三角函数的有关计算
《三角函数的有关计算》直角三角形的边角关系三角函数的有关计算
要点二
余切函数（cotangent function）
直角三角形中，任意非斜边与另一相邻非斜边的比值的 余数，记作cotA。
函数图像
正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数均有明显的周期 性，其图像呈现出“波浪形”的变化。
正弦函数和余弦函数的图像在同一坐标系中呈现出对称性， 如正弦函数的图像关于原点对称，余弦函数的图像关于y轴对 称。
两个直角三角形的关系
如果知道两个直角三角形的两个对应边成比例，则这两个三 角形相似。
03
正弦函数和余弦函数的有关计算
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中一个锐角的对 边与斜边的比值。记作sinA。
图像
在直角坐标系中，正弦函数的图像呈现周期性波动，取值范围在1到1之间，其中0表示直角。
正切函数
正切函数定义为直角三角形中一个锐角的对边与 邻边的比值。
角度与三角函数值
度数与三角函数
知道一个锐角的角度，可以计算出这个锐角的正弦、余弦和正切值。
特殊角度的三角函数值
对于一些特殊角度（如30度，45度和60度），其三角函数值是固定的。
边角关系转换
邻边、对边与角度的关系
在知道直角三角形中的两个边长和一个角度，可以计算出第 三个角的度数。
余切函数和角公式
$\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot(\alpha)\cot(\beta) - 1}{\cot(\alpha) + \cot(\beta)}$
05
复杂三角函数的有关计算
倍角公式
两倍角公式
$sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
求三角函数的运算的方法总结
求三角函数的运算的方法总结在数学中，三角函数是一个重要的概念。
它们在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
本文将总结三角函数的运算方法，包括加减法、乘法、除法和逆函数等。
一、三角函数的加减法1. 余弦函数的加减法：根据余弦函数的定义可知，cos(A ± B) = cosAcosB - sinAsinB。
这一公式可以用于计算任意两个角度的余弦函数之和或之差。
2. 正弦函数的加减法：根据正弦函数的定义可知，sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB。
这一公式可以用于计算任意两个角度的正弦函数之和或之差。
3. 切线函数的加减法：根据切线的定义可知，tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)。
这一公式可以用于计算任意两个角度的切线函数之和或之差。
二、三角函数的乘法和除法1. 余弦函数的乘法和除法：根据余弦函数的定义可知，cosAcosB = (1/2)[cos(A + B) + cos(A - B)]。
这一公式可以用于计算余弦函数的乘积。
同样地，我们可以得到cosA/sinA = cotA，cosA/cosB = secA。
2. 正弦函数的乘法和除法：根据正弦函数的定义可知，sinAsinB = (1/2)[cos(A - B) - cos(A + B)]。
这一公式可以用于计算正弦函数的乘积。
同样地，我们可以得到sinA/cosA = tanA，sinA/sinB = cscA。
三、三角函数的逆函数1. 余弦函数的逆函数：余弦函数的逆函数为反余弦函数，记作arccos(x) 或 acos(x)。
反余弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
2. 正弦函数的逆函数：正弦函数的逆函数为反正弦函数，记作arcsin(x) 或 asin(x)。
反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
三角函数的计算
三角函数的计算三角函数是数学中一类重要的函数，它们广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在本文中，将介绍如何计算三角函数、三角函数的实际应用以及一些常见的计算误差和解决方法。
一、三角函数的计算公式三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），它们的计算公式如下：1. 正弦函数（sin）的计算公式：sin(x) = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）的计算公式：cos(x) = 临边 / 斜边3. 正切函数（tan）的计算公式：tan(x) = 对边 / 临边其中，x 为角度，对边为与该角度相对的边长，临边为与该角度相邻的边长，斜边为三角形的斜边长。
二、三角函数的计算方法1. 计算已知角度的三角函数值：可以通过计算公式直接计算已知角度的三角函数值。
例如，若要计算角度为 30°的正弦值，则可以使用 sin(30°) = 对边 / 斜边的计算公式得到结果。
2. 使用计算器：大多数计算器或科学计算器都内置了三角函数的计算功能，可以直接输入角度值并选择对应的三角函数，计算器将给出准确的结果。
3. 利用三角函数表：三角函数表中记录了一些角度的三角函数值，可以通过查表的方式寻找所需的数值。
然而，表格中的数值通常是有限的，不够精确，且需要手动查找，因此不如使用计算器方便快捷。
三、三角函数的实际应用三角函数的应用广泛，其中一些常见的应用包括：1. 几何学：三角函数在几何学中是不可或缺的工具，可以用于计算各种角度和边长的关系，帮助解决各种几何问题。
2. 物理学：三角函数在物理学中有着广泛的应用，例如在力学中，可以利用三角函数计算物体在斜面上的受力分解和运动情况；在波动学中，可以利用三角函数描述周期性运动。
3. 工程学：在建筑、土木工程等领域，三角函数可用于计算建筑物的倾斜角度、吊杆或斜杆的长度等问题，为实际工程提供数值计算支持。
四、计算误差与解决方法尽管三角函数的计算公式和计算器能够提供较高的精度，但在实际计算中，由于计算机表示数字的精度有限，可能会产生误差。
3.三角函数的有关计算
解：如图，由题意得
AB=20m ∠CAB=50°∠DAB=56°
∵DB=ABtan56° ≈20×1.4826=29.652 CB=ABtan50° ≈ 20×1.1918=23.836 ∴DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82
所以避雷针的长度约5.82米.
3.如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望 大厦,并测得大厦顶部仰角是45°,而大厦底部的俯角是 37°,求该大厦的的高度(结果精确到0.1m).
b tan B . a
4、互余两角之间的三角函数关系:
5、同角之间的三角函数关系: sin A 2 2 sin A+cos A=1 tan A . cos A
三角函数
锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
300
1 2
2 2 3 2
450
600
3 2 2 2
3 3
1
3
1 2
1、如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了 200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°, 那么缆车垂直上升的距离是多少?（参考数据： sin16°≈0.2756，cos16°≈0.9945，tan16°≈0.2867）
解:如图,由题意得
AC=6.3 BC=9.8
AC 6.3 tan B 0.6429 . BC 9.8
∴∠B≈32.6° 因此,射线的入射角度约为32.6°.
7、如图,为某小区的两幢10层住宅楼,由地面向上依次为第1层、 第2层……第10层，每层的高度为3m，两楼间的距离AC=30m. 现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况。假设 某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼上的影子长EC=h，太阳光线与水平线 的夹角为α . （1）用含α 的式子表示h； （2）当α =30o时，甲楼楼顶B的 影子落在乙楼的第几层？从此时 算起，若α 每时增加10o，多久 后，甲楼的影子刚好不影响乙楼 的采光？ F h 30m
三角函数的计算
三角函数的计算一、锐角三角函数的概念与计算方法1.正弦（sine）函数：正弦函数是指在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值。
其计算公式为：sinθ = 对边 / 斜边。
2.余弦（cosine）函数：余弦函数是指在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比值。
其计算公式为：cosθ = 邻边 / 斜边。
3.正切（tangent）函数：正切函数是指在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值。
其计算公式为：tanθ = 对边 / 邻边。
二、钝角三角函数的概念与计算方法1.余切（cotangent）函数：余切函数是指在直角三角形中，钝角的对边与邻边的比值的倒数。
其计算公式为：cotθ = 邻边 / 对边。
2.余弦（secant）函数：余弦函数是指在直角三角形中，钝角的邻边与斜边的比值的倒数。
其计算公式为：secθ = 斜边 / 邻边。
3.正割（cosecant）函数：正割函数是指在直角三角形中，钝角的对边与斜边的比值的倒数。
其计算公式为：cscθ = 斜边 / 对边。
三、特殊角的三角函数值1.30°角的三角函数值：sin30°= 1/2，cos30° = √3/2，tan30°= 1/√3，cot30° = √3，sec30° = 2/√3，csc30° = 2。
2.45°角的三角函数值：sin45° = cos45° = tan45° = 1，cot45° = 1，sec45° = √2，csc45° = √2。
3.60°角的三角函数值：sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3，cot60° = 1/√3，sec60° = 2，csc60° = 2/√3。
四、三角函数的周期性1.正弦函数的周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(θ + 2π) = sinθ。
三角函数的有关计算
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC= 3 ,则 3 A tan = 。
2
3
4 2, 在△ABC中，∠C = 90 ，sinA = , BC = 20, 5 求△ABC的周长和面积。 60， 150
0
3．等腰三角形底角为30°，底边长为 2 3 ，则腰长为 ( C ) A.4 B. 2 3 C.2
AD 10 tan ACD 0.5208 , CD 19.2
∴∠ACD≈27.50 .
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50 =550.
∴V型角的大小约550.
如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤，在接受放射性 治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线 必须从侧面照射。已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右 侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度。
解：在Rt△CBD中， ∠CBD=30°
设CD=x，则BD= 3 x 在Rt△CAD中， ∵∠CAD=45°
C
AD CD x
由AD-BD=AB，得
x
° 45 D 30° A 30 B
3x x 30
∴ x 15 3 15 答：河宽CD为 15 3 15 米。
已知：如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼 底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精 确到0.01米）．（参考数据：2 ＝1.41421…； 3＝1.73205…） 解：由题意，在Rt△ABD中，BD＝80（米），∠BDA=60°
15 D. 2
C.18
一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动 时，摆角恰好为600，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位 置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到0.01m）
三角函数的有关计算
三角函数的有关计算三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、物理、工程以及计算机图形学等领域都有广泛的应用。
在这篇文章中，我将介绍三角函数的定义、性质和一些常用的计算方法，并通过例题来说明其实际应用。
首先，我们来看一下三角函数的定义。
在平面直角坐标系中，给定一个角度θ，我们可以通过一条射线从坐标原点出发，沿逆时针方向旋转θ度来定义一个角。
这个角所对应的单位圆上的点的坐标就是我们常说的正弦值和余弦值。
正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是最常用的三角函数。
它们的定义如下：sinθ = y / rcosθ = x / r其中，x和y分别代表角θ所对应的点在单位圆上的横坐标和纵坐标，r是角θ所对应的点到原点的距离。
另外，根据三角恒等式，sinθ和cosθ具有以下关系：sin^2θ + cos^2θ = 1正切函数（tan）是另外一个常用的三角函数，它的定义如下：tanθ = sinθ / cosθ = y / x除了正弦、余弦和正切函数，还有一些其他的三角函数。
例如，余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
它们的定义如下：cotθ = 1 / tanθ = cosθ /sinθ = x / ysecθ = 1 / cosθ = r / xcscθ = 1 / sinθ = r / y接下来，我们来介绍一些三角函数的性质。
1.周期性：正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的周期为2π。
也就是说，对于任意角度θ，下面的等式成立：sin(θ + 2πn) = sinθ, 其中n为任意整数。
cos(θ + 2πn) = cosθ, 其中n为任意整数。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，满足sin(-θ) = -sinθ。
余弦函数是偶函数，满足cos(-θ) = cosθ。
3. 正弦函数的范围：正弦函数的值域为[-1, 1]，即对于任意角度θ，-1 ≤ sinθ ≤ 14. 余弦函数的范围：余弦函数的值域为[-1, 1]，即对于任意角度θ，-1 ≤ cosθ ≤ 15. 切线：切线是指与单位圆上一点切线重合的直线。
三角函数有关公式
三角函数有关公式三角函数是数学中重要的一类函数，以正弦、余弦、正切、余切等为主要代表。
在解决三角函数方程、计算三角函数值、分析波动现象等领域都起到了重要的作用。
本文将介绍三角函数的一些重要公式，包括基本关系、和差角公式、倍角公式、半角公式、和降幂公式等，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、基本关系在直角三角形中，正弦、余弦、正切的定义如下：正弦：sinθ = 对边 / 斜边余弦：cosθ = 邻边 / 斜边正切：tanθ = 对边 / 邻边根据勾股定理可得到以下重要关系：sin²θ + cos²θ = 11 + tan²θ = sec²θ（sec表示 secant）1 + cot²θ = cosec²θ（cosec表示cosecant）二、和差角公式1、sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB2、cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB3、tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / （1 ∓ tanA·tanB）三、倍角公式1、sin2θ = 2sinθcosθ2、cos2θ = cos²θ - sin²θ= 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ3、tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)四、半角公式1、sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)2、cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)3、tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))其中正负号的选择根据θ的范围确定。
五、和降幂公式1、sin³θ = 3sinθ - 4sin³θ2、cos³θ = 4cos³θ - 3cosθ3、tan²θ = sec²θ - 14、cot²θ = cosec²θ - 15、cos²θ =（1 + cos2θ）/ 26、2sinθcosθ = sin2θ7、1 + tan²θ = sec²θ8、1 + cot²θ = cosec²θ以上公式在解决三角函数方程、计算三角函数值时起到了重要的作用。
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三角函数的有关计算(一)
教学目标
(一)知识与技能
1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义.
2.能够用计算器进行有关三角函数值的计算.
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
(二)过程与方法
1.借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力.
2.发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐.
2.形成实事求是的态度.
教学重点
1.用计算器由已知锐角求三角函数值.
2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
教学难点
用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
教学方法
探索——引导.
教具准备
多媒体课件演示
教学过程
Ⅰ.提出问题，引入新课
用多媒体演示：
[问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200米，已知缆车行
驶的路线与水平面的夹角为∠a ＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?
在Rt △ABC 中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC.
根据正弦的定义，sin16°=200
BC AB BC , ∴BC ＝ABsin16°＝200 sin16°(米).
[师]200sin16°米中的“sin16°”是多少呢?我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定. 对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三
角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求三角函数值呢?
Ⅱ.讲授新课
1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值.
[师]
用科学计算器求三角函数值，要用到
和键.例如sin16°，
cos42°，
sin72°
38′25″.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.
(教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法)
[师]大家可能注意到用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位.
下面就清同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.
用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m).
[师]下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示).
(1)sin56°；(2)sin15°49′；
(3)cos20°；(4)tan29°；
(5)tan44°59′59″；(6)sin15°+cos61°+tan76°.
(以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确)
(1)sin56°≈0.8290；
(2)sin15°49′≈0.2726；
(3)cos20°≈0.9397；
(4)tan29°≈0.5543；
(5)tan44°59′59″≈1.0000；
(6)sin15°+cos61°+tan76°≈0.2588+0.4848+4.0108=4.7544.
[师]你能用计算器计算说明下列等式成立吗?(用多媒体演示) 下列等式成立吗?
(1)sin15°+sin25°＝sin40°；
(2)cos20°+cos26°=cos46°；
(3)tan25°+tan15°＝tan40°.
上面三个等式都不成立.
(1)sin15°+sin25°≈0.2588+0.4226＝0.6814；
sin40°≈0.6428，
∴sin15°+sin25°≠sin40°；
(2)cos20°+cos26°≈0.9397+0.8988＝1.8385。
cos46°≈0.6947，
∴cos20°+cos26°≠cos46°；
(3)tan25°+tan15°≈0.4663+0.2679＝0.7342，
tan40°≈0.8391，
∴tan25°+tan15°≠tan40°.
[师]由此.你能得出什么结论?
两个锐角的正弦的和不等于这两个锐角的和的正弦.对于余弦、正切也一样.
2.用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.
[师]看来同学们已能很熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值.下面我们运用计算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题.
多媒体演示本节开始的问题：
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么?
可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度.
可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离.
[师]下面我们就请三位同学分别就上面的问题用计算器辅助计算出结果.其余同学可在小组内交流、讨论完成.
在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200 m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°=200sin42°≈133.83(米).
由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE=55.12+133.83＝188.95(米).
在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23(米).
在RtADBE中，∠β＝42°，BD＝200米.BE＝BD·cos42°≈200×0.7431=148.63(米).
缆车从A→B→D移动的水平距离为BE+AC＝192.23+148.63=340.86(米).
Ⅲ.随堂练习
一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m)
Ⅳ.课时小结
本节课主要内容如下：
(1)运用计算器计算由已知锐角求它的三角函数值.
(2)运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
Ⅴ.课后作业
习题1.4的第1、2题
板书设计
§1.3.1 三角函数的有关计算(一)
1.用计算器由已知锐角求它的三角函数值熟练操作，求sin16°，cos42°，tan85°，sin
72°38′25″.
2.用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
教学反思：。