9第九章 异方差
9第九章 异方差
七、案例—例9-2P207
现考虑工人的工资主要由受教育程度和工作年限所影响， 现收集了523个工人的工资、受教育程度、工作年限的数 据，详见表9-2。构建如下回归模型：
wagei B1 B2Edui B3Experi ui
四、异方差的修正：补救措施1-加权最小二乘法wls
例如，如果对一多元模型，Yi 0 +1X i +i （一元）
经检验知： Var(i )
E(i )2
2 i
f
(X
ji ) 2
f
1 (X
ji )
Yi
0
f
1 (X
ji )
1
f
1 (X
ji )
X 1i
2
f
1 (X
ji )
如果存在异方差性，则表明确与解释变量的 某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有 较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。
当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中 可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有 时可去掉交叉项。
四、异方差的修正：补救措施1-加权最小二乘法wls
模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘 法（Weighted Least Squares, WLS）进行估计。
重新设定模型修正异方差：设定为双对数模型。-eq04（9-29）
利用怀特方法进行标准差和t值的校正。-eq05（9-30）
利用怀特的一般异方差检验-检验是否存在异方差。 Eq01基础上操 作（9-16）
利用怀特的一般异方差检验-检验是否存在异方差。 Eq01基础上操 作（9-16）
B09异方差
▪ 以三变量模型 Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui 为例。 ▪ （1）做OLS回归得到残差 uˆ i 。 ▪ （2）做辅助回归：
uˆ i2
0
1 X1i
2X2i
3
X
2 1i
4
X
2 2i
5 X1i X 2i
vi
▪ 得到 R2 。也可以加入原始变量的更高次幂。
▪ （3）在无异方差的虚拟假设下， nR2 近似服
9
计量经济学
▪ 2、格莱泽检验（Glejser Test）：思想上类似 于帕克检验。
▪ 格莱泽建议，用OLS回归的残差的绝对值对被 认为与密切相关的变量X做回归。
▪ 他使用了如下几种函数形式：
uˆi Xi vi
uˆi Xi vi
uˆi / Xi vi
10
计量经济学
▪ 如果 表现为统计上显著异于0，就表明数据
差的。
▪ （2）非纯异方差：由于错误设定模型的误差项
所导致的异方差。
▪ （3）在对异方差进行检验和补救之前，首先要
确认模型是正确设定的。
2
计量经济学
Y的条件 分布
Y的条件方差 随着X而增大
教材210页图9-5a是另 一种形式的异方差
3
计量经济学
▪ 2、异方差产生的原因： ▪ （1）按照边干边学模型，人们在学习的过程中
计量经济学
第九章 异方差
▪ 第1节 异方差的性质与影响 ▪ 第2节 异方差的诊断 ▪ 第3节 异方差的补救措施
▪ 教学时数：4
1
计量经济学
第1节 异方差的性质与影响
▪ 一、异方差的性质
▪ 1、异方差：误差的条件方差（即因变量的条件
方差）随着自变量的变化而变化，即
第9章 异 方 差
9.3 异方差的诊断2
• 残差的图形检验graphical examination of residuals
– 见“精要§13例题”之残差图、残差平方图(收 入X为横轴) – 如果是多元回归方程，可以使用残差平方对Y^ 作图，注意，Y^是有確定规律的，它是X的线性 函数 – 如果呈现图9.6之b、c、d、e模式，即有异方差 性存在
对变换後的模型使用普通最小二乘法得到如 下结果：
Yi / 1 X i 26.611 0.069 X i Xi Se (442.622) t (0.060) R 2 0.230 (0.011 ) (6.194) DW 1.684
ˆ Y 329.996 0.075 X Se (810.332) (0.012) t (0.407) (6.105) R 2 0.489 DW 1.616
• 其中的X，可以是每一个Xi，或者是Y^。 • 如果B2以较大的概率为0，说明自变量对 残差没有影响，不存在异方差。如果B2 以较小的概率为0，说明自变量对残差有 影响，则存在异方差。
9.3 异方差的诊断4格莱泽Gleiser检验
| ei | B1 B2 xih vi h 1,2,0.5,
• 假设误差方差与X成比例，则平方根变换 • 假设误差方差与X2成比例，则倒数变换
• 2.重新设定模型
i2 9.4.1
已知时：加权最小二乘法
Y • 考虑一元线性回归模型 i 1 2 X i u, i 1,2,, n
如果每个观察值的误差项方差 i2 是已知的， 使用 1 / i 为权数，对模型(9.18)作如下变 X i ui 1 换： Yi
第9章 异方差 HETEROSCEDASTICITY
异方差
异方差异方差的性质● 经典回归的一个重要假定之一是：u i 的条件方差为常数， 即：E （2i u ）= 2σ● 异方差（heterscedasticity ）：E （2iu ）=2i σ， 不同的（heter ）分散程度（scedasticity ）● （图）消费和收入， 消费随收入的增加而增加，但变异也在增加● u i 变动的几个理由：- 按照边错边改学习模型（error-learning models ），人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少，如：打字出错的个数- 随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配他们的收入有更大的选择范围- 随着数据采集技术的改进，2iσ可能减少- 异方差性还会因为异常值的出现而产生。
包括一个异常值，尤其样本较小时，会在很大程度上改变回归分析的结果- 异方差性的另一来源来自CLRM 的假定9的破坏，即：回归模型的设定是不正确的。
● 异方差常见于横截面数据中，因为观测范围大小不一● 异方差的后果：仍然是无偏的，但不是最有效的了（1） 无偏性βββ=+==-- )](')'[(]')'[()ˆ(11U X X X X E Y X X X E E（2） 非有效性1121111)'(')'()'()'(')'(]'')'][(')'[()'ˆ)(ˆ(------Φ==--=--X X X X X X X X X UU E X X X Y X X X Y X X X E E σββββββ● 同方差性时，βˆ的协方差矩阵为: 12)'(-X X σ,会夸大或缩小真实的方差和协方差● 由此会导致β的相关检验和置信区间失效，进而引起预测失效● 以双变量模型为例：i i i u X Y ++=10ββ进行显著性检验时，构造的t 统计量)ˆ(ˆ11ββS t =)ˆ(1βS 变动，所以1ˆβ的置信区间也不稳定异方差性的侦察● 侦破异方差性并没有严明的法则，只有少数的经验规则● 因为除非我们知道对应于选定的X 值的整个Y 总体，否则2i σ是无从获知的●大多数的方法都基于对我们所能观测到的OLS残差i uˆ的分析，而不是对干扰u i的分析非正式的方法●问题的性质：-往往根据所考虑的性质就能判别是否会遇到异方差性-例如：围绕消费对收入的回归，残差的方差随收入的增加而增加●图解法：-可先在无异方差性的假定下做回归分析，然后对残差的平方2ˆi u作一事后检查，看看这些2ˆi u是否呈现任何系统性的样式-（图）-2ˆi u是对应于i Yˆ而描绘的，除此之外，还可将他们对解释变量之一描点-当我们考虑2个或多个X变量的模型时，可将2ˆi u 相对于模型中的任一个变量描点正式方法（1）帕克（park ）检验● 提出2i σ是解释变量X i 的某个函数，他建议的函数形式为：iv i ie X βσσ22=或：i i i v X ++=ln ln ln 22βσσ● 由于2iσ通常是未知的，帕克建议用2ˆi u 作为替代变量并作如下回归：ii i i v v X u++=++=i 22lnX ln ln ˆln βαβσ **● 如果β表现为统计上显著的，就表明数据中有异方差性● 帕克检验分两阶段：一是做回归，而不考虑异方差性问题，从这一回归获得i uˆ，然后在第二阶段作如** 的回归戈德菲尔德-匡特检验 （Goldfeld-Quandt test ）● 适用于异方差性方差2i σ同回归模型中的解释变量之一有正相关的情形● 步骤一：从最小X 值开始，按X 值的大小顺序将观测值排列步骤二：略去居中的C 个观测值，其中C 是预定的，并将其余的（n-c ）个观测值分成两组，每组(n-c)/2个步骤三：分别对头（n-c ）/2个观测值和末(n-c)/2 个观测值各拟合一个回归，并分别获得残差平方和RSS 1 和RSS 2步骤四：计算比值：dfRSS dfRSS //12=λ， 如果假定i uˆ是正态分布的，并且如果同方差性假定真实，则λ遵循分子和分母自由度各为（n-c-2k ）/2 的F 分布● C 个观测值是为了突出或激化小方差组（即RSS 1）与大方差组（即RSS 2 ）之间的差异● 通常当n=30 时，取c =4, 当n=60 时，取c=10为宜● 当模型中有多于1个X 变量时，在检验的步骤一中，就可按任一个X 的大小顺序将观测值排列● 例：消费支出 – 收入， 30 观测值，略去居中4 个观测值后，对开头的13个和末尾的13个观测值分别作OLS 回归：17.377RS S 6968.04094.3ˆ1=+=i i X Y 8.1536RS S 7941.00272.28ˆ2=+-=i iX Y得：07.411/17.37711/8.1536//12===df RSS df RSS λ怀特（white ）的一般异方差性检验● Goldfeld-Quandt 检验要求按照被认为是引起异方差性的X 变量把观测值重新排序● White 检验并不要求排序，而且易于付诸实施● 步骤一： 对给定的数据回归（两个解释变量），并获得残差i uˆ步骤二：再做如下（辅助）回归：ii i i i i i i v X X a X a X a X a X a a u ++++++=326235224332212ˆ从这个（辅助）回归中求得R 2步骤三：在无异方差性的虚拟假设下，2nR 渐进的遵循自由度等于辅助回归元（不包括常数项）个数的2χ分布步骤四：如果2χ值超过临界值，结论就是有异方差性，如果不超过，就没有，即：065432=====a a a a a● 例： Y= 贸易税收（进口与出口税收）与政府总收入之比，X 2 =进出口总和与GNP 之比，X 3 =人均GNP ， 假设Y 与X 2 正相关，Y 与X 3 成反比White test ：1148.0R ))(ln T rade 0.0015(ln )(ln 0491.0)(ln 4081.0 ln 6918.0ln 5629.28417.5ˆ2i 222=+--++-=i i i i i i GNP GNP Trade GNP Trade u7068.4)1148.0(41.2==R n● 如果模型有多个回归元，回归元的平方（或更高次方）项以及它们的交叉项就会耗掉许多的自由度● 遇到统计量显著的情形，原因也许不一定是异方差性异方差的修正方法 – 加权最小二乘法（广义最小二乘法）● 以消费-收入为例，消费异方差，设计一种估计方案：对来自变异较大的总体的观测值作较小的加权，而对来自较小的总体的观测值作较大的加权● OLS 方法对每一观测之同样重视或同等加权● 广义最小二乘法（generalized least square-GLS ）利用了异方差的信息，因而能产生ＢＬＵＥ估计量● 利用双变量模型：i i i i u X X Y ++=201ββ其中对每个ｉ， Ｘ０ｉ＝１● 假定相异的方差2i σ已知，用σ通除上式得：)()()(201iiiiiiiiu X X Y σσβσβσ++=为了易于阐述，将它写为：i i i i u X X Y ******201++=ββ● 转换原始模型中，转换干扰项i u *的方差，现在有了同方差性1)(1)(1)()*()*var(2222i22=====iiiiii i u E u E u E u σσσσ● ＯＬＳ应用到转换模型将产生ＢＬＵＥ估计量● ＧＬＳ是对满足标准最小二乘假定的转换变量的ＯＬＳ● 21*ˆ*ˆββ和的估计步骤是最小化： 220112)**ˆ**ˆ*(*ˆii i X X Y u ββ--=∑∑● *ˆ2β的GLS 估计量为： ∑∑∑∑∑∑∑--=222)())(())(())((*ˆi i i i i i i i i i i i i X w X w w Y w X w Y X w w β 其中2/1i i w σ=● ＯＬＳ和GLS 的差别：ＯＬＳ要求最小化：2212)ˆˆ(ˆii i X Y u ββ--=∑∑ ＧＬＳ要求最小化：2212)ˆˆ(ˆii i i i X Y w u w ββ--=∑∑● ＧＬＳ中最小化一个以2/1i i w σ=为权的加权残差平方和，而在ＯＬＳ中最小化一个无权或等权的残差平方和● 这种形式的GLS 被称为加权最小二乘法（weighted least square – WLS ）● 若i σ是已知的，异方差的问题似乎已经得到了解决，但大多数情况下，方差是未知的●加权最小二乘法至多只能用于未知方差容易被描述的那些情况●看一下课本中的例子。
第9章 异方差：
2-10
9.2 异方差的后果
图 9-5假想总体和样本表现出的异方差性
2-11
为什么异方差性下OLS估计是无效的？
双变量的回归模型中，OLS的残差平方和为：
e
2 i
(Yi b1 b 2 X i )
2
在OLS估计中，无论是来自较大方差的总体还是较小方 差的总体，每个 ei2 都有相同的权重。【直接相加的， 所以权重相同】 这么做似乎不太合理，理想的做法是赋予来自较小方差 总体的观测值更大的权重。【因为要使得总和最小，因 此较小的方差应该赋予大的权重，不然无法实现和的最 小】这就是加权最小二乘法（WLS）。
ln i2 B1 B 2 ln X i v i
这就是我们通常所说的帕克检验。注意，在帕 克检验中模型的函数形式是不唯一的。
2-18
一、帕克检验（2）
在实际应用中，帕克建议用 到下面的回归模型：
2 i
e
22 2 来代替 i i ，得 i
ln e B1 B 2 ln X i v i
ei B1 B2 X i vi
在每种情形下，若都接受零假设：B2=0，则表示不 存在异方差；如果有一种情况拒绝零假设，则表明可 能存在着异方差。
2-22
2-23
9.3.5
怀特的一般异方差检验（1）
假定有如下回归模型：
Yi B1 B 2 X 2 i B3 X 3 i u i
2-14
9.3 异方差的诊断：如何知道存在异方差问题？ 9.3.1 问题的性质: 【例如消费对收入的回归，截面数据包含了大、 中、小型公司时也很可能存在异方差。】
2-15
9.3 异方差的诊断：如何知道存在异方差问题？ 9.3.2 残差图检验
第09章 线性回归模型的异方差问题
ˆ y = a + bx
∑
ˆ ) 2 = m in (y − y
2
ˆ 由∑ ( y − y ) = min ，有 ∑ ( y − a − bx ) = min, 分别对函数中 a、 b求偏导数，并令其为零 ，有 2∑ ( y − a − bx )(− 1) = 0 2∑ ( y − a − bx )(− x ) = 0
14
(0.0019)
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
9.2 异方差的性质－方程回归结果图
15
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
9.2 异方差的性质－残差与观察值（销售额）关系图
16
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
9.2 异方差的性质
从残差图可以看出：残差的绝对值随着销售额的 增加而增加。 尽管残差ei与扰动项ui是两个不同的概念，根据ei 的变化并不能断言ui的方差也是变化的。但是，实践 u 中很难观察到ui，只能利用检验ei的变动来推断ui的 变化。 问题：如何理解残差ei与扰动项ui两个概念的差 别？
7
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定3 给定X，扰动误差项u的数学期望或均值为0， 即E（u|X）＝ 0。 Y
＋u ＋u －u －u －u
＋u
E(Y|X)=α+β*X
0
X
8
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定4 误差扰动项u的方差为常数，即Var（u）＝σ2，称 之为同方差(homoscedasticity) 同方差的含义：每个Y值以相同的方差分布在其均值周 围，即Y偏离其均值的程度相同。 Y
《异方差教学》课件
基于最小二乘法的残差，通过构造统计量检验异方差的存在 性。该方法适用于多种类型的数据，尤其适用于面板数据。
非参数检验法
Park检验
利用数据中的信息，通过比较不同阶数的自回归模型对数据的拟合效果，判断 是否存在异方差。该方法不需要预设模型形式，较为灵活。
ARCH模型
利用自回归条件异方差模型进行异方差的检验，通过比较不同滞后阶数的模型 拟合效果，判断是否存在异方差。该方法适用于波动性较大的数据。
Box-Cox变换法
总结词
Box-Cox变换法是一种通用的修正异方 差的方法，通过选择适当的λ值进行变换 ，使数据的方差变得相等。
VS
详细描述
Box-Cox变换法是一种灵活的修正异方差 的方法，适用于不同类型的异方差数据。 通过选择适当的λ值进行变换，可以使数 据的方差变得相等，从而消除异方差的影 响。Box-Cox变换法的优点在于能够自动 选择最佳的λ值进行变换，使得数据的同 方差性得到最大程度的保持。在回归模型 中，可以使用Box-Cox变换法来处理因变 量的异方差问题。
PART 03
异方差的修正
对数变换法
总结词
对数变换法是一种常用的修正异方差的方法，通过取对数将异方差转化为同方差 。
详细描述
对数变换法适用于正态分布的异方差数据，通过取自然对数或对数变换，可以使 方差变得相等，从而消除异方差的影响。在回归模型中，可以使用对数变换法来 处理因变量的异方差问题。
平方根变换法
提出相应的解决策略。
PART 06
总结与展望
异方差研究的意义
揭示数据内在规律
异方差研究有助于揭示数据分布的内在规律，为数据分析和预测 提供更准确的模型。
提高统计推断的准确性
计量经济学：第9章 异方差
误差项的方差:Var(ui ) 2 f ( xi )
权数w 1 f (xi )
原模型:Y B1 B2 X2 Bk Xk u
变换模型：
Yi f (xi )
B1
1 f (xi
)
B2
X 2i f (xi )
Bk
Xki f (xi )
ui f (xi )
Yi*
B1*
B2
X
* 2
Bk
X
* K
异方差时： 大的残差降低权数， 小残差增加权数
采用权数对残差提供的信息的重要程度作校正， 以提高估计精度——即采用WLS（加权最小 二乘法）。
19
加权最小二乘法的机理
以递增型为例。权数Wi与异方差的变异趋势相 反。Wi=1/2i。Wi使异方差经受了“压缩”和 “扩张”变为同方差。
20
异方差的修正
假定误差方差与X、X2和交叉乘积呈线性关系
回归模型Y B1 B2 X2 B3 X3 u
步骤： 1）OLS估计得残差
e12 , e22 ,, en2
2) 做辅助回归
e2
A1
A2 X 2
A3 X 3
A4
X
2 2
A5 X 32
A6 X 2 X 3
3)
检验统计量nR2
~
2 k 1
16
9.4 异方差的修正
14
3、格莱泽检验(Glejser Test)
假定误差方差与解释变量相关形式：
ei B1 B2 X i i
ei B1 B2 X i i
ei
B1 B2
1 Xi
i
步骤：
1）做OLS估计 2）对ei求绝对值 3）做辅助回归方程
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七、案例—例9-2P207
现考虑工人的工资主要由受教育程度和工作年限所影响， 现收集了523个工人的工资、受教育程度、工作年限的数 据，详见表9-2。构建如下回归模型：
wagei B1 B2Edui B3Experi ui
一、异方差的性质---异方差举例
例图9-1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为
Yi=0+1Xi+i
Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入
高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小
i的方差呈现单调递增型变化
例9-1股票交易所经纪人佣金
• Y:佣金额；X：交易额； • Y对X的斜率：佣金率 • 结论：
如果存在异方差性，则表明确与解释变量的 某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有 较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。
当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中 可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有 时可去掉交叉项。
四、异方差的修正：补救措施1-加权最小二乘法wls
模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘 法（Weighted Least Squares, WLS）进行估计。
X越大，对应的方差越小； X越小，对应的方差越大。 • 解读： 经纪公司对大机构投资者收取的佣金率差异小
对小机构投资者收取的佣金率差异大
例9-2 523个工人的工资等数据
• Y:工资；X1：教育程度；X2：工作年限 • 讨论： X1越大，Y的波动越大，扰动项的方差越大； X2越大， Y的波动越大，扰动项的方差越大。
或
Yi Xi
B1
1 Xi
+B2
Xi Xi
+
i
Xi
B2
B1
1 Xi
i
Xi
Xi +
i
Xi
加权最小二乘法wls 不拒绝原假设：不存在异方差
wagei 0 1 edui 2 experi ui
wagei edui
0
1 edui
1
edui edui
1 edui
则Var
ui edui
1 edui
Var ui
1 edui
2 i
1 edui
edui
2
2
wagei edui
0
1 edui
1
edui edui
2
experi edui
ui edui
Var(i )
E(i )2
ei2 =f(X ji )+i
ei2 B1 +B1 X i +Vi
Lnei2 B1 +B1LnX i +Vi
ei2 B1+B1Yˆi +Vi ……
H0 : B2 0; H1 : B2 0
若拒绝原假设，则说
明 ei2与f(Xi ) 之间
是统计显著的，即存 在异方差。
在此没有取对数，why?
如果nR2的值大于该临界值，即其对应的p值小于显著性水平， 则拒绝原假设：不存在异方差。 如果nR2的值小于该临界值，即其对应的p值大于显著性水平， 则不拒绝原假设：不存在异方差。
因为0.0246小于5%，所以有：在5%的显著性水平下，拒绝原假 设。即说明原模型存在异方差。
利用P213平方根变换进行异方差校正。先生成教育水平的平方根序 列-eq02（9-25）
如果nR2的值大于该临界值，则拒绝原假设：不存在异方差。
如果nR2的值小于该临界值，则不拒绝原假设：不存在异方差。
n R2 523 0.0214742202987217=11.231
0.046987 拒绝原假设，说明原模型存在异方差。
说明
辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的 显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释 变量的更高次方。
怀特建立了一种估计方法，该方法考虑了异方差的存在，调 整了估计量的方差和标准误，在大样本下，OLS估计量渐进 有效。
因此，大样本下，怀特方法进行标准误的校正，OLS估 计量线性无偏，渐进有效。
注意：
在实际操作中人们通常采用如下的经验 方法：
不对原模型进行异方差性检验，而是直接 选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据 作样本时。
二、异方差性的后果
1、 OLS估计量线性、无偏，但不具有有效性 。
2、 扰动项方差的估计值不再是真实扰动项方差的 无偏估计，因而OLS估计量的方差通常是有偏的。
3、变量的显著性检验失去意义，建立在t分布和F 分布之上置信区间和假设检验不再可靠。
三、异方差性的诊断-如何知道存在异方差问题？
一些诊断工具 ： • 1、问题的性质 • 2、残差的图形检验 • 3、帕克检验（Park test） • 4、格莱泽检验（Glejser test） • 5、怀特的一般异方差检验（White General
(eq01)
ei2
A0 +A1 X1i +A2 X 2i
A3
X
2 1i
A4
X
2 2i
A5 X1i X 2i
Vi
(eq02)
Step3:因为，可以证明，在同方差假设下：
n是样本容量R2为eq02的可决系数， h为eq02中解释变量的个数
Step4:所以，选择好显著性水平，可知卡方分布的临界值。
重新设定模型修正异方差：设定为双对数模型。-eq04（9-29）
利用怀特方法进行标准差和t值的校正。-eq05（9-30）
利用怀特的一般异方差检验-检验是否存在异方差。 Eq01基础上操 作（9-16）
利用怀特的一般异方差检验-检验是否存在异方差。 Eq01基础上操 作（9-16）
H0 : 模型不存在异方差；H1 : 模型存在异方差
通常出现在截面数据中
一、异方差的性质---异方差类型
同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi) 异方差时： i2 = f(Xi)
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
拒绝原假设，说明原模型存在异方差。
2、格莱泽(Glejser)检验
ei =f(X ji )+i
ei B1+B1Xi +Vi
ei B1+B1 Xi +Vi
1
ei
B1 +B1
Xi
+Vi
H0 : B2 0; H1 : B2 0
若拒绝原假设，则说
明 ei2与f(Xi ) 之间
趋势（即不在一个固定的带型域中）
(2)X- e~i2 的散点图进行判断
看是否形成一斜率为零的直线
e~i 2
e~i 2
X 同方差
X 递增异方差
e~i 2
e~i 2
X 递减异方差
X 复杂型异方差
（3）残差平方和对Y的估计值作图，则不用对每个X作图
2、帕克(Park)检验与格莱泽(Glejser)检验
Heteroscedasticity Test） • 6、异方差的其他检验方法
三、异方差性的诊断
• 诊断思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释变量 观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的 方差与解释变量观测值之间的相关性及其相 关的“形式”。
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
X 2i
k
新模型中，存在
f
1 (X
ji )
X ki
f
1 (X
ji
)
i
Var (
f
1 (X
ji
)
i
)
E(
f
1 (X
ji )
i )2
f
(
1 X
ji
)
E(i
)2
2
即满足同方差性，可用OLS法估计。
加权最小二乘估计量
四、异方差的修正：补救措施1-加权最小二乘法wls
Yi B1 +B2 X i +i
加权最小二乘法的基本思想：
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一 个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估 计其参数。
Wiei2
Wi [Yi
(ˆ0
ˆ1 X1
ˆk
Xk
2
)]
在采用OLS方法时:
对较小的残差平方ei2赋予较大的权数， 对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。
在P217中，若 i2已知，则模型两边直接除以 i
Yi
i
1
B1 i
+B2
Xi
i
+ i i
在P218中，若 i2未知，通常猜测
f(X
ji
)=X 或X
i
i
2；即E(i2
)
2Xi或E(i
2
)
2X i
2
Yi Xi
B1
1 Xi +B2
Xi + Xi
i
Xi
B1
1 Xi +B2
是统计显著的，即存 在异方差。
拒绝原假设，说明原模型存在异方差。
3、怀特（White）检验-怀特检验适合任何形式的异方差