1984普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)
（II） 画出极坐标方程 ( 2)(
（13） (本题满分 12 分) 已知三个平面两两相交, 有三条交线, 求证这三条交线交于一点或互相平行. （14）（本题满分 14 分） 设 c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数. 讨论方程 log
d ) x
( cx
x 1 在什么情况下有解,有解时求出它的解.
1 的椭圆的左顶点的轨迹方程.（9 分） 2
（16）（本题满分 14 分） 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a ,b,c, 且 c=10,
cos A b 4 ，P 为 cos B a 3
△ABC 的内切圆上的动点. 求点 P 到顶点 A，B，C 的距离的平方和的最大值与最小值. （17）（本题满分 12 分）
2
.
上是增函数. .
（8）方程 (sin x cos x)
2
1 的解集为 2
（9） (| x |
1 2) 3 的展开式中的常数项为 |x|
.
.
1 2n （10） lim n 的值为 n 3 1
（11） 要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相 邻，有 多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）
2 xn (n 1,2 ) 求证： 设 a ＞ 2，给定数列{xn},其中 x1 = a , x n 1 2( x n 1) x n 1 1 1(n 1,2 ); (I) 如果a 3, 那么x n 2 n 1 (n 1,2 ); (II) x n 2, 且 xn 2
数学（理） （北京卷） 第 1 页（共 2 页）
第三部分（解答题
共 80 分）
本部分共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （12）（本题满分 12 分） （I） 设 H ( x) 本题只要求画出图形.
0, 当x 0, 画出函数 y=H(x-1)的图象; 1, 当x 0, ) 0( 0) 的曲线. 4
n 2
1 8
（
）
(A) 一定是零 (B) 一定是偶数 (C) 是整数但不一定是偶数 (D) 不一定是整数 （4） arccos( x) 大于 arccos x 的充分条件是 (A) x (0,1] (B)
（
） (D)
x (1,0)
(C)
x [0,1]
（5）如果θ是第二象限角，且满足 cos
sin 1 sin , 那么 （ ） 2 2 2
(B) 是第三象限角 (D) 是第二象限角 共 30 分）
x [0, ] 2
(A) 是第一象限角 (C) 可能是第一象限角，也可能是第三象限角
第二部分（填空题
本部分共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
（6）已知圆柱的侧面展开图是边长为 2 与 4 的矩形，圆柱的体积为 （7）函数 log 0.5 ( x 4 x 4) 在
绝密★使用完毕前
1984 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理） （北京卷）
本试卷共 2 页，共 140 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题
共 30 分）
本部分共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分。在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目 要求的一项。 （1）数 集 X = {（ 2n+1） π ，n是 整 数 } 与 数 集 Y={（ 4k 1） π ，k 是 整 数 }之 间 的 关 系 是 （ ） (A) X Y (B) X Y (C) X=Y (D) X≠Y 2 2 （2）如果圆 x +y +Gx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点，那么（ ） (A) F=0，G≠0，E≠0 (B) E=0，F=0，G≠0 (C) G=0，F=0，E≠0 (D) G=0，E=0，F≠0 （3）如果 n 是正整数，那么 [1 ( 1) ](n 1) 的值
a (III) 如果a 3, 那么当n 3 时, 必有x n 1 3. 4 lg 3 lg
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（15）（本题满分 16 分） （I）设 p 0 ，实系数一元二次方程 z 2 pz q 0 有两个虚数根 z1,z2.再设 z1,z2
2
在复平面内的对应点是 Z1，Z2 . 求以 Z1，Z2 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.（7 分） （II）求经过定点 M(1,2),以 y 轴为准线，离心率为
1984年全国高考数学试题及其解析
1984年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ那么2θ（ ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）是第二象限角 （D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 5．求1321lim +-∞→n nn 的值6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线 四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分） 七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值 八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果 九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为 直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=43π时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ ）（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称3复数i 2321-的三角形式是 （ ） （A ）)3sin()3cos(π-+π-i （B ）3sin 3cosπ+πi （C ）3sin 3cos π-πi （D ）65sin3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ ）（A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值4.求)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 的值5．求6)12(xx -的展开式中x 的一次幂的系数6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数2)1(1+=x y 的图象四．（本题满分12分）已知等差数列a ,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的数列cb a 1,1,1不可能成等差数列 五．（本题满分14分）把α-β-α-422cos sin 2sin 411化成三角函数的积的形式(要求结果最简） 六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积 七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0. 1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程理工农医类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算. (1)C; (2)C; (3)B; (4)A; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）.84ππ或 （2）x ＜-2. （3）},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=（4）-20 （5）0 （6）!647⋅P三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力. 解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力. 证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a. ∵ α∩β=c, α∩γ=b,从而c 与b 或交于一点或互相平行.(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a. 所以a,b,c 交于一点(即P 点).(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.所以a,b,c 互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以12=+d cx 再由c ≠0，可得.12cdx -= 又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是cdx -=1 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(),9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即 这就是所求的轨迹方程七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2π由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法 由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立）再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知22111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，AC 的长为x AP 3232=， 半径OC=1，可知θx 32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得文史类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算. (1)C; (2)D; (3)A; (4)C; (5)A.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）.223<<x （2）ππ84或 （3）m=0,x=-21. （4）1 （5）240 （6）!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 解：四．（本题满分12分） 证：如果cb a 1,1,1成等差数列，那么,,,1111cc b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即 又因为a ,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以.0≠-=-c b b a 由以上两式，可知.11ca = 两边都乘以a c ，得a =c.但由数列a ,b,c 的公差不为零，知a ≠c ，这就得出矛盾从而cb a 1,1,1不可能成等差数列 五．（本题满分14分）六．（本题满分14分）解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=30CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602 用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2.并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为a 2,a 3, ….根据题意，数列{a n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为12.12-⨯=n n a根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为xy 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台 答：略八．（本题满分15分） 1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是)0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别)0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程 28,205626006912)422(50133)211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即 从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0.解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以 01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理解得m=-1,或m=14.当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;当m=14时，圆的半径55=r ，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.。
史上最难的1984全国高考理科数学试卷
/ 10 编者说明 1984年的第六题，考查解析几何。第1小题将椭圆参数藏在复数方程的根中；第2小题求椭圆的轨迹方程，给出的“衍生轨迹”而不是“直接轨迹”。使得广大考生无模式可套。本题 解：1.因为p，q为实数，0p，z1，z2为虚数，所以 0,04)2(22pqqp 由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称， 所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|， 焦距离=2c=|z1-z2|=2212212|4)(|pqzzzz， 长轴长=2a=.2222qcb 2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴 设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的21， 从而左焦点F的坐标为),23(yx 设d为点M到y轴的距离，则d=1 根据21||dMF及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222yxyx即 这就是所求的轨迹方程 七．（本题满分15分） 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10， 34coscosabBA，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值
84年数学高考试题
高考数学试卷一、单选题1.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（ ）A ．120B ．35C ．310D ．9102.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．103．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位5．设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.306.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞7.袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．568．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（ ） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]9.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=-10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.2525 5 D.511.已知点()1,0A-,()4,0B-,()4,3C-，动点P,Q满足12PA QAPB QB==,则CP CQ+的取值范围是（）A.[]1,16B.[]6,14C.[]4,16D.3,35二、填空题12.某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人.则两科都在90分以上的人数为（）．13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______14.足尖虽未遍及美景,浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中12AB AA==,114A B=，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的体积为；Ω的外接球的表面积为．三、解答题15.已知椭圆() 2222:10y xa ba bΓ+=>>的离心率为22，其上焦点F与抛物线2:4x y K =的焦点重合．（1)求椭圆Γ的方程；（2)若过点F 的直线交椭圆Γ于点A,B,同时交抛物线K 于点C,D （如图1所示,点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3)若过点F 的直线交椭圆Γ于点A ，B ,过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E ，G （如图2所示).试求四边形AEBG 面积的最小值．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c cosC b cosA acosB ⋅=⋅+(1)求角C ；(2)若9a =，1cos 3A =-，求边c17.已知x+y=7,xy=-8，求：（1）x2+y2的值；（2）（x-y ）2的值.。
史上最难1984全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题128（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解（1） （2）解：1. 2.年的第四大题，考查立体几何内容。
题目从表面看去，似乎不难。
然而，由于命题人四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,，∴所以a ，b ，c 交于一点（即P 点） 2.若c ∥b ，则由c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ，b ，c 互相平行五．（本题满分14分）设c ，d ，x 为实数，c ≠0，x 讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4)((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得 .12cdx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0，1-d ＞0，即c ＞0，d ＜1；②c ＜0，1-d ＜0，即c ＜0，d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0，d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0，d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1，z 2.再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分） 解：1.因为p ，q 为实数，0≠p ，z 1，z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1，z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b =|z 1+z 2|=2|p |，焦距离=2c =|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+， 长轴长=2a =.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x ，y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d =1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(432(9,21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有,sin sin cos cos ABB A = .2sin 2sin cos sin cos sin B A B B A A =∴=∴因为A ≠B ，所以2A =π-2B ，即A +B 2由此可知△ABC 是直角三角形 由c =10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC =.12)6810(21=++但上式中AD+DB =c =10，所以内切圆半径r = EC = 2.如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x -2)2+(y -2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x ，y )，则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， 于是S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设α＞2，给定数列{x n }，其中x 1=α，)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x n n 那么如果α3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x an 必有时那么当如果α1．证：先证明x n ＞2(n =1，2，…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n =1，2，…）成立）再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n =1，2，…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，由条件及2>k x 知,0212()[2(0)212(2)212(2212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k kk k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立， 从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n =k +1时成立用以下证法： 由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP =43π时，点P 的速度为v 求这时点M解：作CD ⊥AM ，并设AP = x ，AM = y ，∠COD =θ由假设，AC 的长为x AP 3232=，半径OC =1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴ 而.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(x x y xy x DC x y DM --=∴=--=dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y ])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(2----+--=∴--=解得.)43()843(2 ,,4322v dt dy M v dt dx x ---===ππππ点的速度代入上式得时当（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。
1984年高考数学全国卷(理科)及其参考答案
1984年高考数学全国卷（理科)及其参考答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分)一．（本题满分15分）本题共有5小题,每小题都给出代号为A ，B ，C,D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分；不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={(2n+1）π，n 是整数}与数集Y={(4k ±1）π，k 是整数｝之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y (B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D)X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么( C ） (A ）F=0,G ≠0,E ≠0。
（B)E=0,F=0,G ≠0。
（C ）G=0，F=0，E ≠0. (D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 (B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 (D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D)]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （ B ) （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题,每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜—2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答:—205．求1321lim +-∞→n nn 的值 答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法(只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H （x —1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解:四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α,β，γ,且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点(即P 点）2。
史上最难的1984全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ）（A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）懲卺鯇蕲騮摟輔艰脅党顽坏裝揮饿鋼债懒迳蔥艺廩賧譾垦鋒賄赇诋贐愤烂試骈隽刪编答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象编者说明1984年的第三大题，是1983年第二大题的发展。
1984年全国高考数学试题及其解析
1984年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y⊂⊃2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ ）（A ）F=0，G≠0，E≠0. （B ）E=0，F=0，G≠0.（C ）G=0，F=0，E≠0. （D ）G=0，E=0，F≠0.3.如果n 是正整数，那么的值 （ ）)1]()1(1[812---n n（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数4.大于的充分条件是 （ ）)arccos(x -x arccos （A ） （B ） （C ） （D ）]1,0(∈x )0,1(-∈x ]1,0[∈x ]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足那么（ ）,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）是第二象限角 （D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积2.函数在什么区间上是增函数？)44(log 25.0++x x 3．求方程的解集 21)cos (sin 2=+x x 4．求的展开式中的常数项3)2||1|(|-+x x 5．求的值1321lim +-∞→n nn 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设画出函数y=H(x-1)的图象⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当2．画出极坐标方程的曲线)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时1log)(-=+x xdcx 求出它的解六．（本题满分16分）1．设，实系数一元二次方程有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平0≠p 022=+-q pz z 面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）21七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为,b,c ，且c=10，a ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的34cos cos ==a b B A 最大值与最小值八．（本题满分12分）设＞2，给定数列{x n },其中x 1=,求证：a a )2,1()1(221=-=+n x x x n nn 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=时，点P 的速度为V43π求这时点M 的速度文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y⊂⊃2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ ）（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称3复数的三角形式是 （ ）i 2321-（A ） （B ） （C ） （D ）)3sin()3cos(π-+π-i 3sin 3cosπ+πi 3sin 3cos π-πi 65sin3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ ）（A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ ）（A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知函数，求x 的取值范围0)32(log 5.0>-x 2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值4.求的值)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 5．求的展开式中x 的一次幂的系数6)12(xx -6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数的图象2)1(1+=x y四．（本题满分12分）已知等差数列,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的a 数列cb a 1,1,1五．（本题满分14分）把化成三角函数的积的形式(要求结果最简）α-β-α-422cos sin 2sin 411六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程理工农医类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1） （2）x ＜-2.（3）.84ππ或},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=（4）-20 （5）0 （6）!647⋅P 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c 与b 或交于一点或互相平行.(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a.所以a,b,c 交于一点(即P 点).(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.所以a,b,c 互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) )((3) ,0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知，所以c≠0，可得1)(=+x d cx x 2=+dcx .12cd x -=又由及x ＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中1)(=+x d cx x 0>+xdcx 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组：1(=+xdcx x .1≠x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1) ,02c d x 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：.01>-cd①c＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知dc -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且时，或者当c ＜0,d ＞1且时，原方程有解，它的解d c -≠1d c -≠1是cd x -=1六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.解：1.因为p,q 为实数，，z 1,z 2为虚数，所以0≠p 0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=,2212212|4)(|p q z z z z -=-+长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为，21所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的，21从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据及两点间距离公式，可得21||=d MF 22222312(1)(2)(,9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.解：由，运用正弦定理，有a bB A =cos cos .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴=因为A≠B，所以2A=π-2B，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，.12)6810(21=++所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以，40≤≤x S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72πα20<≤八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件＞2及x 1=知不等式当n=1时成立a a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式x n ＞20)2(2>-k x 21>+k x 对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x 所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明由条件及x n >2(n=1,2,…）知).2,1(11=<+n x x nn 因此不等式也成立,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x x nn （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有所以）,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x xnn 2．证一：用数学归纳法x 1=≤3知不等式当n=1时成立a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，由条件及知2>k x 22111111112(1)(22(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也2>k x k k x 2121+≤+成立，从而不等式对所有的正整数n 成立1212-+≤n n x 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知再由及归纳假设可得)111(211-++=+k k k x x x 2>k x k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+3．证：先证明若这是因为.43,31<>+k k k x x x 则.431311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当时，有则由第1小题知34lg 3lgan >,31≥+k x .3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=可得a ,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立34lg 3lgan <九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解：作CD⊥AM，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，AC 的长为，x AP 3232=半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM∽△DCM，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得文史类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)D;(3)A;(4)C;(5)A.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）（2） （3）m=0,x=-..223<<x ππ84或21（4）1 （5）240 （6）!647⋅P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形解：四．（本题满分12分）证：如果成等差数列，那么cb a 1,1,1,,,1111cc b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即又因为,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以由以上两式，可知a .0≠-=-c b b a .11ca =两边都乘以c ，得=c.a a 但由数列,b,c 的公差不为零，知≠c，这就得出矛盾a a 从而cb a 1,1,1五．（本题满分14分）六．（本题满分14分）解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE⊥AB，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥七．（本题满分14分）解：设1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即1=2.a a 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为2,3, ….根据题意，a a 数列{n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为a 12.12-⨯=n n a 根据题意，设 两边取常用对数，得122.121=⨯-n 84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品x y 2.12⨯=的产量超过12万台 答：略八．（本题满分15分）1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0.解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以解得m=-1,或m=14.01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理当m=-1时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;52=r 当m=14时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.55=r。
1984年全国普通高等学校招生统一考试
1984年全国普通高等学校招生统一考试物理一、(21分)每小题3分．把答案填写在题中横线上空白处,不要求写出演算过程．(1)我国在1984年4月8日成功地发射了一颗通信卫星．这颗卫星绕地(2)平衡下列核反应方程式:(3)如右图所示,一正离子以速度v从左向右射入匀强电场和匀强磁场并存的区域中．电场强度E=4×104牛顿/库仑．磁感应强度B=0．2特斯拉,方向垂直纸面向里．电场、磁场和速度三者的方向互相垂直．如果该离子在场中运动时不发生偏转,则电场方向在附图中为从向;离子速度大小v= 米/秒．(4)频率为ν的光照射到一金属表面上,有电子从金属表面逸出．当所加反向电压Ｕ的大小增大到3伏特时,光电流刚好减小到零．已知这种金属的极限频率为ν0=6×1014赫兹,因此照射光的频率ν= 赫兹．(5)太阳光谱中含有许多暗线,这些暗线是由于而形成的．(6)氢原子的基态能量E1=-13．6电子伏特,则氢原子处于量子数n=5的能级时的能量为电子伏特．(7)S1和S2是两个相干波源．在图中分别以S1和S2为圆心作出了两组同心圆弧,分别表示在同一时刻两列波的波峰和波谷．实线表示波峰,虚线表示波谷．在图中方框内标出了三个点a、b、c．在这三个点中,振动加强的点是,振动减弱的点是．二、(16分) 每小题4分．本题中每小题给出的几个说法中,有一个或几个是正确的．把正确的说法全选出来,并将正确说法的号码填写在题后方括号内．每小题,全部选对的,得4分;选对但不全的,得少量分;有选错的,得0分;不答的,得0分．填写在方括号外的号码,不作为选出的答案．(1)火车在长直水平轨道上匀速行驶．门窗紧闭的车厢内有一人向上跳起,发现仍落回到车上原处．这是因为:1．人跳起后,厢内空气给他以向前的力,带着他随同火车一起向前运动．2．人跳起的瞬间,车厢的地板给他一个向前的力,推动他随同火车一起向前运动．3．人跳起后,车在继续向前运动,所以人落下后必定偏后一些,只是由于时间很短,偏后距离太小,不明显而已．4．人跳起后直到落地,在水平方向上人和车始终具有相同的速度．(2)法拉第电磁感应定律可以这样表述:闭合电路中感生电动势的大小:1．跟穿过这一闭合电路的磁通量成正比．2．跟穿过这一闭合电路的磁感应强度成正比．3．跟穿过这一闭合电路的磁通量的变化率成正比．4．跟穿过这一闭合电路的磁通量的变化量成正比．(3)在下图所示的电路中,当可变电阻R的阻值增大时:1．AB两点间的电压U增大．2．AB两点间的电压U减小．3．通过R的电流I增大．4．通过R的电流I减小．5．通过R的电流I不变．(4)下列几种说法中,哪种说法正确?1．电场中电力线上每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致．2．沿电力线方向,场强一定越来越小．3．沿电力线方向,电势一定越来越低．4．在电场力作用下,正电荷一定从电势高的地方向电势低的地方移动．5．在电场力作用下,负电荷一定从电势高的地方向电势低的地方移动．三、(14分)(1)测定电流表内电阻的实验中备用的器件有:A．电流表(量程0～100μA),B．标准伏特表(量程0～5V),C．电阻箱(阻值范围0～999Ω),D．电阻箱(阻值范围0～9999Ω),E．电源(电动势2V,有内阻),F．电源(电动势6V,有内阻),G．滑动变阻器(阻值范围0～50Ω,额定电流1．5A),还有若干电键和导线．1．如果采用图1所示的电路测定电流表A的内电阻并且要想得到较高的精确度,那末从以上备用的器件中,可变电阻R1应选用,可变电阻R2应选用,电源ε应选用．(用字母代号填写)2．如果实验时要进行的步骤有:A．合上K1;B．合上K2;C．观察R1的阻值是否最大,如果不是,将R1的阻值调至最大;D．调节R1的阻值,使电流表指针偏转到满刻度;E．调节R2的阻值,使电流表指针偏转到满刻度的一半;F．记下R2的阻值．把以上步骤的字母代号按实验的合理顺序填写在下面横线上空白处:①;②;③;④;⑤;⑥．3．如果在步骤F中所得R2的阻值为600欧姆,则图1中电流表的内电阻R g的测量值为欧姆．(2)如果要将第(1)小题中的电流表A改装成量程为0～5V的伏特表,则改装的方法是跟电流表联一个阻值为欧姆的电阻．(3)图2所示器件中,一部分是将电流表改装为伏特表所需的,其余是为了把改装成的伏特表跟标准伏特表进行核对所需的．首先在下面空白处画出改装和核对都包括在内的电路图(要求对0～5V的所有刻度都能在实验中进行核对),然后在图2上画出连线,将所示器件按以上要求连接成实验电路．四、(26分) 第(1)到第(3)小题,每题7分;第(4)小题5分．(1)根据牛顿运动定律证明:两物体沿一直线运动,相互作用但不受外力时,它们的总动量保持不变．(2)在右图所示的电路中,一理想变压器的原线圈跟副线圈的匝数比为N1∶N2=1∶2．电源电压U=220伏特．A是额定电流为I0=1安培的保险丝．R是可变电阻．为了不使原线圈中的电流超过I0,调节电阻R时,其阻值最低不能小于多少欧姆?(3)附图为天平的原理示意图,天平横梁的两端和中央各有一刀口,图中分别用A、B、O三点代表;三点在一条直线上,并且=L．横梁(包括固定在横梁上的指针OD)可以中央刀口为轴转动．两边的挂架及盘的质量相等．横梁的质量为M．当横梁水平时,其重心C在刀口的正下方,C到O的距离为h,此时指针竖直向下．设只在一盘中加一质量为△m的微小砝码,最后横梁在某一倾斜位置上达到平衡,此时指针与竖直方向成θ角．已知L、h、M及△m,求θ．(4)估算地球大气层空气的总重量．(最后结果取1位有效数字)五、(13分)一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体,如图所示．绳的P端拴在车后的挂钩上,Q 端拴在物体上．设绳的总长不变,绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时,车在A点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为H．提升时,车加速向左运动,沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H,车过B点时的速度为v B．求在车由A移到B的过程中,绳Q端的拉力对物体做的功．六、(10分)在两端封闭、内径均匀的直玻璃管内,有一段水银柱将两种理想气体a和b隔开．将管竖立着,达到平衡时,若温度为T,气柱a和b的长度分别为l a和l b;若温度为T＇,长度分别为l’a和l’b．然后将管平放在水平桌面上,在平衡时,两段气柱长度分别为l”a和l”b．已知T、T’、七、(10分,本题是附加题,成绩不计入总分)在真空中速度为u=6．4×107米/秒的电子束连续地射入两平行极板之间．极板长度为l=8．0×10-2米,间距为d=5．0×10-3米．两极板不带电时,电子束将沿两极板之间的中线通过．在两极板上加一50赫兹的交变电压V=V0sinωt,如果所加电压的最大值V0超过某一值V c时,将开始出现以下现象:电子束有时能通过两极板;有时间断,不能通过．(1)求V c的大小．(2)求V0为何值才能使通过的时间(△t)通跟间断的时间(△t)断之比为(△t)通∶(△t)断=2∶1．1984年全国普通高等学校招生统一考试物理参考答案一、全题21分,每小题3分．各题中,在每一横线上空白处填入正确答案的,按下列该答案后面方括号内的分数给分;错误的,给0分．(1)1〔3分〕．(3)上,下〔1分〕;2×105〔2分〕．(4)13．2×1014〔3分〕．(5)太阳光经过温度较低的太阳大气层时某些特征谱线的光被吸收〔3分．要求答出两个要点:太阳大气层;吸收．答出一个要点的给1分,两个都答出的给3分〕．(6)－0．544〔3分〕．(7)a、b〔2分〕,c〔1分〕．二、(1)〔4〕．(2)〔3〕．(3)〔1,4〕．(4)〔1,3〕．评分说明:全题16分,每小题4分．每小题,答案全部选对的,给4分;未选全而无选错的,给1分;有选错的,给0分;未答的,给0分．填写在方括号外的号码不作为考生的答案．三、(1)本小题7分．1．D,C,F〔3分．D,C答对的,给2分,有一个答错的,不给这2分．F答对的,给1分〕．2．CADBEF〔3分．顺序有错的,不给分〕．3．600〔1分〕．(2)本小题2分．每小问占1分．串,49400．(3)本小题共5分．电路图如图1,占2分,如有错误,不给这2分．连线如图2,占3分,如有错误,不给这3分．接法只要正确,能满足实验要求,虽与参考答案不同,不影响评分;不满足实验要求,例如将滑动变阻器当作串联可变电阻使用,不给分．四、(1)牛顿第二定律F=ma可以写成:其中p=mv为物体的动量．当两物体相互作用而不受外力时,令F1和F2分别表示每个物体所受的力,可得:根据牛顿第三定律:F1=-F2 (b)可得:△p1=-△p2．令p表示两物体的总动量,则得:△p=△p1+△p2=0．(c)即总动量的改变量等于零,总动量不变．评分说明:本小题7分．列出(a)式的,给2分．列出(b)式的,给1分．得出(c)式的,再给4分．在证明过程中,有正负号错误的,扣2分．一开始就把第二定律写成动量定理形式的,可不扣分．把相互作用力设为恒力的,可不扣分．(2)设所求的电阻值为R,此时R两端的电压为U2,电流为I2,则:UI0=U2I2 (a)U2=I2R (b)由以上各式可得:评分说明:本小题7分．(a)、(b)、(c)三式列对一个给1分;列对两个给3分;三个都列对给5分．得出(d)式再给1分．最后答数正确再给1分．(3)有固定转动轴物体的平衡条件是力矩的代数和等于零．设两边挂盘(包括质量为△m的微小砝码)对横梁的作用力分别为F1和F2则:F1Lcosθ=F2Lcosθ+Mghsinθ．(a)因为F1-F2=△mg,所以得:△mgLcosθ=Mghsinθ．(b)评分说明:本小题7分．列出(a)式和(b)式的,给6分;得出(c)式再给1分．直接列出(b)式的,不扣分．把倾斜后△mg的力臂Lcosθ写作L的也可不扣分(因题设△m很小因而偏角很小)．(4)设地球半径为R,地球表面处的大气压强为p,则大气的总重量:G=4πR2p．因R=6．4×108米,p=1．0×105帕,代入得:G=5×109牛顿．评分说明:本小题5分．列出G=4πR2p给4分,最后答数正确再给1分．五、设绳的P端到达B处时,左边绳与水平地面所成夹角为θ,物体从井底上升的高度为h,速度为v,所求的功为W,则:因绳总长不变,所以:v=v B cosθ．(c)将(b)、(c)两式代入(a)式,得:评分说明:全题13分．列出(a)式的,给3分．列出(b)式的,给3分．列出(c)式的,给5分．列出(d)式的,给1分．最后结果正确的,再给1分．六、对于a段气体,有:对于b段气体,有:压强关系有:p b-p a=p’b-p’a, (e)p a=p b．(f)由以上各式可得:评分说明:全题10分．(a)、(b)、(c)、(d)四式全都列对的,给4分;部分列对但无列错的,给1分;有列错的,不给分．(e)式列对给3分;(f)式列对给1分．最后结果正确再给2分．因此,电子通过平行极板时,极板间的电压从场强可看作是恒定不变的．电子进入平行极板中间后,其运动沿水平方向为匀速运动,沿竖直方向为匀加速运动．设电子束刚好不能通过平行极板的电压为V c,电子经过平行极板的时间为t,所受的电场力为f,则:由以上三式,可得:代入数值,得:V c=91伏特．:(2)因为(△t)通=2(△t)断,所以由此得代入数值得(1)中,列出(a)式和(b)式的,给1分．列出(c)式的,给3分．最后答数正确的再给1分．没有对电子通过极板的时间和交流电的周期进行分析比较的,不扣分．(2)中,列出(d)式的,给4分．最后答数正确再给1分．- 11 -。
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题含答案
x
1,
(5)
x 2
=
1− d c
.
(6)
由条件（1）（6）知 1− d 0.这个不等式仅在以下两种情形下成立：
c
①c＞0,1-d＞0,即 c＞0,d＜1;
②c＜0,1-d＜0,即 c＜0,d＞1.
再由条件（1）（5）及（6）可知 c 1− d 从而，当 c＞0,d＜1 且c 1− d 时，或者当 c＜0,d＞1 且c 1− d 时，原
AD+DB+EC= 1 (10 + 8 + 6) = 12.但上式中 AD+DB=c=10，
2
所以内切圆半径 r=EC=2.
如图建立坐标系， 则内切圆方程为:
Y B（0，6） D
(x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点 P 的坐标为
E
O＇ P（x,y)
O C（0，0）
X A（8，0）
S =| PA |2 + | PB |2 + | PC |2
1 xk+1 1 + 2k
xk2
2(xk
1 −1)(2 + )
2k
xk2
− 2(2 +
1 2k
)xk
+
2(2 +
1 2k
)
0
(xk
−
2)[ x k
− (2
+
1 2k−1 )]
0,
再由 xk 2 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等
式 xk+1
2+
1 2k
也成立，从而不等式 xn
2+
1 2 n−1
(n
1984年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （ B ） （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值 答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由ac c b ,.//,且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：2．1．P b αβ a γ ca⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2),0(1),01x x d cx x d cx x dcx x 由条件（4）知1)(=+xdcx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得.12c d x -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21， 从而左焦点F 的坐标为),23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有 .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ，S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72Y B （0，6） D X ）解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31 =+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2)212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=43π时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，，∠COD=θ由假设， AC 的长为x AP 3232=， 半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）A P L。