点差法在圆锥曲线的应用

中点弦与点差法在圆锥曲线的应用【考情分析】1、高考要求（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；（3）了解双曲线的定义、结合图形和标准方程、知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）；（4）了解曲线与方程的对应关系；（5）理解数形结合的思想；（6）了解圆锥曲线的简单应用。

从全国卷考试说明，全国卷椭圆和抛物线要求比较高，都是“掌握”和“理解”，而对双曲线要求大大降低，是“了解”；直线与圆锥曲线、曲线与方程的要求都是“了解”。

【复习本专题的意义】解析几何是高考的重点，也是难点。

一轮复习应该在注重知识面广的同时，要根据文科数学的特点加强思想方法的渗透，总结一些源于教材而高于教材的重要结论和解题规律，做到基础扎实、结论熟练、思路清晰、方法准确、讲练得体，并引导学生充分结合考试说明和命题规律，学会整理知识要点、解题方法、解题技巧，分类收集典型考例，深入浅出，自然实现重点突出，难点的突破，在能力提升同时也为二轮复习打下前站，为二轮复习的飞跃打下坚实的基础。

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，常采用“点差法”来求解。

“点差法”是利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子（也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的知识使问题得到解决。

当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解。

与韦达定理法复杂繁琐的计算相比，点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的。

本微专题将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、求弦的中点坐标、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程等方面引导学生自主学习、合作探究，使一轮复习备考落实到实处，为2019年高考取胜作充分准备。

【教学内容】直线与二次曲线相交，特别是直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。

其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题例1、过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点，所以421=+x x ，221=+y y ，又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ，两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21-=AB k ，故所求直线方程为042=-+y x 。

解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16)2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为042=-+y x 。

二、求弦中点的轨迹方程问题例2、过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。

解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），则有⎩⎨⎧=+=+57616957616922222121y x y x ，两式相减得0)(16)(922212221=-+-y y x x ， 又因为x x x 221=+，y y y 221=+，所以0)(216)(292121=-⋅+-⋅y y y x x x ， 所以yx x x y y 1692121=--，而)8(0---=x y k PQ ，故8169+=x y y x 。

化简可得01672922=++y x x （8-≠x ）。

解法二：设弦中点M （y x ,），Q （11,y x ）， 由281-=x x ，21y y =可得821+=x x ，y y 21=， 又因为Q 在椭圆上，所以136642121=+y x ， 即136464)4(422=++y x ， 所以PQ 中点M 的轨迹方程为1916)4(22=++y x （8-≠x ）。

三、弦中点的坐标问题例3、求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。

解：解法一：设直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点),(00y x P ，由题意得⎩⎨⎧=-=xy x y 412， 消去y 得x x 4)1(2=-，即0162=+-x x ， 所以32210=+=x x x ，2100=-=x y ，即中点坐标为)2,3(。

解法二：设直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点),(00y x P ，由题意得⎩⎨⎧==22212144x y x y ，两式相减得)(4122122x x y y -=-， 所以4))((121212=-+-x x y y y y ， 所以421=+y y ，即20=y ，3100=+=y x ，即中点坐标为)2,3(。

【课后练习】1、求直线被抛物线截得线段的中点坐标为______________。

2、已知直线l 与椭圆相交P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点是点P ，设直线的斜率为k （k ≠0），OP 的斜率为k ′，求证：kk ′是一个定值。

3、已知椭圆，求斜率为2 的平行弦中点的轨迹方程。

（平行弦中点轨迹方程）【问题1】求椭圆1162522=+y x 斜率为3的弦的中点轨迹方程为_____________________。

【问题2】已知抛物线C ：x y =2，直线,1)1(:+-=x k y l 要使抛物线C 上存在关于对称的两点，的取值范围是___________________。

【问题3】已知椭圆),0(12222>>=+b a by a x A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴相交于P )0,(0x ，求证：ab a x a b a 22022-<<--。

【参考答案】1、设P （x ，y ）是所求轨迹上的任一点，则有yx ∙-=25163，故所示的轨迹方程为16x+75y=0)2417524175(<<-x2、设C 上两点A 、B 两点关于对称，AB 的中点为P ,(00y x∴k y y p k AB 12100-=== ∴k y 210-=∵P ∈∴(00-=x k y ∴,1)1(210+-=-x k k ∴k x 1210-= , ∴21,121(k P --∵P 在抛物线内 ，∴k k 121412-< . ∴,04423<+-k k k∴,04)22)(2(2<+-+k k k k∴.02<<-k3、证明：设AB 的中点为T ),(11y x ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，∴01≠y ， ∴1122y x a b k AB ∙-= ∵l ⊥AB ∴1122x y b a k l ∙=∴l 的方程为：)(111221x x x y b a y y -∙=-。

令y=0 得)(01011221x x x y b a y -∙=-∴02221x b a a x ∙-=。

∵a x <||1 ， ∴a x b a a <∙-||0222。

∴a b a x a b a 22022-<<--。

【教学反思】本专题约一课时，用“引入——探究——实践——体会——自主学习——合作归纳——课后笔记与反思——强化训练”的模式，让学生在《中点弦与点差法》的学习中激发求知欲，展现乐于探究，自信备考，在高考真题中实战演练，在实践再次分享合作学习的快乐和独立思考的成就感。

既体现了源于课本而高于课本的重点知识和解题技巧的运用，也感悟到高考出题者与应考者的交集的存在性。

老师的教与学生的学，老师的引导与学生的跟进，课堂上的识读、探索、归纳、总结与课后的强化训练、得失反思，环环相扣，层层深入，充分体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生是学习的主体，通过动手探索、动脑思考，层层递进，对知识的理解逐步,对重点的知识深入理解和解题技法精准归纳，直至成为众多考生中的佼佼者、高考的最终获胜者。