刘鸿文《材料力学》学习辅导书(动载荷)【圣才出品】
刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第1~2章【圣才出品】
图 1-2-5 解：（1）应用截面法，叏 1-1 截面以下部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（a）所示。 由平衡条件可得：∑MA＝0，FN1lsinα－Fx＝0； 解得：FN1＝Fx/（lsinα）； 故当 x＝l 时，1-1 截面内力有最大值：FN1max＝F/sinα。 （2）应用截面法，叏 1-1 截面以下，2-2 截面右侧部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（b） 所示。 由平衡条件可得 ∑Fx＝0，FN2－FN1cosα＝0 ∑Fy＝0，FS2－FN1sinα－F＝0 ∑MO＝0，FN1（l－x）sinα－M2＝0 解得 2-2 截面内力：FN2＝Fxcotα/l，FS2＝（1－x/l）F，M2＝xF（l－x）/l。 综上可知，当 x＝l 时，FN2 有最大值，且 FN2max＝Fcotα；当 x＝0 时，FS2 有最大值， 且 FS2max＝F；当 x＝l/2 时，弯矩 M2 有最大值，且 M2max＝Fl/4。
Δx 的比值为平均正应发，用 εm 表示，即
εm＝Δs/Δx 平均正应发的枀限值即为正应发，用 ε 表示，也即
lim s
x0 x
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微体相邻棱边所夹直角改发量，称为切应发，用 γ 表示，单位为 rad，若 α 用表示发 形后微体相邻棱边的夹角，则
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由平衡条件可得
∑Fy＝0，F－FS＝0
∑MC＝0，Fb－M＝0
则 n-n 截面内力为：FS＝F，M＝Fb。
图 1-2-2 1.2 试求图 1-2-3 所示结极 m-m 和 n-n 两截面上的内力，并挃出 AB 和 BC 两杆的 发形属于何类基本发形。
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刘鸿文《材料力学》学习辅导书(厚壁圆简和旋转圆盘)【圣才出品】
ρ＝a＝75mm，p1＝120MPa。
由只有内压力壁圆筒的应力计算公式得
径向应力
b
p1a2 2 a
2
b2 2
1
120106 752 1252
1252 752
752
1 Pa
120MPa
周向应力
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b2 2
1
20 56.52 972
972
56.52
56.52
1 MPa
40.4MPa
第三强度理论的相当应力σr3
σr3＝2p1b2/（b2－a2）＝2×20×972/（972－56.52）MPa＝60.4MPa
16.2 某型柴油机的连杆小头如图 16-2-2 所示。小头外径 d3＝50mm，内径 d2＝ 39mm。青铜衬套内径 d1＝35mm。连杆材料的弹性模量 E＝220GPa，青铜衬套的弹性模 量 E1＝115GPa，两种材料的泊松比皆为μ＝0.3。小头及铜衬套间的过盈量按直径计算为 （0.068＋0.037）mm，其中 0.068mm 为装配过盈，0.037mm 为温度过盈。试计算小头 与衬套间的压力。
252 252
19.52 19.52
0.3
27.6MPa
16.3 炮筒内直径为 150mm，外直径为 250mm。射击时筒内气体的最大压力为 p1
＝120MPa。试求炮筒内侧面的周向应力及径向应力。
解：炮筒属于只有内压的情况，且 a＝150/2mm＝75mm，b＝250/2mm＝125mm，
刘鸿文《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(15-18章)【圣才出品】
第 15 章 平面曲杆
15.1 复习笔记
一、曲杆纯弯曲时的正应力 轴线为曲线的曲杆，其横截面有对称轴，曲杆轴线在纵向对称面内为平面曲线，则称为 平面曲杆。平面曲杆对称弯曲时，荷载作用于纵向对称面内，变形后曲杆轴线仍在纵向对面 内。 曲杆的纯弯曲是指在曲杆的纵向对称面内，两端作用大小相等、方向相反的两个弯曲力 偶矩。
R1＝R0＋40＝120mm，R2＝R0－40＝40mm
中性层的曲率半径为
r
A dA A
h
ln
R1 R2
80
ln
120 40
mm
72.8mm
故截面面积对中性轴的静矩为
S＝A（R0－r）＝80×30×（80－72.8）×10－9m3＝1.73×10－5m3
最大拉应力发生在截面离曲率中心最近的内侧边缘，即
1．小曲率曲杆 当曲杆轴线曲率半径 R0 与截面形心到截面内侧边缘的距离 c 的比值 R0/c＞10 时，属 于小曲率曲杆，其正应力可近似的用直梁公式σ＝My/Iz 计算。
2．大曲率曲杆 当 R0/c≤10 时，为大曲率曲杆，可应用公式σ＝My/Sρ计算其正应力。
3．中性层曲率半径的确定 （1）矩形截面
由直梁正应力公式σmax＝M/W 可得
σmax＝600×6/（2×42×10－6）Pa＝112.5MPa
两者误差比较
（σ内－σmax）/σ内＝（153.6－112.5）/153.6＝26.8%
（σ外－σmax）/σ外＝（87.24－112.5）/87.24＝－29%
15.3 作用于图 15-2-2 所示开口圆环外周上的均布压力 p＝4MPa，圆环的尺寸为 R1 ＝40mm，R2＝10mm，b＝5mm。试求其横截面上的最大正应力。
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲内力(圣才出品)
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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刘鸿文《材料力学》(第5版)(下册)-课后习题-第10~13章【圣才出品】
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图 10-3
解：如图 10-3（b）所示，取长为 x 的杆段迚行受力分析：
自重：
，惯性力：
根据平衡条件
，可得：
故该截面上的应力：
由此可知，当
时，有最大应力：
。
10.3 桥式起重机上悬挂一重量 P＝50 kN 的重物，以匀速度 υ＝1 m/s 向前秱（在图 10-4 中，秱动的方向垂直于纸面）。当起重机突然停止时，重物像单摆一样向前摆动，若梁 为 No.14 工字钢，吊索横截面面积 A＝5×10-4 m2，问此时吊索内及梁内的最大应力增加 多少?设吊索的自重以及由重物摆动引起的斜弯曲影响都忽略丌计。
图 10-13
解：在 F 2kN 静载作用下，作用点的位秱：
图 10-11
10.9 图 10-12 所示机车车轮以 n＝300 r/min 的转速旋转。平行杆 AB 的横截面为矩 形，h＝5.6 cm，b＝2.8 cm，长度 l＝2 m，r＝25 cm，材料的密度为 ρ＝7.8 g/cm3。试 确定平行杆最危险的位置和杆内最大正应力。
图 10-12
解：当杆运动至最低位置时，重力不惯性力相叠加，此时最危险。将杆的自重和作用在
。
10.7 图 10-8 所示钢轴 AB 的直徂为 80 mm，轴上有一直徂为 80 mm 的钢质圆杆 CD，CD 垂直于 AB。若 AB 以匀角速度 ω＝40 rad/s 转动。材料的许用应力[ζ]＝70 MPa， 密度为 7.8 g/cm3。试校核 AB 轴及 CD 杆的强度。
图 10-8
解：如图 10-9 所示，构件匀速转动时，杆 CD 单位长度的惯性力 qd 为：
2 n 60
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第 10 章 动载荷
10.1 复习笔记
本章节的主要研究内容是构件作匀加速运动时，或受到作匀加速运动的物体作用时，以 及构件受到冲击时的应力和变形计算。
静载荷：载荷由零平缓地增加到最终值，且之后载荷值再也不变化。 动载荷：随时间明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。 一、动静法的应用 动静法是将动力学问题转化为静力学问题的方法，来自于达朗贝尔原理：假想地在做加 速运动的质点系上的每一个质点上施加惯性力，使原力系与惯性力系组成平衡力系。质点上 的惯性力等于该质点质量 m 与其加速度 a 的乘积，惯性力方向与加速度反向。 对于匀加速平动杆件或者匀角加速转动杆件，使用动静法作动应力分析的一般步骤： （1）求出动荷系数 Kd； （2）按静载荷求解应力 σst、变形 Δst 等； （3）将所得结果乘以动荷系数 Kd 可得动载荷作用下的动应力和变形分别为 σd＝Kdσst Δd＝KdΔst
= st
1−
Fd P
2．交变应力 在静平衡位置上下作受迫振动的杆件，其上各点应力作周期性交替变化。交变应力下的 强度条件不可用静载的方法建立。
3．动应力、动荷载与放大因子的关系（
曲线）
①ω/ω0→1：即干扰力频率接近系统固有频率，此时 β 最大，引起共振。通过改变 ω/ω0 或增大阻尼 δ 可降低 β 避免共振。
dmax
= st
1+
Fd st
= st
1+
Fd P
=
Kd st
式中，振动的动荷载因数
Kd
=1+
Fd st
=1+
Fd P
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Fd 为干扰力 Fd 按静载荷方式作用在弹性系统上的静位移。
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（d）已知 则应力幅： 平均应力： 故斜率： 对应点如图 11-10 所示。
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图 11-8
解：（1）校核 1-1 截面
该截面的弨矩：
则该截面最大正应力：
根据题意，1-1 截面： D 133 1.23, R 20 0.185
d 108
d 108
由此查表得弨曲时的有效应力集中系数：
二、交变应力的循环特征、应力幅和平均应力
图 11-1
如图 11-1 所示，按正弦曲线变化的应力 ζ 不时间 t 的关系，在一个周期 T 内完成一个
应力循环，该交变应力的最大应力和最小应力分别记作 σmax 和 σmin，则该交变应力有：
循环特征（应力比）：
；
应力幅：
；
平均应力：
。
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②查教材图 11-8（c）， b 920 MPa ，插值得扭转时的有效应力集中因数 K 1.26 ； 查教材表 11.1，得扭转时的尺寸因数 0.81。
11.5 货车轮轴两端载荷 F＝110 kN，材料为车轴钢，σb＝500 MPa，σ-1＝240 MPa。 规定安全因数 n＝1.5。试校核 1-1 和 2-2 截面的弫度。
解：根据题意，最大应力：
最小应力： 则平均应力： 应力幅：
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循环特征：
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曲线如图 11-4 所示。
图 11-4
11.3 某阀门弪簧如图 11-5 所示。当阀门关闭时，最小工作载荷 Fmin＝200 N；当阀
门顶开时，最大工作载荷 Fmax ＝500 N。设簧丝的直徂 d＝5 mm，弪簧外徂 D1＝36 mm，
刘鸿文《材料力学》学习辅导书(矩阵位移法)【圣才出品】
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2．受扭杆件
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其单元刚度方程
km
GIp l
1
1
1
1
3．受弯杆件
受弯杆件称为梁单元，其单元刚度矩阵为
12 6l 12 6l
km
EI l3
6l
12
4l 2 6l
6l 12
1
1
1
1
u1 u2
84
106
1 1
1 0
1
u2
①
FN23 FN24
AE2 l
1
1
1
1
u3 u4
28
106
1 1
1 0
1
2l 2
6l
6l
2l 2
6l
4l 2
二、梁单元的中间载荷 作用于梁上节点之间的载荷称为中间载荷，为简便运算，常将中间载荷置换为作用在节 点上的载荷。表 17-1-1 为几种常见情况的固端反力和反力矩。
表 17-1-1
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FN12 =84106u2 55.4kN
FN24 =28106 0.5u2 9.22kN
17.2 图 17-2-2 所示圆钢杆与铝套筒在端截面刚性连接。两者的横截面面积分别为： A 钢＝1000mm2，A 铝＝500mm2。l＝1m。弹性模量分别为：E 钢＝210GPa，E 铝＝70GPa。
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第10章动载荷
10.1 复习笔记
本章节的主要研究内容是构件作匀加速运动时，或受到作匀加速运动的物体作用时，以及构件受到冲击时的应力和变形计算。
静载荷：载荷由零平缓地增加到最终值，且之后载荷值再也不变化。
动载荷：随时间明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。
一、动静法的应用
动静法是将动力学问题转化为静力学问题的方法，来自于达朗贝尔原理：假想地在做加速运动的质点系上的每一个质点上施加惯性力，使原力系与惯性力系组成平衡力系。
质点上的惯性力等于该质点质量m与其加速度a的乘积，惯性力方向与加速度反向。
对于匀加速平动杆件或者匀角加速转动杆件，使用动静法作动应力分析的一般步骤：（1）求出动荷系数K d；
（2）按静载荷求解应力σst、变形Δst等；
（3）将所得结果乘以动荷系数K d可得动载荷作用下的动应力和变形分别为
σd＝K dσst
Δd＝K dΔst
二、杆件受冲击时的应力和变形
1．求解杆件受冲击问题时的基本假设
（1）不计冲击物的变形；
（2）冲击前后，冲击物与杆件构成的系统机械能守恒；
（3）构件材料服从胡克定律。
2．常见几种情况下的动荷因数
（1）自由落体
图10-1-1
如图10-1-1所示，在重物
P 从高度为h 处自由下落的冲击作用下，对杆件作动应力分
析时的动荷因数
其中，对于突然加载的情况，相当于物体自由下落高度h ＝0的情况，此时动荷因数K d ＝2，即杆件的应力和变形均为静载时的2倍。
（2）水平冲击
d 1K =
图10-1-2
如图10-1-2所示，设冲击物与杆件接触时的速度为v ，此时求解动载荷问题时的动荷因数
3．冲击韧性
材料的抗冲击能力用冲断试样所需的能量来表征。
冲击韧性的表达式为
式中，W 为重摆所做的功；A 为试样在缺口处的最小横截面面积；冲击韧性αK 的常用单位为J/cm 2。
①冲击韧性是材料性能指标之一，αK 越大材料的抗冲能力越强。
②一般塑性材料抗冲击能力高于脆性材料。
③冲击韧性与试件的形状、尺寸、支撑条件等有关，且随温度降低而减小，表现为材料的冷脆现象。
K W A
α=
三、受迫振动的应力计算（仅作了解）
研究对象：可简化为一个自由度的弹性受迫振动系统。
将承受变形的弹性杆件视为弹簧。
对于不计质量且仅考虑弹性的构件上只有一个振动物体时，均可简化为一个自由度的振动系统，构件受到的拉压、扭转或弯曲作用只改变系统的弹簧刚度系数。
1．应力相关计算公式
①系统固有频率（角频率）ω0
式中，g
为重力加速度；Δst 为静位移；k 为弹簧刚度系数；P
为静荷载作用。
②放大因子β
式中，ω为干扰力的频率；δ为阻尼系数。
③危险点的最大动应力σdmax
式中，振动的动荷载因数
0ω==1β=
d d dmax st st d st st 11F F K P σσβσβσ∆⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝
⎭d d d st 11F F K P
ββ∆=+=+∆
为干扰力F d 按静载荷方式作用在弹性系统上的静位移。
④危险点的最小动应力σdmin
2．交变应力 在静平衡位置上下作受迫振动的杆件，其上各点应力作周期性交替变化。
交变应力下的强度条件不可用静载的方法建立。
3．动应力、动荷载与放大因子的关系（曲线）
①ω/ω0→1：即干扰力频率接近系统固有频率，此时β最大，引起共振。
通过改变ω/ω0或增大阻尼δ可降低β避免共振。
②ω/ω0＜＜1：此时β→1，受迫振动的振幅等于干扰力作为静荷载时的挠度。
增加弹性系统的刚度可以减小静位移。
③ω/ω0＞1：β随ω/ω0增大而减小，受迫振动随之减弱。
当ω/ω0＞＞1时β→0，可不考虑干扰力的作用，应增加静位移来降低弹性系统固有频率。
10.2 课后习题详解
10.1 图10-2-1所示均质等截面杆，长为l ，重为W ，横截面面积为A ，水平放置在一排光滑的滚子上。
杆的两端受轴向力F 1和F 2的作用，且F 2＞F 1。
试求杆内正应力沿杆件
d F ∆d d dmin
st st st 11F F P σσβσβ∆⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝
⎭
长度分布的情况（设滚动摩擦可以忽略不计）。
图10-2-1
解：杆在已知力作用下有向右的加速度：a＝F/m＝（F2－F1）g/W。
如图10-2-2所示，将杆沿x截面断开，分析杆受力，可得轴力沿长度分布情况
F N（x）＝F1＋Wxa/（gl）＝F1＋（F2－F1）·x/l
则正应力沿长度分布情况：σ（x）＝F N（x）/A＝（1/A）[F1＋（F2－F1）·x/l]。
图10-2-2
10.2 如图10-2-3所示，长为l，横截面面积为A的杆以加速度a向上提升。
若材料的密度为ρ，试求杆内的最大应力。