48 布洛赫电子的动力学性质
什么是电子的布洛赫定理和能带结构

什么是电子的布洛赫定理和能带结构?电子的布洛赫定理和能带结构是固体物理学中关于电子在周期性势场中行为的两个重要概念。
下面我将详细解释布洛赫定理和能带结构,并介绍它们的物理背景和应用。
1. 布洛赫定理:布洛赫定理是指在周期性势场中,电子的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积。
这意味着电子的波函数在周期性势场中是周期性的,具有特定的周期性结构。
布洛赫定理是基于周期性势场的周期性性质而提出的。
在周期性势场中,电子受到周期性的势能影响,因此它们的波函数应该具有相应的周期性特征。
布洛赫定理的提出使得我们能够更好地理解和描述电子在晶体中的行为。
2. 能带结构:能带结构是指固体中电子能量的分布情况。
在固体中,电子的能量是量子化的,只能存在于特定的能级。
能带结构描述了这些能级在动量空间中的分布情况,即电子能量与动量之间的关系。
能带结构的形成是由于布洛赫定理的存在。
根据布洛赫定理,电子的波函数具有周期性,因此它们在动量空间中的分布也是周期性的。
这种周期性分布导致了能级的整体分布,形成了一系列相互重叠的能带。
能带结构可以分为导带和禁带两种。
导带是指电子能量较高的能带,其中存在大量的可移动电子。
禁带是指电子能量较低的能带,其中几乎没有电子存在。
在固体中,导带和禁带之间的能量差异被称为禁带宽度。
能带结构对固体的导电性和光学性质具有重要影响。
导带中存在大量可移动电子,因此固体具有较好的导电性。
禁带中几乎没有电子存在,因此固体具有绝缘性或半导体性质。
禁带宽度的大小决定了导电性和光学性质的特性。
总结起来,布洛赫定理和能带结构是固体物理学中关于电子在周期性势场中行为的重要概念。
布洛赫定理描述了电子波函数的周期性特征,能带结构描述了电子能量在动量空间中的分布情况。
能带结构对固体的导电性和光学性质具有重要影响,它们在材料科学和电子学等领域具有广泛的应用。
布洛赫定理

布洛赫定理(一) Bloch 定理:势场()U r →具有晶格周期性时,即()U r →=()n U r R →→+ (1) 电子的波函数满足薛定谔方程的解具有以下性质:()n r R ψ→→+=ni k R e→→·()r ψ→(2)根据()n r R ψ→→+=ni k R e→→·()r ψ→,电子的波函数()r ψ→满足:()r ψ→=ni k R e→→·()u r →其中,()u r →为与势能同周期的周期性函数,()u r →=()n u r R →→+n R →为势场的周期(二)Bloch 定理的证明: (1) 证明H ∧具有周期性。
(2) 引入平移对称算符()n T R ∧→,证明平移对称算符与哈密顿算符H ∧对易,两者具有相同的本证函数。
(3) 由平移对称的本征值方程导出··ni k R n r R e r ψψ→→→→→⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,根据证明(2)知r ψ→⎛⎫ ⎪⎝⎭也是哈密顿算符H ∧的本征函数,综合上述要点便可证明Bloch 定理的第一条性质。
证明:(1)H r ∧→⎛⎫ ⎪⎝⎭=—22()2r m →∇ +()U r → 在直角坐标系中:2()r →∇=222222x y z ∂∂∂++∂∂∂=222222112233()()()x n a y n a z n a →→→∂∂∂++∂+∂+∂+ =2()n r R →→∇+其中112233n R n a n a n a →→→→=++为势能的一个周期或者若干个周期。
∴()n H r R ∧→→+=—22()2n r R m →→∇+ +()n U r R →→+=—22()2r m→∇ +()U r → ∴()n H r R ∧→→+=()H r ∧→引入平移对称算符(简称平移算符)()n T R ∧→:()n T R ∧→·()f r →=()n f r R →→+()f r →为任意函数2()n T R ∧→·()f r →=()n T R ∧→·()n f r R →→+=(2)n f r R →→+ ()ln T R ∧→·()f r →=()n f r l R →→+=()n T lR ∧→·()f r →由上式知:()ln T R ∧→=()n T lR ∧→将平移算符作用到定态薛定谔方程中:()n T R ∧→·()H r ∧→·()r ψ→=()n H r R ∧→→+·()n r R ψ→→+=()H r ∧→·()n T R ∧→·()r ψ→∴()n T R ∧→·()H r ∧→=()H r ∧→·()n T R ∧→∴平移算符与哈密顿算符是对易的。
布洛赫定理的物理意义

布洛赫定理的物理意义1.电子在晶体中的能带结构:布洛赫定理揭示了晶体中的电子波函数具有周期性的特征,这意味着电子在晶体中会形成能带结构。
具体来说,电子波函数可以看作平面波与周期性势场的乘积,而平面波表征了电子的运动特性,周期性势场则来自晶格中原子的排列。
通过施加不同的布拉格条件,可以得到不同的能带结构,其中包括导带和禁带,从而解释了固体的导电性质。
2.晶体中电子的波动性和粒子性:布洛赫定理说明了在周期性势场中,电子的波函数具有波动性和粒子性。
电子在晶格中传播时,会受到晶格周期性势场的周期性约束,波函数会出现截断和反射等现象。
这种周期性约束使得电子在晶体中传播时具有波动性,同时也保持了电子的粒子性,即电子在晶体中的定域性。
3. 电子在晶体中的散射:布洛赫定理还揭示了电子在晶体中的散射行为。
布洛赫定理中的能带结构和布拉格条件可以用来描述电子在晶体中的散射行为,可以通过分析能带结构和布拉格条件来理解导电性、磁性和热导性等性质。
此外,布洛赫定理还提供了计算电子在晶体中传播的方法,如使用Wannier函数描述电子的局域性。
4.电子在外界电场下的响应:布洛赫定理还可以用来描述电子在外界电场下的响应。
在周期性势场中,在外加电场的作用下,电子会沿着特定的能带传播,形成特定的电流和电荷密度分布模式。
布洛赫定理提供了计算电流和电荷密度的方法,从而使得我们能够研究材料的导电性和光学性质等。
5.量子器件设计和量子信息处理:布洛赫定理为量子器件的设计和量子信息处理提供了理论基础。
可以通过操纵能带结构、修改晶格势场和施加外界电场来控制电子的行为,从而实现量子器件的性能优化和功能设计。
此外,布洛赫定理在量子计算和量子信息处理中也起到了重要的作用,因为能够控制和调控电子在晶体中的行为是实现量子比特的关键之一综上所述,布洛赫定理的物理意义主要体现在解释固体中电子行为、导电性质以及电子在晶体中传播的基础,以及在材料设计和量子信息处理中的应用。
固体物理学:第四章 第八节 布洛赫电子的动力学性质

当Δk=0时候,即为一个布洛赫本征态,在空间找到
电子概率为
,电子的坐标完全不确定。
当
时,仅当
时,波包的振
幅最大,对所有的
,波包的振幅都
趋于0。这说明波包都局域在晶体中的一个区域内,
并且位置是时间的函数,我们把某个时刻波包的中
心位置
认定为电子的坐标。
写成矢量形式
根据不确定关系,Δk越大, Δr 越小,电子的位置越 确定。
假设电子状态由k0附近Δk范围内的布洛赫本征态叠加构成, 它将构成一个波包。波包的波矢不能完全确定,但波包的 空间位置确有一定的可知性。
换言之,以牺牲波矢的完全确定来换取坐标的某种确定性, 在某种情况下,可以把它当做经典粒子处理。
布洛赫本征态由式4.1.17表示为
用不同的k状态叠加构成波包,而不同的k状态具有不 同的能量。忽略带间跃迁,将同一能带中特定波矢k0 附近Δk范围内的诸波函数叠加得到:
四、准经典近似的物理含义
准经典近似描述晶体中电子的外场响应。外场作为一 种力出现在描述波包的坐标和波矢变化的经典运动方 程中。因此要求与波包的尺度相比,外场是一个时间 和空间缓变场。
晶格的周期势和波包的尺度相比不是缓变的,但是布 洛赫电子本身已经精确考虑了晶格的周期场,这种意 义上,布洛赫电子的准经典近似只是部分的经典极限: 对外场做经典处理,但是对于离子的周期势必须做量 子处理。
二、波包在外场中的运动、 布洛赫电子的准动量
量子力学中,任意不显含时间的力学量A的平均值随 时间的变化由下列Ehrenfest关系给出:
其中H是系统的哈密顿量,令A为晶格的平移算符T, 在一维情况下,对一个布洛赫函数有
上式通常是一个能带的结果,但是即使ψ是任意个 能带的布洛赫态的组合,只要波矢k是简约能去图 式中相同的波矢,它仍然成立。 在均与外力F作用下,系统的哈密顿量为
3.1布洛赫定理及能带

ˆ ˆ (2) [T , H ] 0
即平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿算符对易
2 2 ˆ H V (r ) 2m
V (r ) V (r Rn ),
微分算符与坐标原点的平移无关,比如在直角坐标系中:
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加
i (k G )r ikr iG r k (r ) a(k Gh )e h e a(k Gh )e h h h iG r 设uk (r ) a(k Gh )e h
k (r ) k (r Ni ai ) e
e
ik Ni ai ik r
uk (r )
e
uk (r )
可用相应的倒格子基矢 bi 表示,即:
前面我们已知,波矢 k 空间为倒格子空间,因而,波矢 k
ik r (r ) e (r ) k uk
n
可以看出平面波
e
ik r能满足上式:
ik ( r Rn ) ik Rn ik r ik Rn (r Rn ) e e e e (r )
l1b1 l2b2 l3b3 因此矢量 k 具有波矢的意义。 k N1 N2 N3 当波矢增加一个倒格矢 Gh,平面波 ei (k Gh )r 也满足上式。
波矢 k :
l1b1 l2b2 l3b3 k N1 N2 N3
' i
l1 , l2 , l3 为整数
' 当ki k 整数时, 相当于波矢 k 换成 k k Gh , Gh 是倒格矢。
布洛赫定理、一维近自由电子近似

布洛赫定理在固体物理、表面物 理等领域有广泛应用,是理解周
期性结构中粒子行为的基础。
一维近自由电子近似研究现状
1
一维近自由电子近似是一种理论模型,用于描述 一维晶体中电子的运动。
2
在一维近自由电子近似中,电子被视为在周期性 势场中运动的粒子,其波函数具有一维周期性。
3
目前,一维近自由电子近似已被广泛应用于研究 一维晶体中的电子结构和物理性质,如电荷密度 波、自旋密度波等现象。
发展更精确的理论模型和计算方法,以更准确地 描述一维晶体中电子的运动和相互作用。
探索一维近自由电子近似在其他领域的应用,如 光子晶体、表面等离激元等。
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这一定理表明,在周期性势场中,电子的波函数具有与周期性势场相同的周期性 。
布洛赫定理对一维近自由电子近似的影响
一维近自由电子近似是一种理论模型,用于描述在一维空 间中运动的电子的行为。这种近似忽略了电子之间的相互 作用以及更高阶的能量修正。
根据布洛赫定理,一维近自由电子近似中的波函数应该是 具有周期性的。这意味着,在计算电子的能量和波函数时, 需要考虑周期性势场的影响。
布洛赫定理指出,如果一个函数在一个区间内可积,那么这个函数在这个区间内的积分等于该函数在 区间内任意分割的子区间上的积分的极限。这个定理在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用。
02 一维近自由电子近似的基 本概念
1. 布洛赫定理的表述
布洛赫定理表述为:对于周期性势场, 电子运动的波函数具有Bloch函数的周期 性。即,对于晶体中的电子,其波函数 可以表示为:Ψ(r)=u(r)exp(ik·r),其中 u(r)是周期性函数,k是波矢。
一、布洛赫定理
材料设计—19-布洛赫定理

的量子数,
量子数,称
之所以选择n,l,m取标志氢原子的态,是因为这些算符 是可对易的
因此它们具有共同的本征函数。
对于自由电子,哈密顿算符 值 ,动量算符
,本征 本征值
H和p也是可以对易的: 所以它们具有共同的本征函数:
因此可以用k取标记它的状态。 对于周期场中运动的电子,哈密顿和动量算符不对 易,不能用k去标记电子的态。
对所有具有时间反演对称性的晶体能谱有: 由式子4.1.20有
两边取共轭,k -> -k
能量本征值必须是实数:
结果
满足同一方程,有
5. 等能面垂直于布里渊区界面
等能免定义为k空间,所有能量相等的k构成的曲面。
布里渊区界面是K h的中垂面,因此相对于K h 和-K h的一对布里渊区界面具有晶面反演对称。 设A,B为布里渊区界面上关于m对称的两个点,a, b为 布里渊区界面上关于m对称的两个点。它们之间正好 相差一个倒格矢K h。 过a,b两点等能面的法线为
1928年,布洛赫提出,为什么实际晶体中电子的 运动,能几乎忽略充满密集的离子的作用呢?为 什么那么多离子对电子的散射没有表现出一个巨 大的电阻呢? 布洛赫意识到,由于理想晶体中的原子是按照点 阵排列的,电子感受到的一个严格的周期势,它 受到的散射也不是无规律的。
在一个规则的周期晶格中,存在薛定谔方程的许 多本征解,每个解是一些周期调制传播的波,它 即不被散射也不衰减,因此能不显示出电阻。
但经验理论不能说明金属电阻与温度的关系;以 及为什么在如此密集的离子实中运动的电子却具 有十分长的自由程。
经典的自由电子气模型也不能解释为什么这 些自由电子对比热容的贡献却微乎其微。 如果电子有充分的自由度来运载电流,那么 这些自由度同样对比热容有贡献。有N个离 子和n个电子的系统,高温下除了有3NkB的 晶格比热容外,还应该有3nkB/2的额外比热 容。但实际上并没有如此大的额外比热容。 这是自由电子论的困难所在。
固体物理学:第四章 第十节 布洛赫电子在恒定磁场中的准经典运动

电子在r空间的轨道不是限制在一个平面内,而是绕 磁场做螺旋运动:
其中 对时间积分
是 在垂直磁场平面内的投影。
r空间电子轨道是垂直于磁场平面内的投影与k空间的 轨道类似,它们之间差一个比例因子hbar/eB 和 一个 pi/2的旋转:
对于自由电子等能面是一个球面,k空间的轨道是闭 合的圆,称为闭轨道。但是对于布洛赫电子等能面 不一定是球面,也不一定闭合。
第四章 能带论
§4.10 布洛赫电子在恒定磁场中 的准经典运动
一、恒定磁场下的动力学
在恒定磁场B中,电子在k空间的准经典运动方程是
K沿着磁场方向的分量和电子的能量是守恒量。在k 空间电子沿着垂直磁场的平面和等能面的交线运动。 V(k)的方向在k空间从低能量指向高能量方向,假定 B沿着kz方向。
对于布洛赫电子,类比4.10.14,从4.10.12可以定义回 旋有效质量和回旋频率:
回旋有效质量m*c (E,k)可以不同于以前我们定义的 有效质量,它不但与一个特定的电子状态相关,而
且和回旋轨道性质有关。
对于能带电子,如果在能量极值点附近的能谱可写
成
,等能面为球面,具有单一的有效质
量,那么类似自由电子的情况:
不同界面贡献的大小,可以发现等能面的截面积为极 值的那些截面,通常会起主导的作用。
二、轨道量子化
上面我们从准经典运动方程出发讨论电子在恒定磁 场中的运动,外场作为经典处理,得到电子绕磁场 沿着经典螺旋轨道。但是施加磁场会自动破坏电子 状态的基本量子化图像。 对于自由电子气,无磁场时
如果电子限制在一个边长为L的立方体:
状态密度为: 基本图像。
这是自由电子状态量子化的
如果施加一个沿着z方向的均匀磁场B,那么电子在x-y 平面内将受到洛伦茨力的作用。因此,除了kz以外, kx, ky不再是好量子数。磁场引入了新的运动恒量, 即绕着磁场方向的角动量。求解在均匀恒定磁场中电 子的薛定谔方程,得到电子的能量本征值由kz和磁量 子数决定:
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ℏ ������������ − = (������ + ������)������ ������ ������������
经典粒子和布洛赫波包
• 经典粒子同时具有确定的能量和动量,但服从量子 力学运动规律的微观粒子是不可能有确定的能量和 动量;(不确定原理) • 如果一个量子态的经典描述近似成立,则在量子力 学中的这个态就要用一个 “波包” 来代表,所谓波包 是指该粒子(例如电子)空间分布在 r0 附近的△r 范围内,动量取值在 ℏk 0 附近的范围 ℏ∆k 内, ∆r∆k 满足测不准关系。 • 把波包中心 r0 看作该粒子的位置,把ℏk 0 看作该粒 子的动量。晶体中的电子,可以用其本征函数 Bloch波组成波包,从而当作准经典粒子来处理。
������ ������ =
1 ������ ������ ������ ℏ ������
������
1൞ = ℏ
������������ ������������
ℏ2 1 2������ ������ ������������ + ������
2
+ ������(������) ������������
布洛赫波包 (推)
• • 实际晶体中的电子态往往是一些本征态的叠加,构成一个波包 布洛赫本征态可表示为
������ ������∙������−������������ ������ ������ ℏ
������ ������ ������������ ������ = ������ ������������ (������) 忽略带间跃迁,将同一能带中特定波矢k 0 附近Δk 范围内的诸波函数叠加得到
• 由于Bloch 波有色散,一个稳定的波包所包含的波矢范围△k应 是一个很小的量。Bloch 波有独立物理意义的波矢被限制在第 2������ 一布里渊区内,Δ������ ≪ ������ • 因为测不准关系(一维) ℏ ∆p������ ∙ ∆x = ℏ∆k ������ ∙ ∆x ≥ ∴ ∆x ≫ a 2 • 这表明,如果波包的大小比原胞尺寸大得多,晶体中电子的运 动就可以用波包的运动规律来描述。 • 对于输运现象,只有当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况 下,才可以把晶体中的电子当作准经典粒子,波包移动的速度 (群速度)等于处于波包中心处粒子所具有的平均速度。 • 外场应该是时间和空间的缓变函数,外场变化的波长远大于a, 频率,h远小于禁带宽度。
������ ������������ 0 ������0
∙ ������������ + ⋯
������������ ������������ ������ ������0 ������ ℏ
������������ ������0 ������������������ ������ ������0 ∙ ������ − ������ ∆������ ℏ
������
������0
1 ������������������ ������ ������ = ℏ ������������������ • 写成矢量
������
������0
1 ������ = ������������ ������������ ������ ������ ℏ
准近似成立的条件
波包的速度
• 定义波包的速度
������ =
1 ������ ������ ������ ������ ℏ ������ ������
1 ������ ������ = ������ሶ = ������������ ������������ ������ ℏ 波包的速度是波矢为K,能量为En(k)的布洛赫电子的群速度
•
•
– 通过布洛赫函数定义一套完整的万尼尔局域函数,以它们为基展 开(万尼尔表象) – 某些特性条件下,也可以把电子近似地作为经典粒子来处理
布洛赫电子做一个准经典近似,引入布洛赫波包。
准经典粒子近似
• 含外场的波动方程
ℏ2 2 ������ = − ������ + ������ ������ , ������ ������ + ������ = ������(������) 2������ • 通常情况下求解含外场的波动方程,但只能近似求解。 • 另一种方法是在: 外场较弱且恒定。 不考虑电子在不同能带间的跃迁。 不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。 等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典 粒子来处理。 这种方法图像清晰,运算简单,可以得到基本合理的结果。
������������ ������������
+ ������(������) ������������
ℏ2 1 ������������ 2������ ������ ������������ + ������ = ������������ ������������
2
波包的速度
根据群速度的定义可以得到 ������ ������
2
把某时刻波包的中心位置认定为电子的坐标,即 1 ������������������ ������ ������ = ������ ℏ ������������������ ������
0
������ =
1 ������������������ ������ ℏ ������������������
1 ������0+ 2 ������ ������������ ������ ������ ������������ ������, ������ = න ������ ������ ������������������ ������(������ ∙ ������ − ������) ������������ ∆������ ������0−∆������ ������ ℏ
2
∆������
令 ������ = ������0 + ������������ 在k 0 附近将En ������ 展开为 ������������ ������ = ������������ ������0 + ������������ ������������ ������
则有
������ ������������ ������, ������ ≈
布洛赫电子的描述
• 当外加场(电场、磁场等)施加到晶体上 时,晶体中的电子不只是感受到外场的作 用,而且还同时感受着晶体周期场的作用。 通常情况下,外场要比晶体周期势场弱得 多。因为晶体周期场强度一般相当于 108V/cm。而外电场是难以达到这个强度的。 因此,晶体中的电子在外场中的运动必须 在周期场本征态的基础上进行讨论。
������������ ������ ������������ ������ ������ = = ������������ ������������
ℏ2 1 ������������ 2������ ������ ������������
2Leabharlann + ������(������) ������������
• 量子力学中,晶体中处于ψ������0 状态的电子,在经典近似下,其 平均速度相当于以 k0为中心的波包速度,而波包的传播速度是 群速度: ������ω(k) v������ = ������k • 量子力学中的德布罗意关系:E = ℏω • 所以电子的平均速度: 1 ������E(k) v ത =
2
������������ ������������
������������ ������������
波包的速度 1 ������ ������ = ������ሶ = ������������ ������������ ������ ℏ 波包的速度是波矢为K,能量为En(k)的布洛赫电子的群速度
这个公式还表明:电子速度的方向为 k 空间中能量梯度的方向,即 垂直于等能面。因此,电子的运动方向决定于等能面的形状,在一 般情况下,在 k 空间中,等能面并不是球面,因此,v 的方向一般并 不是 k 的方向。下图比较准确地反映了Bloch 电子的这一特点。
只有当等能面为球面,或在某些特殊方向上,v 才与 k 的方向相同。电子运动速度 的大小与 k 的关系,以一维为例说明在能带底和能带顶,E(k)取极值,������������ = 0
ℏ ������k
证明
• 波包的群速等于布洛赫波的平均动量除以电子的质量,即 1 ������ ������ = ������������ ������ ������ ������ = ������ ������Ƹ ������ /������ ℏ 由于布洛赫波函数满足ψk ������ = ������ ������������∙������ ������������ ������ ,得到
������ ������������ ������ 周期因子,������ ������, ������ 包含能带信息。 0
波包
•
•
•
������ Δ������ = 0:布洛赫本征态,在空间找到电子的概率为 ������������ ������ ,电子的坐标完全不 0 确定 Δ ������ ≠ 0:仅当������, ������, ������ = 0时,波包振幅最大,其他������, ������, ������ ≫ 0时振幅都趋近于0
1 ������������������ ������ ℏ ������������������ 1 ������������������ ������ ℏ ������������������
������
������0
������
������0
������
������0
������������ ������ ������������ ������ ������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ 2 ∙ 2 ∙ 2 = ������ ������ ������, ������ ������ ������, ������ ������ ������ ������������ ������, ������ ≈ ������������ ������, ������ ������0 0 ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ 2 2 2 表示布洛赫波包,某时刻在坐标空间找到电子的概率是 2 ������ ������ 2 ������������ ������, ������ 2 = ������������ ������ ������ ������, ������ 0 •