专题5.2 立体几何中的平行与垂直(解析版)

A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】
选项A中还有直线n在平面 内的情况，故A不正确，
选项B中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故B不正确，
选项C中还有 相交，故C不正确，
故选：D．
8、（2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学数学试题）已知平面 ， 是 内不同于 的直线，那么下列命题中错误的是（）
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知： 内两条相交直线都与 平行是 的充分条件，由面面平行性质定理知，若 ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内两条相交直线都与 平行是 的必要条件，故选B．
7、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）如果用 表示不同直线， 表示不同平面，下列叙述正确的是（）
所以其体积为 ，所以选项C正确
故选：BC
三、填空题
20、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：
①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)
C选项， ， ，由A选项知， ， ，
所以 ，因此 ，
同B选项，设菱形 的边长为 ，易得 ， ，
所以 ，显然当 时， ，即 ；故C错误；
D选项，同BC选项，设菱形 的边长为 ，则 ， ， ，由几何体直观图可知，当 平面 ，直线 与平面 所成的角最大，为 ，易知 .
故选：ABD.
17、（2020届山东省济宁市高三上期末）己知 为两条不重合的直线, 为两个不重合的平面,则下列说法正确的是（）
2、（2020年高考浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而 ，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
故选：BCD.
19、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）已知四棱锥 ，底面 为矩形，侧面 平面 ， ， .若点 为 的中点，则下列说法正确的为（）
A． 平面
B． 面
C．四棱锥 外接球的表面积为
D．四棱锥 的体积为6
【答案】BC
【解析】
作图在四棱锥 中：
由题：侧面 平面 ，交线为 ，底面 为矩形， ，则
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】 选项：由线面平行的性质可知 正确.
选项：由线面平行的判定可知 正确.
选项：由线面垂直的性质可知 正确.
选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故 错误.
故选：
9、（2020届北京市陈经纶中学高三上学期10月月考）如图，点P在正方体 的面对角线 上运动，则下列四个结论：
故选：B.
12、（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）
A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
B．β内一定能找到与l垂直的直线
C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行
D．若β内有无数条直线与l垂β是两个相交平面，其中l⊂α，知：
在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；
在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；
① 的最小值为 ；
② 平面 ；
③存在某个位置，使 ；
④无论 位于何位置，均有 .
其中正确命题的个数为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在直角梯形 中， ， ， ，
为 中点， ， 分别为 ， 的中点，
将 沿 折起，使点 到 ， 到 ，
在翻折过程中，当 与 重合时， 的最小值为 ；所以①正确；
对于B， ， 平行于同一条直线，可得 与 相交或 或 平行；
对于C， 内有两条相交直线与 内两条相交直线平行，可得α∥β；
对于D， ， 垂直与同一个平面，可得 与 相交或 或 平行．
故选：C．
4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知 ， 是两条不同的直线， 是平面，且 ，则（）
A．若 ，则 B．若 ，则
三棱锥 的体积不变；
平面 ；
；
平面 平面 ．
其中正确的结论的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
对于 ，由题意知 ，从而 平面 ，
故BC 上任意一点到平面 的距离均相等，
所以以P为顶点，平面 为底面，则三棱锥 的体积不变，故 正确；
对于 ，连接 ， ， 且相等，由于 知： ，
所以 面 ，从而由线面平行的定义可得，故 正确；
专题5.2立体几何中的平行与垂直
一、单选题
1、（2020届山东省潍坊市高三上期中）m、n是平面 外的两条直线，在m∥ 的前提下，m∥n是n∥ 的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
，则存在 有 .而由 可得 ，从而有 .反之则不一定成立， 可能相交，平行或异面.所以 是 的充分不必要条件，故选A
A．CM与PN是异面直线B．
C．平面 平面 D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
【答案】BCD
【解析】
共线，即 交于点 ，共面，因此 共面，A错误；
记 ，则 ，
，又 ，
， ，即 ．B正确；
由于正方体中， ， 平面 ，则 ， ，可得 平面 ， 平面 ，从而可得平面 平面 ，C正确；
取 中点 ，连接 ，易知 ，又正方体中， ，∴ ， 共面， 就是过P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形．D正确．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】如下图所示，将平面 、 、 视为三棱柱的三个侧面，设 ，将 、 、 视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“ ” “ ”；
另一方面，若 ，且 ， ，由面面平行的性质定理可得出 .
所以，“ ” “ ”，因此，“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；
在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．
故选：B．
6、（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）
A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面
连接 交 于 连接 ，可以证明平面 平面 ，所以 平面 ，所以②正确；
当 平面 时，可得 平面 ，所以 ，所以③正确；
因为 ， ，所以直线 平面 ，所以无论 位于何位置，均有 .所以④正确；
故选：D.
2、多选题
15、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知 是两个不重合的平面， 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）
【答案】B
【解析】如图所示，作 于 ，连接 ，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.
过 作 于 ，连接 ，
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 与 均为直角三角形．设正方形边长为2，易知 ， ， ，故选B．
13、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第五次月考数学(文)试题）如图所示的四个正方体中， 正方体的两个顶点， 分别为其所在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号为（）
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】
A选项有可能线在面内的情形，错误；
B选项中l与m还可以相交或异面，错误；
C选项中不满足线面垂直的判定定理，错误，
D选项中由线面垂直的性质定理可知正确.
故选：D
5、（2020·浙江高三）已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（ ）
A．β内一定能找到与l平行的直线
A．①②B．②③C．③④D．①②③
【答案】D
【解析】
由题意结合正方体的性质：
如图①，平面ABC∥平面MNP，则 平面 ，①正确；
如图②，平面ABC∥平面MNP，则 平面 ，②正确；
如图③，平面ABC∥平面MNP，则 平面 ，③正确；
如图④，平面AB∩平面MNP=A，则④错误；
故选：D.
14、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，在直角梯形 中， ， ， ， 为 中点， ， 分别为 ， 的中点，将 沿 折起，使点 到 ， 到 ，在翻折过程中，有下列命题：
A．若 且 则
B．若 则
C．若 则
D．若 则
【答案】BC
【解析】
A.若 且 则可以 ， 异面，或 相交，故 错误；
B.若 则 ，又 故 ， 正确；
C.若 则 或 ，又 故 ， 正确；
D.若 则 ， 则 或 ， 错误；
故选：
18、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在正方体 中，N为底面ABCD的中心，P为线段 上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（）
将 沿 折起，使顶点 至点 ，折起过程中， 始终与 垂直，因此 ，
又 ，由线面垂直的判定定理，可得： 平面 ，因此 ，故A正确；