矢量运算PPT课件.ppt
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《大学物理》矢量运算ppt课件
y Ay
A
表示x、y、z 方向的单位矢量。
A Ax Ay Az Ax i Ay j Az k
Az
j
O k
γ
β
α
i
Ax x
Ax= A cos、Ay= A cos、Az= A cos
z
A
Ax2
A
2 y
Az2
cos2 cos2 cos2 1
8
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
的合成
16
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？
2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
45求.. 矢已a量知：叉2b乘a与的 a右b夹手3角b螺 旋为法45则，如何a操作6？,
b
2
2,
6. 矢量的解析表示法给矢量运算带来什么好处？ 试举例说明（比如加减、乘法、微分及积分等）。
补充知识：矢量运算
目的及要求:
1．掌握矢量、矢量运算法则； 2．理解单位矢量的定义，掌握矢量解析法； 3．从矢量角度深刻理解并掌握 速度、加速 度、力、场强等概念及其计算。
1
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。
表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
所以 Cx Ax Bx C y Ay B y
大小 C
C
2 x
C
2 y
方向 arctan C y
Cx
9
四、矢量的乘法
物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。 如图： W Fcos s
F θ
s
1. 矢量的数乘
《数学矢量计算》课件
《数学矢量计算》PPT课 件
本课件将详细介绍矢量计算的基本概念，包括矢量的运算、坐标表示、数量 积、叉乘等，以及与直线和平面相关的计算方法。
1. 矢量和标量的基本概念
矢量
具有大小和方向的量，用箭头表示。
标量
只有大小没有方向的量，用普通字母表示。
2. 矢量的运算——加法和减法
加法
将两个矢量的对应分量相加。
减法
将两个矢量的对应分量相减。
3. 矢量的坐标表示和向量的长度
1
坐标表示
用坐标系中的数值表示矢量的大小和方
向量的长度
2
向。
矢量的大小，即矢量的。
3
标量
只有大小没有方向的量，用普通字母表 示。
4. 矢量的数量积和向量的夹角
数量积
用矢量的对应分量相乘再求和的方式计算。
向量的夹角
通过数量积的定义计算。
7. 直线和平面的向量表达式
直线
用点向式方程和方向向量表示。
平面
用点法式方程和法向量表示。
8. 三维空间中直线与平面的相互位置关系
1
相交
直线穿过平面或平面穿过直线。
平行
2
直线与平面不存在公共点。
3
重合
直线和平面重合。
5. 矢量的叉乘和叉积的几何意义
1
叉乘
用矢量的对应分量进行交叉相乘的方式计算。
2
叉积的几何意义
叉积的结果是与原有两个矢量垂直的矢量。
3
右手定则
矢量的叉乘遵循右手定则。
6. 平面向量的共线与共面判定
1 共线
如果两个矢量可以表示同一直线上的点，它们是共线的。
2 共面
如果三个矢量可以表示同一平面上的点，它们是共面的。
本课件将详细介绍矢量计算的基本概念，包括矢量的运算、坐标表示、数量 积、叉乘等，以及与直线和平面相关的计算方法。
1. 矢量和标量的基本概念
矢量
具有大小和方向的量，用箭头表示。
标量
只有大小没有方向的量，用普通字母表示。
2. 矢量的运算——加法和减法
加法
将两个矢量的对应分量相加。
减法
将两个矢量的对应分量相减。
3. 矢量的坐标表示和向量的长度
1
坐标表示
用坐标系中的数值表示矢量的大小和方
向量的长度
2
向。
矢量的大小，即矢量的。
3
标量
只有大小没有方向的量，用普通字母表 示。
4. 矢量的数量积和向量的夹角
数量积
用矢量的对应分量相乘再求和的方式计算。
向量的夹角
通过数量积的定义计算。
7. 直线和平面的向量表达式
直线
用点向式方程和方向向量表示。
平面
用点法式方程和法向量表示。
8. 三维空间中直线与平面的相互位置关系
1
相交
直线穿过平面或平面穿过直线。
平行
2
直线与平面不存在公共点。
3
重合
直线和平面重合。
5. 矢量的叉乘和叉积的几何意义
1
叉乘
用矢量的对应分量进行交叉相乘的方式计算。
2
叉积的几何意义
叉积的结果是与原有两个矢量垂直的矢量。
3
右手定则
矢量的叉乘遵循右手定则。
6. 平面向量的共线与共面判定
1 共线
如果两个矢量可以表示同一直线上的点，它们是共线的。
2 共面
如果三个矢量可以表示同一平面上的点，它们是共面的。
《工程力学课件》-力的矢量运算
力矩是一个力在某一点作用时，产生转动效果 的能力。
力矩 = 力的大小 × 力臂
一个人推开门时，门的铰链即受到力矩，向外 打开门。
力矩的平衡条件
受力情况
沿同一方向的多个力同时对一个物体产生作用， 并且两侧力矩相等。
常见应用
力矩平衡条件经常应用于机械设计和结构平衡 问题的求解。
实际工程中力的应用与讲解示例
3
实际应用
这些技术在机械和土木工程中经常使用，如求解大桥支撑结构或车辆行驶方向等 问题。
力的平衡条件与分波作用
平衡条件
力的平衡条件指物体所受外力的合力为0， 物体处于静止或匀速直线运动状态。
分波作用
分波作用是指一个力的作用在不同的物体 区域上产生不同的效果。
力矩的概念与计算方法
定义 计算公式 常见实例
工程力学课件：力的矢量 运算
本次课程将介绍力的矢量运算，包括表示方法、加减法、乘法和离散线性向 量的运算等内容。
力的矢量及其表示方法
1 定义与特征
矢量是一个有大小、方 向和作用点的物理量。
2 表示方式
3
矢量可用单个箭头表示， 箭头方向表示矢量的方 向，箭头长度表示矢量 的大小。
常见实例
速度、加速度、力、位 移、电场和磁场等物理 量都可以表示为矢量。
矢量的加法、减法和乘法
加法原理
矢量加法是指将两个矢量相 加，求出它们的合成矢量。
减法原理
矢量减法是指将一个矢量从 另一个矢量中减去，求出它 们的差矢量。
乘法原理
矢量乘法是指将一个矢量乘 以一个标量，得到一个新的 矢量。
离开线性矢量的运算
非线性矢量
非线性矢量，也称曲线矢量， 是指它们的端点无法通过平移 使其与起点重合。
大学物理常用高数基础知识PPT优质课件
质点的速度：v dx dx d dt d dt
Asin 0 Asint 0
.
例1 求匀速直线运动的速度：
t 0
t
若设 t 0时, s s0
0 s0
则：s s0 vt,
s
所以速度：v ds ds0 d vt 0 v dt v
dt dt dt
dt
例2 求匀加速直线运动的速度：
一般地： 所以，矢径或其末端的点P都可以
a axi ay j azk 用三个坐标（x，y，z）来表示.
其上中的分，量ax、或a投y、影a。z或而x、axyi、, azy分j, a别zk称则为称矢分量矢在量X（、分Y、向Z量轴）
注意：分量是代数量（可正. 可负）！
由 r xi y j zk 或 P（x，y，z）可知：
.
四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）
1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：
A Fscos F s cos F, s f s
θ
一般地：a
b
a
b
cos a,b
a
Pr jab
b
Pr jba
2.两个推论：
注意；“点”不能掉！
（1）a a
所以可得：a
dv dt
d ds dt dt
d 2s dt 2
或
a
v s
s
这种导数的导数称为二阶导数。
一般地，y对x的二阶导数为：y
d dx
dy dx
d2y dx2
类似地，可定义三阶、四阶…导数，统称高阶导数。
例：匀速直线运动 s s0 vt,
v ds v dt
加速度
a
d 2s dt 2
《矢量分析与场论》PPT课件
实验证实麦氏方程组—电磁波的存在 近代俄国的波波夫和意大利的马可尼—电磁波传消息 无线电 当今电信时代——“电”、“光”通信
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
《矢量分析》多媒体课件
z
az
ax
ay
M
z=z1平面
ax ay az ay az ax
x x=x1平面
y
y=y1平面
az ax ay
思考：单位坐标矢量ax、ay、az是不是常矢量？？
（常矢量：其方向不随点的位置改变而改变）
直角坐标系
➢ 任意矢量A的表示： A Axax Aya y Azaz
α，β，γ分别为矢量A与坐标轴的夹角，cosα ， cosβ ，cosγ称为矢量的方向余弦
B
AB A B cosA,B
A
•两个矢量的 点积是一个标 量，可正可负
Bcos
A
点积等于矢量A的模与矢量B在矢量A的方向上的投影大小 的乘积，或者说等于矢量B的模和矢量A在矢量B方向上 的投影大小的乘积。
0
A
B
A
B
A B 两矢量垂直的充要条件 A // B
矢量的点积（标量积，标积）
标量场与矢量场
矢量
➢矢量：具有大小和方向的量
➢矢量的表示：A＝aAA (
A
aA
A
)，其中A表示模
或长度，aA表示方向的单位矢量 （大小为1）.
AA
A ＝aAA
aA
aA
A A
A A
矢量的分量表示法
➢ 利用正交坐标系中的坐标单位矢量，可以把矢量分解为：
A Axa x Aya y Aza z
➢标量积的结果是标量，满足交换律和分配律
AB BA
A (B C) A B A C
➢并且有: A A A2 Ax2 Ay2 Az2
点积的计算方法：
《矢量运算》课件
总结词
矢量加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C) 。
详细描述
交换律和结合律是矢量加法的基本性质，它们表明矢量的加法不依赖 于其排列顺序。
数乘运算
总结词
数乘运算是矢量运算中的一种运算，它表示矢量与实数的 乘积。
总结词
数乘运算满足分配律，即k(A+B)=kA+kB。
详细描述
描述物体速度变化快慢的物理量，包括大 小和方向。加速度可以通过速度的变化量 与时间的比值来定义，也可以通过速率和 方向来描述。加速度是矢量，具有方向性 。通过研究速度和加速度的关系，可以深 入理解物体运动的变化规律和动力学问题 。
06
矢量在数学中的拓展
向量场
向量场是由一组向量构成 的数学结构，这些向量定 义在某个空间或流形上。
内积的定义与性质
总结词
内积是矢量的一种运算，表示两个矢量之间的点乘。
详细描述
内积定义为两个矢量A和B的内积，记作A·B，等于A的模长与B的模长之积与它 们之间夹角的余弦的乘积。内积的结果是一个标量，与矢量的方向无关，只与 矢量的长度和夹角有关。内积具有交换律和分配律。
外积与内积的应用
总结词
外积和内积在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
力的分解
将一个力分解为两个或多个分力的过程。力的分解有多种方 法，如正交分解和任意分解。通过力的分解可以更深入地理 解力的作用效果和力的作用方式。
运动的合成与分解
运动的合成
当物体同时参与两个或多个运动时，其合运动可以通过运动的合成来描述。运动的合成包括速度的合 成和加速度的合成。通过运动的合成可以确定合速度的大小和方向，以及合加速度的大小和方向。
矢量加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C) 。
详细描述
交换律和结合律是矢量加法的基本性质，它们表明矢量的加法不依赖 于其排列顺序。
数乘运算
总结词
数乘运算是矢量运算中的一种运算，它表示矢量与实数的 乘积。
总结词
数乘运算满足分配律，即k(A+B)=kA+kB。
详细描述
描述物体速度变化快慢的物理量，包括大 小和方向。加速度可以通过速度的变化量 与时间的比值来定义，也可以通过速率和 方向来描述。加速度是矢量，具有方向性 。通过研究速度和加速度的关系，可以深 入理解物体运动的变化规律和动力学问题 。
06
矢量在数学中的拓展
向量场
向量场是由一组向量构成 的数学结构，这些向量定 义在某个空间或流形上。
内积的定义与性质
总结词
内积是矢量的一种运算，表示两个矢量之间的点乘。
详细描述
内积定义为两个矢量A和B的内积，记作A·B，等于A的模长与B的模长之积与它 们之间夹角的余弦的乘积。内积的结果是一个标量，与矢量的方向无关，只与 矢量的长度和夹角有关。内积具有交换律和分配律。
外积与内积的应用
总结词
外积和内积在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
力的分解
将一个力分解为两个或多个分力的过程。力的分解有多种方 法，如正交分解和任意分解。通过力的分解可以更深入地理 解力的作用效果和力的作用方式。
运动的合成与分解
运动的合成
当物体同时参与两个或多个运动时，其合运动可以通过运动的合成来描述。运动的合成包括速度的合 成和加速度的合成。通过运动的合成可以确定合速度的大小和方向，以及合加速度的大小和方向。
《导数和矢量运算》课件
详细描述
导数可以用于分析经济变量的变化率、预测股票价格走势、优化工程设计、解决物理中的速度和加速度问题等。 例如，在经济学中，边际成本和边际收益的概念就是基于导数的思想。在物理学中，速度和加速度可以通过对位 移函数的导数和二阶导数来计算。
02
导数的性质和运算
导数的四则运算
总结词
导数的四则运算法则是导数运算的基础，包 括加法、减法、乘法和除法。
复合函数的导数是通过对中间变量求导，再对最终变量求导 来计算的。
详细描述
复合函数的导数可以通过链式法则进行计算，即对复合函数 求导等于对中间变量求导乘以最终变量对中间变量的导数。 链式法则在处理复杂函数时非常有用，可以简化求导过程。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是通过对等式两边同时求导来计算的。
详细描述
04
导数和矢量的关系
导数在矢量场中的应用
01
导数在矢量场中表示矢量函数的 变化率，可以用于描述矢量场中 的方向和大小。
02
导数的应用包括计算矢量场中的 速度、加速度、力等物理量，以 及解决矢量场中的问题，如流体 力学、电磁学等。
矢量场中的梯度
梯度表示矢量场中某一点处方向导数 的最大值，可以用于计算矢量场中某 一点处的方向和大小。
《导数和矢量运算》ppt课件
contents
目录
• 导数概念 • 导数的性质和运算 • 矢量运算 • 导数和矢量的关系 • 导数和矢量运算的应用
01
导数概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率的量度，表示函数在该点附近的变化趋势。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在该点附近的小变化量与自 变量变化量之商的极限。导数的计算公式为 f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。
导数可以用于分析经济变量的变化率、预测股票价格走势、优化工程设计、解决物理中的速度和加速度问题等。 例如，在经济学中，边际成本和边际收益的概念就是基于导数的思想。在物理学中，速度和加速度可以通过对位 移函数的导数和二阶导数来计算。
02
导数的性质和运算
导数的四则运算
总结词
导数的四则运算法则是导数运算的基础，包 括加法、减法、乘法和除法。
复合函数的导数是通过对中间变量求导，再对最终变量求导 来计算的。
详细描述
复合函数的导数可以通过链式法则进行计算，即对复合函数 求导等于对中间变量求导乘以最终变量对中间变量的导数。 链式法则在处理复杂函数时非常有用，可以简化求导过程。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是通过对等式两边同时求导来计算的。
详细描述
04
导数和矢量的关系
导数在矢量场中的应用
01
导数在矢量场中表示矢量函数的 变化率，可以用于描述矢量场中 的方向和大小。
02
导数的应用包括计算矢量场中的 速度、加速度、力等物理量，以 及解决矢量场中的问题，如流体 力学、电磁学等。
矢量场中的梯度
梯度表示矢量场中某一点处方向导数 的最大值，可以用于计算矢量场中某 一点处的方向和大小。
《导数和矢量运算》ppt课件
contents
目录
• 导数概念 • 导数的性质和运算 • 矢量运算 • 导数和矢量的关系 • 导数和矢量运算的应用
01
导数概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率的量度，表示函数在该点附近的变化趋势。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在该点附近的小变化量与自 变量变化量之商的极限。导数的计算公式为 f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。
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一. Ch0.5 矢量运算
AA
• 大小为矢量的模，
矢量的概念起源于对运动和 力的研究。力和速度等物理 量需要用其大小和方向来表示
记为 A
• 长度为零的矢量 叫令矢量
依据事物自身的规律，按矢 量运算规则运算的量叫矢量
• 长度为1的矢量叫
单位矢量，记 e
单位矢量用来表示 空间的方向
• 大小相等、方向相反的矢量
4)矢量可由单位矢量与标量数的乘积
a aea
可移到一条直线上的矢量 a1ea 和 a2ea
a1 a2 (a1 a2 )ea
三.直角坐标中的矢量，位矢和速度
i j k 为三坐标轴的单位矢量
z (k)
a xai ya j zak
a {xa , ya , za}
a
o
x (i)
i jk
按行列式展开 ab xa ya za 易记
互为负矢量，如 a 与 a
a (a) 0
物理中矢量总有它的作用点,不同作用点的矢量相互 运算,甚至是没有意义的.一些矢量是可以经过平行 移动移到一点上再作运算,这种矢量叫自由矢量.
二.矢量的加法与数乘规则
1) a b c
a b a (b) b c
c
b
2)
0 a 0;
ab 0 且 aa 0
直角坐标系中的叉乘运算
i i j j k k 0 i j k, jk i,k i j
若 a {xa , ya , za},b {xb , yb , zb} 则
a b ( ya zb za yb )i (xa zb za xb )j (xa yb ya xb )k
可表为 S a b sin
则 a b Sen
叉乘之值是以两矢量为邻边构成的平行四边形 的面积.
叉乘的运算规则
1)叉乘的反交换律 ab (ba)
2)叉乘与数乘的结合律 (ab) (a)b a(b)
3)叉乘的分配律 a (b c) ab ac 4)叉乘可得 a,b同向和反向(平行)的充分必要条件
a
a
0 a与a同向，且 a a
0 a与a反向，且a (a)
3) 加法交换律 加法结合律 数乘结合律
ab ba
(a b) c a (b c)
(a) ()a
数乘分配律 ( )a a a
(a b) a b
解
a 22 22 (1)2 3
ea
1 {2,2,1} 3
{2 3
,
2 3
,
1} 3
cos 2 , cos 2 , cos 1
3
3
3
按坐标轴分解后的矢量可用三个标量表示和运算
a {xa , ya , za},b {xb , yb , zb} a {xa , ya , za}
矢量与三个轴的夹角为 , ,
cos xa , cos ya , 量
ea
a a
xa a
i
ya a
j
za a
k
y (j)
矢量的方向余弦是该矢量同方向的单位矢量的坐标
cos2 cos2 cos2 1
例 求矢量 a {2,2,1}的方向余弦
t 在自变量为t0时的t 微商，记为 r(t)
r(t)
r(t) lim r dr dx(t) i dy(t) j dz(t) k
t0 t dt dt
dt
dt
x(t)i y(t)j z(t)k
注意：矢量的微商仍是矢量 质点位置函数的时变率即质点的速度，速度为矢量。 速度的方向：位置函数空间曲线的任意点切线方向。
xa xb ya yb za zb
五.矢量的叉乘(矢量积)
(一)叉乘的运算规则
在物理中常有两个相互垂直的矢量相互作用, 呈现出某些特殊效应,例如动量矩、力矩及运 动电荷伴存的磁场等.叉乘是描述这类效应的
矢量运算.叉乘用 表示,其积为矢量,所以叫
矢量积.
若 a, b 是交角为 的两个矢量,则叉乘定义为
ab a b sin en
en 是由叉乘符号规定的, a, b两矢量所在平面
的右手系法线方向的单位矢量.
右手系:将右手拇指伸直,其余四指并拢指向a
的方向,并沿 ( 180 )的计算方向弯向 b ,
拇指所指的方向就是
a en
en的方向.
b
b
设想有以 a 和 b 为一对邻边的平行四边形,其面积
四.矢量的点乘(标量积)
点乘运算规则
a b a b cos
1)点乘的交换律 a b b a
a
b
2)点乘与数乘的结合律 （a b) (a) b a (b)
3)点乘的分配律 (a b) c a c b c 点乘的常用性质还有
1)a a a 2; 2)a b,a b 0 3)直角坐标中i j jk k i 0 i i j j k k 1 4)按点乘分配律 a {xa , ya , zb},b {xb , yb , zb} 有 a b (xai ya j zak) (xbi yb j zbk)
a b {xa xb , ya yb , za zb}
质点的位矢和位移
y r r(t) r(t t)
P(x, y, z) 点的位矢 o
x
r(t) x(t)i y(t)j z(t)k
位移 t t t r r(t t) r(t)
例 已知一质点的位矢为 r(t) Ax costi Ay sin tj
Ax , Ay ,为常量，t为时间 ，求质点轨迹。
x(t) Ax cost, y(t) Ay sin t, z(t) 0
( x )2 ( y )2 1, z 0
Ax
Ay
矢量的微商、速度
位移 r r(t t) r(t)
如果极限 lim
r 存在，此极限就是矢量函数
AA
• 大小为矢量的模，
矢量的概念起源于对运动和 力的研究。力和速度等物理 量需要用其大小和方向来表示
记为 A
• 长度为零的矢量 叫令矢量
依据事物自身的规律，按矢 量运算规则运算的量叫矢量
• 长度为1的矢量叫
单位矢量，记 e
单位矢量用来表示 空间的方向
• 大小相等、方向相反的矢量
4)矢量可由单位矢量与标量数的乘积
a aea
可移到一条直线上的矢量 a1ea 和 a2ea
a1 a2 (a1 a2 )ea
三.直角坐标中的矢量，位矢和速度
i j k 为三坐标轴的单位矢量
z (k)
a xai ya j zak
a {xa , ya , za}
a
o
x (i)
i jk
按行列式展开 ab xa ya za 易记
互为负矢量，如 a 与 a
a (a) 0
物理中矢量总有它的作用点,不同作用点的矢量相互 运算,甚至是没有意义的.一些矢量是可以经过平行 移动移到一点上再作运算,这种矢量叫自由矢量.
二.矢量的加法与数乘规则
1) a b c
a b a (b) b c
c
b
2)
0 a 0;
ab 0 且 aa 0
直角坐标系中的叉乘运算
i i j j k k 0 i j k, jk i,k i j
若 a {xa , ya , za},b {xb , yb , zb} 则
a b ( ya zb za yb )i (xa zb za xb )j (xa yb ya xb )k
可表为 S a b sin
则 a b Sen
叉乘之值是以两矢量为邻边构成的平行四边形 的面积.
叉乘的运算规则
1)叉乘的反交换律 ab (ba)
2)叉乘与数乘的结合律 (ab) (a)b a(b)
3)叉乘的分配律 a (b c) ab ac 4)叉乘可得 a,b同向和反向(平行)的充分必要条件
a
a
0 a与a同向，且 a a
0 a与a反向，且a (a)
3) 加法交换律 加法结合律 数乘结合律
ab ba
(a b) c a (b c)
(a) ()a
数乘分配律 ( )a a a
(a b) a b
解
a 22 22 (1)2 3
ea
1 {2,2,1} 3
{2 3
,
2 3
,
1} 3
cos 2 , cos 2 , cos 1
3
3
3
按坐标轴分解后的矢量可用三个标量表示和运算
a {xa , ya , za},b {xb , yb , zb} a {xa , ya , za}
矢量与三个轴的夹角为 , ,
cos xa , cos ya , 量
ea
a a
xa a
i
ya a
j
za a
k
y (j)
矢量的方向余弦是该矢量同方向的单位矢量的坐标
cos2 cos2 cos2 1
例 求矢量 a {2,2,1}的方向余弦
t 在自变量为t0时的t 微商，记为 r(t)
r(t)
r(t) lim r dr dx(t) i dy(t) j dz(t) k
t0 t dt dt
dt
dt
x(t)i y(t)j z(t)k
注意：矢量的微商仍是矢量 质点位置函数的时变率即质点的速度，速度为矢量。 速度的方向：位置函数空间曲线的任意点切线方向。
xa xb ya yb za zb
五.矢量的叉乘(矢量积)
(一)叉乘的运算规则
在物理中常有两个相互垂直的矢量相互作用, 呈现出某些特殊效应,例如动量矩、力矩及运 动电荷伴存的磁场等.叉乘是描述这类效应的
矢量运算.叉乘用 表示,其积为矢量,所以叫
矢量积.
若 a, b 是交角为 的两个矢量,则叉乘定义为
ab a b sin en
en 是由叉乘符号规定的, a, b两矢量所在平面
的右手系法线方向的单位矢量.
右手系:将右手拇指伸直,其余四指并拢指向a
的方向,并沿 ( 180 )的计算方向弯向 b ,
拇指所指的方向就是
a en
en的方向.
b
b
设想有以 a 和 b 为一对邻边的平行四边形,其面积
四.矢量的点乘(标量积)
点乘运算规则
a b a b cos
1)点乘的交换律 a b b a
a
b
2)点乘与数乘的结合律 （a b) (a) b a (b)
3)点乘的分配律 (a b) c a c b c 点乘的常用性质还有
1)a a a 2; 2)a b,a b 0 3)直角坐标中i j jk k i 0 i i j j k k 1 4)按点乘分配律 a {xa , ya , zb},b {xb , yb , zb} 有 a b (xai ya j zak) (xbi yb j zbk)
a b {xa xb , ya yb , za zb}
质点的位矢和位移
y r r(t) r(t t)
P(x, y, z) 点的位矢 o
x
r(t) x(t)i y(t)j z(t)k
位移 t t t r r(t t) r(t)
例 已知一质点的位矢为 r(t) Ax costi Ay sin tj
Ax , Ay ,为常量，t为时间 ，求质点轨迹。
x(t) Ax cost, y(t) Ay sin t, z(t) 0
( x )2 ( y )2 1, z 0
Ax
Ay
矢量的微商、速度
位移 r r(t t) r(t)
如果极限 lim
r 存在，此极限就是矢量函数