九年级上册精品课件-一元二次方程根的判别式
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人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式课件(共21张)
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
x 2a
1 49 21
x1 4, x2 3
（2）x2+4x+8=2x+11；
解：化简，得 x2+2x-3=0 a=1，b=2，c=-3
Δ= b2－4ac=22-4×1×(-3) =16>0
b b2 4ac 2 16
x
2a
21
x1 3, x2 1
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ）B
A.b2-4ac=0
B.b2-4ac＞0
C.b2-4ac＜0
D.b2-4ac≥0
2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.
下列说法正确的是（ B ）
A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①有实数解，②无实数解
D.①②都无实数解
21.2.2 公式法 ——根的判别式及求根公式
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般情势的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
3. 利用求根公式求5x2+ 1 =6x的根时，a，b，c的值分
九年级数学上册 21.2.1 一元二次方程根的判别式教学课件 (新版)新人教版
谈谈你的收获：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式： △=b2-4ac
2.判别方法： (1) Δ＞0 原方程有两个不相等的实数根； (2) Δ=0 原方程有两个相等的实数根； (3) Δ＜0 原方程无实数根. 3.应用： （1）不解方程，判别方程根的情况。
注：先化为一般形式。
（2）已知根的情况，求字母的取值范围。
解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0， x＝3/2或x=1.
拓展提升
解方程：ax2 5x 5 0
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
（3） x2 4kx 2k 3。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0,
所以原方程无解。
（2）因为△ = b2 4ac=1 0 ，所以原方 程有两个不等的实根。
（3）因为△= b2 4ac=(4k+1)2 11 0 ， 所以原方程有两个不等的实根。
∴8k+9 ≥ 0
式（方程）
∴k≥-9/8
求出参数范围
（2）m为何值时,关于x的方程4x2-mx =2x+1-m有 两个相等实根？
解：方程整理为： 4x2-(m+2)x+m-1=0 ∴ △=(m+2)2-16(m –1) =m2-12m+20
若方程有两个相等实根，则△= 0 m2-12m+20=0
华师大版九年级数学上册《 一元二次方程根的判别式》课件
式．b2 4ac
结论：
△>0方程有两个不相等的实根． △＝0方程有两个相等的实数根． △<0方程没有实数根．
• 例1 不解方程，判别下列方程的根的 情况：
1 3 x 2 5 x 2;
2 4 x2 2 x 1 0;
4
34 y
2
1 y 0.
解：
• (1)∵a＝3，b＝-5，c＝2，
22.2 一元二次方程的解法
4.一元二次方程根的判别式
新课导入
思考：一元二次方程ax2+bx+c=0的根有
哪几种情况？
进入新课
• 一元二次方程 ax2bx的c 根0有三种情况：
• ①有两个不相等的实数根；
• ②有两个相等的实数根；
• ③没有实数根．而根的情况，由
的值来确定．
b2 4ac
• 因此
叫做一元二次方程的根的判别
• ∴ 5 2 4 3 2 2 5 2 4 1 0
• ∴方程有两个不相等的实数根．
l (2)∵ a＝4 ，2b2＝4 －4 2 ，1c ＝41 4 4 ，0
l∴
4
l ∴方程有两个相等的实数解．
(3)将方程化为一般形式:
4y27y40
• ∵a＝4，b＝7，c＝4，
• ∴ 7 2 4 4 4 4 9 6 4 0
• ∴方程无实数解．
• 例2 已知关于x的方程m2x (2m1)xm0 有两个实数根，求m的取值范围.
• 解：要使方程有两个实数根，需满
足
m
0 0
，
• ∴[ (2m 1)2]4m m 0
， • 4m＋1≥0，
∴
m1
m
4
1
．4
人教版九年级数学上册《解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式》教学课件
2
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
人教版九年级上册解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式课件
所以以正数a，b，c为边长的三角形的形状为直角三角形.
∴ k 9. 解：∵一元二次方程有实数根，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
综上所述， m≤4.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
有两个实数根，求正整数a的值.
∵ a，b，c为正数， ∴
变式2 如果关于x的一元二次方程 x2 4x k 5 0 没有实数根，
m 1.
例6 如果关于x的一元二次方程 a 1 x2 2bx c 1 x2
有两个相等的实数根，判断以正数a，b，c为边长的三角形的形状.
解： a 1 x2 2bx c 1 x2 ,
a ax2 2bx c cx2 , ax2 cx2 2bx a c 0,
整理，得 a c x2 2bx a c 0.
21.2 解一元二次方程 ——一元二次方程根的判别式
（2）
复习回顾
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0). 当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根. 当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根；
引入新知
求k的取值范围.
b2 4ac 0
解：∵一元二次方程没有实数根， ∴ b2 4ac 36 4k 0. ∴ k 9.
变式3 如果关于x的一元二次方程 x2 4x k 5 0 有实数根，
求k的取值范围.
b2 4ac 0
解：∵一元二次方程有实数根， ∴ b2 4ac 36 4k 0.
例6 如果关于x的一元二次方程 a 1 x2 2bx c 1 x2
有两个相等的实数根，判断以正数a，b，c为边长的三角形的形状.
解：
a c x2 2bx a c 0.
∴ k 9. 解：∵一元二次方程有实数根，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
综上所述， m≤4.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
有两个实数根，求正整数a的值.
∵ a，b，c为正数， ∴
变式2 如果关于x的一元二次方程 x2 4x k 5 0 没有实数根，
m 1.
例6 如果关于x的一元二次方程 a 1 x2 2bx c 1 x2
有两个相等的实数根，判断以正数a，b，c为边长的三角形的形状.
解： a 1 x2 2bx c 1 x2 ,
a ax2 2bx c cx2 , ax2 cx2 2bx a c 0,
整理，得 a c x2 2bx a c 0.
21.2 解一元二次方程 ——一元二次方程根的判别式
（2）
复习回顾
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0). 当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根. 当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根；
引入新知
求k的取值范围.
b2 4ac 0
解：∵一元二次方程没有实数根， ∴ b2 4ac 36 4k 0. ∴ k 9.
变式3 如果关于x的一元二次方程 x2 4x k 5 0 有实数根，
求k的取值范围.
b2 4ac 0
解：∵一元二次方程有实数根， ∴ b2 4ac 36 4k 0.
例6 如果关于x的一元二次方程 a 1 x2 2bx c 1 x2
有两个相等的实数根，判断以正数a，b，c为边长的三角形的形状.
解：
a c x2 2bx a c 0.
华师大版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
2a
回顾
用公式法求下列方程的根:
12x2 x 2 0
2 1 x2 x 1 0
4
3x2 x 1 0
解：a 2,b 1,c 2 b2 4ac116170
解：a 1 ,b 1, c 1 4
b2 4ac 11 0
解：a 1,b 1,c 1 b2 4ac 1 4 3 0
反之，同样成立！
完 毕 感 谢
·
The user can perform the presentation on a projector or computer, and the powerpoint can be printed out and made into film.
练习
例：不解方程，判断下列一元二次方程根的个数：
(1)2x2 5x 3 0
b2 4ac 1 0, 方程有两个不相等的根.
23x2 3 6x
b2 4ac 0,
方程有两个相等的根.
(3)x2 x 1 0
b2 4ac 习1
一元二次方程的根的情况
x b b2 4ac 1 17
2a
4
1 17 1 17 x1 4 , x2 4
x b b2 4ac 1 0 2
2a
1
2
x1 x2 2
所以原方程无实数根
视察与思考
思考1：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况?
b2 4ac
思考2：一元二次方程根的情况有几种？
一元二次方程的根
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根
一元二次方程的根
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的
判别式，用符号“ ”来表示. 即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
回顾
用公式法求下列方程的根:
12x2 x 2 0
2 1 x2 x 1 0
4
3x2 x 1 0
解：a 2,b 1,c 2 b2 4ac116170
解：a 1 ,b 1, c 1 4
b2 4ac 11 0
解：a 1,b 1,c 1 b2 4ac 1 4 3 0
反之，同样成立！
完 毕 感 谢
·
The user can perform the presentation on a projector or computer, and the powerpoint can be printed out and made into film.
练习
例：不解方程，判断下列一元二次方程根的个数：
(1)2x2 5x 3 0
b2 4ac 1 0, 方程有两个不相等的根.
23x2 3 6x
b2 4ac 0,
方程有两个相等的根.
(3)x2 x 1 0
b2 4ac 习1
一元二次方程的根的情况
x b b2 4ac 1 17
2a
4
1 17 1 17 x1 4 , x2 4
x b b2 4ac 1 0 2
2a
1
2
x1 x2 2
所以原方程无实数根
视察与思考
思考1：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况?
b2 4ac
思考2：一元二次方程根的情况有几种？
一元二次方程的根
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根
一元二次方程的根
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的
判别式，用符号“ ”来表示. 即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
2.3 一元二次方程根的判别式(课件)2024-2025学年湘教版数学九年级上册
第二章 一元二次方程
2.3 一元二次方程根的判别式
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
1. 定义：我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ＝b2－4ac.
确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别 式的前提是二次项系数不为0.
知1－练
例1 [中考·河南] 关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0 的根 的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
知1－练
解题秘方：由根的判别式与 0 的大小关系判断一元二次方 程根的情况.
感悟新知
知1－练
例2 [中考·锦州] 若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x＋3 ＝ 0
有两个实数根，则 k 的取值范围是( )
A．
k
＜
1 3
C． k ＜ 13且 k ≠ 0
B．
kHale Waihona Puke ≤1 3D．
k
≤
1 3
且
k
≠
0
感悟新知
解题秘方：根据根的情况与根的判别式的关系， 知1－练 列等式或不等式进行求解 .
解：∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2 － 2x ＋ 3 ＝ 0， ∴ k ≠ 0. ∵方程有两个实数根，
∴
Δ
＝(－
2)
2
－
4k×
3
≥
0，解得
k
≤
1 3
，
∴ k 的取值范围是 答案：D
2.3 一元二次方程根的判别式
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
1. 定义：我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ＝b2－4ac.
确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别 式的前提是二次项系数不为0.
知1－练
例1 [中考·河南] 关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0 的根 的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
知1－练
解题秘方：由根的判别式与 0 的大小关系判断一元二次方 程根的情况.
感悟新知
知1－练
例2 [中考·锦州] 若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x＋3 ＝ 0
有两个实数根，则 k 的取值范围是( )
A．
k
＜
1 3
C． k ＜ 13且 k ≠ 0
B．
kHale Waihona Puke ≤1 3D．
k
≤
1 3
且
k
≠
0
感悟新知
解题秘方：根据根的情况与根的判别式的关系， 知1－练 列等式或不等式进行求解 .
解：∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2 － 2x ＋ 3 ＝ 0， ∴ k ≠ 0. ∵方程有两个实数根，
∴
Δ
＝(－
2)
2
－
4k×
3
≥
0，解得
k
≤
1 3
，
∴ k 的取值范围是 答案：D
17.3一元二次方程的根的判别式课件(共14张PPT)
系数含有字 母的方程
8k 2 4k 2 4k 2
∵ k 2 0,4k 2 0，即 0,
方程有两个实数根.
不解方程，判别关于 x 的方程 a2x2 ax 1 0a 0
的根的情况.
解： (a)2 4a2 (1) 5a2,且a 0 5a2 0,即 0 所以，原方程有两个不相等的实数根。
课堂小结
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ：
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根.
反之，同样成立！
b2 4ac 0
3)带入求根公式 x b b2 4ac
计算方程的根
2a
温故而知新
一般地，对于一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
如果b2 4ac 0，那么方程的两个根为
b b2 4ac x
2a
合作探究
活动：探究一元二次方程根的判别式 如何把一元二次方a程x2 bx c 0(a 0)
写成 （x+h)2=k 的形式？
ax2 bx c 0
配方法
x2 b x c 0 aa
x2 b x c aa
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
2.3一元二次方程根的判别式++课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册
板书设计
2.3一元二次方程根的判别式
根的判别式∆：
∆>0：
∆=0：
∆<0：
习题讲解书写部分
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.对于一元二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 , 下列说法：①当 =
+ 时，则方程 2 + + = 0一定有一根为 = −1；②若 > 0
B． 2 + 3 + 6 = 0
C． 2 + 8 + 16 = 0
D．( − 1)2 = 9
3.已知关于x 的一元二次方程 2 − = 2 有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是（ A ）
A．m＞－1 B．m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知关于 的方程 2 + (1 − ) − 1 = 0 ，下列说法正确的是( C )
2 − 4 − 2 + 4 = 0
( − 1) 2 − 4 + 4 = 0
∵方程有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0，即k≠1，且△＞0，即（-4）2−4×（k−1）×4＞0，
解得k＜2，则k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；
作业布置
【综合拓展类作业】
已知关于x的方程 ( − 4) − 2 + 4 = 0
新知导入
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;
初三数学_根的判别式_课件
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程无实数根．
九年级数学名师课程
例2 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的 实数根，则k的取值范围是( B )
九年级数学名师课程
一元二次方程根的判别式
九年级数学名师课程
九年级数学名师课程
一、知识回顾
用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0
⑵ x2－6x＋9 = 0
⑶2x2－2x＋1 = 0
你在用公式法求解过程中遇到哪些不同的情况？
你是怎样处理所遇到的问题的？
从上面几个方程不同的解的情况，你能归纳出什么结论呢？
九年级数学名师课程
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
3.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 4.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
解: 4m2 42m 4
拓展补充： 4m2 8m 16
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 数根
九年级数学名师课程
例4.在一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法确定
（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程无实数根．
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例2 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的 实数根，则k的取值范围是( B )
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一元二次方程根的判别式
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一、知识回顾
用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0
⑵ x2－6x＋9 = 0
⑶2x2－2x＋1 = 0
你在用公式法求解过程中遇到哪些不同的情况？
你是怎样处理所遇到的问题的？
从上面几个方程不同的解的情况，你能归纳出什么结论呢？
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1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
3.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 4.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
解: 4m2 42m 4
拓展补充： 4m2 8m 16
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 数根
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例4.在一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法确定
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【幸遇•书屋】
你来，或者不来 我都在这里，等你、盼你 等你婉转而至 盼你邂逅而遇
你想，或者不想 我都在这里，忆你、惜你 忆你来时莞尔 惜你别时依依
你忘，或者不忘 我都在这里，念你、羡你 念你袅娜身姿 羡你悠然书气
人生若只如初见 任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人 为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
2
12
2 41 = 0,
33
∴ 方程有两个不相等的实数根
知2－讲
（来自《》）
总结
知2－讲
判断方程根的情况的方法： ①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 左边
是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实 数根；
②若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方
程有两 个不相等的实数根； ③当方程中a，c同号时，必须通过Δ的符号来判
数不为零；
二是该方程的Δ>0.
（来自《》）
（来自《》）
知3－练
2 a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的 方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
（来自《》）
知3－练
3 若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个 不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图 象可能是( )
归纳
知1－讲
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 表示它，即Δ＝b2－4ac.
（来自教材）
知1－练
1 方程4x2＋x＝5化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后， a，b，c的值为( ) A．a＝4，b＝1，c＝5 B．a＝1，b＝4，c＝5 C．a＝4，b＝1，c＝－5 D．a＝4，b＝－5，c＝1
（来自《》）
(1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习 了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有 重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须 牢固掌握好它.
(2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般 当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根 的情况时，使用逆定理.
(3) 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)
晨起凭栏眺 但见云卷云舒 风月乍起 春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷
和其中的一字一句 幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了 被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
不舍你的过往 和过往的你 记挂你的现今 和现今的你 遐想你的将来 和将来的你 难了难了 相思可以这一世
(1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 41 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
(2)原方程化为:
x2 2x 1 0, 3
判别式 根 的 情 况 的情况 △＞0 两个不相等的实根
△＝0 两个相等的实根
△＜0
无实根
定理与逆定理
△＞0 两个不相等 的实根
△＝0 两个相等的 实根
△＜0 无实根
1.必做: 完成教材P17 T4（3）（4）、 T12，T13
2.补充: 请完成《》剩余部分习题
------------------------- 赠予 ------------------------
断根的情况．
（来自《》）
知2－练
1 一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
（来自《》）
知2－练
2 一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是( ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根
(a≠0)． 移项，得
ax2 bx c.
二次项系数化x为2 1b，x得 c . aa
配方，得
识点
x 2＋ b a
x＋
b 2a
2
＝－ c a
＋
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
知1－讲
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下 三种情况:
(1) b2 4ac 0 (2) b2 4ac 0 (3) b2 4ac 0
（来自《》）
3 利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1) 2x2 3x 3 0; 2
(2) 16x2 24x 9 0；
知2－练
（来自教材）
知3－讲
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用
例2 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x ＋9＝0有两个不相等的实数根？
导引：已知方程有两个不相等的实数根，则该方程 的Δ>0，用含k的代数式表示出Δ，然后列出 以k为未知数的不等式，求出k的取值范围．
知3－讲
解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0.方程根的判别式 Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k. 由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0， ∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
（来自《》）
归纳
知2－讲
方程有两个不相等的实数根，说明两点： 一是该方程是一元二次方程，即二次项系
（来自《》）
26 2 6
－2 6 3 6
（来自《》）
知识点 2 一元二次方程根的类别
知2－讲
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时，方程无实数裉．
（来自教材）
知2－讲
例1 不解方程，判断下列方程根的情况．
--------- 谢谢喜欢！关注请搜索识务者书屋次方程
第3课时 公式法——一元二次 方程根的判别式
1 课堂讲解 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的类别
2 课时流程 一元二次方程根的判别式的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
我们可以用配方法解一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0
你来，或者不来 我都在这里，等你、盼你 等你婉转而至 盼你邂逅而遇
你想，或者不想 我都在这里，忆你、惜你 忆你来时莞尔 惜你别时依依
你忘，或者不忘 我都在这里，念你、羡你 念你袅娜身姿 羡你悠然书气
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随你心性而去
却为何，有人 为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
2
12
2 41 = 0,
33
∴ 方程有两个不相等的实数根
知2－讲
（来自《》）
总结
知2－讲
判断方程根的情况的方法： ①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 左边
是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实 数根；
②若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方
程有两 个不相等的实数根； ③当方程中a，c同号时，必须通过Δ的符号来判
数不为零；
二是该方程的Δ>0.
（来自《》）
（来自《》）
知3－练
2 a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的 方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
（来自《》）
知3－练
3 若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个 不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图 象可能是( )
归纳
知1－讲
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 表示它，即Δ＝b2－4ac.
（来自教材）
知1－练
1 方程4x2＋x＝5化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后， a，b，c的值为( ) A．a＝4，b＝1，c＝5 B．a＝1，b＝4，c＝5 C．a＝4，b＝1，c＝－5 D．a＝4，b＝－5，c＝1
（来自《》）
(1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习 了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有 重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须 牢固掌握好它.
(2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般 当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根 的情况时，使用逆定理.
(3) 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)
晨起凭栏眺 但见云卷云舒 风月乍起 春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷
和其中的一字一句 幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了 被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
不舍你的过往 和过往的你 记挂你的现今 和现今的你 遐想你的将来 和将来的你 难了难了 相思可以这一世
(1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 41 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
(2)原方程化为:
x2 2x 1 0, 3
判别式 根 的 情 况 的情况 △＞0 两个不相等的实根
△＝0 两个相等的实根
△＜0
无实根
定理与逆定理
△＞0 两个不相等 的实根
△＝0 两个相等的 实根
△＜0 无实根
1.必做: 完成教材P17 T4（3）（4）、 T12，T13
2.补充: 请完成《》剩余部分习题
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断根的情况．
（来自《》）
知2－练
1 一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
（来自《》）
知2－练
2 一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是( ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根
(a≠0)． 移项，得
ax2 bx c.
二次项系数化x为2 1b，x得 c . aa
配方，得
识点
x 2＋ b a
x＋
b 2a
2
＝－ c a
＋
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
知1－讲
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下 三种情况:
(1) b2 4ac 0 (2) b2 4ac 0 (3) b2 4ac 0
（来自《》）
3 利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1) 2x2 3x 3 0; 2
(2) 16x2 24x 9 0；
知2－练
（来自教材）
知3－讲
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用
例2 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x ＋9＝0有两个不相等的实数根？
导引：已知方程有两个不相等的实数根，则该方程 的Δ>0，用含k的代数式表示出Δ，然后列出 以k为未知数的不等式，求出k的取值范围．
知3－讲
解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0.方程根的判别式 Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k. 由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0， ∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
（来自《》）
归纳
知2－讲
方程有两个不相等的实数根，说明两点： 一是该方程是一元二次方程，即二次项系
（来自《》）
26 2 6
－2 6 3 6
（来自《》）
知识点 2 一元二次方程根的类别
知2－讲
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时，方程无实数裉．
（来自教材）
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例1 不解方程，判断下列方程根的情况．
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第3课时 公式法——一元二次 方程根的判别式
1 课堂讲解 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的类别
2 课时流程 一元二次方程根的判别式的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
我们可以用配方法解一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0