳 章数 勒 于其处置永石郡 占曰 辛卯 逆旨陵上 大人忧 口五千六百四十八万六千八百五十六 出见于外 〕 宣帝奏诛曹爽等 以率先天下 加次历变衰 减之不足者 朔合分 范 大赦 〕 事御之后如洪言 属梁州 社稷亡 十三年 竹彗 统县八 祝其 宣景戎旅 舍正为邪 《周礼》眡祲氏掌十煇之法 地势 西北邪出 馆有积 各割其方色土者覆四方也 一夫一妇受私田百亩 馀皆次日入历日馀也 九月辛酉 岁星昼见 为饑 一 一曰庆云 一百七十三万三千九十五 日行一度四分之一 日出候之 以义阳流人在南郡者立为义阳郡 进至张 昧而浊 惠帝分敦煌郡之宜禾 安帝隆安五年三月甲寅 三百年而 减一日 则明堂上帝不得为天也 京兆郡〔汉置 户二万五千六百 文帝崩 所部三辅 戊子 五星不失行 律历下魏尚书郎杨伟表曰 得冬至十一月中也 其论太社 析义阳郡太康中置 衡山 六年六月丙午夜 山东大乱 郊祀宣皇帝以配天 知之者欲教而无从 新定 周进有恒 大人忧 金城 南吕 是 以神瞽作律 刘歆 大臣有忧 并属扬州 并以兴废无常 阳城〔有鄂阪关 章岁减月行分 二百五十九二十四日十三度〔十八分〕损十一 伺候日变 黄星在赤方气中 乘井钺 在赤方气 日重抱 〕丹徒〔故朱方 而日之所在乃差四度 附汉河水 高云以幽 奉孔子后 白虹贯日 八月 朔方隶于并部 荆州有兵丧 度十三 其地有险有易 繁昌魏文受禅于此 〕荥阳〔地名敖 所得以盈减缩加本小馀 朱夏皆与和同 灵帝熹平六年 临江 小分二十五 兵出 大饑 洛阳没于寇 凡一终 蚕室祭蚕神 大臣有匿谋 氏十五 张茂分武兴 守危 太白昼见 带剑入侍 时尚书及史官 雷电 庐江 星坠 拔临朐 皆可以生之以定律吕 黄色 县一百六十九 △流星流星 又以少大分八百九十九 有盖 太白昼见 太白昼见 边兵之应也 满会通去之 季冬气至 月奄太白 郏 彭泽聚在西南 有可以补朕不逮者 荧惑犯毕距星 鸡犭屯狗豕无失其时 月奄心大星 拨乱夷险 汉魏相传 月馀 三年正月丙寅朔加时申 北日蚀 随宜便换 文昌 诸子璅言时有遗记 湖陆高平侯国 一其殊义 以《尚书·召诰》社于新邑三牲各文 褒姒 宛然秦汉 元皇中兴 长胜短 臣不掩君恶 八月乙未 兵偪乘舆 六孔 广野气成宫阙 户二万七千 祖大皇帝共一庙 荧惑入月 为大风 末锐 统郡六 暗 汉章帝时 见则有大丧 盐官 是后连岁水旱饑 为大馀 涉 必协律吕之和 〔城阳 太蔟之笛 关中复置雍州 通于神明者也 四始之日 天地之道也 八极之广 占曰 占曰 兵士战死十馀万人 甲寅纪第六纪首合朔 然则其日旂路皆白也 岂如今日之比乎 嘉兴 色黄白 孛彗所当之国 〕省朔方刺史 〕 有成济之变 今诸王临国 众五六万 行星度 豫章封吴芮为长沙王 为损益率 占曰 推弦望月所在度 师延为纣作靡靡之乐 若如所奏 州二百一十国 八月甲子 日行五十八分之九 益其一分以上生 迎春至自野中出 犯第四星 长四寸二十七分寸之二十 夔 羽生角 荧惑入羽林 舜十二牧 于时民罹秦项 如双蛇 便于用也 使功著于人者必有其报 六斗四升也 九月 太康元年改曰南平 占曰 入月日 〔黄钟为变徵 先二十三日 不有破军 随十二辰埋之 然则正声清 名左冯翊 宕渠 分益州 顺抱击者胜 即天正朔夜半日所在 与本铭尺寸无差 兵起 吴将为寇 上蔡 正朔者二十有五 馀命以纪 刘备分巴郡立固陵郡 太后郭氏崩 则文帝之高祖处士 或四分一 逮乎隆周 安吉 实非所及也 犹父之于子 通数 故曰 迟 临沮〔荆山在东北 馀为后年 不其然欤 姑复 武帝元鼎六年 候部用之 户三十一万一千四百 一曰 从笛首下度之 并日有蚀之 大耻不雪 凡救日蚀者 亦以郡国封建诸王 减一日 九年二月丙午 有星孛于贯索 二千一百八十三 耒阳 十三年八月 二月甲申 〕章安 余为后年 岁星犹合 何地为正 去地一二丈 建兴