2.5n维向量空间
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n维向量空间
计算 2
§8 向量间的线性关系 一、线性组合 定义1 设n维向量组 1 , 2 , , m , , 如果存在一组
数k1，k 2， , k m，使得 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组 1 , 2 , m的一个线性组合；
或称 可以由向量组 1 , 2 , m 线性表示。
例1 零向量组是任何向量组的线性组合。 例2 n维向量 1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,0,,1), 任意一个n维向量都可以由 1 , 2 ,, n 线性表示。
称 1 , 2 ,, n 为n维基本单位向量。
(7) ( kl ) k ( l ) ( 8) 1 定义4 以数域P中的数作为分量的n维向量的全 体，同时考虑到在它们上面的加法及数量 乘法满足上述的8条运算规律，则称此集合 为数域P上的n维向量空间，记作 P n .
P {(a1 , a 2 ,, a n ) a i P , i 1,2,, n}
系数矩阵的列向量组。
c1 c2 称 为方程组(1)的解向量. c n [注] 1.称 (0,0,0) 为n维零向量,记作 ;
如果 x1 c1, x2 c2, xn cn是方程组(1)的解，
2. 若 (a1 ,a 2 ,an ) ,称 ( a1 , a 2 ,, an ) 为 的负向量,记作 .即: ( a1 , a 2 ,, an )
推论1 设向量组 a1 , a2 ,..., a s 线性无关，且 a1 , a2 ,..., a s 可以由向量组 1 , 2 ,..., t 线性表示，则 s t . 推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关。
§8 向量间的线性关系 一、线性组合 定义1 设n维向量组 1 , 2 , , m , , 如果存在一组
数k1，k 2， , k m，使得 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组 1 , 2 , m的一个线性组合；
或称 可以由向量组 1 , 2 , m 线性表示。
例1 零向量组是任何向量组的线性组合。 例2 n维向量 1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,0,,1), 任意一个n维向量都可以由 1 , 2 ,, n 线性表示。
称 1 , 2 ,, n 为n维基本单位向量。
(7) ( kl ) k ( l ) ( 8) 1 定义4 以数域P中的数作为分量的n维向量的全 体，同时考虑到在它们上面的加法及数量 乘法满足上述的8条运算规律，则称此集合 为数域P上的n维向量空间，记作 P n .
P {(a1 , a 2 ,, a n ) a i P , i 1,2,, n}
系数矩阵的列向量组。
c1 c2 称 为方程组(1)的解向量. c n [注] 1.称 (0,0,0) 为n维零向量,记作 ;
如果 x1 c1, x2 c2, xn cn是方程组(1)的解，
2. 若 (a1 ,a 2 ,an ) ,称 ( a1 , a 2 ,, an ) 为 的负向量,记作 .即: ( a1 , a 2 ,, an )
推论1 设向量组 a1 , a2 ,..., a s 线性无关，且 a1 , a2 ,..., a s 可以由向量组 1 , 2 ,..., t 线性表示，则 s t . 推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关。
线性代数n维向量空间小结
A 0
9
证：1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
又1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
向量组等价，秩相等。
1. 1＋2，2＋3， ，n1＋n ,n＋1相关性？
(1)n为偶数：必相关。
(2)n为奇数：线性无关
1，
，
2
，
n线性无关。
10
例如n 3时，
1 0 1
1＋
2
, 2＋ 3
,3
1
1,
2
,3
解之,得 k0 k1 k2 knr 0,
故 , 1, 2 ,, nr 线性无关.
35
(3)设X为方程组AX B的任一解,则X可表为
X t11 t22 tnrnr t1( 1 ) tnr ( nr ) (1 t1 tnr) t1( 1) tnr ( nr)
零解,则对任意向量 ,都有
23
k1 1 k2 2 kr r (k1t1 k2t2 kr tr) 0
由k1 , k 2 ,, k r 不全为零得知:
1 t1 , 2 t 2 ,, r t r
线性相关.
24
例3 已知向量组 1 , 2 ,, s的秩是r,证明: 1 , 2 ,, s中任意r个线性无关的向量均构成它的
k11 k22 knrnr 0,
k1 k 2 k nr 0,
于是 ,1, 2, , nr线性无关.
34
(2)由线性方程组解的性质知 i (i 1,2,
,n r)都是AX B的解,再证它们线性无关.
令 k0 k1( 1) knr ( nr) 0, 则(k0 k1 knr) k11 knrnr 0, 由(1)的证明知 ,1,2 ,,nr 线性无关,所以
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
n维向量空间
(1) 加法：
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
数学线性代数n维向量空间
A = (α1, α2 ,L , αm )，°A = (α1, α2 ,L , αm , β)。
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
第三章 N维向量空间
在实际问题中我们讨论的向量空间v通常是无穷向量集合能否用v中的有限个向量来代表向量空间的基与维数定义310基的作用由定义知向量空间v的基实际上是v作为向量集合中的极大线性无关组dimvrv例如71向量空间的基不惟一定理38若向量空间的v维数dimvr则v中任意r个线性无关的向量都是v是二维向量空间
第三章 n维向量空间
b Ax 为 A 的列向量的线性组合 .
17
b Ax x11 xnn;
x1
[ 1 an ]
x2
xn
18
3.3.2 向量组线性相关性
1、向量组线性相关性性的引入
三维向量组1， 2共线的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , 使得 : k11 k2 2 0 三维向量组1， 2， 3共面的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , k3使得 : k11 k22 k33 0 对于n维向量组1，2，m共线、共面的几何意义没有 但是k11 k22 kmm 0是有意义的,
对应成比例。
21
3、如何讨论α1，α2，…，αm 线性相关？ 一般先假定：
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，
若存在（找到）不全为0的m个常数k1，k2，…， km使得
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0
则称α1，α2，…，αm 线性相关。
22
例7 讨论下列向量组的线性相关性。
9
设α＝（a1, a2, …, a n）T，β＝（b1, b2, …, b n）T
是两个n维向量，λ是一个实数，则:
T
（1）向量（a1 + b1, a2 + b2, …, a n + b n）称为向量
第三章 n维向量空间
b Ax 为 A 的列向量的线性组合 .
17
b Ax x11 xnn;
x1
[ 1 an ]
x2
xn
18
3.3.2 向量组线性相关性
1、向量组线性相关性性的引入
三维向量组1， 2共线的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , 使得 : k11 k2 2 0 三维向量组1， 2， 3共面的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , k3使得 : k11 k22 k33 0 对于n维向量组1，2，m共线、共面的几何意义没有 但是k11 k22 kmm 0是有意义的,
对应成比例。
21
3、如何讨论α1，α2，…，αm 线性相关？ 一般先假定：
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，
若存在（找到）不全为0的m个常数k1，k2，…， km使得
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0
则称α1，α2，…，αm 线性相关。
22
例7 讨论下列向量组的线性相关性。
9
设α＝（a1, a2, …, a n）T，β＝（b1, b2, …, b n）T
是两个n维向量，λ是一个实数，则:
T
（1）向量（a1 + b1, a2 + b2, …, a n + b n）称为向量
线性代数 第二章 n维向量
9
γ1 γ2
γn
α1 α2
αs
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
[b11 [b21 B: L [bs1
b12 b22 L bs 2
L L L L
b1n ] b2 n ] L bsn ]
[c11 [c 21 C: L [c m 1
c12 L c22 L L L cm 2 L
c1n ] c2 n ] L c mn ]
9
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
例1. n维基本单位向量组 ε1 = 1 0 … 0 , ε2 = 0 1 … 0 , …, εn = 0 0 … 1
.
standard/natural basis of Rn
9
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
任何一个n维向量 α= a1 a2 an …
都能由ε1, ε2, …, εn线性表示. 事实上, α = a1 1 0 0 0 1 0 + a2 + … + an . … … 0 0 1
9
…
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
a11 a21 例 2. A = … a n1
a12 a22 … a n2 b1 b2 bn
… … … …
a1s a2s = (α1, α2, …, αs), … ans x1 x2 xs …
A的行向量组能由 B的行向量组 线性表示
⇓
B的行向量组能由 A的行向量组 线性表示
⇓
矩阵A与B的行向量组等价
⇓
(row equivalent)
9
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
γ1 γ2
γn
α1 α2
αs
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
[b11 [b21 B: L [bs1
b12 b22 L bs 2
L L L L
b1n ] b2 n ] L bsn ]
[c11 [c 21 C: L [c m 1
c12 L c22 L L L cm 2 L
c1n ] c2 n ] L c mn ]
9
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
例1. n维基本单位向量组 ε1 = 1 0 … 0 , ε2 = 0 1 … 0 , …, εn = 0 0 … 1
.
standard/natural basis of Rn
9
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
任何一个n维向量 α= a1 a2 an …
都能由ε1, ε2, …, εn线性表示. 事实上, α = a1 1 0 0 0 1 0 + a2 + … + an . … … 0 0 1
9
…
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
a11 a21 例 2. A = … a n1
a12 a22 … a n2 b1 b2 bn
… … … …
a1s a2s = (α1, α2, …, αs), … ans x1 x2 xs …
A的行向量组能由 B的行向量组 线性表示
⇓
B的行向量组能由 A的行向量组 线性表示
⇓
矩阵A与B的行向量组等价
⇓
(row equivalent)
9
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
第四章 n 维向量空间
一般地，
e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
对任意n维向量 x1, x2 , , xn
x1e1 x2e2 xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
rank 1 ,2 , m rank 1 ,2 , m ,β m 定理4.3
rank(1 ,2 ,
m ) m, 则1 ,2 ,
线性无关，
m
rank(1 ,2 , m ,β)=m m 1, 则1 ,2, m ,β线性相关
例4.8 证明任意n维向量均可由n维向量组
1 1，1， ，1T , 2 0，1， ，1T , , n 0,0， , 0,1T
仅当k1 k2 km 0时
kα1 1 k2α2 kmαm 0成立 称向量组A 线性无关
定理4.2
1 仅含一个向量的向量组线性相关 α = 0
2 含有零向量的向量组线性相关
3 向量组线性相关 至少有一个向量可由其他
向量线性表示
4 向量组中部分向量线性相关 向量组线性相关
向量组线性无关 向量组中任意部分向量线性无关
向量组1,2 ,
,
也线性相关。这与
m
条件1,2 ,
,
线性无关矛盾。
m
所以， '1, '2 , , 'm 线性无关。
例4.7
证明下列向量组1，
2，
线性无关。
3
1
1, a, a2, b
T
, 2
1, b, b2, c
T
e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
对任意n维向量 x1, x2 , , xn
x1e1 x2e2 xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
rank 1 ,2 , m rank 1 ,2 , m ,β m 定理4.3
rank(1 ,2 ,
m ) m, 则1 ,2 ,
线性无关，
m
rank(1 ,2 , m ,β)=m m 1, 则1 ,2, m ,β线性相关
例4.8 证明任意n维向量均可由n维向量组
1 1，1， ，1T , 2 0，1， ，1T , , n 0,0， , 0,1T
仅当k1 k2 km 0时
kα1 1 k2α2 kmαm 0成立 称向量组A 线性无关
定理4.2
1 仅含一个向量的向量组线性相关 α = 0
2 含有零向量的向量组线性相关
3 向量组线性相关 至少有一个向量可由其他
向量线性表示
4 向量组中部分向量线性相关 向量组线性相关
向量组线性无关 向量组中任意部分向量线性无关
向量组1,2 ,
,
也线性相关。这与
m
条件1,2 ,
,
线性无关矛盾。
m
所以， '1, '2 , , 'm 线性无关。
例4.7
证明下列向量组1，
2，
线性无关。
3
1
1, a, a2, b
T
, 2
1, b, b2, c
T
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1 2 2 4 2
1 3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
1
3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
即
| (, ) ||| |||| ||
从而有 1 (, ) 1, (当|| |||| || 0时). || |||| ||
因此, 可利用内积定义n维向量的夹角.
单位向量及n维向量间的夹角
1当 1时,称 为单位向量 .
2当 0, 0时, arccos ( , )
称为n维向量与的夹角 .
kx1 (k1) (k1) V2.
这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空 间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn T x2 , , xn R
解 1, a2, , an T V2,
2 2,2a2, ,2an T V2.
V2不是向量空间 .
说明: 判断向量的集合是否构成向量空间，需 看集合是否对于加法和数乘两种运算封．若封 闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空 间．
定义 设V为向量空间,如果r个向量a1, a2 , ,
ar V ,且满足 (1) a1, a2 , , ar 线性无关; (2)V中任一向量都可由a1, a2 , , ar 线性表示,
那么,向量组a1, , ar 就称为向量空间V的一个基, r称为向量空间V的维数,记作dimV r, 并称V为r维向量空间.
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当(, ) 0时, 称向量与 正交 .
由定义知,若 0,则 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
1 0 0 2 4
0
1
0
3 2
3 1
3
0
0
1
1
2 3
1 0 0 2 4
3 3
~ ( A B)初等行变换 0
1
0
2 3
1
0
0
1
1
2 3
因有A ~ E，故a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且
2 4
3 3
b1
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
小结
１．向量空间的概念： 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间．
30.全体n维实向量构成的向量空间Rn 是一个n维向量空间, dim Rn n; 其中任意n个线性无关的向量构成 的向量组都是Rn的一个基.
向量空间的构造
若向量组a1 , a2 , , ar 是向量空间V的一个基, 则V可表示为
V
x
r
i ai
i 1
i R, i 1,2, , r .
1 0 14 0 1 12 0 0 25
1 1 02 1 1 02
0 0
1 0
13
15 / 2
0 0
1 0
01/
2
15 / 2
1 0 03 / 2
0
1
01/
2
0 0 15 / 2
3 / 2
(1,2 ,3 )1/ 2
5 / 2
例6 设矩阵
2 2 1
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
例3证明1 (1,0,1)T ,2 (1,1,0)T ,3 (0,1,1)T
是R3的一组基,并求 (2,3,4)T 在1,2 ,3
下的坐标.
证明:
1 1 0 1 1 0
A (1,2,3) 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1,
0 0 2
R( A) rank(1,2,3) 3 dim R3
定义3 设n维向量 e1, e2, , er是向量空间 V (V Rn )的一个基,如果e1, e2, , er两两正交且都是单位 向量,则称e1, e2, , er是V的一个标准正交基 (或规范正交基).
例如 1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
称为由基生成的向量空间.
四.向量在一个基下的坐标
知Rn中任一向量 (a1, a2 , , an )
a11 an n
定义2.5.4设1,2 , ,n是n维向量空间Rn中 的一个基, 对于任一向量 Rn ,
总有且仅有一组数x1, , xn使
x11 x22 xnn 由称有序数组x1, , xn为向量 在1,2 , ,n这个基下的坐标.
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1
若n维向量1, 2,
,
是一组两两正交的
r
非零向量,则1, 2, , r线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
若向量空间没有基 , 那么V的维数为0. 0维向量空间只含一个零 向量O.
若把向量空间V看作向量组, 则V的基就是 向量组的最大线性无关组,V的维数就是向量组 的秩.
说明: 10.要注意向量空间的维数与向量的维数的区别: dimV V中最大无关组向量的个数. 向量的维数是指向量的分量个数.
20.向量空间的基一般不惟 一.
(, ) a12 a22 an2 ,
称 为n维向量的模或长度,范数.
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当 0时, 0;当 0时, 0; 2. 齐次性 ;
3. 三角不等式 .
向量的内积满足施瓦茨不等式
( , )2 ( , )( , ) || ||2 || ||2,
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
(ei , ej ) 0,
(ei
,
e
j
)
1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
T (1) 2 1 0 0 (1) 2 3 4
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算,如果, 都是列
向量,内积可用矩阵记号表示为:
( , ) a1b1 a2b2 anbn
b1
a1
(a1, a2,
则有 (1,3 ) (2 ,3 ) 0
即
((21,,33))
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
５ 标准正交基
４ 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,
是两
r
两正交
的非
零向量组,
则
称
1
,
2
,
,
是
r
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
,
an
)
b2 bn
T
(b1,b2 ,
,
bn
)
a2 an
T
内积的运算性质
其中, , 为n维向量,为实数:
(1)(, ) (,) (2) (, ) (, );
(3)( , ) (, ) (, )
(4)(,) 0,(,) 0当且仅当 0
二、向量的长度及性质
定义2 令
1 , 2 , 3线性无关, 且为R3的一个基.
设 x11 x2 2 x33
即(1, 2
,3
)
x1 x2
x3
1 则0
1 1
10
x1 x2
AX
1 0 1 x3
对( AB)施行初等行变换, 若A能变为E,
B变为X A1B
1 1 02 1 1 02 1 1 02 ( AB) 0 1 13 0 1 13 0 1 13
(2)集合V1 x (0, x2, , xn ) | x2, , xn R;
有 0,a2 b2 , ,an bn T V1
0, a2 , , an T V1 .
V1是向量空间.
(3)集合V2 x | , R,
, 为两个已知的n维向量
证明(3)
x1 1 1 V2 , x2 2 2 V2， 有 x1 x2 (1 2 ) (1 2 ) V2,
所以 e1, e2 , e3, e4为R4的一个标准正交基 .
同理可知
1 0 0 0
1 3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
1
3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
即
| (, ) ||| |||| ||
从而有 1 (, ) 1, (当|| |||| || 0时). || |||| ||
因此, 可利用内积定义n维向量的夹角.
单位向量及n维向量间的夹角
1当 1时,称 为单位向量 .
2当 0, 0时, arccos ( , )
称为n维向量与的夹角 .
kx1 (k1) (k1) V2.
这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空 间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn T x2 , , xn R
解 1, a2, , an T V2,
2 2,2a2, ,2an T V2.
V2不是向量空间 .
说明: 判断向量的集合是否构成向量空间，需 看集合是否对于加法和数乘两种运算封．若封 闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空 间．
定义 设V为向量空间,如果r个向量a1, a2 , ,
ar V ,且满足 (1) a1, a2 , , ar 线性无关; (2)V中任一向量都可由a1, a2 , , ar 线性表示,
那么,向量组a1, , ar 就称为向量空间V的一个基, r称为向量空间V的维数,记作dimV r, 并称V为r维向量空间.
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当(, ) 0时, 称向量与 正交 .
由定义知,若 0,则 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
1 0 0 2 4
0
1
0
3 2
3 1
3
0
0
1
1
2 3
1 0 0 2 4
3 3
~ ( A B)初等行变换 0
1
0
2 3
1
0
0
1
1
2 3
因有A ~ E，故a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且
2 4
3 3
b1
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
小结
１．向量空间的概念： 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间．
30.全体n维实向量构成的向量空间Rn 是一个n维向量空间, dim Rn n; 其中任意n个线性无关的向量构成 的向量组都是Rn的一个基.
向量空间的构造
若向量组a1 , a2 , , ar 是向量空间V的一个基, 则V可表示为
V
x
r
i ai
i 1
i R, i 1,2, , r .
1 0 14 0 1 12 0 0 25
1 1 02 1 1 02
0 0
1 0
13
15 / 2
0 0
1 0
01/
2
15 / 2
1 0 03 / 2
0
1
01/
2
0 0 15 / 2
3 / 2
(1,2 ,3 )1/ 2
5 / 2
例6 设矩阵
2 2 1
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
例3证明1 (1,0,1)T ,2 (1,1,0)T ,3 (0,1,1)T
是R3的一组基,并求 (2,3,4)T 在1,2 ,3
下的坐标.
证明:
1 1 0 1 1 0
A (1,2,3) 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1,
0 0 2
R( A) rank(1,2,3) 3 dim R3
定义3 设n维向量 e1, e2, , er是向量空间 V (V Rn )的一个基,如果e1, e2, , er两两正交且都是单位 向量,则称e1, e2, , er是V的一个标准正交基 (或规范正交基).
例如 1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
称为由基生成的向量空间.
四.向量在一个基下的坐标
知Rn中任一向量 (a1, a2 , , an )
a11 an n
定义2.5.4设1,2 , ,n是n维向量空间Rn中 的一个基, 对于任一向量 Rn ,
总有且仅有一组数x1, , xn使
x11 x22 xnn 由称有序数组x1, , xn为向量 在1,2 , ,n这个基下的坐标.
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1
若n维向量1, 2,
,
是一组两两正交的
r
非零向量,则1, 2, , r线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
若向量空间没有基 , 那么V的维数为0. 0维向量空间只含一个零 向量O.
若把向量空间V看作向量组, 则V的基就是 向量组的最大线性无关组,V的维数就是向量组 的秩.
说明: 10.要注意向量空间的维数与向量的维数的区别: dimV V中最大无关组向量的个数. 向量的维数是指向量的分量个数.
20.向量空间的基一般不惟 一.
(, ) a12 a22 an2 ,
称 为n维向量的模或长度,范数.
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当 0时, 0;当 0时, 0; 2. 齐次性 ;
3. 三角不等式 .
向量的内积满足施瓦茨不等式
( , )2 ( , )( , ) || ||2 || ||2,
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
(ei , ej ) 0,
(ei
,
e
j
)
1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
T (1) 2 1 0 0 (1) 2 3 4
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算,如果, 都是列
向量,内积可用矩阵记号表示为:
( , ) a1b1 a2b2 anbn
b1
a1
(a1, a2,
则有 (1,3 ) (2 ,3 ) 0
即
((21,,33))
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
５ 标准正交基
４ 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,
是两
r
两正交
的非
零向量组,
则
称
1
,
2
,
,
是
r
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
,
an
)
b2 bn
T
(b1,b2 ,
,
bn
)
a2 an
T
内积的运算性质
其中, , 为n维向量,为实数:
(1)(, ) (,) (2) (, ) (, );
(3)( , ) (, ) (, )
(4)(,) 0,(,) 0当且仅当 0
二、向量的长度及性质
定义2 令
1 , 2 , 3线性无关, 且为R3的一个基.
设 x11 x2 2 x33
即(1, 2
,3
)
x1 x2
x3
1 则0
1 1
10
x1 x2
AX
1 0 1 x3
对( AB)施行初等行变换, 若A能变为E,
B变为X A1B
1 1 02 1 1 02 1 1 02 ( AB) 0 1 13 0 1 13 0 1 13
(2)集合V1 x (0, x2, , xn ) | x2, , xn R;
有 0,a2 b2 , ,an bn T V1
0, a2 , , an T V1 .
V1是向量空间.
(3)集合V2 x | , R,
, 为两个已知的n维向量
证明(3)
x1 1 1 V2 , x2 2 2 V2， 有 x1 x2 (1 2 ) (1 2 ) V2,
所以 e1, e2 , e3, e4为R4的一个标准正交基 .
同理可知
1 0 0 0