河南省创新发展联盟20182019学年高二下学期期末考试数学(理)试题含解析

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河南省郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试卷Word版含解析

河南省郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷注意事项：本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。

交卷时只交答题卡。

第I卷〖选择题，共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.详解：因为，所以所以,对应点为，对应象限为第一象限，选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2. 在某项测量中，测量结果，若在内取值的概率为0.3，则在(0,+∞)内取值的概率为（）A. 0.2B. 0.4C. 0.8D. 0.9【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得在内取值的概率，再利用在(0,+∞)内取值的概率等于在内取值的概率与0.5的和求结果.详解：因为，在内取值的概率为0.3，所以在内取值的概率为0.3，所以在(0,+∞)内取值的概率等于在内取值的概率与0.5的和，为0.8，选C.点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.3. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x),如果f ' (x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f ' (0)=0，所以x=0是函数f(x)=x3的极值点。

以上推理中A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误；D. 结论正确【答案】A【解析】分析：根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，得大前提错误.详解：因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f ' (x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.点睛：本题考查极值定义以及三段论概念，考查对概念理解与识别能力.4. 函数y=x2- lnx的单调递减区间为（）A. （-1,1）B. （0,1）C. (1,+∞)；D. (0,+∞)【答案】B【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集得结果.详解：因为，所以因此单调递减区间为（0,1），选B.5. 已知具有线性相关关系的五个样本点A1（0,0），A2（2,2），A3（3,2），A4（4,2）A5（6,4），用最小二乘法得到回归直线方程l1:y=bx+a，过点A1,A2的直线方程l2:y=mx+n那么下列4个命题中(1) ；(2)直线过点； (3) ； (4) .（参考公式，）正确命题的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】分析：先求均值，再代公式求b,a，再根据最小二乘法定义判断命题真假.详解：因为，所以直线过点；因为，所以因为，所以，因为过点A1,A2的直线方程，所以，即；根据最小二乘法定义得； (4) .因此只有（1）（2）正确，选B.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.6. 由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）A. B. 4 C. D. 6【答案】C【解析】解析：作出曲线，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由得交点A(4，2)．因此与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为：.本题选择C选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．7. 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x-a)相切,则a的值为( )A. 1B. 2C. 一1D. 一2【答案】D【解析】分析：先设切点，根据导数几何意义列等式，解方程组可得a的值.详解：设切点 ,因为，所以选D.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.8. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴故选:B9. 已知函数f(x)=4x2+sin(+x),f ' (x)为f(x)的导函数,则f ' (x)的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求导数，根据函数奇偶性舍去B,D，再根据函数值确定选项.详解：因为，所以因为，所以舍去B,D，因为，所以舍去C,选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．10. 现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（）A. 144种B. 108种C. 72种D. 36种【答案】C【解析】分析：先确定那两个车库放的是同一品牌的小车，再确定是哪个品牌，最后确定余下车库放不同品牌的情况(仅一种)，根据乘法计数原理求结果.详解：每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有选C.点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．(2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．11. 设a=sin1,b=2sin，c=3sin，则（）A. c<a<bB. a<c<bC. a<b<cD. c<b<a【答案】C【解析】分析：先研究单调性，再根据单调性确定大小.详解：令，因为，所以因为，所以a<b<c，选C.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.12. 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,f(x)+2>f ' (x),f(0)=1,则不等式ln[f(x)+2]>ln3+x的解集为（）A. (一∞,0)B. (0,+∞)C. (一∞,1)D. (1,+∞)【答案】A【解析】分析：先令，则且原不等式转化为，再根据单调性得结果.详解：令，则因为原不等式转化为，所以因此选A.点睛：解函数不等式,首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每题5分,满分20)13. 若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a o+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a(i=0,1, …,5)为实数,则a3=__________【答案】10.考点：二项式定理视频14. 一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________【答案】105.【解析】分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果.详解：因为，所以点睛：15. 已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，则实数k的取值范围是____________ 【答案】.【解析】分析：先求导，再根据导函数零点分布确定不等式，解不等式得结果.详解：因为，所以因为函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，所以点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.16. 如图所示，由直线x=a ， x=a+1(a>0)，y=x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形和大矩形的面积之间，即，类比之，恒成立，则实数A=___________【答案】【解析】因为，所以即同理，累加得所以，所以，故.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〉17. 设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(I)求复数z(II)若复数+ m2(1 +i)-2i十2m -5为纯虚数，求实数m的值.【答案】(1) .(2)【解析】分析：（1）设，先根据复数乘法得，再根据复数的模得解方程组可得，（2）先化成复数代数形式，再根据纯虚数概念列方程组，解得实数m的值.详解：(1)设，由，得又复数=在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.则，即又，所以，则(2)=为纯虚数,所以可得点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为18. 已知（1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含x项的系数为84，(I)求m,n的值(II)求（1+m)n (1-x)的展开式中有理项的系数和.【答案】(1) ,.(2)0.【解析】分析：（1）先根据二项式系数性质得，解得n，再根据二项式展开式的通项公式得含x项的系数为，解得m,（2）先根据二项式展开式的通项公式得，再求的展开式有理项的系数和.详解：(1)由题意可知，，解得含项的系数为，(2) 的展开项通项公式为的展开式有理项的系数和为0点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.19. 已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2 .7万元，设该公司年内共生产该特许商品工x千件并全部销售完;每千件的销售收入为R(x)万元，且，(I)写出年利润W(万元〉关于该特许商品x(千件）的函数解析式；〔II〕年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大?【答案】(1) .(2) 当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．【解析】分析：（1）根据利润等于收入减去成本得解析式（2）先分段求最大值，一段根据导数得单调性，根据单调性变化规律确定最大值，另一段根据基本不等式求最值，最后取两段最大值的最大值.详解：（1）当时，当时，（2）①当时，由当∴当时，W取最大值，且②当时，W=98当且仅当综合①、②知时，W取最大值．所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索,学校将髙一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]进行分组,绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制）为优秀，，(I)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”〔Ⅱ）从乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言,记来自[80，90)发言的人数为随机变量x，求x的分布列和期望.【答案】(1)列联表见解析，有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.(2)分布列见解析，【解析】分析：（1）先根据数据填表，再代入卡方公式求，最后与参考数据作比较得结论，（2）先根据分层抽样得抽取人数，再确定随机变量取法，利用组合数确定对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：（1)依题意得有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.（2）从乙班分数段中抽人数分别为2、3、2.依题意随机变量的所有可能取值为点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.21. 已知数列{a n}的前n项和S n满足，且，(I)求a1，a2，a3；(II)猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) ，(2) 猜想证明见解析.【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再代入依次得a1，a2，a3；（2）先根据数据猜想，再利用递推关系证时猜想也成立.详解：（1）当时，，得，又，故同理，（2）猜想证明：当时，由（1）可知，假设时，成立，所以，又，得所以当时猜想也成立.综上可知，猜想对一切恒成立.点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.22. 已知函数f(x)= ln(a x)+bx在点（1，f(1)）处的切线是y=0；(I)求函数f(x)的极值；(II)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)【答案】(1) 的极大值为，无极小值；(2) .【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得解得b,再根据得a，根据导函数零点确定单调区间，根据单调区间确定极值，（2）先化简不等式为，再分别求左右两个函数最值得左边最小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为，解得实数m的取值范围.详解：（1）因为，所以因为点处的切线是，所以，且所以，即所以，所以在上递增，在上递减，所以的极大值为，无极小值（2）当恒成立时,由（1），即恒成立，设，则，，又因为，所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，；在上单调递增，在上单调递减，.所以均在处取得最值，所以要使恒成立，只需，即解得，又，所以实数的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。

2017-2018学年河南省创新发展联盟高二下学期期末考试理数试题

2017～2018年度河南创新发展联盟高二期末考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|13}A x x =-<，集合2{|log (2)}B x y x ==-，则AB =（）A ．{|24}x x -<≤B ．{|24}x x -<<C ．{|24}x x <<D ．{|34}x x -≤≤ 2.已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.已知等差数列{}n a 中，11a =，358a a +=，则237a a a ++=（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4.已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，2b =，则32a b -=（）A ．13B ．11 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8π+B ．203π+C ．82π+D ．243π+6.电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到6组数据11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，44(,)x y ，55(,)x y ，66(,)x y .根据收集到的数据可知10x =，由最小二乘法求得回归直线方程为 1.3 5.2y x =+，则123456y y y y y y +++++=（）A ．50.5B ．45.5C ．100.2D ．109.27.执行如图所示的程序框图，当输出S 的值为6-时，则输入的0S =（）A ．7B ．8C ．9D ．108.若变量x ，y 满足约束条件211y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1x y x ++的取值范围是（）A ．11[,]22- B ．13[,]22C ．11(,][,)22-∞-+∞D ．13(,][,)22-∞+∞9.已知二项式8(8ax +的展开式的第二项的系数为333a x dx -=⎰（）A ．60-B ．73 C ．60-或73 D ．30或103- 10.已知函数()f x 的定义域为R ，且函数(2)3sin y f x x =+的图象关于y 轴对称，函数(2)3cos y f x x =+的图象关于原点对称，则()3f π=（）A ．BC11.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>过2)A ，(2)B -两点，点P 为该双曲线上除点A ，B 外的任意一点，直线PA ，PB 斜率之积为4，则双曲线的方程是（）A ．22134x y -=B ．22148x y -=C ．22136x y -=D ．221520x y -=12.已知函数()ln 2sin f x x a x =-在区间[,]64ππ上是单调递增函数，则a 的取值范围为（）A ．(,π-∞ B ．(-∞ C ．(-∞ D ．)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知直线32170x y -+=与直线230x my --=互相垂直，则m = ．14.已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率是． 15.若0x >，0y >，且224log 3log 9log 81x y+=，则213x y+的最小值为．16.已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，AC =1BC =，cos ACB ACB ∠=∠，2AD =，则球O 的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数22()cos sin cos f x x x x x =-+()x R ∈.（1）求()3f π的值；（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在3[,]68ππ上的最大值和最小值.18.某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中女性中对该事件关注的占2，而男性有10人表示对该事件没有关注.（1）根据以上数据补全22⨯列联表；（2）能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？（3）已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率. 附表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，已知AC EC ⊥，2AB AF BC ===，4AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒.（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ；（2）求直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值.20.已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的焦点弦的弦长为过1F 的直线l 交椭圆M 于G ，H 两点，且2GHF ∆的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线1l ，2l 互相垂直，直线1l 过1F 且与椭圆M 交于点A ，B 两点，直线2l 过2F 且与椭圆M 交于C ，D 两点.求11AB CD+的值. 21.已知函数()ln xf x ax x=-. （1）当0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(2,)+∞上是减函数，求a 的最小值；（3）证明：当0x >时，213ln 4x x e x>-. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为3x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求C 的直角坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(3,0)P ，求PA PB +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()42f x x x =++-的最小值为n . （1）求n 的值；（2）若不等式4x a x n -++≥恒成立，求a 的取值范围.2017～2018年度河南创新发展联盟高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题1-5: CDCCA 6-10: DBBAA 11、12：DA二、填空题13. 32-14. 28π三、解答题17.解：（1）22()cos sin cos f x x x x x =-+cos 22x x =+2sin(2)6x π=+，则2()2sin()1336f πππ=+=.（2）函数()f x 平移后得到的函数()2sin(2)6g x x π=-，由题可知3[,]68x ππ∈，72[,]6612x πππ-∈. 当266x ππ-=即6x π=时，()g x 取最小值1，当262x ππ-=即3x π=时，()g x 取最大值2.18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表（2）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2100(45151030)55457525k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1003.030 2.70633=≈>.所以有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”.（3）抽取的3人中至少有2人对此事关注的概率为32166431023C C C C +=. 所以，至少有2人对此事关注的概率为23. 19.（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，2AB AF BC ===，//BC AM ，由四边形ABCM 为平行四边形，可知12CM AD =，在ACD ∆中，有90ACD ∠=︒，∴AC DC ⊥.又AC EC ⊥，DCEC C =，∴AC ⊥平面CDE ，∵ED ⊂平面CDE ，∴DE AC ⊥. 又DE AD ⊥，ADDE D =，∴DE ⊥平面ABCD .∵DE ⊂平面ADEF ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF .（2）解：由（1）知平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图，取AD 的中点为O ，建立空间直角坐标系，B，(C -，(2,4,0)E -，(2,0,0)A ，(3,0,CA =，(4,4,0)AE =-，(3,4,BE =-.设平面CAE 的法向量(,,)n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30440x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3)n =.故直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值sin ,BE n BE n BE n⋅<>===20.解：（1）将x c =代入22221x y a b +=，得2b y a=，所以22b a =. 因为2GHF ∆的周长为4a =，a =将a =22b a =24b =，所以椭圆M 的方程为22184x y +=. （2）（i ）当直线AB 、直线CD 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=--. 由22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(21)8880k x k x k +++-=.由韦达定理得2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，所以，AB ==.同理可得221)2k CD k +=+. 211AB CD +=2=. （ii ）当直线AB的斜率不存在时，AB =，CD =，11AB CD +=. （iii ）当直线AB 的斜率为0时，AB =，CD =，118AB CD +=.综上，118AB CD +=. 21.解：函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，（1）函数2ln 1'()(ln )x f x x -=，当0x e <<且1x ≠时，'()0f x <；当x e >时，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，(1,)e ，单调递增区间是(,)e +∞.（2）因()f x 在(2,)+∞上为减函数，故2ln 1'()0(ln )x f x a x -=-≤在(2,)+∞上恒成立.所以当(2,)x ∈+∞时，max '()0f x ≤. 又22ln 111'()()(ln )ln ln x f x a a x x x -=-=-+-2111()ln 24a x =--+-，故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1'()4f x a =-. 所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14.（3）问题等价于223ln 4x x x x e >-.令2()ln m x x x =，则'()2ln (2ln 1)m x x x x x x =+=+，当12x e -=时，2()ln m x x x =取最小值12e-. 设23()4x x h x e =-，则(2)'()xx x h x e-=-，知()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减.∴max 243()(2)4h x h e ==-， ∵22143314()2442e e e e---=--2223216(38)(2)044e e e e e e ---+==>， ∴minmax ()()m x h x >，∴223ln 4x x x x e >-，故当0x >时，231ln 04x x x e+->. 22.解：（1）由2sin 4cos ρθθ=，得22sin 4cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为24y x =.l 的直角坐标方程y =-.（2）将直线l的参数方程化为标准形式132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入24y x =，并整理得238480t t --=，1216t t =-，1283t t +=.所以12PA PB t t +=-==. 23.解：（1）22,2()426,4222,4x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪--<-⎩，所以最小值为6，即6n =.（2）由（1）知6n =，46x a x -++≥恒成立，由于4()(4)4x a x x a x a -++≥--+=+，等号当且仅当()(4)0x a x -+≤时成立，故46a +≥，解得2a ≥或10a ≤-. 所以a 的取值范围为(,10][2,)-∞-+∞.。

河南省顶级名校2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题含解析

河南省顶级名校2018-2019学年下期期末高二数学试题（理科）一、选择题。

1.若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数的基本运算将其化为形式，z对应的点为【详解】由题可知，所以z对应的点为，位于第四象限。

故选D.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简单题。

2.设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A. －15x4B. 15x4C. －20i x4D. 20i x4【答案】A【解析】试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．3.以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题求已知双曲线的焦点坐标，进而求出值即可得答案。

【详解】由题可知双曲线的焦点坐标为，则所求双曲线的顶点坐标为，即，又因为离心率为，所以，解得，所以，即，所以渐近线方程是故选D【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题的关键是判断出焦点位置后求得，属于简单题。

4.把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（）A. 24B. 60C. 72D. 120【答案】B【解析】由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不的排法.本题选择B选项.5.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本小题属于条件概率所以事件B包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为6.下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；②设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为，则位于区域内的概率为⑤在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好；其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】逐个分析，判断正误。

2018-2019学年河南省中原名校联盟高二下期期末数学(理)试题(解析版)

1 4
x2
sin
2
x
1 4
x2
cos
x
，
∴ f (x) 1 x sin x ，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B，D． 2
又 f (x) 1 cos x ，当﹣ ＜x＜时，cosx＞ 1 ，∴ f (x) ＜0，
2
3
3
2
故函数
y＝
f
'
(
x
)
在区间
3
, 3
上单调递减，故排除 C．
故选： C .
第 6 页共 16 页
【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出函数图像是解题的关键.
二、填空题
13．若将函数 f x x5 表示为 f x a0 a1 1 x a2 1 x2 a5 1 x5 其
中 a0 ， a1 ， a2 ，…， a5 为实数，则 a3 ＝______________．
2
xx
故选： B . 【点睛】
本题考查了利用导数求单调区间，忽略定义域是容易发生的错误.
5．在满分为 15 分的中招信息技术考试中，初三学生的分数 x ~ N 11, 22 ，若某班共
第 2 页共 16 页
有 54 名学生，则这个班的学生该科考试中 13 分以上的人数大约为（）
（附： P( X ) 0.6827 ）
8．从1, 2,3, 4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A “取到的 2 个数之和为偶数”，事件
B “取到两个数均为偶数”，则 PB | A ( )
A． 1 8
【答案】B
B． 1 4
C． 2 5
D． 1 2

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(本试题卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。

)注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，班级写在姓名后面。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},则N∪(∁UM)=( ) A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{3} D．{4}2．复数的虚部是（）A． 2i B． 2 C． i D．13．已知命题，则为( )A． B．C．D．4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A．0.16 B．0.24C．0.96 D．0.045.已知p：|x|<2；q：x2－x－2<0，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于( )A．－10 B．－3C．0 D．－27．设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( ) A．22 B．8C．7 D．238．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.45 B．0.75C．0.6 D．0.89．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )A．30B．20C．15 D．1010. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,5411．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－212. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种B．36种C．42种D．60种二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.14.已知x，y的取值如下表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝1.46x＋，则实数的值为________．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)等于16.设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组研发新产品是否成功相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．18. (本小题满分12分)“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的众数和平均数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．附：K2＝，21.（本小题满分12分）已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在[－1,2]的最值．22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．奈曼旗实验中学2018--2019学年度（下）期末考试高二理科数学试卷出题人：秦绪钰(本试题卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)_20

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡书写作答，在试题上作答，答案无效。

3．考试结束，监考教师将答题卡收回。

第I卷（选择题共60分）—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的代号为A．B．C．D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知复数，若为纯虚数，则A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.【详解】由已知得：，所以解得：故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.2.焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案。

【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得。

解得。

所以双曲线的方程为，故答案选A。

【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上。

3.设，，若，则的最小值为A. B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。

【详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。

河南省天一大联考2018-2019学年下学期高二年级期末测试理科数学试题(解析版)

天一大联考2018-2019学年（下）高二年级期末测试理科数学一、选择题1.13ii-=-（） A.2155i - B.11105i + C.2551i + D.11105i - 【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()()()()13142213331055i i i i i i i i -+--===---+. 故选：A【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.2.已知集合{}21,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B ⊆，则实数x 的值是（）A .1-B. 1C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，将选项代入验证即可.【详解】由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈，经检验1x =符合题意，所以1x =. 故选：B【点睛】本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.3.给定下列两种说法：①已知,,a b c ∈R ，命题“若3a b c ++=，则2223a b c ++≥”的否命题是“若3a b c ++≠，则2223a b c ++<”，②“0x R ∃∈，使()00f x >”的否定是“x R ∀∈，使()0f x ≤”，则（） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①和②都错误 D. ①和②都正确【答案】D 【解析】【分析】根据否命题和命题的否定形式，即可判定①②真假. 【详解】①中，同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故①正确； ②中，特称命题的否定是全称命题，所以②正确，综上知，①和②都正确. 故选：D【点睛】本题考查四种命题的形式以及命题的否定，注意命题否定量词之间的转换，属于基础题. 4.已知2sin 2cos ,2k k Z παααπ⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（） A.43B. 1C.34D.23【答案】A 【解析】【分析】根据已知结合二倍角的正弦，求出tan α，再由二倍角的正切公式，即可求解, 【详解】由2sin 2cos αα=，得22sin cos cos ααα=. 又因2k παπ≠+，得1tan 2α=. 所以22tan 4tan 21tan 3ααα==-. 故选：A【点睛】本题考查三角函数求值、二倍角公式的应用，属于基础题.5.过抛物线22y px =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，其中点()02,A y ，且4AF =，则p =（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】【分析】由已知可得0p >，再由||22pAF =+，即可求出结论. 【详解】因为抛物线22y px =的准线为2px =-，点()02,A y 在抛物线上，所以0p >，||24,42pAF p ∴=+=∴=. 故选：C【点睛】本题考查抛物线的标准方程，应用焦半径公式是解题的关键，属于基础题. 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 4643π+B. 8643π+C. 16643π+D. 648π+【答案】B 【解析】【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体，由体积公式直接求解. 【详解】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体． ∴该几何体的体积V 3214223π=+⨯⨯⨯=6483π+．故选B ．【点睛】本题考查了正方体与圆锥的组合体的三视图还原问题及体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.某军工企业为某种型号新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布()21,3N ，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间()4,7内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A. 31.74%B. 27.18%C. 13.59%D. 4.56%【答案】C 【解析】【分析】根据已知可得1,3,2,4,25,27μσμσμσμσμσ==-=-+=-=-+=，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】()()()14757242P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：C【点睛】本题考查正态分布中两个量μ和σ的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题. 8.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（） ①若a α⊥，b β⊥，且α∥β，则a ∥b ； ②若a α⊥，b ∥β，且α∥β，则a b ⊥r r； ③若a ∥α，b β⊥，且αβ⊥，则a ∥b ；④若a α⊥，b β⊥，且αβ⊥，则a b ⊥r r.其中真命题的个数是（） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.【详解】由b β⊥且αβ∥，可得b α⊥，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；由于αβ∥，a α⊥，所以a β⊥，则a b ⊥r r，故②正确；若a 与平面,αβ的交线平行，则a b ⊥r r，故不一定有a b ∥，故③错误；设l αβ=I ，在平面β内作直线c l ⊥，αβ⊥，则c α⊥，又a α⊥，所以a c P ，,b c ββ⊥⊂，所以b c ⊥，从而有b a ⊥，故④正确.因此，真命题的个数是3. 故选：B【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.9.函数()112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】函数()f x 图象是由函数12x y =图象向左平移1个单位，做出函数12x y =的图象，即可求解. 【详解】作出函数1()01222x xx x y x ⎧≥⎪==⎨⎪<⎩的图象，如下图所示，将1 2xy=的图象向左平移1个单位得到()112xf x+⎛⎫= ⎪⎝⎭图象.故选：B【点睛】本题考查函数图象的识别、指数函数图象，运用函数图象平移变换是解题关键，属于基础题. 10.已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的一条渐近线方程为34y x=，P为该双曲线上一点，12,F F为其左、右焦点，且12PF PF⊥，1218PF PF⋅=，则该双曲线的方程为（）A.2213218x y-= B.2211832x y-= C.221916x y-= D.221169x y-=【答案】D【解析】【分析】设12(,0),(,0)F c F c-，根据已知可得34ba=，由12PF PF⊥，得到2221212PF PF F F+=，结合双曲线的定义，得出2122PF PF b⋅=，再由已知求出b，即可求解.【详解】设22c a b+，则由渐近线方程为34y x=，34ba=，又1222212122,,PF PF aPF PF F F⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，所以22212122221224,4.PF PF PF PF aPF PF c⎧+-⋅=⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得21224PF PF b ⋅=，而1218PF PF ⋅=，所以29b =，所以3b =，所以5c =，4a =，故双曲线的方程为221169x y -=. 故选：D【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题. 11.已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数，且636f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的解析式为（） A. ()1sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C .()sin 2f x x = D. ()1sin2f x x = 【答案】C 【解析】【分析】由函数在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数，得周期23T π≥，66f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出图像关于()0,0对称，可求出ϕ，63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解. 【详解】设()f x 的最小正周期为T ，()f x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，则266T ππ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，即23T π≥，由66f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知， ()f x 有对称中心()0,0，所以0ϕ=.由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且23T π≥，所以()f x 有对称轴12634x πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭. 故0444T ππ-==.解得T π=，于是2ππω=，解得2ω=，所以()sin 2f x x =. 故选：C【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题. 12.若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（） A. 2e B. 2eC.2eD.1e【答案】A 【解析】【分析】求出()f x '，()0f x '≤（或()0f x '≥）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出极值最小值，建立a 的关系式，求解即可. 【详解】()1f x a x'=-. （1）当0a ≤时，()0f x ¢<，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，4a e=（舍去）.（2）当0a >时，()1a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=.①当10a e <≤时，1e a≥，此时()0f x ¢<在(]0,e 上恒成立，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，解得4a e=（舍去）； ②当1a e >时，10e a <<.当10x a<<时，()0f x ¢<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x e a <<时，()0f x ¢>，所以()f x 在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，于是()min 11ln 3f x f a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =. 综上，2a e =. 故选：A【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题.二、填空题13.已知非零向量,a b r r 满足3a b =r r ，1cos ,2a b <>=r r ，且()a tab ⊥-r r r ，则实数t 的值为______.【答案】16【解析】【分析】由已知()a tab ⊥-r r r，根据垂直向量的关系和向量的数量积公式，建立关于k 的方程，即可求解.【详解】由3a b =r r ，又由()a tab ⊥-r r r，得()22239||||02a tab ta a b t b b ⋅-=-⋅=-=r r r r r r r r .||0b ≠r ，解得16t =.故答案为：16【点睛】本题考查向量垂直、向量的数量积运算，属于基础题.14.若612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为240，则实数a 的值为______.【答案】2± 【解析】【分析】求出612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，令x 的指数为0，求出常数项，建立a 的方程，即可求解.【详解】依题意612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为336216r r r r T C a x --+=.令3302r -=，得2r =，所以展开式中的常数项为246240C a =，解得2a =±.故答案为：2±【点睛】本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.15.已知,x y 满足约束条件0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =-的最大值为______.【答案】1 【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】约束条件0,23,23x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的可行域如图中阴影部分所示.由23,23x y x y +=⎧⎨+=⎩得()1,1P ，则目标函数2z x y =-过点()1,1P 时， z 取得最大值，max 211z =-=.故答案为：1【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b =22cos c a b A -=，则a c +的取值范围为______. 【答案】(3,23ùúû【解析】【分析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得B ，已知b ，由余弦定理和基本不等式，求出a c +的最大值，结合a c b +>，即可求解.【详解】由正弦定理及22cos c a b A -=，得2sin sin 2sin cos C A B A -=.因为()C A B π=-+，所以()2sin sin 2sin cos A B A B A +-=.化简可得()sin 2cos 10A B -=.因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =. 因为0B π<<，所以3B π=.由已知及余弦定理，得2223b a c ac =+-=，即()233a c ac +-=，因为0a >，0c >，所以()22332a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，得()212a c +≤，所以a c +≤，当且仅当a c ==.又因三角形任意两边之和大于第三边，所以a c +>a c <+≤故a c +的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.三、解答题17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1302n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 【答案】（1）42n a n =-；（2）225-【解析】【分析】（1）求出公差d ，根据通项公式即可求出42n a n =-；（2）由（1）可写出231n b n =-，则数列{}n b 是等差数列.根据通项公式求出使得0n b ≤的n 的最大值，再根据前n 项和公式求出n T （或根据前n 项和公式求出n T ，再根据二次函数求最值，求出n T 的最小值）.【详解】（1）方法一：由()1333182a a S +==，又因为12a =，所以310a =.所以数列{}n a 的公差31102422a a d --===，所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-.方法二：设数列的公差为d . 则3113322S a d =+⨯⨯. 32318d =⨯+=.得4d =.所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-.（2）方法一：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.n n -≤⎧⎨+->⎩解得293122n <≤. 因为*n N ∈，所以15n =.所以n T 的最小值为()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-. 方法二：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，所以数列{}n b 是首项为129b =-，公差为2的等差数列.所以()()22129230152252n n n T n n n n -=-+⨯=-=--. 所以当15n =时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值，最小值为15225T =-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力.18.“过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有,,A B C 三种品牌的店，其中A 品牌店50家，B 品牌店30家，C 品牌店20家.（Ⅰ）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这100家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有20家，则,B C 品牌的店各应抽取多少家？（Ⅱ）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的4个白球和6个红球.顾客可以一次性从盒中抽取3个球，若是3个红球则打六折（按原价的60%付费），2个红球1个白球打八折，1个红球2个白球则打九折，3个白球则打九六折.小张在该店点了价值100元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支付的费用为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）B 品牌店6家，应抽查C 品牌店4家；（Ⅱ）分布列见解析，()80.2E X =【解析】【分析】（1）根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；（2）求出随机变量X 的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解.【详解】（Ⅰ）由题意得，应抽查B 品牌店30206100⨯=家，应抽查C 品牌店20204100⨯=家；（Ⅱ）离散型随机变量X 的可能取值为60,80,90,96.于是()0346310201601206C C P X C ====，()12463104151801202C C P X C ⨯====， ()21463106639012010C C P X C ⨯====，()3046310419612030C C P X C ====. X 的分布列如下所以()11316080909680.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列和期望，求出随机变量的概率是解题关键，属于基础题.19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中90BAD ADC ∠=∠=o ，且2PA AD DC ===，4AB =，H 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AH PC ⊥；（Ⅱ）求CP 与平面AHC 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13【解析】【分析】（1）根据已知可得PA DC ⊥，可证DC ⊥平面PAD ，从而有DC AH ⊥，再由已知可得AH PD ⊥，可证AH ⊥平面PDC ，即可证明结论；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出,,,C D P H 坐标，再求出平面AHC 法向量坐标，根据空间向量的线面角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，所以PA DC ⊥.又因为AD DC ⊥，PA AD A ⋂=，所以DC ⊥平面PAD .又因为AH ⊂平面PAD ，所以DC AH ⊥.因为PA AD =，H 是PD 的中点，所以AH PD ⊥.又因为DC PD D ⋂=，所以AH ⊥平面PDC .而PC ⊂平面PDC ，所以AH PC ⊥.（Ⅱ）因为,,PA AD AB 两两垂直，所以以A 为原点， ,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()002P ,,，()4,0,0B ，()2,2,0C ， ()0,1,1H ，于是()2,2,2CP =--u u u r .设平面AHC 的一个法向量为(),,n x y z =r .()0,1,1AH =u u u r ，()2,2,0AC =u u u r .由0,0n AH n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得0,220.y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则1,1y x =-=，得()1,1,1n =-r .设CP 与平面AHC 所成的角为θ，则sin cos ,CP n CPn CP nθ⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ()()()222222222222111-++=-+-+⨯+-+213233==⨯. 故CP 与平面AHC 所成角的正弦值是13.【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求直线与平面所成的角，注意空间垂直间的相互转化，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为()2,0A ，定点()0,1P -，直线PA 与椭圆交于另一点31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）试问是否存在过点P 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，使得6PAM PBNS S ∆∆=成立？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，1y x =-或1y x =- 【解析】【分析】（1）由已知可得2a =，再将点31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程，求出b 即可；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由已知可得2PAPB=，结合6PAM PBN S S ∆∆=，可得3PM PN =，从而有123x x =-，验证MN 斜率不存在时是否满足条件，当MN 斜率存在时，设其方程为1y kx =-，与椭圆方程联立，根据根与系数关系，得出12,,x x k 关系式，结合123x x =-，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为()2,0A 知， 2a =.把B 点坐标31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得219144b+=. 解得23b =.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （Ⅱ）()3(1,),(0,1),222,0,A B P PA PB ---== 所以2PA PB =.由6PAM PBNS S ∆∆=，得1sin 2261sin 2PA PM APM PM PN PB PN BPN ⋅∠==⋅∠，即3PM PN=，所以3PM PN =-u u u u r u u u r .设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,1PM x y =+u u u u r ，()22,1PN x y =+u u u r ，所以123x x =-.①当直线MN 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，2PM PN ==+3PM PN =矛盾. ②当直线MN 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =-. 联立方程221,143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx +--=. 122843k x x k +=+，122843x x k -=+. 由123x x =-可得228243k x k -=+，2228343x k =+，即2224834343k k k -⎛⎫= ⎪++⎝⎭.整理得232k =.解得k =±综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为1y x =-或1y x =-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数()ln m f x x x=+. （Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()1f x m x ≥+-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；（Ⅱ）(],2-∞【解析】【分析】（1）求出()f x '，当1m =时，求出()0,()0f x f x ''><的解即可；（2）所求的问题为ln 10m x x m x ++--≥在[)1,+∞上恒成立，设()ln 1m g x x x m x=++--，[1,)x ∈+∞，注意(1)0g =，所以()g x 在[1,)x ∈+∞递增满足题意，若存在区间0[1,)x 递减，则不满足题意，对a 分类讨论，求出()g x 单调区间即可.【详解】（Ⅰ）当1m =时，()()1ln 0f x x x x =+>，则()22111x f x x x x-'=-=. 所以当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1.（Ⅱ）由()1f x m x ≥+-，得ln 10m x x m x ++--≥在[)1,+∞上恒成立.设()ln 1m g x x x m x =++--，则()22211m x x m g x x x x +-'=-+=. 设()()21h x x x m x =+-≥， ①当2m ≤时，()0h x ≥，则()0g x '≥在[)1,+∞上恒成立， ()g x 在[)1,+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=在[)1,+∞恒成立，所以当2m ≤时，ln 10m x x m x++--≥在[)1,+∞上恒成立； ②当2m >时，令()20h x x x m =+-=，得1x =或2x （舍去）.所以当11,2x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()g x 是11,2⎛-+ ⎝⎭上的减函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 是12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上的增函数.所以当11,2x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()10g x g ≤=. 因此当2m >时，ln 10m x x m x ++--≥不恒成立. 综上所述，实数m 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0r >）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos sin 30ρθθ--=.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为16，求实数r 的取值范围.【答案】（Ⅰ）C ：222x y r +=，l ：430x --=；（Ⅱ）12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数，得到曲线C 的普通方程，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=化直线l 为直角坐标方程；（2）与直线l 的距离为16的点在与l 平行且距离为16的两平行直线上，依题意只有一条平行线与圆C 相交，另一条平行线与圆相离，利用圆心到直线的距离与半径关系，即可求解.【详解】（Ⅰ）由曲线C 的参数方程cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0r >）消去参数ϕ，可得曲线C 的普通方程222x y r +=.cos x ρθ=，sin y ρθ=代入4cos sin 30ρθθ--=，得直线l 的直角坐标方程为430x --=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线l 的直角坐标方程为430x --=，曲线C 的直角坐标方程为222x y r +=，曲线C 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆，且原点到直线l12=.所以要使曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为16，则须11112626r -<<+，即1233r <<. 所以实数r 的取值范围是12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.23.已知函数()4f x x x =-+.（1）解关于x 的不等式()12f x <；（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+1(49R )f x t m t t ⎛⎫ +⎪⎝⎭≥--∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()4,8-；（2）(],21-∞-.【解析】【分析】（1）由题意()24,44,0442,0x x f x x x x -≥⎧⎪=≤<⎨⎪-<⎩，分类讨论即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()min f x ，利用基本不等式求出()max 149t t ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--，利用恒成立问题的解决办法即可得解. 【详解】（1）由题意()24,444,0442,0x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+=≤<⎨⎪-<⎩，则不等式()12f x <可转化为04212x x <⎧⎨-<⎩或04412x ≤<⎧⎨<⎩或42412x x ≥⎧⎨-<⎩，整理可得48x -<<，故不等式()12f x <的解集为()4,8-.（2）由于()444x x x x -+≥--=，当04x ≤≤时，等号成立；而()1444919363793725t t t t t t ⎛⎫--=--+=-+≤-= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当49t t =，即249t =，23t =时，等号成立. 要使不等式()()1449R x x t m t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭-+≥--+∈恒成立，则254m +≤，解得21m ≤-，实数m 的取值范围为(],21-∞-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.。

河南省创新发展联盟2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

河南省创新发展联盟2018-2019学年下学期期末考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|13}A x x =-<，集合2{|log (2)}B x y x ==-，则AB =（）A ．{|24}x x -<≤B ．{|24}x x -<<C ．{|24}x x <<D ．{|34}x x -≤≤ 2.已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.已知等差数列{}n a 中，11a =，358a a +=，则237a a a ++=（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4.已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，2b =，则32a b -=（）A ．13B ．11 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8π+B ．203π+C ．82π+D ．243π+6.电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到6组数据11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，44(,)x y ，55(,)x y ，66(,)x y .根据收集到的数据可知10x =，由最小二乘法求得回归直线方程为 1.3 5.2y x =+，则123456y y y y y y +++++=（）A ．50.5B ．45.5C ．100.2D ．109.27.执行如图所示的程序框图，当输出S 的值为6-时，则输入的0S =（）A ．7B ．8C ．9D ．108.若变量x ，y 满足约束条件211y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1x y x ++的取值范围是（）A ．11[,]22- B ．13[,]22C ．11(,][,)22-∞-+∞D ．13(,][,)22-∞+∞9.已知二项式8(8ax +的展开式的第二项的系数为333a x dx -=⎰（）A ．60-B ．73 C ．60-或73 D ．30或103- 10.已知函数()f x 的定义域为R ，且函数(2)3sin y f x x =+的图象关于y 轴对称，函数(2)3cos y f x x =+的图象关于原点对称，则()3f π=（）A ．BC11.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>过2)A ，(2)B -两点，点P 为该双曲线上除点A ，B 外的任意一点，直线PA ，PB 斜率之积为4，则双曲线的方程是（）A ．22134x y -=B ．22148x y -=C ．22136x y -=D ．221520x y -=12.已知函数()ln 2sin f x x a x =-在区间[,]64ππ上是单调递增函数，则a 的取值范围为（）A ．(,π-∞ B ．(-∞ C ．(-∞ D ．)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知直线32170x y -+=与直线230x my --=互相垂直，则m = ．14.已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率是． 15.若0x >，0y >，且224log 3log 9log 81x y+=，则213x y+的最小值为．16.已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，AC =1BC =，cos ACB ACB ∠=∠，2AD =，则球O 的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数22()cos sin cos f x x x x x =-+()x R ∈.（1）求()3f π的值；（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在3[,]68ππ上的最大值和最小值.18.某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中女性中对该事件关注的占2，而男性有10人表示对该事件没有关注.（1）根据以上数据补全22⨯列联表；（2）能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？（3）已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率.附表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，已知AC EC ⊥，2AB AF BC ===，4AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒.（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ；（2）求直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值.20.已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的焦点弦的弦长为1F 的直线l 交椭圆M 于G ，H 两点，且2GHF ∆的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线1l ，2l 互相垂直，直线1l 过1F 且与椭圆M 交于点A ，B 两点，直线2l 过2F 且与椭圆M 交于C ，D 两点.求11AB CD+的值. 21.已知函数()ln xf x ax x=-. （1）当0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(2,)+∞上是减函数，求a 的最小值；（3）证明：当0x >时，213ln 4x x e x >-. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为3x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求C 的直角坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(3,0)P ，求PA PB +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()42f x x x =++-的最小值为n . （1）求n 的值；（2）若不等式4x a x n -++≥恒成立，求a 的取值范围.河南省创新发展联盟2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CDCCA 6-10: DBBAA 11、12：DA二、填空题 13. 32-14. 28π三、解答题17.解：（1）22()cos sin cos f x x x x x =-+cos 22x x =+2sin(2)6x π=+，则2()2sin()1336f πππ=+=.（2）函数()f x 平移后得到的函数()2sin(2)6g x x π=-，由题可知3[,]68x ππ∈，72[,]6612x πππ-∈. 当266x ππ-=即6x π=时，()g x 取最小值1，当262x ππ-=即3x π=时，()g x 取最大值2.18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表（2）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2100(45151030)55457525k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1003.030 2.70633=≈>.所以有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”.（3）抽取的3人中至少有2人对此事关注的概率为32166431023C C C C +=. 所以，至少有2人对此事关注的概率为23. 19.（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，2AB AF BC ===，//BC AM ，由四边形ABCM 为平行四边形，可知12CM AD =，在ACD ∆中，有90ACD ∠=︒，∴AC DC ⊥. 又AC EC ⊥，DCEC C =，∴AC ⊥平面CDE ，∵ED ⊂平面CDE ，∴DE AC ⊥. 又DE AD ⊥，ADDE D =，∴DE ⊥平面ABCD .∵DE ⊂平面ADEF ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF .（2）解：由（1）知平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图，取AD 的中点为O ，建立空间直角坐标系，B，(C -，(2,4,0)E -，(2,0,0)A ，(3,0,CA =，(4,4,0)AE =-，(3,4,BE =-.设平面CAE 的法向量(,,)n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30440x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3)n =.故直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值sin ,BE n BE n BE n⋅<>===20.解：（1）将x c =代入22221x y a b +=，得2b y a=，所以22b a =. 因为2GHF∆的周长为4a =，a =将a =22b a =24b =，所以椭圆M 的方程为22184x y +=. （2）（i ）当直线AB 、直线CD 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=--.由22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(21)8880k x k x k +++-=.由韦达定理得2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，所以，AB =221)21k k +=+.同理可得CD =.211AB CD +=28=. （ii ）当直线AB的斜率不存在时，AB =，CD =，118AB CD +=. （iii ）当直线AB 的斜率为0时，AB =，CD =，118AB CD +=.综上，11AB CD +=21.解：函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，（1）函数2ln 1'()(ln )x f x x -=，当0x e <<且1x ≠时，'()0f x <；当x e >时，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，(1,)e ，单调递增区间是(,)e +∞.（2）因()f x 在(2,)+∞上为减函数，故2ln 1'()0(ln )x f x a x -=-≤在(2,)+∞上恒成立. 所以当(2,)x ∈+∞时，max '()0f x ≤. 又22ln 111'()()(ln )ln ln x f x a a x x x -=-=-+-2111()ln 24a x =--+-，故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1'()4f x a =-.所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14. （3）问题等价于223ln 4x x x x e >-.令2()ln m x x x =，则'()2ln (2ln 1)m x x x x x x =+=+，当12x e -=时，2()ln m x x x =取最小值12e-. 设23()4x x h x e =-，则(2)'()xx x h x e-=-，知()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减. ∴max 243()(2)4h x h e ==-， ∵22143314()2442e e e e ---=--2223216(38)(2)044e e e e e e ---+==>， ∴minmax ()()m x h x >，∴223ln 4x x x x e >-，故当0x >时，231ln 04xx x e +->. 22.解：（1）由2sin 4cos ρθθ=，得22sin 4cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为24y x =.l的直角坐标方程y =-.（2）将直线l的参数方程化为标准形式132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入24y x =，并整理得238480t t --=，1216t t =-，1283t t +=.所以123PA PB t t +=-==. 23.解：（1）22,2()426,4222,4x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪--<-⎩，所以最小值为6，即6n =.（2）由（1）知6n =，46x a x -++≥恒成立，由于4()(4)4x a x x a x a -++≥--+=+，等号当且仅当()(4)0x a x -+≤时成立，故46a +≥，解得2a ≥或10a ≤-. 所以a 的取值范围为(,10][2,)-∞-+∞.。

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一、选择题：本大题共2018-2019 学年度河南创新发展联盟高二期末考试数学（理科）第Ⅰ卷12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集运算可得到解。

详解：解绝对值不等式，得；由对数函数的真数大于 0，得根据集合的运算得所以选 C点睛：本题考查了解绝对值不等式，对数函数的定义域，集合的基本运算，是基础题。

2. 已知复数满足方程，复数的实部与虚部和为，则实数（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】分析：由复数的运算，化简得到z，由实部与虚部的和为1，可求得的值。

详解：因为所以因为复数的实部与虚部和为即所以所以选 D点睛：本题考查了复数的基本运算和概念，考查了计算能力，是基础题。

3. 已知等差数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】分析：根据等差数列的通项公式，可求得首项和公差，然后可求出值。

详解：数列为等差数列，，，所以由等差数列通项公式得，解方程组得所以所以选 C点睛：本题考查了等差数列的概念和通项公式的应用，属于简单题。

（）4. 已知平面向量，的夹角为，且，，则A. B. C. D.【答案】 C【解析】分析：根据向量的运算，化简，由向量的数量积定义即可求得模长。

详解：平面向量数量积，所以所以选 C点睛：本题考查了向量的数量积及其模长的求法，关键是理解向量运算的原理，是基础题。

5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】分析：由三视图，可画出立体空间结构图，由半个圆柱与正方体组成的组合体，因而求得体积。

详解：根据三视图，画出空间结构体如图所示则所以选 A点睛：本题考查了空间结构体的三视图和体积求法。

关键是能够利用所给三视图还原空间图，根据其结构特征求得体积，是基础题。

6. 电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到组数据，，，，，. 根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】分析：根据回归直线方程经过的性质，可代入求得，进而求出的值。

详解：由，且可知所以所以选 D点睛：本题考查了回归直线方程的基本性质和简单的计算，属于简单题。

7. 执行如图所示的程序框图，当输出的值为时，则输入的（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】分析：根据循环结构的特征，依次算出每个循环单元的值，同时判定是否要继续返回循环体，即可求得S 的值。

详解 :因为当不成立时，输出，且输出所以所以所以选 B点睛：本题考查了循环结构在程序框图中的应用，按照要求逐步运算即可，属于简单题。

8. 若变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】 B【解析】分析：根据题意，将化简成斜率的表达形式；所以就是求可行域内与连线斜率的取值范围加 1, 。

详解：，原式表示可行域内的点与连线的斜率加1。

由不等式组成的可行域可表示为：由图可知，斜率最小值为斜率最大值为所以斜率的取值范围为所以所以选 B点睛：本题考查了斜率的定义，线性规划的简单应用。

关键是掌握非线性目标函数为分式型时的求法，属于中档题。

9. 已知二项式的展开式的第二项的系数为，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】 A【解析】分析：根据第二项系数，可求出进而通过微积分基本定理求得定积分值。

详解：展开式的第二项为所以系数，解得所以；由定积分基本性质，求其原函数为，所以选 A点睛：本题考查了二项式定理和微积分基本定理的综合应用，通过方程确定参数的取值，综合性强，属于中档题。

10. 已知函数的定义域为，且函数的图象关于轴对称，函数的图象关于原点对称，则（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】分析：根据奇函数与偶函数的定义，可求得函数的解析式；根据解析式确定’值。

详解：令，则，因为为偶函数所以（ 1）的，因为为奇函数所以（ 2）（ 1） - （ 2）得（3），令代入得（4）由（ 3）、（ 4）联立得代入得所以所以所以选 A点睛：本题考查了抽象函数解析式的求解，主要是利用方程组思想确定解析式。

方法相对比较固定，需要掌握特定的技巧，属于中档题。

11. 已知双曲线过，两点，点为该双曲线上除点，外的任意一点，直线，斜率之积为，则双曲线的方程是（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】分析：根据两条直线斜率之积为定值，设出动点P 的坐标，即可确定解析式。

详解：因为直线，斜率之积为，即，设 P（）则，化简得所以选 D点睛：本题考查了圆锥曲线的简单应用，根据斜率乘积为定值确定动点的轨迹方程，属于简单题。

12. 已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】分析：由函数在区间上是单调递增函数，得，进而分离参数得；构造函数，研究函数的值域特征，进而得到的单调性，最后求得的取值范围。

详解：因为在区间上是单调递增函数所以，而在区间上所以，即令，则分子分母同时除以，得令，则在区间上为增函数所以所以在区间上恒成立即在区间上恒成立所以函数在区间上为单调递减函数所以所以选 A点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，分离参数、构造函数法在解决单调性、最值问题中的应用，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。

第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在答题卡中的横线上 .13. 已知直线与直线互相垂直，则__________．【答案】【解析】分析：由两条直线互相垂直，可知两条直线的斜率之积为-1 ，进而求得参数m的值。

详解：斜率为直线斜率为两直线垂直，所以斜率之积为-1 ，即所以点睛：本题考查了两条直线垂直条件下斜率之间的关系，属于简单题。

14. 已知是与的等比中项，则圆锥曲线的离心率是 __________．【答案】或【解析】分析：根据等比中项，可求出m的值为；分类讨论m的不同取值时圆锥曲线的不同，求得相应的离心率。

详解：由等比中项定义可知所以当时，圆锥曲线为椭圆，离心率当时，圆锥曲线为双曲线，离心率所以离心率为或2点睛：本题考查了数列和圆锥曲线的综合应用，基本概念和简单的分类讨论，属于简单题。

15. 若，，且，则的最小值为 __________．【答案】【解析】分析：由对数运算和换底公式，求得的关系为，根据基本不等式确定详解：因为，所以，所以，即所以当且仅当，即，此时时取等号所以最小值为点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“求最值，综合性强，属于中档题。

16. 已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，1”的代换联系基本不等式平面，，，，，则球的表面积为__________．【答案】【解析】分析：根据三棱锥的结构特征，求得三棱锥外接球半径，由球表面积公式即可求得表面积。

详解：由，根据同角三角函数关系式得，解得所以，因为，，由余弦定理代入得所以△ ABC为等腰三角形，且，由正弦定理得△ ABC 外接圆半径R 为，解得设△ ABC外心为则在中在中解得，，过作所以外接球面积为点睛：本题综合考查了空间几何体外接球半径的求法，通过建立空间模型，利用勾股定理求得半径；结合球的表面积求值，对空间想象能力要求高，综合性强，属于难题。

三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17～21 题为必考题，每道试题考生都必须作答. 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分 .17. 已知函数. （ 1）求的值；（ 2）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值 .【答案】（ 1） 1, （ 2）最小值，最大值 .【解析】分析：（ 1）由降幂公式化简表达式，得，利用辅助角公式化简三角函数式，最后代入求解。

（ 2）根据三角函数平移变换，得到平移后解析式为，利用整体思想求得取值范围；进而得到的最大值与最小值。

详解：（ 1），则.（ 2）函数平移后得到的函数，由题可知，.当即时，取最小值，当即时，取最大值 .点睛：本题综合考查了二倍角公式、降幂公式在三角函数化简中的应用，三角函数平移变换及在某区间内最值的求法，知识点综合性强，属于简单题。

18. 某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了人进行调查，其中女性中对该事件关注的占，而男性有人表示对该事件没有关注.关注没关注合计男女合计（ 1）根据以上数据补全列联表；（ 2）能否有的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？（ 3）已知在被调查的女性中有名大学生，这其中有名对此事关注. 现在从这名女大学生中随机抽取人，求至少有人对此事关注的概率.附表：【答案】（ 1）见解析（ 2）有的把握认为“对事件是否关注与性别有关”（3）【解析】分析：（1）由题意，补全列联表。

（ 2）由列联表，根据求得，结合临界值表即可判断把握性。

（3）根据独立事件的概率，求得 3 人中至少有 2 人关注此事的概率即可。

详解：（1）根据已知数据得到如下列联表关注没关注合计男女合计（ 2）根据列联表中的数据，得到的观测值.所以有的把握认为“对事件是否关注与性别有关”.（ 3）抽取的人中至少有人对此事关注的概率为.所以，至少有人对此事关注的概率为 .点睛：本题综合考查了列联表及其独立性检验中的求法，并根据临界值表对所得结果进行判断；根据事件的独立性，求得相应的概率，考查知识点多，总体难度不大，属于简单题。

19. 如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，.（ 1）证明：平面平面；（ 2）求直线与平面所成角的正弦值 .【答案】（ 1）见解析（ 2）【解析】分析：（ 1）通过取 AD中点 M，连接CM，利用，得到直角；再利用可得；而, DE平面 ADEF，所以可得面面垂直。

（ 2）以 AD中点 O建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面CAE与直线 BE向量，根据直线与法向量的夹角即可求得直线与平面夹角的正弦值。

详解：（1）证明：取的中点，连接，，，由四边形为平行四边形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面. ∵平面，∴平面平面.（ 2）解：由（ 1）知平面平面，如图，取的中点为，建立空间直角坐标系，，，，，，，.设平面的法向量，则，即，不妨令，得.故直线与平面所成角的正弦值.点睛：本题考查了空间几何体面面垂直的综合应用，利用法向量法求线面夹角的正弦值，关键注意计算要准确，属于中档题。

20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的焦点弦的弦长为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为.（ 1）求椭圆的方程；（ 2）已知直线，互相垂直，直线过且与椭圆交于点，两点，直线过且与椭圆交于，两点 . 求的值 .【答案】（ 1）（ 2）【解析】分析：（1）根据周长确定，由通径确定，求得，因而确定椭圆的方程。