第1章1.2.2同步训练及解析(5)
普通物理学知识点重难点
第1章质点的运动知识要点1.1 位移速度加速度1.2 圆周运动及其描述书后习题解析同步训练题同步训练题答案第2章牛顿运动定律知识要点2. 1 牛顿运动定律2.2 动量定理动能定理书后习题解析同步训练题同步训练题答案第3章运动的守恒定律知识要点3.1 保守力势能3.2 机械能守恒定律动量守恒定律书后习题解析同步训练题同步训练题答案第4章刚体的转动知识要点4.1 转动惯量转动动能定轴转动定律4.2 刚体的角动量角动量定理角动量守恒定律书后习题解析同步训练题同步训练题答案第5章相对论基础知识要点5.1 狭义相对论基本原理5.2 洛仑兹坐标变换书后习题解析同步训练题同步训练题答案第6章气体动理论知识要点6.1 理想气体6.2 麦克斯韦速率分布律6.3 玻尔兹曼分布律6.4 气体分子的平均碰撞次数及平均自由程书后习题解析同步训练题同步训练题答案第7章热力学基础知识要点7.1 热力学第一定律7.2 热力学第一定律对理想气体的应用7.3 循环过程7.4 热力学第二定律7.5 熵书后习题解析同步训练题同步训练题答案第8章真空中的静电场第9章导体和电介质中的静电场第10章恒定电流和恒定电场第11章真空中的恒定磁场第12章磁介质中的磁场第13章电磁感应和暂态过程第14章麦克斯韦方程组电磁场第15章机械振动和电磁振动第16章机械波和电磁波第17章波动光学第18章早期量子论和量子力学基础第19章激光和固体的量子理论第20章原子核物理和粒子物理简介。
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2_2
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。
高中数学必修3章节训练-第1章1.1.2同步训练及解析
人教A高中数学必修3同步训练1．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为() A．－1B．0C．1 D．3解析：选B.当i＝1时，s＝1×(3－1)＋1＝3；当i＝2时，s＝3×(3－2)＋1＝4；当i＝3时，s＝4×(3－3)＋1＝1；当i＝4时，s＝1×(3－4)＋1＝0；紧接着i＝5，满足条件i>4，跳出循环，输出s的值为0.2．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为()A．k>4? B．k>5?C．k>6? D．k>7?解析：选A.当k＝1时，k＝k＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；当k＝2时，k＝k＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；当k＝3时，k＝k＋1＝4，S＝2×11＋4＝26；当k＝4时，k＝k＋1＝5，S＝2×26＋5＝57.此时S＝57，循环结束，k＝5，所以判断框中应为“k>4？”．3．右图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()A．S＝S*(n＋1)B．S＝S*x n＋1C．S＝S*nD．S＝S*x n解析：选D.由循环结构的程序框图知识可知选D.4．如图所示的程序框图，输出的结果是S ＝7，则输入的A 值为________．解析：该程序框图的功能是输入A ，计算2A ＋1的值．由2A ＋1＝7，解得A ＝3. 答案：31．如下图所示的程序框图，其功能是( )A ．输入a ，b 的值，按从小到大的顺序输出它们的值B ．输入a ，b 的值，按从大到小的顺序输出它们的值C ．求a ，b 的最大值D ．求a ，b 的最小值解析：选C.输入a ＝1，b ＝2，运行程序框图可得输出2.根据执行过程可知该程序框图的功能是输入a ，b 的值，输出它们的最大值，即求a ，b 的最大值．2．给出如图的程序框图，那么输出的S 等于( )A ．2450B ．2550C ．5050D ．4900解析：选A.按照程序框图计数，变量i ≥100时终止循环，累加变量S ＝0＋2＋4＋…＋98＝2450，故选A.3．如图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋13＋15＋…＋119C.12＋14＋16＋…＋120D.12＋122＋123＋…＋1210 解析：选C.第一次循环：s ＝12，n ＝4，i ＝2；第二次循环：s ＝12＋14，n ＝6，i ＝3；第三次循环：s ＝12＋14＋16，n ＝8，i ＝4；由于i ＝10时，不满足i >10，所以继续执行循环；此时s ＝12＋14＋…＋120，n ＝22，i ＝11；当i ＝11时，满足i >10，输出s .4．如图所示是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x nnC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n解析：选A.由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S ＝x 1＋x 2＋…＋x 10的累加求和，故选A.5．如图所示的程序框图输出的结果是S ＝720，则判断框内应填的条件是( )A ．i ≤7B ．i >7C ．i ≤9D ．i >9解析：选B.程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S ＝720，则应是10×9×8＝720，所以i ＝10,9,8时累乘，即当i >7时执行循环体．6．如果执行下面的程序框图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于( )A ．720B ．360C ．240D ．120解析：选B.由框图可知：当n ＝6，m ＝4时， 第一次循环：p ＝(6－4＋1)×1＝3，k ＝2. 第二次循环：p ＝(6－4＋2)×3＝12，k ＝3. 第三次循环：p ＝(6－4＋3)×12＝60，k ＝4.第四次循环：p ＝(6－4＋4)×60＝360，此时k ＝m ，终止循环．输出p ＝360，故选B.7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥2，2－x ， x <2.图中表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．解析：框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写x <2？，②就是函数的另一段表达式y ＝log 2x .答案：x <2？ y ＝log 2x8．如图，是求实数x 的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填________．解析：由于|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， x ≥0－x ，x <0，或|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x >0－x ，x ≤0，故根据所给的程序框图，易知可填x >0或x ≥0.答案：x >0或x ≥09．在如图的程序框图中，输出结果是________．解析：a ＝5时，S ＝1＋5＝6； a ＝4时，S ＝6＋4＝10；a ＝3时，终止循环，输出S ＝10. 答案：1010．画出计算函数y ＝|x －1|的函数值的程序框图(x 由键盘输入)．解：算法如下： 第一步，输入x .第二步，判断x ，若x ≥1， 则y ＝x －1，否则执行第三步． 第三步，y ＝1－x . 第四步，输出y .程序框图如图所示．11．设计一个算法，求表达式12＋22＋32＋…＋102的值，画出程序框图． 解：第一步，令S ＝0，i ＝1.第二步，判断i 是否小于或等于10，若是，则执行第三步；若否，则输出S . 第三步，令S ＝S ＋i 2，并令i ＝i ＋1，然后返回第二步． 程序框图：12．有十件商品，设计一个算法，计算其平均价，并画出程序框图．解：我们用一个循环依次输入10个数，再用一个变量存放数的累加和，在求出10个数的和后，除以10，就得到10件商品的平均价算法：第一步，S＝0，i＝1.第二步，输入P.第三步，S＝S＋P.第四步，i＝i＋1.第五步，判断i是否大于10，若不大于10，转入第二步，若i>10，退出循环，执行第六步第六步，A＝S 10.第七步，输出A.程序框图如图所示．关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
【人教A版】数学《优化方案》选修2-3测试第1章1.2.2第一课时知能优化训练
1．计算C28＋C38＋C29等于()A．120B．240C．60 D．480解析：选A.原式＝C39＋C29＝C310＝120.2．若C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于()A．12 B．13C．14 D．15解析：选C.C7n＋1－C7n＝C8n，即C7n＋1＝C8n＋C7n＝C8n＋1，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是()A．C25＋C28＋C23B．C25C28C23C．A25＋A28＋A23D．C216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C25，二年级比赛的场数是C28，三年级比赛的场数是C23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C38＝56.答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是()①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④答案：C2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为()A．3 B．4C．12 D．24解析：选B.C34＝4.3．C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720的值为()A．C321B．C320C．C420D．C421解析：选D.原式＝()C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720＝()C15＋C25＋C36＋…＋C1720＝(C26＋C36)＋…＋C1720＝C1721＝C21－1721＝C421.4．若A3n＝12C2n，则n等于()A．8 B．5或6C．3或4 D．4解析：选A.A3n＝n(n－1)(n－2)，C2n＝12n(n－1)，∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)，又n∈N*，且n≥3.解得n＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A．9 B．14C．12 D．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A ．A 310种B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310.二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20，∴C 1820＝C 220＝190.答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________.解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165.答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法．答案：34三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合．解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法；第二类是2男3女，有C 26C 34种选法；第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法．12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．(1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？(2)恰有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)． (2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C12×C28＋C22×C18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C310种，不含次品的抽法有C38种，所以至少1件次品的抽法为C310－C38＝64(种)．高∴考≧试∠题]库。
最新高中数学：选修2-3人教A全册课时同步练习及解析 第1章1.2.1第二课时同步训练及解析
人教A高中数学选修2-3同步训练1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A14种，十位和百位从余下的数字中选，有A24种，于是有A14×A24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A14×A24(个)．由分类加法计数原理得：共有A35＋2A14×A24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A45个；第二类：个位上为5的五位数有A14×A34(个)，故满足条件的五位数共有A45＋A14×A34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3，4，5，共有A14×A35 (个)；第二类：形如14，15，共有A12×A24(个)；第三类：形如134，135，共有A12×A13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A14×A35＋A12×A24＋A12×A13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A22种，视为一种元素与其余5人全排，有A66种排法，所以有不同站法A22×A66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A44种，所以共有不同站法A33×A44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44种，而由高到低有从左到右和从＝420(种)．右到左的不同，所以共有不同站法2×A77A44(4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A12×A14×A55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A14×A24×A44种站法，所以共有不同站法A12×A14×A55＋A14×A24×A44＝960＋1152＝2112(种)．。
人教a版高中数学选修2-3全册同步测控知能训练题集含答案
人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)； 第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种． 解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！， 其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法； 第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)． 二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)． 答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)． 答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种 解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法． 答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合． 解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法； 第二类是2男3女，有C 26C 34种选法； 第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4， 由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________． 解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。
高中数学必修5第1章1.2.1同步训练及解析
人教A 高中数学必修5同步训练1．某次测量中，若A 在B 的南偏东40°，则B 在A 的( )A ．北偏西40°B ．北偏东50°C ．北偏西50°D ．南偏西50°答案：A2．已知A 、B 两地间的距离为10 km ，B 、C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D.由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC .又∵AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，∴AC 2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.∴AC ＝107.3．在一座20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.解析：h ＝20＋20tan 60°＝20(1＋3) m.答案：20(1＋3)4．如图，一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°.求此时船与灯塔间的距离．解：BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC， 且∠BAC ＝30°，AC ＝60，∠ABC ＝180°－30°－105°＝45°.∴BC ＝30 2.即船与灯塔间的距离为30 2 km.一、选择题1．在某次测量中，在A 处测得同一方向的B 点的仰角为60°，C 点的俯角为70°，则∠BAC 等于( )A ．10°B ．50°C ．120°D ．130°解析：选D.如图，∠BAC 等于A 观察B 点的仰角与观察C 点的俯角和，即60°＋70°＝130°.2．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h ，该船的实际航程为( )A ．215 kmB ．6 kmC ．221 kmD ．8 km解析：选B.v 实＝22＋42－2×4×2×cos 60°＝2 3.∴实际航程＝23×3＝6(km)．故选B.3. 如图所示，D ，C ，B 在同一地平面的同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高度AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m解析：选D.在△ADC 中，AD ＝10·sin 135°sin 15°＝10(3＋1)(m)． 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ·sin 30°＝5(3＋1)(m)．4．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且AB 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )A ．28海里/小时B ．14海里/小时C ．14 2 海里/小时D ．20海里/小时解析：选B.如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ，则在△ABC 中，AC ＝10×2＝20(海里)，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝784，∴BC ＝28海里，∴v ＝14海里/小时．5．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，则B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B.设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°≤302.化简得：4t2－82t＋7≤0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝74.从而|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝1.6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是() A．1002米B．400米C．2003米D．500米解析：选D.由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(米)，故选D.二、填空题7．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为________米．答案：10＋5 38.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的__________．解析：由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而所求为北偏西10°.答案：北偏西10°9．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107 海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12. ∴∠ACD ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°.∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：403三、解答题10．如图，A 、B 两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C 、D ，测得CD ＝1000米，∠ACB ＝30°，∠BCD ＝30°，∠BDA ＝30°，∠ADC ＝60°，求AB 的长．解：由题意知△ACD 为正三角形，所以AC ＝CD ＝1000米．在△BCD 中，∠BDC ＝90°，所以BC ＝CD cos ∠BCD＝1000cos 30°＝200033米． 在△ACB 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝10002＋200023－2×1000×200033×32＝10002×13，所以AB ＝100033米． 11．如图，地面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB ，测得AB＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角为30°，在B 处测得点P 的仰角为45°，同时可测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．解：设旗杆的高度为h ，由题意，知∠OAP ＝30°，∠OBP ＝45°.在Rt △AOP 中，OA ＝OP tan 30°＝3h . 在Rt △BOP 中，OB ＝OP tan 45°＝h . 在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 60°，即202＝(3h )2＋h 2－23h ×h ×12.解得h2＝4004－3≈176.4.∴h≈13(m)．∴旗杆的高度约为13 m.12．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C 处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．解：如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．设所需时间为t小时，则AB＝21t，BC＝9t.又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°，根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC cos∠ACB.∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t cos 120°，∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.∴t＝23或t＝－512(舍)．∴AB＝21×23＝14(海里)．即“黄山”舰需要用23小时靠近商船，共航行14海里．关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
人教版A高中必修1数学试题第1章1.2.2第2课时同步训练及详解
高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，则下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f [1f (2)]的值为( ) A.1516B ．－2716C.89D ．18解析：选A.∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f [1f (2)]＝f (14)＝1－(14)2＝1516. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤00，x >0，则f (2)＋f (－2)＝________. 答案：44．已知M ＝{正整数}，N ＝{正奇数}，映射f ：a →b ＝2a －1，(a ∈M ，b ∈N )，则在映射f 下M 中的元素11对应N 中的元素是________．答案：21[A 级 基础达标]1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x ≤1. ②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2. ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1. ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5. A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④2.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或±3 D. 3 解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象． 4.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则f (f (f (2)))＝________.解析：f (2)＝0，f (f (2))＝f (0)＝4，f (f (f (2)))＝f (4)＝2.答案：25．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________． 解析：当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4.答案：4 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－74)； (2)求f (14)； (3)求f (4)；(4)若f (a )＝3，求a 的值．解：(1)f (－74)＝－74＋2＝14； (2)f (14)＝2×14＝12； (3)f (4)＝422＝8； (4)因为当x ≤－1时，x ＋2≤1，当x ≥2时，x 22≥2， 当－1<x <2时，－2<2x <4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <22a ＝3⇒a ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a 22＝3⇒a 2＝6⇒a ＝ 6. 综上，若f (a )＝3，则a 的值为32或 6. [B 级 能力提升] 7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2 (－1<x <0)－12x (0≤x <2)，3 (x ≥2)则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3} 解析：选D.对f (x )来说，当－1<x <0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x <2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当x ≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D.8．映射f ：A →B ，A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素个数至少是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A.对于A 中的元素±1，B 中有1与之对应；A 中的元素±2，B 中有一个元素2与之对应；A 中的元素±3，B 中有一个元素3与之对应；A 中的元素4，B 中有一个元素4与之对应，所以B 中的元素个数至少是4.9．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，那么A 中元素(1,3)所对应的B 中的元素为________，B 中元素(1,3)在A 中有________与之对应．解析：(1,3)→(1＋3,1－3)，即(4，－2)．设A 中与(1,3)对应的元素为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.答案：(4，－2) (2，－1)10．根据函数f (x )的图象如图所示，写出它的解析式．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.11．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？解：设乘出租车走x 公里，车费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，0<x ≤25＋1.6×(x －2)，2<x ≤8，14.6＋2.4×(x －8)，x >8即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，0<x ≤21.8＋1.6x ，2<x ≤8，2.4x －4.6，x >8因为甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8，所以车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)． 所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．。
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高中数学人教B选修2-3同步训练
♦•同步测控律*
1. 计算C2+ C3+ c9等于（）
A. 120
B. 240
C. 60
D. 480
解析：选 A.原式=C9+ c2= c1o= 120.
2. 身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺
次一个比一个低，这样的排法种数是（）
A. 5040
B. 36
C. 18
D. 20
解析：选
D.最高的同学先站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，排法有C g= 20种.故选
D .
3. 若c7+1—c n= c n,贝U n 等于（）
A . 12
B . 13
C . 14
D . 15
解析：选 C.C7+1 一C7= C8，即C n+ 1 = C n + C n = C n+ 1,所以n+ 1 = 7 + 8，即n = 14.
4. 把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方
法有_________种.
解析：C8= 56.
答案：56
5. 在同一个平面内有一组平行线8条，与之相交的另一组平行线10条.
（1） ________________ 它们共能构成个平行四边形；
（2） ________ 共有个交点.
解析：（1）第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有
C i C20= 1260（个）.
（2）第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有C^C10= 80（个）.
答案：1260 80
♦•谍时训缘
一、选择题
1 .下面几个问题中属于组合问题的是（）
①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3 构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法.
A. ①③
B. ②④
C. ①②
D. ①②④
解析：选C.①②不用考虑顺序，属于组合问题.
6.
如图所示的四棱锥中，顶点为 P ,从其他的顶点和各棱中点中取
3个，使它们和点 P 在同一平面内，不同的取法种数为 ( )
2.已知
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14 73 -- 则x 的值为( )
解析：选 A. - 6C X — 3= 6C x —3, •- 6C x —3= 10A x —4.
x — 3 x — 4 x — 5 x — 6
•- 6X = 10 (•— 4)(x — 5).
4X 3X 2X 1 二 X 2— 9x — 22= 0, ••• x = 11 或 经检验x = 11为解•故选A.
3.某同学有同样的画册 2本, 位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A. 4种
B. 10 种
C. 18 种
D. 20 种
解析：选
x =- 2.
同样的集邮册 3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每 ( )
B .分两种情况： ①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有
C 2= 6种方法；②选1本
画册，3本集邮册送给4位朋友有C 4= 4种方法，所以不同的赠送方法共有
6 + 4= 10种，
故选
B .
4.
假设在200件产品中，有3件次品，现从中任意抽出
5件，其中至少有2件次品的 抽法有( )
A. C 3C 197 种
B . (
C 2C 397 + C 3C ?97)种
C . (C 500 — C ?97)种
D . (C 500 — C 3C ?97)种
解析：选
B. “至少2件次品”，也就是说“有2件次品或3件次品”的抽法，分两类讨论： (1)有2件次品、3件正品时，有C 3C 397种；
⑵有3件次品、2件正品时，有 C 3C ?97种.
由分类加法计数原理得抽法种数为 (C 3C 397 + C 3C 197)种.
5.
9名会员分成三组讨论问题，每组 3人，共有不同的分组方法种数为
( )
A . C 3C
B . A 3A 3
C 3C
C. T T
A . 40
B. 48
C. 56
D. 62
解析：选C.满足要求的点的取法可分为 3类：
第1类，在四棱锥的每个侧面上除点 P 外任取3点，有4C 5种取法；
第2类，在两个对角面上除点 P 外任取3点，有2C 4种取法；
第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共
面，有4戊种取法.
所以，满足题意的不同取法共有
4C 5+ 2C 4 + 4C 1= 56（种）. 二、填空题
7•用数字2,3组成四位数，且数字 2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 ________________ 个.（用数字作答）
解析：法一：数字2只出现一次的四位数有 C 4= 4个；数字2出现两次的四位数有 C 2 = 6个；数字2出现三次的四位数有 C 4 = 4个.故总共有4+ 6+ 4 = 14个.
法二：由数字2,3组成的四位数共有 24= 16个，其中没有数字 2的四位数只有1个， 没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有
16 — 2= 14个. 答案：14
&某仪表显示屏上一排有 7个小孔，每个小孔可显示出 0或1,若每次显示其中三个
孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这种显示屏可以显示的不同信号的种数是 ________ 种.
解析：显示的孔不相邻，用插空法，
4个不显示孔形成5个空.•••有C 5种选法.每个孔
有2种显示方法.
--共有 23C 3= 80 种.
答案：80
9. 2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将 5位志愿者分成3组，其 中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏， 拯救心脏”，不同的分配方案有 ________________ 种.（用数字作答）
c 5c 3c 1、，"3 10X 3X 6 ” 逐 _x A 3= 2— = 90（种）.
答案：90
三、解答题
c n =C ^x ，
10. 已知 x +1 11 X -1
试求X ，n 的值. x 1 x 1 C n = 3 C n ，
解：T c n = C n —x = C n x ， • n — x = 2x ， • n = 3x.
11
又由c n +
1=亍丄―1，得 11
x + 1 ! n — x — 1 !
3 x — 1 ! n — x + 1 !
整理得 3(x — 1)! (n — x + 1) != 11(x + 1)! (n — x — 1)!,
3(n — x + 1)(n — x)= 11(x + 1)x.
将 n = 3x 代入，整理得 6(2x + 1)= 11(x + 1).
x = 5, n = 3x = 15.
解析：分配方案有 n !
11. 现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查.
（1）正品A被抽到有多少种不同的抽法？
（2）恰有一件是次品的抽法有多少种？
（3）至少一件是次品的抽法有多少种？
9 乂8 解：（1）C9= - = 36（种）.
（2）从2件次品中任取1件有C2种方法，从8件正品中取2件有C2种方法，由分步乘法
8 X 7 计数原理，不同的抽法共有C2X C2= 2X - = 56（种）.
（3）法一：含1件次品的抽法有c2c2种，含2件次品的抽法有C2X C1种，由分类加法计
数原理，不同的抽法共有c2x C2+ C2X C8= 56 + 8= 64（种）.
法二：从10件产品中任取3件的抽法为C lo种，不含次品的抽法有C3种，所以至少1
件次品的抽法为C3。
—C3= 64（种）.
12. 如图，
在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6,直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.
（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C1点的有多少个？
（2）以图中的12个点（包括A、B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
解：（1）可分三种情况处理：
①C1、C2、…、C6这六个点任取三点可构成一个三角形；
②C1、C2、…、C6中任取一点，D1、D2、D3、D4中任取两点可构成一个三角形；
③C1、C2、…、C6中任取两点，D1、D2、D3、D4中任取一点可构成一个三角形.
二 C + c6c2+ C2c4= 116（个）.
其中含C1点的三角形有c2+ c1 c4+ c4= 36（个）.
（2）构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，
•••共有C6+ c3c6+ c紀6= 360（个）.。