《数与代数》

1. 整除与除尽
整除：整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整b而没有 余数，我们就说数a能被数b整除，或数b能整除a。
除尽：数除以数b（b≠0），除得的商是整数或是有限小数， 这就叫做除尽。
区别：整除是除尽的一种特殊情况，整除也可以说是除尽， 但除尽不一定是整除。
除尽 整除
2. 因数和倍数
如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的约 数。
30＝2×3×5
7. 最大公因数和最小公倍数
公因数，最大公因数: 几个数公有的因数，叫做这几个数
的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因
数。 例：（ 1，2，4 ）是8和12的公因数，（ 4 ）是8和 12的最大公因数。 公倍数，最小公倍数: 几个数公有的倍数，叫做这
几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个
分数单位－－ 把单位“1”平均分成若干份，表示 其中的一份的数。
分数各部分的名称: 4 7
分子 （表示所取的份数） 分数线
分母 （表示平均分的份数）
2.分数与除法
分数与除法的关系:
被除数÷除数＝ 被除数 （除数≠0）
a÷b＝
a
除数
（b≠0）
b
5
9 表示: 把单位“1”平均分成9份，取其中的5份。
5 米表示: 把5米平均分成9份，每份是（ 5 ），
8.小数的性质
小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。
运用小数的性质，可以在小数末尾添上0。 3.5＝3.50 也可以把小数化简。 3.500＝3.5
9.小数点数位移动引起小数大小的变化
小数点向右（左）移动一位、两位、 三位……原来的数就扩大（缩小）10 倍、100倍、1000倍……
如果要把一个数扩大或缩小10倍、 100倍……只需要移动小数点，数位不 够时用0补足。
那么它们的商就缩小（或扩大）同样的倍数。 ③被除数和除数都扩大（或缩小）同样的倍数，
*判断一个最简分数能不能化成有限小数；
分母中除了2和5以外，不含有其他的质 因数，就能化成有限小数。
7.约分
约分－－－－－－把一个分数化成和它相等，但 分子和分母都比较小的分数。
约分的方法: 1.用分子分母的公约数（1除外）逐次去除分 子和分母，直到得到最简分数为止。 2.用分子和分母的最大公约数去除分子和分母。
9
每份是（ 5 ）米。
9
9
3.分数大小的比较
★分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。
★分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。
★通分:先求出原来几个分母的最小公倍数，然后 把各个分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分 数。
4.分数的分类
真分数－－ 分子比分母小的分数。真分数＜1 假分数－－ 分子比分母大或者分子和分母
数的最小公倍数。 例：（12，24，36 …）都是4和6的公倍数， （ 12）是4和6的最小公倍数。
互质数: 公因数只有1的两个数叫做互质数。
互质数的几种特殊情况 （1）两个数都是质数，这两个数一定互质。 （2）相邻的两个数互质。 （3） 1和任何数都互质。
8、求最大公约数和最小公倍数 （1）如果较小数是较大数的约数，那么
4.62975保留两位小数是:（ 4.63 ） 4.62975保留三位小数是:（ 4.630 ）
分数和百分数
1.分数的意义和分数单位
单位“1”－－ 一个物体，一个计量单位或是许多物体 组成的一个整体，都可以用自然数1来 表示，通常我们把它叫做单位“1”
分 数－－ 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的 一份或者几份的数，叫做分数。
1:不是质数也不是合数
最小的质数是: 2 最小的合数是: 4
6. 质因数和分解质因数
质因数: 每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式， 这几个质数叫做这个合数的质因数。
分解质因数: 把一个合数用几个质因数相乘的形式表示 出来叫做分解质因数。
分解质因数的方法:短除法 把30分解质因数
2 30 3 15 5
1. 自然数，0和整数
数物体的时候，用来表示物体个数的 0，1，2，3…叫做自然数。
一个物体也没有用0表示。
0也是自然数。 0和自然数都是整数。
但不能说整数 只包括0和自
然数
2.十进制计数法
一（个）、十、百、千、万……都叫做计数 单位。其中“一”是计数的基本单位。
10个一是十，10个十是百……10个一百亿是 一千亿……每相邻两个计数单位之间的进率都 是十。这种计数方法叫做十进制计数法。
因数 倍数
一个数的因数的个数是有 限的，其中最小的因数是1， 最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无 限的，其中最小的倍数是 它本身，没有最大的倍数。
因数和 倍数是 相互依 存的
奇数
偶数 能被2、3、5整除数的特征
互质数因Biblioteka 整 除倍数公因数 质数 合数
1 公倍数
最大公因数 质因数 分解质因数
2．交换3.4个位和十分位上的数字，得到的数比原来 增加了（ 9 ）个0.1。
3．用三个8和三个0组成一个六位数，一个零 都不读出来的最小六位数是（ 888000）；只
读一个零的最大六位数是（ 880800）。
4．在下列数字上直接加上循环点，使排列顺
序符合要.求。 .
.. ..
3.1416＞3.1416＞3.1416＞3.1416
4. 偶数和奇数
一个自然数，不是奇数就是偶数
偶数: 能被2整除的数叫做偶数 奇数:不能被2整除的数叫做奇数 最小的偶数是: 0 最小的奇数是: 1 偶数±偶数＝（偶数） 偶数×偶数＝（偶数） 奇数±奇数＝（偶数） 奇数×奇数＝（奇数） 偶数±奇数＝（奇数） 偶数×奇数＝（偶数）
5. 质数和合数
质数: 只有1和它本身两个因数 （素数） 合数: 除了1和它本身还有别的因数
2 24 36 2 12 18
36 9 23
商互质
24和36的最大公约数是：2×2×3＝12
除数相乘
24和36的最小公倍数是： 2×2×3×2×3＝72 所有的除数和商相乘
1．根据全国第六次人口普查统计，截止到2010年11 月1日零时，我国人口已达到1339720000人，这个 数读作（ 十三亿三千九百七十二万）人，省略“亿” 后面的尾数约是（ 13 ）亿人。若每人每天节约1角 钱，那么全国每人每天可节约（10000）万元。
10.循环小数
一个小数的小数部分，从某一位起， 有一个或几个数字依次不断重复出现， 这样的数叫做循环小数。 如 0.5555…… 7.23838……
依次不断重复出现的数字叫做循环 节。
循环小数的简便记. 法 07..25538553…8………记记作作::07.5.23.8.
11.小数的分类
（1）按小数位数是有限还是无限分
较小数就是这两个数的最大公约数； 较大数就是这两个数的最小公倍数。
4和28 最大公约数是（ 4 ）； 最小公倍数是（ 28 ）
（2）如果两个数互质，它们的最大公约数就是1； 最小公倍数就是它们的积。
4和15 最大公约数是（ 1 ）； 最小公倍数是（ 60 ）
（3）短除法 求24和36的最大公约数和最小公倍数
（6）积的变化 ①如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因
数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）相同的倍 数。 ②如果一个因数扩大若干倍，而另一个因数缩小同
样的倍数，那么它们的积不变。
（ 7）商的变化 ①如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，
那么它们的商也扩大（或缩小）相同的倍数。 ②如果被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，
相等的分数。假分数≥1
5.分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数 （零除外），分数的大小不变。
一个分数的分母不变，分子乘以3，则这个分数 （ 扩大3倍 ）
如果分子不变，分母除以5，则这个分数 （ 扩大5倍 ）
6.最简分数
*计算的结果，能约分的要约成最简分数； 假分数的，一般要化成带分数或整数。
8.百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数。 百分数又叫百分率或百分比。
百分数后面不 能带单位名称。
9.分数、小数、百分数的互化
小数点向右移动两位，添上％
小数
百分数
去掉％ ，小数点向左移动两位
分数
数的整除
1. 整除与除尽 2. 因数和倍数 3. 能被2、3、5整除的数的特征 4. 偶数和奇数 5. 质数和合数 6. 质因数和分解质因数 7. 最大公因数和最小公倍数
小数
有限小数 无限小数
无限循环小数 无限不循环小数
（2）按小数的整数部分是否为0分 小数 纯小数 带小数（混小数）
12.数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成 用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要， 省略这个数某一位后面的尾数，写成近似数。
把76450000改写成b“万”作单位的数是（7645万） 把235800改写成用“万”作单位的数是（ 23.58万 ） 235800省略万位后面的尾数约为（ 24万 ） 把34562800000改写成用“亿”作单位的数后，保留两 位小数是（ 345.63亿）
5．一个分数的分子扩大8倍，分母缩小8倍以 后是，原分数是（ 扩大64倍）。
（二）数的运算
（1）减法的性质用字母表示： ① a－b－c－d ＝ a－（b＋c＋d） ② a－（b－c）＝ a－b ＋c
（2）除法的运b性质用字母表示： ① a÷ （b×c）＝ a÷b ÷c ② a÷ （b÷c）＝ a÷b ×c
3.整数的读法和写法
读数时，从高位起，一级一级地往下读， 属于亿级和万级的要读出级名。
684528563读作:
六亿八千四百五十二万八千五百六十三。 读数时，每级末尾的“0”都不读，其他 数位有一个0或连续几个0都只读一个0。 8000406000读作: