2017年广西创新杯数学竞赛高二年级决赛试题答案
创新杯数学竞赛试题
创新杯数学竞赛试题一、选择题(5’×10＝50’) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的字母填在下面的表格中。
明阳教育1．与30以内的奇质数的平均数最接近的数是A．12 B．13 C．14 D．152．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比A．不增不减 B．减少1个C．减少2个 n．减少3个3．一部电视剧共8集，要在3天里播完，每天至少播一集，则安排播出的方法共有________种。
A．21 B．22 C．23 D．244．甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本，最后甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都给了丙2.4元，那么每本笔记本的价格是________元．A．0.8 B．1.2 C．2.4 D．4.85．用0，1，2，…，9这十个数字组成一个四位数，一个三位数，一个两位数与一个一位数，每个数字只许用一次，使这四个数的和等于2007，则其中三位数的最小值是：C，1736+204+58+9=2007A．201 B．203 C．204 D．2056．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有_________盏．A．1004 B．1002 C．1000 D．9987．已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a×b×c=a+b+c，那么满足上述条件的三位数的和为A．1032 B，1132 C．1232 D．13328．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题．已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是A．29 B．31 C．33 D．359．一个三角形将平面分成2个部分，2个三角形最多将平面分成8个部分，…，那么5个三角形最多能将平面分成的部分数是A．62 B．92 C．512 D．102410．一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路程如图所示．两辆火车同时从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米．由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道．那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短．先到这一站的那一列火车至少需要停车的时间是二、填空题(5’×12二60’)11．观察5*2＝5十55二60，7*4＝7+77+777+7777＝8638，推知9* 5的值是_111105_____·12．如图，将宽2米的一些汽车停在长度为30米的未划停车格的路边，最好的情况下可停___15____部车，最差的情况下可停____8_____部车．13.如图，一个圆被四条半径分成四个扇形，每个扇形的周长为7.14cm，那么该圆的面积为______12.56_____cm2(圆周率π取3.14)．14．按以下模式确定，在第n个正方形内应填人的数是(n+1)( n+2)( n+3)-3n-7_________________，其中，n是非零的自然数．15．篮子里装有不多于500个苹果，如果每次二个，每次三个，每次四个，每次五个，每次六个地取出来，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次七个地取出，那么没有苹果剩下，篮子中共有苹果_____301_____个．16．一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎．我们遇到该国居民A，B，C，A说：“如果C是骑士，那么B是无赖．”C 说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖．”那么这三个人中____B______是骑士，____AC____是无赖．17．甲、乙两人对同一个数做带余数除法，甲将它除以8，乙将它除以9，现知甲所得的商数与乙所得的余数之和为13，那么甲所得的余数是___4______·明阳18．如图，以△ABC的两条边为边长作两个正方形BDEC和ACFG，已知S△ABC:S四边形BDEC＝2:7，正方形BDEC和正方形ACFG的边长之比为3：5，那么△CEF与整个图形面积的最简整数比是_____9：137______·19．一个口袋中装有3个一样的球，3个球上分别写有数字2，3和4．若第一次从袋子中取出一个球，记下球上的数字a，并将球放回袋中．第二次又从袋子中取出一个球，记下球上的数字b．然后算出它们的积．则所有不同取球情况所得到的积的和是____53____20．如图，A，B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点相遇．在D点第二次相遇．已知C点离A点80米，D点离B点60米．则这个圆的周长是____360_____米．明阳教育21．九个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有___4___个．22．把从1开始的奇数1，3，5，…，排成一行并分组，使得第n组有n个数，即(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…那么2007位于第___45____组，是这一组的第___27___个数．三、解答题(共40分)23．(20分)如图，A，B两地相距1500米，实线表示甲上午8时由A地出发往B地行走，到达B地后稍作休息，又从B地出发返回A地的步行情况；又虚线表示乙上午8时从B地出发向A地行走，到了A地，立即返回B地的步行情况．(1)观察此图，解下列问题：①甲在B地休息了多长时间?算一算，休息前、后步行的速度各是多少?15分，75、75②乙从B地到A地，又从A地到B地的步行速度各是多少?50、50(2)甲、乙二人在途中相遇两次，结合图形、算一算，第一次，第二次相遇的时刻各是几点几分?8：12，8：4524．(20分)如上图，将2008个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子，甲、乙二人交替地移动这枚棋子，甲先乙后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．(1)按每人每次移动的格子数分类，有哪4类走法?共以下4类走法：1、两人移动的棋子格数为即不是质数，也不是合数的数字：12、个位数字为2的质数：23、个位数字为5的质数：54、个位数字为1、3、7、9的质数。
2017年广西高一数学竞赛“创新杯”决赛试卷(含参考答案)
2017年广西高一“创新杯”决赛试卷参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为 ( _★_ )A.1-B. 1C. 1±D. 与c b a ,,的值有关【答案】A解：c c b b a a ，，的取值是1或－1,因为1=++c c b b a a ，所以c c b b a a ，，中有2个1，1个－1.c b a ,,中有两正一负，所以0<abc ，.1-=abcabc2．已知非零实数a b 、满足:2210a ab b a b ++-+=+，则a b +的值等于 ( _★_ )A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B解：由题设得22211102a b a b ⎡⎤++++-=⎣⎦（）（）（），则0a b =+，10a =+，10b -=，故0a b =+．3．方程 3)2(22=-+x x x 的所有实数根之和为 ( ★ ) A ．1 B.3 C.5 D .7 【答案】C 解：方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。
即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。
解得1x =。
经检验1x =是原方程的根。
∴ 原方程所有实数根之和为5。
4．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ( _★_ ) A.1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点,即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.5．已知,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是 ( _★_ ) A ．57-B. 75-C. 111D. 111- 【答案】D 解：由方程组解出73711x z y z=-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，111max -=s6．()f x 是定义在R 上的函数，若0)1(=f ，且对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，)()6(x f x f -+≥6，则=)2017(f ( _★_ )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018 【答案】B解：∵ 对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，∴[][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤,又)()6(x f x f -+≥6因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+. ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈.∴ .20163366)1()33661()2017(=⨯+=⨯+=f f f二、填空题（每小题9分，共54分）7．已知实数x ，y 满足x 2+3x +y －4=0，则x +y 的最大值为 ． 【答案】5解：由x 2+3x +y －4=0得y =－x 2－3x +4，把y 代入x +y 得：x +y =x －x 2－3x +4=－x 2－2x +4=－（x +1）2+5≤5，∴x +y 的最大值为5．8．设a =，且ab = 1，则a 2 + b 2的值为 ．【答案】98解：因25a ===+，及ab = 1知,625)23(23232-=-=+-=b ，故a 2 + b 2 = (a + b )2– 2ab = 100 – 2 = 98．9．若f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12(,则e d c b a +-+-的值是 ．【答案】2解：f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12( ,当x =0时，1=f ，当1-=x 时，1-=+-+-+-f e d c b a ，2-=-+-+-e d c b a2=+-+∴e d c b a -.10．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，5BFFC=． 已知AB = 8，AE = 2．则AD 的长为 ．【答案】231+ 解：联结BE ．由BC 为直径知∠BEC = 90°．故BE == 又由Rt △BFE ∽Rt △EFC ，知225BE BF EF BE BF EC EC EF FC EC FC==⇒==⇒=由割线定理得()AE AE EC AD AB +===11．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：34+=kx y 与x轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB =30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是 ．【答案】6解：∵直线l ：y =kx +与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4），∴OB =在Rt △AOB 中，∠OAB =30°，∴OA OB =×4=12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM =12P A ，设P （x ，0），∴P A =12﹣x ，∴⊙P 的半径PM =12PA =6－12x ，∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．12．黑板上写有1001,,31,21,1⋅⋅⋅共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数b a ,，然后删去b a ,，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是 ． 【答案】100解：1)1)(1(-++=++b a ab b a ，∵计算结果与顺序无关，∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++.13．（本小题满分20分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求cb a 111++的值． 解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 5分 因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 10分 又因为abc ＝48，所以2423111=++=++abc ca bc ab c b a ． ……………… 20分14．（本小题满分20分）如图，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ． （1）求y 关于x 的关系式；（2）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2.解：（1）过点D 作BC DF ⊥于F ，则DF AB // ∵AB 是直径，AM 、BN 是切线∴AB BN AB AM ⊥⊥, ∴BN AM //∴四边形ABFD 为平行四边形又∵∠ABC =90°，∴四边形ABFD 为矩形.∴2==AB FD ，x AD BF ==∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线 ∴根据切线长定理，得x AD DE ==，y CB CE ==在DFC Rt ∆中，x y BF BC CF y x CE DE DC DF -=-=+=+==,,2∴222)(2)(x y y x -+=+化简，得)0(1>=x xy ……………………………… 10分 （2）)0(,1)(21>+=+=x xx BC AD AB S ABCD,即)0(,1>+=x xx S ……………………………… 15分 ∵2)1(21xx x x -=-+≥0当且仅当1=x 时，等号成立 ∴xx 1+≥2，即S ≥2.……………………………… 20分15．（本小题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.……… 10分(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.……………… 20分。
高二数学竞赛试题及答案.doc
高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。
假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。
高二数学竞赛试题参考答案
参考答案：一、选择题：CBCDB ABDCB BD 二、填空题： 13. 5 -15； 14. 0；15．130 16．)1,21[-三、解答题： 17．解: (Ⅰ)由cos C =C是三角形内角，得sin C ==∴ sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+22== (Ⅱ) 在ACD ∆中,由正弦定理，sin sin BC ACA B=，sin sin AC BC A B ==6=132AC CD BC ===, cos 5C =, 由余弦定理得:AD ==18．解：（1(2)(3)数据大于等于30.5的频率是0.08,∴小于30.5的频率是0.92, ∴数据小于30.5的概率约为0.9219．设所求的圆C 与直线y=x 交于AB∵圆心C 在直线x －3y=0上， ∴设圆心为C （3a ，a ） ∵圆与y 轴相切， ∴R=3|a|而圆心C 到直线x －y=0的距离 ||22|3|||a a a CD =-=又∵7||,72||==BD AB 在Rt △CBD 中，R 2－|CD|2=（7）2∴33,1,1,729222±=±===-a a a a a ∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1）。
故所求圆的方程为 9)1()3(9)1()3(2222=+++=-+-y x y x 或20．（I ）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，,AC BD 为正方形的对角线，故O 为BD 中点；连结MO ，,O M 分别为1,DB DD 的中点，1//OM BD ∴，OM ⊂平面ACM ，1BD ⊄平面ACM1//BD ∴平面ACM ． （II ）AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，∴1AC DD ⊥；且1BDDD D =，∴ AC ⊥平面11BDD B1OB ⊂平面11BDD B ，∴ 1B O AC ⊥，连结1B M ，在1B MO ∆中，22213MO =+=，222126B O =+=，(222119B M =+=，∴22211B M MO B O =+，1B O OM ∴⊥又OM AC O =，∴1B O ⊥平面AMC ；法二：211==BB DO BO MD, ∠ODM=∠B 1BO=Rt ∠, ∴ΔMDO ∽ΔOBB 1 , ∴∠MOD=∠OB 1B, 190MOD B OB ︒∠+∠=，∴1B O OM ⊥．（Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积∴111111332O AB M B AOM AOM V V OB S OA OM --∆==⨯⨯=⨯⨯，11132==． 法二：可证AO ⊥平面1OB M ，则111111111133232O AB M A OB M OB M V V AO S OB OM --∆==⨯⨯=⨯⨯=21．解：（Ⅰ）n n x f d a x f n a 22)1(2)(22log )(21=⋅-+=∴===n n n a a x nx 22log :==即（Ⅱ）当21=a 时，nn x ⎪⎭⎫⎝⎛=41314113141141414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++nnn x x x22．解：（Ⅰ）反证法，假设方程x x f =)(有异于α的实根β，即ββ=)(f ，不妨设βα<，在α与β之间存在一点c ，βα<<c ，由题设知)()()()(c f f f '-=-=-αβαβαβ，则1)(='c f 与已知矛盾。
广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试题答案及评分标准
考试时间：2016 年 9 月 25 日(星期日) 8：30--11：00 一、选择题（每小题 6 分，共 36 分，请将答案的序号填写在第二页答题区选择 题相应题号后面的括号内）． 1. D 2. A 3.C 4. C 5. B 6. A
{ } { } 1．已知集合 A = x x −1 ≤ 10 ，x ∈ Z ，B = y y = −x2 +1，x ∈ R ，则 A ∩ B
则 a < 0 时， h(t) 的最小值为 h(0) = 4a −1 ．由 4a −1 = −2 ，得 a = − 1 ，符合 4
要求．
0 ≤ a ≤ 3 时， h(t) 的最小值 为 h(a) = −a2 + 4a −1 ．由 −a2 + 4a −1 = −2 ，得
a = 2 ± 5 ，不符合要求，舍去．
的非空真子集有（ ）
A．31 个 答案： D
B．30 个
C．15 个
D．14 个
解析：由条件知， A = { − 2 ，−1，0 ，1，2 ，3，4 } ， B = (−∞ ，1] ，进而得到
A ∩ B = { − 2 ，−1，0 ，1 } ．所以 A ∩ B 的非空真子集有 24 − 2 = 14 个．（命题组提供）
三、解答题（每小题 20 分，共 60 分） 13．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 a＝12c＋bcos C．
若 S△ABC＝ 3，b＝ 13，求 a＋c 的值．2-1 解：由正弦定理，得 sin A＝12sin C＋sin Bcos C，又因为 A＝π－(B＋C)， 所以 sin A＝sin(B＋C)，可得 sin Bcos C＋cos Bsin C＝12sin C＋sin Bcos C， 即 cos B＝12，又 B∈(0，π)，所以 B＝3π．．．．．．．．．..．．．．．3＝ 3，所以 ac＝4， 由余弦定理可知 b2＝a2＋c2－ac， 所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即 a＋c＝5．．．．．．．．．．．．．．．．．．20 分 （命题组提供）
人教版数学高二2012年广西高二创新杯数学竞赛初赛题
2012年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．设集合},56|{},,1|||{2R x x x x B R x a x x A ∈+>=∈<-=，若φ=⋂B A ，则实数a 的取值范围是（ ）(A)}60|{≤≤a a (B)2|{≤a a 或}4≥a(C) 0|{≤a a 或}6≥a (D)}42|{≤≤a a答案：C 。
解析：由},1|||{R x a x x A ∈<-=，},56|{2R x x x x B ∈+>=得},11|{R x a x a x A ∈+<<-=，},51|{R x x x B ∈<<=，又φ=⋂B A ，所以有11≤-a 或51≥+a ，即0|{≤a a 或}6≥a 。
2．若三点)9,(),4,2(),1,1(--x C B A 共线，则=x （ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）－3 （D ）3答案：D 。
解析：由BC AB λ=，得)5,2()5,1(--=-x λ，解得3,1==x λ。
3．不等式2|1|1|1|2x x -<-+的解集为（ ）（A ）)3,1(- （B ）)2,2(- （C ）)1,3(- （D ）)4,2( 答案：A 。
解析：由2|1|1|1|2x x -<-+得312|1||1|22|1|<<-⇒<-⇒->+-x x x x 。
4．已知函数x x f lg )(=和x x g cos )(=，则满足)()(x g x f =的实数x 的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4答案：C 。
解析：作出函数x x f lg )(=和x x g cos )(=可以看出有3个交点。
5．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且53655S S -=，则4a =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）31 （D ）21 答：C 。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017年广西高一创新杯参考答案
2017年广西高一创新杯参考答案2017年广西高一“创新杯”预赛试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1.若$(x+3)(x+n)=x^2+mx-15$，则$m$等于A。
$-2$ B。
$2$ C。
$-5$ D。
$5$解析：根据多项式展开，对应系数比较得$n=-5,m=-2$，故选A。
2.设集合$M=\left\{x|x=\dfrac{k_1}{k_1+2},k\inZ\right\},N=\left\{x|x=\dfrac{k}{4},k\in Z\right\}$，则A。
$M\subseteq N$ B。
$N\subseteq M$ C。
$M=N$ D。
$M\cap N=\varnothing$解析：对$M$：$x=\dfrac{k_1}{k_1+2}$，对$N$：$x=\dfrac{k}{4}$，故选A。
3.函数$y=x^2+x,-1\leq x\leq 3$的值域是A。
$[0,12]$ B。
$[-1,12]$ C。
$[-\infty,12]$ D。
$(-\infty,12]$解析：$y=x^2+x$的对称轴为$x=-\dfrac{1}{2}$，从图像上分析，当$x=-1$时，函数有最小值$f(-1)=-\dfrac{1}{4}$，当$x=3$时，函数有最大值$f(3)=12$，故函数的值域为$[-1,12]$，选B。
4.计算$\dfrac{(x+1)^2-x^2}{2x+1}$的值等于A。
$1$ B。
$-1$ C。
$2016$ D。
$2017$解析：设$2016=x$，则原式$=\dfrac{(x+1)^2-x^2}{2x+1}=\dfrac{2x+1}{2x+1}=1$，选A。
5.若$a$是最大的负整数，$b$是绝对值最小的有理数，$c$是倒数等于它本身的自然数，则$a\times2015+2016b+c^{2017}$的值为A。
$2015$ B。
$2016$ C。
$2017$ D。
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4a b 4a b 1 4 4a b 5 9 ,当且仅当 即 a 0, b 0 ,a b a b 5 2 b a b a a b b a a 3, b 6 时取等号．
3.已知 f ( x) cos 2 x 2a (1 cos x) 的最小值为 1 ，则实数 a 的值为
31
g x g 2 g 1 28 ．
当 x 1 时， f x x 2 x 1 是增函数， 所以当 x 1 时，g x 3 x 2 3 x1 是增函数， 且 g x 3 x2 3 x1 g 1 28 ． 当 x 2 时， f x x 2 x 1 是减函数，所以当 x 2 时， g x 3 x 2 3 x1 是减函 数，且 g x 3 x2 3 x1 g 2 28 ． 所以不等式 3
2 或 2． 4 2 ．当 a 1 时，有 4
（唐光明供题）答：
解 析 ： 当 0 a 1 时 ， 有 log a a 3 log a (2a) ， 解 得 a
3 log a a log a (2a) ，解得 a 2 ．
2．若直线
x y 1(a 0, b 0) 经过圆 x 2 y 2 2x 8 y 0 的圆心，则 a b 的最 a b
(
)
A．(1,2)
B．(2，＋∞)
C．(1, 3 4 )
D．( 3 4 ,2)
（唐光明供题）答案：D 解析：∵对于任意的 x R ，都有 f ( x 2) f ( x 2) ，∴函数 f ( x ) 是一个周期函
1 数，且 T=4．又∵ x [ 2,0] 时， f ( x ) ( ) x 1 ，且函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶 2
6 ．则该四面体外接球体积为 3
．
（卢瑞庚供题）答案： 4 3 . 解析：如图，作 DO 面 ABC 于 O ，连结 AO ，并延 长交 BC 于点 E ，连结 DE ．则 DAE 是 DA 与平面
ABC 所成的角， cos DAE
6 ． 3
∵ DA DB DC 2 ， DA DB ， DA DC ， ∴ DA 面 DBC ， O 为 △ ABC 的外心，且 AB AC 2 2 ． ∴ DA DE ， E 为 BC 中 点 ， 结 合 cos DAE
2. 设 a sin(sin 2017 o ) ， b sin(cos 2017 o ) ， c cos(sin 2017 o ) ， d cos(cos 2017 o ) ， 则 a, b, c, d 的大小关系是（ A. a b c d C. c d b a （王强芳供题）答案：B 解析： 2017 o 5 360 o 217 o ， sin 2017 o sin 217 o , cos 2017 o cos 217 o
A. ( k 1) 2 (m 1)(n 1) C. ( k 1) 2 (m 1)(n 1) （王强芳供题）答案：A 解析： a, k , b 成等比数列，则 k 2 ab ，
所以 (k 1) 2 k 2 2k 1 ab 2 ab 1 ab a b 1 (a 1)(b 1) ．
( k 1) 2 (m 1)(n 1) ．
5 ．设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，对 x R ，都有 f ( x 2) f ( x 2) ，且当
1 x [ 2,0] 时 ， f ( x ) ( ) x 1 ， 若 在 区 间 ( － 2 ， 6] 内 关 于 x 的 方 程 2 f ( x ) log a ( x 2) 0( a 1) 恰 有 3 个 不 同 的 实 数 根 ， 则 a 的 取 值 范 围 是
小值为________________ （苏华东供题）答案：9 解析：将圆的方程 x2 y2 2x 8y 0 变形为 x1 y4 17,可知圆心为 1, 4 ,半径为
2 2
17 ．直线
x y 1 4 1( a 0, b 0) 过圆心 1, 4 ．即 1,a 0,b 0 ． a b a b
（赵继源供题）答案：为 ,2 1, 解析：当 2 x 1 时， x 2 x 1 x 2 x 1 3 ，
x 且 g x 3 x2 3 x1 3 x2 31 x 9 在 1,1 上是增函数 3 3x 在 2,1 上是减函数，
C． [1, )
D． (1, )
（韦兴洲供题）答案：C
2 2 解析：由对一切实数 x ， xa 2b a b 恒成立，得 xa 2b a b ，即
2 2 2 2 x 2 a 4b +4 xa b a b 2a b ，把 a 1 ， a 与 b 的夹角为 代入，整理得 3 2 2 2 x 2 2 x b 3 b b 1 0 恒成立， 故 =4 b 4 3 b b 1 0 ， 解得 b 1 ．
a, m, n, b 成等差数列，则 a b m n 且 b a 3(n m) n m ．
所以 (a 1) (b 1) (m 1) (n 1) ，且 (b 1) (a 1) (n 1) (m 1) 因此 (m 1)(n 1) (a 1)(b 1) ．
a6 a1 a11 11(a1 a11 ) A11 7 11 45 61 ，不 b6 b1 b11 11(b1 b11 ) B11 11 3 7 a5 a1 a9 9(a1 a9 ) A9 7 9 45 9， b5 b1 b9 9(b1 b9 ) B9 93
6 知 ， AE 6 ， 3
BE AB 2 AE 2 8 6 2 ．
∴ ∴
V
BC 2 BE 2 2 ， DB DC ．
DA 、 DB 、 DC 两两互相垂直，四面体外接球半径 R2 x 1 5．不等式 3 3 28 的解集为__________．
是正偶数，选项 A 错；当 n =5 时，
a a 7(a1 a7 ) A7 7 7 45 47 a 不是正偶数， 选项 B 错； 当 n =4 时， 4 1 7 ， b4 b1 b7 7(b1 b7 ) B7 73 5 a a a 5(a1 a5 ) A5 7 5 45 不是正偶数， 选项 C 错； 当 n =3 时， 3 1 5 10 ， b3 b1 b5 5(b1 b5 ) B5 53
2 2
又 a 2 或 a 2 时， f ( x) 的最小值不能为 1 ，
2
故 1 a 2 2a 1 1 ，解得 a 2 3 ， a 2 3 (舍去)
2 2
4. 在四面体 ABCD 中， DA DB DC 2 ， DA DB ， DA DC ，且 DA 与平 面 ABC 所成角的余弦值为
函数，若在区间(－2，6]内关于 x 的方程 f ( x ) log a ( x 2) 0( a 1) 恰有 3 个不 同的实数根，则函数 y f ( x ) 与 y log a ( x 2) 在区间（-2，6]上有三个不同的交 点，如下图所示： 又 f (2) f (2) 3 ，则有 log a 4 3 ，且 log a 8 3 . 解得： 3 4 a 2 .选 D. 6. 黑板上写有 1 ，
2017 年广西创新杯数学竞赛高二年级决赛试题
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分） 1. 已知向量 a, b 满足 a 1 ， a 与 b 的夹角为 ， 若对一切实数 x ，xa 2b a b 3 恒成立，则 b 的取值范围是（ ）
1 A． [ , ) 2 1 B． ( , ) 2
是正偶数，因此答案选 D． 4. 已知 0 a b ，在 a, b 之间插入一个正数 k ，使得 a, k , b 成等比数列，在 a, b 之 间插入两个正数 m, n ， 使得 a, m, n, b 成等差数列， 则 ( k 1) 2 与 (m 1)(n 1) 的大小 关系为（ ） B. ( k 1) 2 (m 1)(n 1) D. 不确定
1 1 1 …… (1 1)( 1) 1 2 ， (2 1)( 1) 1 3 ， (3 1)( 1) 1 4 ， ∴顺次计算得： 2 3 4 1 (99 1)( 1) 1 100 ． 100
二、填空题（每小题 9 分，共 54 分） 1. 若函数 f ( x) log a x(a 0 且 a 1) 在区间 [a, 2a ] 上的最大值是最小值的 3 倍， 则 a= ．
2
．
（黎福庆供题）答案： 2 3 解： f ( x) 2 cos 2 x 1 2a 2a cos x 2(cos x a ) 2 1 a 2 2a 1，
2 2
(1) a 2 时， f ( x) 当 cos x 1 时取最小值 1 4a ； (2) a 2 时， f ( x) 当 cos x 1 时取最小值 1； (3) 2 a 2 时， f ( x) 当 cos x a 时取最小值 1 a 2 2a 1 ．
1 1 1 ， ，…， 共 100 个数字．每次 2 100 3
操作先从黑板上的数中选取 2 个数 a，b ，然后删去 a，b ，并在黑板上写上数
a b ab ，则经过 99 次操作后，黑板上剩下的数是（
（A）2012 （B）101 （C）100 （赵继源供题）答案：C