典型相关分析 多元统计分析课件(人大何晓群)
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多元统计分析人大何晓群第一章ppt课件
维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 np矩
阵，其元素是 covX(i,Yj )，即 cX o , Y ) ( v c X i , ( Y j ) o ,i ) v 1 , , n ; ( j 1 , ,p( 1 . 1 ) 若covX(,Y)0，称 X和Y是不相关的。
当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：
后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标
差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，
推广到多维就要乘以协方差阵∑的逆矩阵
，这1 就是马氏
x(/1)
,xp)
x(/2)
xn1 xn2
xnp
x(/n)
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 x1,x2, ,xp为p个随机变量，由它们组成 的向量 (x1,x2, ,xp) 称为随机向量。
2021/5/24
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8
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§1.1.2 分布函数与密度函数
在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分 析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常 需将每个指标“标准化”，即做如下变换
X
j
X j E(X j)
(var
X
)1/ 2
j
j 1, , p
X
(
X
1
,
X
2
,,Xp)于是(1.12)
E(X) 0
D(X) corr(X) R
数，G(x)和H(y)分别为X和 Y的分布函数，则 X与 Y独立
当且仅当 F f(x (,xy ,)y ) G (g x()H x)(h y ()y)
（1.4）
阵，其元素是 covX(i,Yj )，即 cX o , Y ) ( v c X i , ( Y j ) o ,i ) v 1 , , n ; ( j 1 , ,p( 1 . 1 ) 若covX(,Y)0，称 X和Y是不相关的。
当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：
后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标
差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，
推广到多维就要乘以协方差阵∑的逆矩阵
，这1 就是马氏
x(/1)
,xp)
x(/2)
xn1 xn2
xnp
x(/n)
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 x1,x2, ,xp为p个随机变量，由它们组成 的向量 (x1,x2, ,xp) 称为随机向量。
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§1.1.2 分布函数与密度函数
在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分 析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常 需将每个指标“标准化”，即做如下变换
X
j
X j E(X j)
(var
X
)1/ 2
j
j 1, , p
X
(
X
1
,
X
2
,,Xp)于是(1.12)
E(X) 0
D(X) corr(X) R
数，G(x)和H(y)分别为X和 Y的分布函数，则 X与 Y独立
当且仅当 F f(x (,xy ,)y ) G (g x()H x)(h y ()y)
（1.4）
《多元统计分析》课件
数据预处理和清洗
1
数据清洗
解决缺失值、异常值和重复数据问题。
2
标准化处理
对数据进行标准化、归一化和正态化处理。
3
变量选择
学习如何选择影响结果的重要变量。
描述性统计分析
1 中心趋势分析
运用平均值、中位数和众数等指标揭示数据的集中情况。
2 离散程度分析
探索数据的离散程度，如标准差和方差。
3 分布形态分析
识别数据分布的形态，如正态分布和偏态分布。
相关分析
线性相关
学习如何评估变量之间的 线性关系。
非线性相关
探索变量之间的非线性关 系，如曲线和曲面拟合。
相关系数
了解相关系数的计算方法 及其解释。
统计显著性检验
1
假设检验
学习如何根据样本数据推断总体参数。
2
置信区间
了解如何估计总体参数的范围。
3
显著性水平
确定显著性水平及其对推断的影响。
回归分析
线性回归
构建线性回归模型来预测因变量。
回归诊断
评估回归模型用。
多元方差分析
单因素设计
比较多个组之间的差异。
多重比较
确定组之间的具体差异。
二因素设计
考虑两个自变量对因变量的 影响。
《多元统计分析》PPT课件
探索多元统计分析的定义、概念和应用。从数据预处理到分析模型选择，帮 助解决实际问题。了解多元统计软件和未来发展方向。
数据结构和类型
结构
探索多元数据的各种结 构，包括矩阵、向量和 表格。
类型
了解多元数据的分类， 如连续型、离散型、定 类型和定序型。
示例
使用实际案例来展示多 元数据的结构和类型。
《多元统计分析》课件
采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-聚类分析
多元统计分析
——基于R语言
中国人民大学：何晓群
苏州大学：马学俊
03
聚类分析
➢学习目标：
1.了解适合用聚类分析解决的问题;
2.理解对象之间的相似性是如何测量的;
3.区别不同的距离;
4.区分不同的聚类方法及其相应的应用;
5.理解如何选择类的个数;
6.简述聚类分析的局限。
3.1 聚类分析的基本思想
3.1.1 目的
的关系越密切; 的绝对值越接近0,表示指标和指标的关系越疏远。对于间隔尺度,常用的
相似系数有夹角余弦和相关系数。
(1)夹角余弦：指标向量 1 , 2 , … , 和 1 , 2 , … , 之间的夹角余弦
ij 1 =
间隔尺度定义
σ=1
+ )个样品,它们的重心用ത , ത , ത 表示,则
1
ത = ( ത + ത )
某一类 的中心为ത ,它与新类 的距离为2 (, ) = (ത − ത )’ (ത −ത ),经证明重心法的递推
公式为:
聚类分析不仅可以用来对样品进行分类,而且可以用来对变量进行分类。对样品的分类
常称为型聚类分析,对变量的分类常称为型聚类分析。与多元分析的其他方法相比,
聚类分析的方法还是比较粗糙的,理论上也不算完善,但由于它能解决许多实际问题,所
以很受实际研究者重视,同回归分析、判别分析一起称为多元分析的三大方法。
和ഥ
间距离。
(5)离差平方和法： = σ∈ ( −ത )′ ( − ത ) ， = σ∈ ( −ത )′ ( − ത ) ,
′
+ = σ∈ ⊔ ( −)ҧ ( − ),
——基于R语言
中国人民大学：何晓群
苏州大学：马学俊
03
聚类分析
➢学习目标：
1.了解适合用聚类分析解决的问题;
2.理解对象之间的相似性是如何测量的;
3.区别不同的距离;
4.区分不同的聚类方法及其相应的应用;
5.理解如何选择类的个数;
6.简述聚类分析的局限。
3.1 聚类分析的基本思想
3.1.1 目的
的关系越密切; 的绝对值越接近0,表示指标和指标的关系越疏远。对于间隔尺度,常用的
相似系数有夹角余弦和相关系数。
(1)夹角余弦：指标向量 1 , 2 , … , 和 1 , 2 , … , 之间的夹角余弦
ij 1 =
间隔尺度定义
σ=1
+ )个样品,它们的重心用ത , ത , ത 表示,则
1
ത = ( ത + ത )
某一类 的中心为ത ,它与新类 的距离为2 (, ) = (ത − ത )’ (ത −ത ),经证明重心法的递推
公式为:
聚类分析不仅可以用来对样品进行分类,而且可以用来对变量进行分类。对样品的分类
常称为型聚类分析,对变量的分类常称为型聚类分析。与多元分析的其他方法相比,
聚类分析的方法还是比较粗糙的,理论上也不算完善,但由于它能解决许多实际问题,所
以很受实际研究者重视,同回归分析、判别分析一起称为多元分析的三大方法。
和ഥ
间距离。
(5)离差平方和法： = σ∈ ( −ത )′ ( − ത ) ， = σ∈ ( −ത )′ ( − ത ) ,
′
+ = σ∈ ⊔ ( −)ҧ ( − ),
应用多元统计分析(全套课件533P)
多元统计的应用
经济学上的应用 ：如不同地区的经济发展水平比较，综合的经济效 益评价等 医学上的应用 ：如研究某种病的起因，研究某种新药或某种医疗方 法的治疗效果，利用计算机初步诊断病情等。 体育科学的研究：如对运动员的心理研究、体能研究等。 另外在生态学、地质学、社会学、考古学、生物学、军事科学等等领 域，多元统计都得到了广泛的应用。
E(X 1) 1 E(X ) 2 2 X E(X P ) p
随机向量的数字特征
随机向量X自协方差阵:
D(X) cov(X,X) E(X EX)(X EX) cov(X1,X 2) cov(X1,X p) D(X1) cov(X ,X ) D(X 2) cov(X 2,X p) 2 1 D(X p) cov(X p,X1) cov(X p,X 2) ( ij)
应用多元统计分析
什么是多元统计分析
在我们对某现象进行研究时，常常需要同时观测多个指标。 如，衡量一个地区的经济发展水平时，不仅要考虑国内生产总值水平、 而且还要考虑收入、消费、投资、进出口等多个指标；
上述指标，在统计中通常称为变量。
什么是多元统计分析
如何同时对多个变量进行有效的分析和研究？ 一种做法是把多个变量分开分析，一次仅分析一个变量，最多也就是 研究两个变量之间的关系，这就是我们已经在统计学中学过的一元统 计分析； 另一种做法是对这些所要研究的变量同时进行分析研究，即多元统计 分析。
x11 x12 x1 p x x x 21 22 2p X (X 1，X 2， ，X p) xn1 xn2 xnp
X(1) X (2) X(n)
第九章 典型相关分析 《应用多元统计分析》 ppt课件
aΣ12b ，
(9.14)
式(9.14)说明， 的值就是线性组合U 和V 之间的相关系数。因此，式(9.11)可写成
Σ11a Σ12b 0 ，
(9.15)
Σ21a Σ22b 0 ，
(9.16)
为求解方程，先以
Σ12
Σ1 22
左乘以式(9.16)，并将式(9.15)代入式(9.16)，得
来度量。当 p 1， q 1 时，对两组变量两两求相关系数，就得到了 ( p q) ( p q)阶相
关阵。在变量数较多的时候，直接通过相关阵研究两组变量之间的相关关系不仅繁琐，同时 也不容易抓住问题的本质。回归分析中的复相关系数给了我们提示，复相关系数可以描述一 个变量与一组变量线性组合之间的相关性。那么是否能够更进一步从每一组变量中构造少数 综合变量，用少数综合变量的相关关系来反映两组变量之间的相关关系呢？
为典型变量，这些变量对之间的相关系数称为典型相关系数。
6
一、总体典型变量与典型相关系数
由典型相关分析原理，典型相关分析希望寻求 a 和 b 使得 UV 达到最大，但是由于随机
变量乘以常数时不改变它们的相关系数，为了防止不必要的结果重复出现，最好的限制是令
D(U ) 1和 D(V ) 1。于是，我们的问题就转化为，在
这里，我们不加证明地直接给出典型变量所具有的性质：
性质 9.1：由 X1, X2, , X p 所组成的典型相关变量U1,U2, ,U p 互不相关；同样地， 由 Y1,Y2, ,Yq 所组成的典型相关变量V1,V2, ,Vp 也互不相关，并且它们的方差均等于 1。
用数学表达式为：
D(Uk ) D(Vk ) 1，
一、典型相关分析的基本思想
假设一组随机变量为 X1, X2, , X p ，另一组随机变量为Y1,Y2, ,Yq ，我们要研究两组
多元统计分析典型相关分析21页PPT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
多元统计分析典型相关分析
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
多元统计分析典型相关分析
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-因子分析
6.2 因子载荷的求解
6.2.3 极大似然法
假定公共因子F和特殊因子ε服从正态分布,则能够得到因子载荷和特殊
因子方差的极大似然估计。设, , … , 为来自正态总体(, )的随
极
大
似
然
法
机样本,其中Σ=AA'+Σε。 从似然函数的理论知:
(, )=
()/ ||/
6.2.1 主成分法
由主成分法很容易得出由Y到X的转换Hale Waihona Puke 系为:主成分
法
1 = 11 1 + 12 2 + ⋯ + 1
2 = 21 1 + 22 2 + ⋯ + 2
⋮
3 = 1 1 + 2 2 + ⋯ +
对上面每一等式只保留前m个主成分而把后面的部分用代替，
式中,为标准化后的第i门科目的考试成绩,均值为0,方差为1;, , … , 是彼此独立的
公共因子,都满足均值为0,方差为1;为特殊因子,与每一个公共因子均不相关且均值为
0; ,,…,为对第i门科目考试成绩的因子载荷。对该模型,有
() = + + ⋯ + + () =
独立这个限制,因而可能达到更为简洁的形式,其实际意义也更容易解释。
6.2 因子载荷的求解
6.2.5 因子得分
在因子模型中,公共因子的个数少于原始变量的个数,且公共因子是不可观测的隐变量,
载荷矩阵A不可逆,因而不能直接求得公共因子用原始变量表示的精确线性组合。解
决该问题的一种方法是建立如下以公共因子为因变量、原始变量为自变量的回归方
6.2 因子载荷的求解
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
1. 推导典型函数 典型函数的推导类似于没有旋转的因子分析的过程[参见前 面推导]。典型相关分析集中于说明两组变量间的最大相关 关系，而不是一组变量。结果是第一对典型变量在两组变 量中有最大的相关关系。第二对典型变量得到第一对典型 变量没有解释的两组变量间的最大相关关系。简言之，随 着典型变量的提取，接下来的典型变量是基于剩余残差， 并且典型相关系数会越来越小。每对典型变量是正交的， 并且与其他的典型变量是独立的。 典型相关程度是通过相关系数的大小来衡量的。典型相关 系数的平方表示一个典型变量通过另外一个典型变量所解 释的方差比例，也可称作两个典型变量间共同方差的比例。 典型相关系数的平方称作典型根或者特征值。
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
3. 典型相关系数的显著性检验
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
2. 典型函数的解释 一般来讲，实际提取的典型函数都是典型相 关系数在某个水平（比如0.05）上显著的函 数。对显著的典型变量的解释是基于这样的 假设，即认为相关的函数中，每组中的变量 都对共同方差有较大贡献。 Hair(1984)等人推荐三个准则结合使用来解释 典型函数。这三个准则是（1）函数的统计显 著性水平，（2）典型相关的大小，（3）两 个数据集中方差解释的冗余测量。
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
典型相关分析是借助于主成分分析的思想，对 每一组变量分别寻找线性组合，使生成的新的 综合变量能代表原始变量大部分的信息，同时， 与由另一组变量生成的新的综合变量的相关程 度最大，这样一组新的综合变量称为第一对典 型相关变量，同样的方法可以找到第二对，第 三对，…，使得各对典型相关变量之间互不相 关，典型相关变量之间的简单相关系数称为典 型相关系数，典型相关分析就是用典型相关系 数衡量两组变量之间的相关性。
2
第八章
典型相关分析
• 典型相关分析（canonical correlation analysis）是 研究两组变量之间相关关系的多元分析方法。它 借用主成分析降维的思想，分别对两组变量提取 主成分，且使从两组变量提取的主成分之间的相 关程度达到最大，而从同一组内部提取的各主成 分之间互不相关，用从两组之间分别提取的主成 分的相关性来描述两组变量整体的线性相关关系。 典型相关分析的思想首先由Hotelling于1936年提 出，计算机的发展解决了典型相关分析在应用中 计算方面的困难，目前成为普遍应用的进行两组 变量之间相关性分析的技术。本章主要介绍典型 相关分析的思想，基本理论及分析方法，并介绍 利用SPSS软件进行典型相关分析的方法。
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
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第2步：设计典型相关分析 典型相关分析作为一种多元分析方法，与其他的多 元分析技术有共同的基本的要求。其它方法（尤其 是多元回归、判别分析和方差分析）所讨论的测量 误差的影响、变量类型及变换也与典型相关分析有 很大关系。 样本大小的影响和每个变量需要足够的观测都是典 型相关分析经常遇到的。研究者容易使自变量组和 因变量组包含很多的变量，而没有认识到样本量的 含义。小的样本不能很好的代表相关关系，这样掩 盖了有意义的相关关系。建议研究者至少保持每个 变量10个观测，以避免数据的“过度拟合”。
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
通常认为一个有统计显著性的相关系数可接受显著 性水平是0.05（也有0.01的水平）。统计软件所提供 的最常见的检验是基于Rao近似的F统计量。除了对 每个典型函数分别的检验以外，全部典型根的多元 检验也可以用来评价典型根的显著性。许多评价判 别函数显著性的测量，包括Wilks’Lamada、 Hotelling迹、Pillai迹和Roy’s gcr，这里也可以给出。 典型函数的实际重要性是由典型相关系数的大小代 表的。当决定解释哪些函数时，应当考虑典型相关 系数。
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
第4步：推导典型函数、评价整体拟合情况 每个典型函数都包括一对变量，通常一个代 表自变量，另一个代表因变量。可从变量组 中提取的典型变量（函数）的最大数目等于 最小数据组中的变量数目。比如，一个研究 问题包含5个自变量和3个因变量，可提取的 典型函数的最大数目是3。
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8.1.2 典型相关分析的基本理论及方法
1. 总体典型相关和典型变量
§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
典型相关分析的步骤有以下6 步：（1）确定典型相关分析 的目标；（2）设计典型相关 分析；（3）检验典型相关分 析的基本假设；（4）估计典 型模型，评价模型拟合情况； （5）解释典型变量；（6）验 证模型。见参考文献[5]。它实 现的逻辑框图如下：
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
前面讲到典型相关系数的平方可以提供典型变 量间共同方差的一个估计。尽管这是对共同方 差的一个简单明了的估计，它可能引起一些误 解，因为典型相关系数的平方表示由因变量组 和自变量组的线性组合所共享的方差，而不是 来自两组变量的方差。这样，即使两个典型变 量可能并没有从它们各自的变量组中提取显著 方差，但这两个典型变量（线性组合）间仍可 能得到一个相对较强的典型相关系数。
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法 2. 样本典型相关和典型变量
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
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第3步：典型相关分析的基本假定 线性假定影响典型相关分析的两个方面。首先，任意两个变量 间的相关系数是基于线性关系的。如果这个关系不是线性的， 一个或者两个变量需要变换。其次，典型相关是变量间的相关。 如果关系不是线性的，典型相关分析将不能测量到这种关系。 典型相关分析能够包容任何没有严格正态性假定的度量变量。 正态性是有意义的，因为它标准化了分布，允许变量间的更高 程度的相关。但在严格意义上，如果变量的分布形式（比如高 度偏态）不会降低与其他变量的相关关系，典型相关分析是可 以包含这种非正态变量的。这就允许使用非正态变量。然而， 对于每个典型函数的多元正态性的统计检验是必要的。由于多 元正态性检验不一定可行，流行的准则是保证每个单变量的正 态性。这样，尽管不严格要求正态性，建议所有变量都检验正 态性，如有必要，对变量进行变换。
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
1. 推导典型函数 典型函数的推导类似于没有旋转的因子分析的过程[参见前 面推导]。典型相关分析集中于说明两组变量间的最大相关 关系，而不是一组变量。结果是第一对典型变量在两组变 量中有最大的相关关系。第二对典型变量得到第一对典型 变量没有解释的两组变量间的最大相关关系。简言之，随 着典型变量的提取，接下来的典型变量是基于剩余残差， 并且典型相关系数会越来越小。每对典型变量是正交的， 并且与其他的典型变量是独立的。 典型相关程度是通过相关系数的大小来衡量的。典型相关 系数的平方表示一个典型变量通过另外一个典型变量所解 释的方差比例，也可称作两个典型变量间共同方差的比例。 典型相关系数的平方称作典型根或者特征值。
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
3. 典型相关系数的显著性检验
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
2. 典型函数的解释 一般来讲，实际提取的典型函数都是典型相 关系数在某个水平（比如0.05）上显著的函 数。对显著的典型变量的解释是基于这样的 假设，即认为相关的函数中，每组中的变量 都对共同方差有较大贡献。 Hair(1984)等人推荐三个准则结合使用来解释 典型函数。这三个准则是（1）函数的统计显 著性水平，（2）典型相关的大小，（3）两 个数据集中方差解释的冗余测量。
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法
典型相关分析是借助于主成分分析的思想，对 每一组变量分别寻找线性组合，使生成的新的 综合变量能代表原始变量大部分的信息，同时， 与由另一组变量生成的新的综合变量的相关程 度最大，这样一组新的综合变量称为第一对典 型相关变量，同样的方法可以找到第二对，第 三对，…，使得各对典型相关变量之间互不相 关，典型相关变量之间的简单相关系数称为典 型相关系数，典型相关分析就是用典型相关系 数衡量两组变量之间的相关性。
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第八章
典型相关分析
• 典型相关分析（canonical correlation analysis）是 研究两组变量之间相关关系的多元分析方法。它 借用主成分析降维的思想，分别对两组变量提取 主成分，且使从两组变量提取的主成分之间的相 关程度达到最大，而从同一组内部提取的各主成 分之间互不相关，用从两组之间分别提取的主成 分的相关性来描述两组变量整体的线性相关关系。 典型相关分析的思想首先由Hotelling于1936年提 出，计算机的发展解决了典型相关分析在应用中 计算方面的困难，目前成为普遍应用的进行两组 变量之间相关性分析的技术。本章主要介绍典型 相关分析的思想，基本理论及分析方法，并介绍 利用SPSS软件进行典型相关分析的方法。
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
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第2步：设计典型相关分析 典型相关分析作为一种多元分析方法，与其他的多 元分析技术有共同的基本的要求。其它方法（尤其 是多元回归、判别分析和方差分析）所讨论的测量 误差的影响、变量类型及变换也与典型相关分析有 很大关系。 样本大小的影响和每个变量需要足够的观测都是典 型相关分析经常遇到的。研究者容易使自变量组和 因变量组包含很多的变量，而没有认识到样本量的 含义。小的样本不能很好的代表相关关系，这样掩 盖了有意义的相关关系。建议研究者至少保持每个 变量10个观测，以避免数据的“过度拟合”。
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
通常认为一个有统计显著性的相关系数可接受显著 性水平是0.05（也有0.01的水平）。统计软件所提供 的最常见的检验是基于Rao近似的F统计量。除了对 每个典型函数分别的检验以外，全部典型根的多元 检验也可以用来评价典型根的显著性。许多评价判 别函数显著性的测量，包括Wilks’Lamada、 Hotelling迹、Pillai迹和Roy’s gcr，这里也可以给出。 典型函数的实际重要性是由典型相关系数的大小代 表的。当决定解释哪些函数时，应当考虑典型相关 系数。
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
第4步：推导典型函数、评价整体拟合情况 每个典型函数都包括一对变量，通常一个代 表自变量，另一个代表因变量。可从变量组 中提取的典型变量（函数）的最大数目等于 最小数据组中的变量数目。比如，一个研究 问题包含5个自变量和3个因变量，可提取的 典型函数的最大数目是3。
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8.1.2 典型相关分析的基本理论及方法
1. 总体典型相关和典型变量
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
典型相关分析的步骤有以下6 步：（1）确定典型相关分析 的目标；（2）设计典型相关 分析；（3）检验典型相关分 析的基本假设；（4）估计典 型模型，评价模型拟合情况； （5）解释典型变量；（6）验 证模型。见参考文献[5]。它实 现的逻辑框图如下：
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§8.2 典型相关分析的步骤及逻 辑框图
前面讲到典型相关系数的平方可以提供典型变 量间共同方差的一个估计。尽管这是对共同方 差的一个简单明了的估计，它可能引起一些误 解，因为典型相关系数的平方表示由因变量组 和自变量组的线性组合所共享的方差，而不是 来自两组变量的方差。这样，即使两个典型变 量可能并没有从它们各自的变量组中提取显著 方差，但这两个典型变量（线性组合）间仍可 能得到一个相对较强的典型相关系数。
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§8.1典型相关分析的基本理论 及方法 2. 样本典型相关和典型变量
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第3步：典型相关分析的基本假定 线性假定影响典型相关分析的两个方面。首先，任意两个变量 间的相关系数是基于线性关系的。如果这个关系不是线性的， 一个或者两个变量需要变换。其次，典型相关是变量间的相关。 如果关系不是线性的，典型相关分析将不能测量到这种关系。 典型相关分析能够包容任何没有严格正态性假定的度量变量。 正态性是有意义的，因为它标准化了分布，允许变量间的更高 程度的相关。但在严格意义上，如果变量的分布形式（比如高 度偏态）不会降低与其他变量的相关关系，典型相关分析是可 以包含这种非正态变量的。这就允许使用非正态变量。然而， 对于每个典型函数的多元正态性的统计检验是必要的。由于多 元正态性检验不一定可行，流行的准则是保证每个单变量的正 态性。这样，尽管不严格要求正态性，建议所有变量都检验正 态性，如有必要，对变量进行变换。