求函数f(x)周期的几种常见方法解读
高中数学解题方法系列：三角函数周期问题的3种方法
=（sin2 x+ cos2 x）（sin4 x-sin2 x·cos2 x+ cos4 x） =( sin2 x+ cos2 x)2-3 sin2 x·cos2 x =1-3 sin2 x·cos2 x =1- 3 sin22 x
cos x cos 3x
2．公式法： （1）如果所求周期函数可化为 y=Asin（x ）、y=Acos（x ）、
ｙ＝tg（x ）形成（其中 A、 、 为常数，且 A 0、 ＞0、 R）， 则可知道它们的周期分别是： 2 、 2 、 。
例 4：求函数 y=1-sinx+ 3 cosx 的周期
2
例 12：求函数 y=sin2x+sin3x 的周期
解：∵sin2x
的周期为
T1=
，sin3x
的周期为
T2=
2 3
而 T1
T2
=
3 2
，即是
T=2T1=3T2，
∴y=sin2x+sin3x 的周期为 T=2T1=2
例 13：求函数 y=cos x +sin x 的周期
3
4
解：∵cos x 的周期为 T1=6 ，sin x 的周期为 T2=8
的周期为 T=P2T1=P1T2，其中 P1、P2N，且（P1、P2）=1
事实上，由 T1
T2
P1 （既约分数），得 T=
P2
P2T1=P1T2
∵f（x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2） =f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2） = f1（x）+ f2（x） =f（x）
高中数学周期函数、公式总结、推导、证明过程
高中数学涉及周期的公式，例题，证明12以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。
解周期问题，两种方法：1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。
1. 已知f(X)是R 上不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x +1)=(x +1)f(x)，则f [f (52)]= 解：令x=0，f(0)=0; 令x =−12，f (−12)=0； 令x =12，f (32)=0； 令x =32，f (52)=0； ∴ f [f (52)]=f (0)=02. 定义在R 上的函数f(x)满足f (x )={log 2(1−x ),x ≤0f (x −1)−f (x −2),x >0，则f(2009)=解：整理f (x )=f (x −1)−f (x −2)， 得到f (x −1)=f (x )+f (x −2)令x=x+1得到，f (x )=f (x +1)+f (x −1)由公式6知道周期为6，即f (x +6)=f(x)，x>0 f(2009)=f (334×6+5)=f(5)。
由公式f (x )=f (x −1)−f (x −2)得f(5)=f(4)−f(3)=(f(3)−f(2))−f(3)=−f(2)=−(f(1)−f(0))=−((f(0)−f(−1))−f(0))=f(−1)=0，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y),x,y∈R，则f(2010)=3.已知函数f(x)满足f(1)=14思路：消元和赋值。
令x=x,y=1，则f(x)=f(x+1)+f(x−1)，根据公式6知道，f(x+6)=f(x)，∴f(2010)=f(335×6)=f(0)。
令y=0，则4f(x)f(0)=2f(x)，∵ x不恒为零，∴f(0)=12∴f(2010)=1。
2下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。
寻找函数的规律高中数学函数问题的解题方法
寻找函数的规律高中数学函数问题的解题方法寻找函数的规律—高中数学函数问题的解题方法在高中数学中，函数问题是一个重要的学习内容。
寻找函数的规律是解决函数问题的关键，下面将介绍一些解题方法，帮助同学们更好地理解和解决函数问题。
1. 列表法列表法是寻找函数规律的常见方法之一。
通过将自变量和函数值列成表格，观察函数值与自变量之间的关系，推断出函数的规律。
举个例子，考虑一个函数f(x) = 2x + 1，要求列出x从1到5的函数值。
我们可以使用列表法解决这个问题：x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |f(x)| 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |通过观察列表中的数字，我们可以发现f(x)的值始终比x的值大2，并且函数值与自变量之间存在线性关系。
因此，可以总结出函数f(x)的规律为：f(x) = 2x + 1。
2. 图像法图像法是寻找函数规律的另一种常用方法。
通过绘制函数的图像，观察图像的形状和趋势，推断出函数的规律。
以函数f(x) = x^2为例，我们可以绘制出其图像。
通过观察图像，我们可以看到函数图像为一个开口朝上的抛物线，顶点位于原点，曲线向右开口。
这个图像可以帮助我们理解函数f(x)的规律：随着x值的增加，f(x)的值也在增加，增加的速度越来越快。
3. 代数法代数法通常适用于一些具体的函数问题，通过代数表达式推导出函数的规律。
考虑函数f(x) = 3x + 2和g(x) = 2x + 4，现在需要比较f(x)和g(x)的大小。
我们可以通过代数法解决这个问题。
将f(x)和g(x)相减得到一个新的函数h(x) = f(x) - g(x)，化简后得到h(x) = x - 2。
这个代数表达式告诉我们，当x大于2时，h(x)的值为正数，也就是f(x)大于g(x)；当x小于2时，h(x)的值为负数，也就是f(x)小于g(x)；而当x等于2时，h(x)的值为0，也就是f(x)等于g(x)。
通过代数法，我们可以比较两个函数的大小，并得到函数规律：当x大于2时，f(x)大于g(x)；当x小于2时，f(x)小于g(x)；当x等于2时，f(x)等于g(x)。
求函数f(x)周期的几种常见方法解读
求函数f(x)周期的几种常见方法函数的周期性是函数的一个重要性质．对一般函数f(x)的周期，不少中学生往往不知从何入手去求．为了加深对函数f(x)周期概念的理解，本文以实例来说明求函数f(x)周期的几种常见方法，供读者参考．1 定义法根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期的方法称为定义法．(1)∴f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与a无关，这时周期T应取决于a，假设T能被a整除，就分别试算f(x＋2a)，f(x＋3a)，f(x＋4a)，…，当出现f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式时，就可知T是f(x)的周期．周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由．(1)∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a](2)∴f(x)为周期函数，3a是它的周期．2 特殊值法当题设条件中有f(m)＝n(m，n为常数)时，常常以此条件为突破口，采用特殊值法解即可奏效．f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．3 变量代换法例4设函数f(x)在R上有定义，且对于任意x都有f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996)，试判断f(x)是否周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996) (x∈R)中，以x代x ＋1995，得f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)；(1)在(1)中以x＋1代x，得f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)．(2)(1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0，∴f(x－1)＝－f(x＋2)．(3)在(3)中以x＋1代x，得f(x)＝－f(x＋3)；(4)在(4)中以x＋3代x，得f(x＋3)＝－f(x＋6)．(5)将(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期．4 递推法f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．(1)在(1)中以x＋2代x，得f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)．(2)(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0，∴f(x)＝－f(x＋6)．(3)在(3)中以x＋6代x，得f(x＋6)＝－f(x＋12)．(4)(4)代入(3)，得f(x＋12)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，12是它的一个周期．5 消去法例6若函数f(x)定义在R上，且对一切实数x，都有f (5＋x)＝f (5－x)，f (7＋x)＝f (7－x)，试判断f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x代x，得f(x)＝f(10－x)；(1)在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x代x，得f(x)＝f(14－x)．(2)由(1)和(2)，得f(10－x)＝f(14－x)．(3)在(3)中以10－x代x，得f(x＋4)＝f(x)．∴f(x)是周期函数，4为它的一个周期．6 结构类比法f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解：可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，且2π是它的一个周期．下面进行证明：于是f(x＋2π)＝f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．7 公式法例8已知y＝f(x)(x∈R)的图象是连续的曲线，且f(x)不为常数，f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称(a＜b)．(1)求证：f(x)＝f(2a－x)，f(x)＝f(2b－x)；(2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期．证明(1)∵ f(x)的图象关于直线x＝a对称，且图象连续，不是平行于x轴的直线，∴设P(x，y)为曲线上任一点，点P关于x＝a的对称点P'的坐标为P'(x'，y'),同理可证 f(x)＝f(2b－x)．解(2)由(1)可知，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)，∴f(2a－x)＝f(2b－x)，以x代2a－x，得f[x＋(2b－2a)]＝f(x)．∵a＜b，2b－2a＞0且为常数，∴f(x)是周期函数，2b－2a为它的周期．由例8可得到如下的定理若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a＜b)对称，且在这两条直线之间再无对称轴，那么f(x)是周期函数，2b －2a为它的周期．此定理可当作一个公式用，如例6中函数f(x)的周期为－＝4．。
函数的奇偶性与周期性专题题型讲解与例题突破
考纲解读 1.根据函数奇偶性定义和图象判断简单函数的奇偶性；2.根据函数奇偶性求函数值、求参数、解与函数有关的不等式；3.综合应用函数的周期性、奇偶性、单调性、求解抽象函数问题．[基础梳理]1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．[三基自测]1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案：A2．函数f (x )＝1－x1＋x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 答案：D3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x | 答案：D4．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝__________. 答案：05．(必修1·第一章复习参考题改编)函数f (x )＝4x 2－kx －8为偶函数，则k 为________．[考点例题]考点一 函数奇偶性的判断|易错突破[例1] (1)(2018·肇庆模拟)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则f (x )＝2⊕x2－(x ⊗2)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数[解析] (1)y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.(2)因为2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝(x －2)2， 所以f (x )＝4－x 22－(x －2)2＝4－x 22－|2－x |，该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2x ，且满足f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是奇函数． [答案] (1)B (2)A [易错提醒]1．函数f (x )＝lg(x ＋1)＋lg(x －1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0x －1＞0，知x ＞1，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．答案：C2．函数f (x )＝x 2－1＋1－x 2，则f (x )为( ) A ．奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． 答案：C考点二 函数的周期性|方法突破[例2] (1)函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 018)＝__________.(3)函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为__________．[解析] (1)∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )为偶函数．∵f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )的周期为π.故选C. (2)∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. (3)∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称， ∴f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 故f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，∴f (2 016)＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 016＋2)＝f (2 016)－f (2 016)＝0， ∴f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4. [答案] (1)C (2)－2 (3)4 1．求函数周期的方法 [方法提升](1)函数f (x )满足f (a ＋x )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a 的函数； (2)若f (x ＋a )＝±1f (x )(a ≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2a ； (4)若f (x ＋a )＝1－f (x )1＋f (x )，则T ＝4a .[母题变式]将本例(3)改为已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解析：由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2<2.5<3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. [答案] 2.5考点三 函数奇偶性、周期性应用|模型突破角度1 求函数解析式[例3] (1)函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.[解析] ∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0， f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)， ∴f (x )＝－－x －1. [答案] －－x －1(2)f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝e x ，求f (x )和g (x )的解析式． [解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝e x ，① 得f (－x )＋g (－x )＝e －x ， 即－f (x )＋g (x )＝e －x .②由①＋②得g (x )＝e x ＋e －x 2，①－②得f (x )＝e x －e －x 2.[模型解法]角度2 求参数值[例4] 若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.[解析] 法一：∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k ， ∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ). 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1，∴k ＝±1. 法二：f (x )为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0， ∴k －21＋2k＋k －121＋k 2＝0，即k 2＝1，∴k ＝±1.[答案] ±1 [模型解法]角度3 求函数值[例5] 已知f (x )＝22x＋1＋sin x ，则f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)的值是__________．[解析] 因为f (x )－1＝1－2x1＋2x ＋sin x 是奇函数，所以f (－x )－1＝－[f (x )－1]＝1－f (x )，故f (－x )＋f (x )＝2，且f (0)＝1，所以f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (－4)＋f (4)]＋[f (－3)＋f (3)]＋[f (－2)＋f (2)]＋[f (－1)＋f (1)]＋f (0)＝2×4＋1＝9.[答案] 9[模型解法][高考类题]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝__________.解析：依题意得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f (x )是奇函数，得f (2)＝－f (－2)＝12.答案：122．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x ，解得a ＝1.答案：1[真题感悟]1.[考点一](2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在R 上是增函数 B ．是奇函数，且在R 上是增函数 C ．是偶函数，且在R 上是减函数 D ．是奇函数，且在R 上是减函数解析：由f (－x )＝⎝⎛⎭⎫13x－3x＝－f (x )，知f (x )为奇函数，因为y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数，又y ＝3x 在R 上是增函数，所以函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数，故选B.答案：B2.[考点二、三](2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.答案：D3.[考点一](2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.答案：C4.[考点三](2015·高考山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x ＝－2x ＋12x－a ，即1－a ·2x ＝－2x＋a ，化简得a ·(1＋2x)＝1＋2x，所以a ＝1，f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.答案：C5.[考点二、三](2017·高考山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝__________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6.答案：6。
函数的周期性有哪些公式呢？
函数的周期性有哪些公式呢？
一、函数的周期性：
设函数 f（x）在区间 X 上有定义，若存在一个与 x 无关的正数 T , 使对于任一x∈X,恒有 f（x+T）= f（x）
则称f（x）是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数 f（x）的周期。
二、周期函数的运算性质：
①若T为f（x）的周期，则f（ax+b）的周期为 T/|a| 。
②若f(x)，g(x)均是以T为周期的函数，则f(x)±g(x)也是以T为周期的函数。
③若f(x)，g(x)分别是以T1，T2，T1≠T2为周期的函数，则f(x)±g(x)是以T1，T2的最小公倍数为周期的函数。
三、常见的周期函数有：
sinx，cosx，其周期T=2π；
tanx，cotx,|sinx|,|cosx|，其周期T=π。
解题提示：判别给定函数f（x）是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质。
四、例题：
设对一切实数x，有f（1/2 + x）= 1/2 + √【f(x)- f^2(x)】,则f （x）是周期为多少的周期函数？
解：f【1/2 +（1/2 + x）】= 1/2 + √【f(1/2 + x)- f^2(1/2 + x)】
=1/2 + √【1/4 - f(x) + f^2(x)】= 1/2 + 【 f(x) - 1/2】
= f(x),(由题设f(x)≥1/2)
即 f(1+x) = f(x) ,故可知f(x)的周期为1 。
高中数学函数周期性总结
（ 4） y f ( x 3) 与 y f (3 x) 的图象关于直线 x 3 对称。
其中正确命题的序号为
。
11、若 f ( x) 为定义在 R 上的函数， 且 f (10 x) f (10 x) ， f (20 x) f (20 x) ，则 f ( x) 为（
）
A． 奇函数且周期函数；
B.
奇函数且非周期函数；
f(x)=C(C 为常数 ) 是周期函数吗？有最小正周期吗？ 三、抽象函数的周期总结
1、 f ( x T ) f ( x)
y f (x) 的周期为 T
2、 f ( x a) f (b x) (a b)
y f (x) 的周期为 T b a
3、 f ( x a) f (x)
y f ( x) 的周期为 T 2a
(C)1
(D)2
4、定义在 R 上的函数 f ( x) ，给出下列四个命题：
（ 1）若 f ( x) 是偶函数，则 f ( x 3) 的图象关于直线 x 3 对称
（ 2）若 f ( x 3) f (3 x), 则 f (x) 的图象关于点 (3,0) 对称
（ 3）若 f ( x 3) = f (3 x) ，且 f (x 4) f (4 x) ，则 f ( x) 的一个周期为 2。
11 、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0)
y f (x) 周期 T 2(b a)
12 、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) y f (x) 周期 T 4(b a)
13 、奇函数 y f ( x) 满足 f (a x) f (a x)
y f ( x) 周期 T 4a 。
f (x)
f ( x)
角函数周期的几种求法
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1．定义法：定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （332π+x ）的周期解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π）=3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]= f （x+3π）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin （332π+x ）的周期是T=3π。
例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π） = cos 6x +sin 6x= f （x ）∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π例3：求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x=x cox xx 3cos 3sin sin ----=xx x x 3cos cos 3sin sin ++ = f （x ）∴求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
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求函数f(x)周期的几种常见方法
函数的周期性是函数的一个重要性质．对一般函数f(x)的周期，不少中学生往往不知从何入手去求．为了加深对函数f(x)周期概念的理解，本文以实例来说明求函数f(x)周期的几种常见方法，供读者参考．
1 定义法
根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期的方法称为定义法．
(1)
∴f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与a无关，这时周期T应取决于a，假设T能被a整除，就分别试算f(x＋2a)，f(x＋3a)，f(x＋4a)，…，当出现f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式时，就可知T是f(x)的周期．
周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由．
(1)
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]
(2)
∴f(x)为周期函数，3a是它的周期．
2 特殊值法
当题设条件中有f(m)＝n(m，n为常数)时，常常以此条件为突破口，采用特殊值法解即可奏效．
f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．
∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．
3 变量代换法
例4设函数f(x)在R上有定义，且对于任意x都有f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996)，试判断f(x)是否周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．
解在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996) (x∈R)中，以x代x ＋1995，得
f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)；
(1)
在(1)中以x＋1代x，得
f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)．
(2)
(1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0，
∴f(x－1)＝－f(x＋2)．
(3)
在(3)中以x＋1代x，得
f(x)＝－f(x＋3)；
(4)
在(4)中以x＋3代x，得
f(x＋3)＝－f(x＋6)．
(5)
将(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)．
∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期．
4 递推法
f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．
(1)
在(1)中以x＋2代x，得
f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)．
(2)
(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0，
∴f(x)＝－f(x＋6)．
(3)
在(3)中以x＋6代x，得
f(x＋6)＝－f(x＋12)．
(4)
(4)代入(3)，得f(x＋12)＝f(x)．
∴f(x)为周期函数，12是它的一个周期．
5 消去法
例6若函数f(x)定义在R上，且对一切实数x，都有f (5＋x)＝f (5－x)，f (7＋x)＝
f (7－x)，试判断f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．
解在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x代x，得
f(x)＝f(10－x)；
(1)
在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x代x，得
f(x)＝f(14－x)．
(2)
由(1)和(2)，得
f(10－x)＝f(14－x)．
(3)
在(3)中以10－x代x，得f(x＋4)＝f(x)．
∴f(x)是周期函数，4为它的一个周期．
6 结构类比法
f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．
解：
可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，且2π是它的一个周期．下面进行证明：
于是f(x＋2π)＝f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)．
∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．
7 公式法
例8已知y＝f(x)(x∈R)的图象是连续的曲线，且f(x)不为常数，f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称(a＜b)．
(1)求证：f(x)＝f(2a－x)，f(x)＝f(2b－x)；
(2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期．
证明(1)∵ f(x)的图象关于直线x＝a对称，且图象连续，不是平行于x轴的直线，
∴设P(x，y)为曲线上任一点，点P关于x＝a的对称点P'的坐标为P'(x'，y'),
同理可证 f(x)＝f(2b－x)．
解(2)由(1)可知，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)，
∴f(2a－x)＝f(2b－x)，以x代2a－x，得f[x＋(2b－2a)]＝f(x)．∵a＜b，2b－2a＞0且为常数，
∴f(x)是周期函数，2b－2a为它的周期．
由例8可得到如下的
定理若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a
＜b)对称，且在这两条直线之间再无对称轴，那么f(x)是周期函数，2b －2a为它的周期．
此定理可当作一个公式用，如例6中函数f(x)的周期为2.7－2.5＝4．。