现代控制理论：控制系统的状态空间表达式
现代控制理论课件2
38
二、从系统的机理出发建立状态空间表达式
例1、求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学定律 my u by ky
阻 尼 系 数
y(t) b
位移 令
b u(t ) ky m y y
x1 y
x2 y
39
动态方程如下
x1 x2
x1 y 1 0 x2
41
例：设有如图所示的机 械系统。它由两个彼 此耦合的平台构成。 并借助于弹簧和阻尼 到达地基。试选择合 适的状态变量，写出 该系统的状态空间模 型。
42
解答：依题意，进行受力分析，可得如下的微分方程：
M1y1 = u -k1 (y1 - y 2 )-f1 (y1 - y 2 ) M2y 2 = k1 (y1 - y 2 ) + f1 (y1 - y 2 )-k 2y 2 -f 2y 2
其中： a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A — 系统内部状态的联系， an1 an 2 ann
18
称为系统矩阵 , 为n n方阵；
多输入——多输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其状态变量为： x1 , x2 ,, xn , 则状态方程的一般形式 为：
1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur x
第1章 控制系统的状态空间表达式
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
三. 状态空间 以状态变量为坐标轴所构成的空间为状态空间。
x2
x
x1
x3
●系统任一时刻的状态均可表示为状态空间中的一个点。 ●系统状态随时间变化的过程，在状态空间中描绘出一条轨迹，称为
. 状态轨迹。
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
四. 状态方程 由系统状态变量构成的描述系统动态过程的一阶微分方程组称为 系统的状态方程 。 ●状态方程用于描述系统输入引起系统状态变化的动态过程 。
K1 Kp
u
K1 Kp
＋
K1
Kp
x6
x6
＋
x5
x5
1 x4 J1
x3
x3
Kn
＋
x4
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x 2 x2 x3
状态方程：
x4 x5 x6
J2 x4 Kb K n x4 Kp Kp 1 1 x3 x4 x5 x6 J1 J1 J1 J1 K1 x4 K1 x6 K1 K1 K1 x1 x6 u Kp Kp Kp
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 K p K1 s
＋
故：
K p s K1 s
K1
Kp
＋
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
1 J1
J2 Kb
J 2S 2
Kn s
Kn
Kb
1 J1s
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
现代控制理论习题解答(第一章)
Ra
La
i f = 常数
ua
f ia D J
ω
ML
【解】： 设状态变量为：
题 1-2 图
⎡ x1
⎢ ⎣
x
2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ia ⎢⎣ω
⎤ ⎥ ⎦
其中 ia 为流过电感上的电流， ω 电动机轴上的角速度。 电动机电枢回路的电压方程为：
eb 为电动机反电势。 电动机力矩平衡方程为
•
ua = La ia + Ra ⋅ ia + eb
(4) y (4) + 3y + 2y = −3u + u
【解】：
5
在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间 表达式。 此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。 （1）传递函数为：
状态空间表达式为：
G(s) =
2
s3 + 2s2 + 4s + 6
1⎤
R 2 C1 −1
R2C2
⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎥⎦
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
1
R1C1 0
⎤ ⎥⎥u i ⎦
y = u0 = [0
1]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
(2)
设状态变量： x1 = iL 、 x2 = uc 而
1
根据基尔霍夫定律得： 整理得
•
iL = C uc
•
ui = R ⋅ iL + LiL + uc
•
M D = J ω + fω + M L
现代控制理论课后题及答案
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。
也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。
这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。
令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。
现代控制理论：控制系统的状态空间模型
y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性离散系 统
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
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图 R-L-C网络
i
di dt
R L
i
1 L
uc
1 L
u
uc
duc dt
1i c
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
向量矩阵表示形式： di(t) R i(t) uC (t) u(t)
Modern Control Theory
第一章 控制系统的状态空间模型
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1
本章内容提纲
1.1 状态空间模型 1.2 传递函数和状态空间模型间的转换 1.3 状态空间模型的性质
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1.1 状态空间模型
➢是描述系统的另外一种数学模型,是现代控制 理论的基础. ➢不仅可以描述系统的输入输出之间的关系,而 且还可以描述系统的内部特性.
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
第二章现代控制理论状态空间表达式
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
现代控制理论知识点汇总
１．状态空间表达式n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯:r n B ⨯:n m C ⨯:rm D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３．模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４．状态空间表达式的建立1由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
2由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
实现是非唯一的。
方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
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Y (s) U (s)
sn
bn1sn1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
系统动态过程的两类数学描述
• 系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要 由两个数学方程表征—— 状态方程
输出方程
u1
y1
u2
x1, x2,, xn
y2
ur
ym
系统动态过程的两类数学描述
• 外部描述和内部描述的比较
u
w2
y
s2+2zws+w2
u
w2 s+2zw
1y s
u
w2
x2
x1 y
2zw
x1 x2
x2 w2 x1 2zw x2 w2u
y x1
1.3 状态空间表达式的建立
已知系统的结构框图，求状态空间表达式
u
K1
K2
K3
y
T1s+1
T2s+1
T3s
K4
1.3 状态空间表达式的建立
系统的状态空间表达式为
x1
K3 T3
x2
x2
1 T2
x2
K2 T2
x3
x3
K1K4 T1
x1
1 T1
x3
K1 T1
u
y x1
0
K3 T3
x 0 1
• 输出：系统的被控量或从外部测量到的
系统信息。 若输出是由传感器测量得到的，又称为
观测。
1.1 状态空间及状态空间表达式
• 状态变量:
一个动力学系统的状态变量组定义为：能完全表 征其时间域行为的一个最小内部变量组
• 状态矢量：
一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组
x1(t), x2 (t),, xn (t)
1.1 状态空间及状态空间表达式
几点解释
(1) 状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1(t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 )
和t ≥ t0 各时刻的任意输入变量组
u1(t), u2 (t),, ur (t)
那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动 行为也就随之而完全确定
所组成的一个列向量
x1(t)
x(t)
x2
(t
)
xn
(t
)
1.1 状态空间及状态空间表达式
• 状态空间：
状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间 的维数等同于状态的维数
• 状态轨线：
系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是 一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化， 并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称 为状态轨线或状态轨迹。
写成矩阵形式
x1 x2
0
1
L
1
C R
x1 x2
0 1
L
u
L
y 1
0
x1 x2
以上方程可表为形如
x Ax Bu y Cx Du
1.1 状态空间及状态空间表达式
动态系统的结构
u1
x1
u2
x2
动力学部件
ur
xn
y1
输出部件
y2
ym
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u
y
C (t )
x
D(t)u
1.1 状态空间及状态空间表达式
x Ax Bu y Cx Du
状态方程 输出方程
• x n维状态矢量 • u r维输入(或控制)矢量 • y m维输出矢量 • A nxn系统矩阵 • B nxr输入(或控制)矩阵 • C mxn输出矩阵 • D mxr直接传递矩阵
– 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描 述，不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观 测的部分。
– 内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完 全反映系统的所有动力学特性。
1.1 状态空间及状态空间表达式
• 状态空间描述常用的基本概念
• 输入：外部对系统的作用(激励)，输入
包括控制输入和干扰输入。
• 线性系统的状态空间表达式
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程 组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运 动方程），包括
– 状态方程 描述状态变量与输入之间的关系 – 输出方程 描述输出与状态变量之间的关系
1.1 状态空间及状态空间表达式
如图所示RLC的电路
RL
根据回路电压定律
u(t)
i(t) C uc(t)
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
• 状态空间方程
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
• 多输入多输出系统
x1
x2
a11 a21
a12 a22
x1
x2
b11 b21
y1 y2
c11 c21
c12 x1
c22
x2
b12 u1
b22
u2
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
Ri(t)
L
di(t) dt
uc
(t)
u(t)
C duC (t) i(t) dt
duC (t) 1 i(t) dt C
di(t) dt
1 L
uc (t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
1.1 状态空间及状态空间表达式
uC
(t)
1 C
i(t)
i(t)
1 L
uc (t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
令状态变量 x1=uc，x2=i，系统输出 y=uc=x1
1.1 状态空间及状态空间表达式
(2) 状态变量组最小性的物理特征 (3) 状态变量组最小性的数学特征 (4) 状态变量组的不唯一性 (5) 系统任意两个状态变量组之间的关系 (6) 有穷维系统和无穷维系统 (7) 状态空间的属性
状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间Rn
1.1 状态空间及状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
系统动态过程的两类数学描述
• 系统的外部描述
外部描述常被称作输出—输入描述
例如，对SISO线性定常系统 u
y
时间域的外部描述：
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
复频率域描述即传递函数描述：
W (s)
1.3 状态空间表达式的建立
• 1.3.2 从系统结构图建立状态空间表达式
u
1
x
s
u
x
x u
u
K
x
u
K/T
x
u
x
Ts+1
s+1/T
x 1 x K u TT
1.3 状态空间表达式的建立
u
s+z
y
s+p
u
zp
s+p
y
u zp
xy
p
x px (z p)u
y
x
u
1.3 状态空间表达式的建立
1.1 状态空间及状态空间表达式
பைடு நூலகம்
• 连续时间线性系统的方框图
x Ax Bu y Cx Du
D
u
x
x
B
C
y
A
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
• 一阶标量微分方程
x ax bu
y cx
u
x
x
y
b
c
a
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
• 三阶系统微分方程
x a2x a1x a0x bu x a2x a1x a0x bu